MODELAGEM DA FRAÇÃO DE NÃO-CONFORMES EM PROCESSOS INDUSTRIAIS

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1 versão mpressa ISSN / versão onlne ISSN MODELAGEM DA FRAÇÃO DE NÃO-CONFORMES EM PROCESSOS INDUSTRIAIS Ângelo Márco Olvera Sant Anna* Carla Schwengber ten Caten Programa de Pós-graduação em Engenhara de Produção Unversdade Federal do Ro Grande do Sul (UFRGS) Porto Alegre RS angelo@producao.ufrgs.br tencaten@producao.ufrgs.br * Correspondng author / autor para quem as correspondêncas devem ser encamnhadas Recebdo em 07/2007; aceto em 06/2009 após 1 revsão Receved July 2007; accepted June 2009 after one revson Resumo Em qualquer processo ndustral, pode ser defndo um conjunto de causas ou fatores que produzem determnado efeto sobre uma ou mas característcas de qualdade de um produto que pode ou não satsfazer às especfcações do clente, gerando a produção de produtos não-conformes. A modelagem da proporção ou fração de produtos não-conformes utlzando-se o modelo de regressão lnear não é adequada por pelo menos duas razões: () pressupõe que as proporções seguem a dstrbução normal, que não é correto; e () possblta a prevsão de valores fora do ntervalo [0,1]. Alternatvas à modelagem da proporção de não-conformes são os Modelos Lneares Generalzados e os Modelos de Regressão Beta. O objetvo deste artgo é modelar a fração de não-conformes às especfcações de uma ndústra curtdora com enfoque nos Modelos de Regressão Beta e Modelo Lnear Generalzado. Esses modelos podem ser estenddos a processos ndustras que envolvam a produção de produtos nãoconformes às especfcações de manufatura. Palavras-chave: modelo lnear generalzado; modelo de regressão beta; fração de nãoconformes. Abstract In any ndustral process, one can enumerate causes or factors that act on one or more qualty characterstcs of the resultng product such that they fal to meet customers specfcatons, generatng tems deemed as nonconformng. Modelng the fracton or proporton of nonconformng tems usng lnear regresson models s not adequate for at least two reasons: () proportons are assumed to follow a Normal dstrbuton, whch s not correct, and () predcted responses wll not necessarly be confned n the [0,1]-nterval. Alternatve approaches to the modelng of nonconformng proportons are based on Generalzed Lnear Models and Beta Regresson Models. In ths paper we present a case study where the objectve s to model the nonconformng fracton of tems emergng from a tannng process; our analyss uses Generalzed Lnear Models and Beta Regresson Models. The developments presented n the paper may be extended to other ndustral process where the proporton of nonconformng tems s easly accessble. Keywords: generalzed lnear model; beta regresson model; fracton nonconformng. Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de

2 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras 1. Introdução O cenáro mundal atual é de ntensa compettvdade devdo ao desenvolvmento tecnológco rápdo de produtos e processos, vsando buscar produtos que tenham característcas de qualdade sem defeto. Em processos de manufatura, a mplementação de técncas estatístcas permte elmnar desperdícos, reduzr os índces de produtos refugados, dmnur a necessdade da realzação de nspeção e aumentar a satsfação dos clentes. Em um processo ndustral, pode ser defndo um conjunto de causas ou fatores que produzem determnado efeto sobre uma ou mas característcas de qualdade de produtos que podem ou não satsfazer às especfcações preestabelecdas pelo clente. Mutas vezes não se consegue controlar todas as causas de varação, pos certas causas são nerentes ao processo (Montgomery, 2001). As causas de varação que podem ser controladas, também chamadas de fatores controláves, podem nterferr em um processo podendo gerar a produção de produtos com característcas de qualdade não-conformes às especfcações preestabelecdas, os quas podem ser mensurados através da proporção ou fração de produtos não-conformes. Segundo Montgomery et al. (2006), modelos de regressão consstem numa técnca estatístca de modelagem e nvestgação que relacona uma ou mas característcas de qualdade do produto, chamadas de varável dependente, com os fatores controláves que podem afetá-las, chamados de varáves ndependentes. Conforme Hamada & Nelder (1997), um modelo de regressão que apresenta um bom ajuste usualmente permte gerar boas estmatvas dos efetos dos fatores, consstndo numa estratéga efcente de otmzação, pos é possível prever a varável dependente fração de não-conformes em função do ajuste das varáves ndependentes ou fatores controláves. Segundo Cox (1996), a modelagem da proporção em um determnado conjunto de observações, por meo de um modelo de regressão lnear, nem sempre é recomendada, uma vez que este modelo requer a suposção de que as proporções seguem a dstrbução normal. Segundo Keschnck & McCullogh (2003), o uso do modelo de regressão lnear na modelagem de proporções ou frações como varável dependente, é um modelo falho, pos possblta a prevsão de valores fora do lmte do ntervalo [0,1]. Alternatvas para a modelagem da fração de produtos não-conformes são os Modelos Lneares Generalzados (MLG) e os Modelos de Regressão Beta (MRB). Conforme Myers et al. (2002), a teora dos MLG apresenta opções para a dstrbução da varável dependente, permtndo que dados provenentes de uma dstrbução de probabldade Bnomal possam ser modelados usando a dstrbução orgnal dos dados, sem a necessdade de realzar transformações nos dados. Outra forma de relaconar a varável dependente e demas varáves ndependentes, num processo de nvestgação e modelagem de dados, fo proposta por Ferrar & Crbar-Neto (2004), cuja estrutura do modelo de regressão basea-se na suposção de que os dados mensurados em proporção seguem a dstrbução de probabldade Beta. Este procedmento é chamado de MRB. O uso destes modelos de regressão permte aumentar a precsão da estmatva dos efetos dos fatores controláves e da prevsão dos efetos. Desta forma, permte-se dentfcar com mas precsão as condções ótmas de operação do processo de manufatura. O objetvo deste artgo é modelar a fração de não-conformes às especfcações de uma ndústra curtdora com enfoque no Modelo de Regressão Beta e no Modelo Lnear Generalzado. 54 Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de 2010

3 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras Na seção 2, é apresentada uma breve revsão sobre os concetos báscos de MLG e MRB. Na seção 3, são apresentadas as meddas de dagnóstco para análse de adequação dos modelos de regressão. Na seção 4, um estudo de aplcação prátca. Fnalmente, na seção 5, são fetas consderações fnas sobre a modelagem desenvolvda nesse artgo. 2. Modelos de Regressão Em mutas stuações prátcas em que se deseja realzar uma nvestgação entre uma varável dependente e demas varáves ndependentes, cuja varável dependente apresenta restrção nos valores mensurados como a fração ou proporção de algum evento de nteresse, é comum usar no processo de modelagem, o modelo de regressão lnear. Contudo, segundo Cox (1996), a modelagem da proporção utlzando um modelo de regressão lnear nem sempre é recomendada, pos este modelo requer a suposção de normaldade aos dados e homocedastcdade (varâncas guas). Assm, pelo fato dos dados serem mensurados em proporção dfclmente apresentarão normaldade. Portanto, deve-se buscar uma nova forma de relaconar as varáves ndependentes à varável dependente. Os modelos de regressão abordados como alternatvas à modelagem da fração de nãoconformes são: os modelos lneares generalzados, que foram propostos por Nelder & Wedderburn (1972), mas especfcamente o modelo de Quase-verossmlhança e o modelo de regressão Beta, que fo proposto por Ferrar & Crbar-Neto (2004). 2.1 Modelos Lneares Generalzados Uma classe de modelos conhecdos como MLG é aproprada para nvestgar o efeto de varáves ndependentes sobre uma únca varável dependente de comportamento nãonormal. Estes modelos permtem estmar os efetos relaconados com cada fator, analsar a nfluênca e realzar prevsões. Ademas, na construção destes modelos as varáves ndependentes ou fatores podem ser de natureza quanttatva ou qualtatva. Segundo Hamada & Nelder (1997), a classe dos MLG fo desenvolvda por Nelder & Wedderburn (1972) e estes modelos se baseam em dstrbuções de probabldade, com um parâmetro de localzação desconhecdo (θ), admtndo que a mesma pertença à famíla exponencal. Esta famíla contempla as dstrbuções Normal, Bnomal, Posson, Gamma, Exponencal, Bnomal Negatva. Ademas, estes modelos admtem varânca não constante e dependente da méda. Conforme Lee & Nelder (1998), esta classe de modelos é defnda anda por um conjunto de varáves ndependentes que descreve a estrutura lnear do modelo e uma função de lgação entre a méda da varável dependente e a estrutura lnear. Para se admtr que uma dstrbução de probabldade pertença à famíla de dstrbuções exponencal é necessáro que as funções de dstrbuções de probabldade apresentem a forma f(y; θ) = exp {a(y)b(θ) + c(θ) + d(θ)}, (1) onde a(y), b(θ) e c(θ) são funções específcas, sendo θ o parâmetro natural da dstrbução de probabldade e y a varável dependente da dstrbução (Dobson, 2002). Segundo Cordero (1986), uma varável dependente (y) que apresenta valores na forma de proporções ou frações segue a dstrbução de probabldade Bnomal com parâmetros n e p. Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de

4 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras McCullagh & Nelder (1989) salentam que, em estudos com dados mensurados em proporção, a relação entre a varável dependente e as varáves ndependentes é descrta formalmente através de um modelo de regressão Bnomal. Conforme Prentce (1986), a proporção de sucessos (p ) de um referdo evento (por exemplo, produto defetuoso) segue uma dstrbução de probabldade Beta-Bnomal. Onde admte-se que a varável dependente (y ) segue a dstrbução Bnomal e a proporção (p ) obtda a partr da varável (y ) em cada ocorrênca ( = 1,..., n) segue uma dstrbução de probabldade Beta. A combnação das dstrbuções de probabldade Bnomal e Beta na estrutura da modelagem produzem apenas um ajuste na função de varânca da varável dependente. A forma da função da dstrbução de probabldade Bnomal pertencente à famíla exponencal é expressa por µ n f ( y; µ ) = exp ylog + nlog ( 1 µ ) + log 1 µ y (2) Observa-se que a forma da função de dstrbução de probabldade Bnomal esta descrta como a forma da equação (1). Os modelos de regressão pertencentes à classe dos MLG apresentam uma estrutura com três componentes: a componente aleatóra, a componente sstemátca e a função de lgação. Sendo: () Componente aleatóra dentfca a dstrbução de probabldade da varável dependente y pertencente à famíla exponencal; () Componente sstemátca especfca a estrutura das varáves ndependentes, que é utlzada como predtor lnear η; () Função de lgação descreve a relação funconal entre a componente sstemátca e o valor esperado da componente aleatóra (a méda µ da varável dependente y). A componente sstemátca que compõem o modelo de regressão que consste na estrutura das varáves ndependentes é uma soma lnear, defnda como η = β 0 + β 1 X β k X k, (3) onde a função lnear η é denomnada de predtor lnear, β s coefcentes desconhecdos e k números de varáves ndependentes. Além dsso, outra característca da componente sstemátca de um modelo lnear é que a méda µ da varável dependente y pode ser expressa por uma função conhecda g(.), denomnada de função de lgação (Myers et al., 2002), a qual descreve a relação funconal (lgação) entre a méda µ e o predtor lnear η, descrevendo a forma g(µ) = η = β 0 + β 1 X β k X k. (4) Conforme Dobson (2002), a função de lgação g(.) é responsável pela transformação da méda da varável dependente, e não de cada observação. Sant Anna & Caten (2005) descrevem que a escolha da função de lgação depende do problema de modelagem em partcular e, que em mutas vezes os modelos de regressão podem apresentar uma função de lgação dferente conforme o conjunto de observações. A estmação dos coefcentes para o MLG é realzada através do método clássco de máxma verossmlhança, em que os coefcentes β e φ (parâmetro de dspersão) são obtdos a partr da maxmzação do logartmo da função de verossmlhança. O procedmento de maxmzar a função de verossmlhança é realzado por um algortmo de otmzação não-lnear, tal como o algortmo de Newton-Raphson descrto por Cordero (1986) ou o algortmo quas-newton 56 Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de 2010

5 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras (BFGS) descrto por Ferrar & Crbar-Neto (2004). Conforme McCullagh & Nelder (1989) o método clássco de estmação pode ser utlzado consderando qualquer função de dstrbução de probabldade para varável dependente. Consderando uma amostra de n observações ndependentes, o logartmo da função de verossmlhança (log-verossmlhança) dos modelos de regressão apresenta a forma geral, l n ( β, φ ) l ( µ, φ) =, (5) = 1 com µ defnda de tal forma que satsfaz a equação µ = g 1 (η ), que é função de β. A dferencação da função de log-verossmlhança em relação aos coefcentes desconhecdos (β) do modelo ajustado é defnda pela dervada da função de log-verossmlhança, para j = 1,..., k. n l ( βφ, ) l( µ, φ) µ η = β j = 1 µ η β j Note que µ / η = 1/ g '( µ ) e também, l( µ, φ) y = φ log { δ ( µφ ) δ ( 1 µ ) φ} µ 1 y onde δ( ) é uma função dferencal Gamma, sto é, ( ) ( ). (6), (7) δ z = log Γ z / z, z > 0. Desta forma y * = log (y / (1 y )) e µ * = {δ(µ φ) δ(1 µ )φ}. Conforme Hoffmann (2003), o valor esperado da dervada em (7) guala-se a zero, de forma que o valor esperado da varável dependente transformada y * guala-se a µ *. Ou seja, µ * = E(y * ). Na abordagem de MLG, a estmatva dos coefcentes dos modelos usualmente é obtda pela maxmzação da função de log-verossmlhança (EMV). No entanto, conforme algumas stuações expermentas a estmação dos coefcentes pelo método tradconal de EMV fca comprometda, em vrtude de não cumprmento de certos pressupostos, assm, faz-se necessáro o uso do método de estmação por quase-verossmlhança (conforme pode ser vsto em Sant Anna, 2006). Modelo de Quase-verossmlhança Weddeburn (1974) propôs os modelos de Quase-verossmlhança (MQV) com base nos modelos pertencentes à classe dos MLG, em que os modelos apresentam duas componentes: a componente sstemátca (estrutura lnear das varáves ndependentes) e a função de lgação que relacona a méda (µ ) da varável dependente à estrutura lnear das varáves ndependentes (X j ). A característca destes modelos de regressão, é que não há a necessdade de assumr a prncípo alguma dstrbução de probabldade para a varável dependente. Por consegunte, a esperança matemátca e a varânca da varável dependente não são conhecdas a pror. Seja y uma varável dependente qualquer de nteresse, que assume a E[y ] = µ e uma varânca defnda por Var[y ] = φ*v(µ ), onde a função de varânca V(µ ) é uma função Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de

6 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras conhecda da méda µ e φ é o parâmetro de dspersão constante. A função de quaseverossmlhança para um modelo de regressão é defnda pela equação ( ; µ ) Q y µ y t = dt (8) y φ. V t O MQV utlzado na modelagem de um conjunto de dados mensurados em proporção ou fração de não-conformes é descrto a partr de uma varável dependente (y ) que pode assumr qualquer função de varânca. Por exemplo, seja uma função V(µ ) = µ(1 µ) para a varável dependente descrta acma a forma se apresenta 1 µ y µ Q( y ; µ ) = dµ φ (9) y µ 1 µ () ( ) e o logartmo da função de quase-verossmlhança fca nesse caso dado por µ ( Q( y µ ) ) = y + ( µ ) 1 µ log ; ln ln 1 que conforme McCullagh & Nelder (1989), a função acma corresponde a função de log-verossmlhança da dstrbução de probabldade Bnomal com função de varânca V(µ) = µ(1 µ), a qual possu a segunte forma µ ( ; µ ) = ln + ln ( 1 µ ) 1 µ L y y n Nota-se que a prncpal dferença entre como se formam as equações (10) e (11) está em que, quando se usa a função de quase-verossmlhança para estmar os coefcentes desconhecdos do modelo de regressão, apenas se defne a relação da varânca da varável dependente com a sua méda, não sendo necessáro defnr anterormente uma dstrbução de probabldade. Para testar a sgnfcânca dos coefcentes do modelo de regressão pelo teste da razão de quase-verossmlhança tem-se a estatístca de quase-devance. Pode-se dzer que a quasedevance está para a modelagem pela função de quase-verossmlhança assm como a devance está para a função de verossmlhança. Por analoga, a quase-devance de um modelo qualquer é defnda como o desvo deste modelo em relação ao modelo nulo, sendo: y ˆ D( y, ˆ µ ) = 2 φ Q ( y; ˆ µ ) Q ( y; y) = 2 φ Q ( y; ˆ µ ) = 2, (12) V em que (, ˆ) ( ; ) µ y µ ( ˆ µ ) Q y µ é a função de máxma verossmlhança do modelo sob pesqusa e Q y y é a função de máxma verossmlhança do modelo nulo. Para o modelo de Quase-verossmlhança defndo pela equação (10), a estatístca de quasedevance é expressa da forma µ (10) (11) y ˆ µ D( y, ˆ µ ) = 2 φ Q ( y; ˆ µ ) 2 = φ ˆ µ ( 1 ˆ µ y ), (13) 58 Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de 2010

7 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras 2.2 Modelo de Regressão Beta Quando a varável dependente é mensurada em proporção ou fração, apresentando valores restrtamente no ntervalo untáro (0 y 1), a relação entre as varáves dependente e ndependentes apresenta restrção no domíno da função (0 < E(y) < 1) (Cox, 1996). Partndo deste prncípo, Ferrar & Crbar-Neto (2004) propuseram o MRB, que é um procedmento alternatvo na modelagem de dados mensurados em proporção, cuja estrutura do modelo de regressão permte modelar as relações lneares e não-lneares entre as varáves ndependentes e a varável dependente. Ademas, na construção destes modelos as varáves ndependentes ou fatores controláves podem ser de natureza quanttatva ou qualtatva. A famíla de dstrbuções Beta é composta de todas as dstrbuções de probabldade que apresente uma varável dependente y cuja função densdade de probabldade depende dos parâmetros p e q, e que sua função densdade pode ser escrta na forma, Γ ( p+ q) p 1 q 1 f ( y; p, q) = y ( 1 y), 0< y < 1, p > 0, q > 0, (14) Γ( p) Γ( q) onde y é a varável aleatóra, p e q são parâmetros da função densdade de probabldade e p 1 y Γ(p) uma função gama avalada no ponto p, ou seja, com Γ ( p) = y e dy, p>0. A função f(y) = f(y; p, q) é efetvamente uma função densdade de probabldade com parâmetros p e q. Nota-se anda, que a função f(y; p, q) assume valores estrtamente postvos, pos para qualquer valor de y pertencente ao ntervalo [0,1], a função densdade descrta é crescente, ou seja, f(y) 0. Segundo Keschnck & McCullough (2003) e Ferrar & Crbar-Neto (2004), a dstrbução de probabldade Beta é uma função densdade de probabldade que não pertence à famíla exponencal, pos a sua dstrbução não pode ser escrta na forma canônca e apresentar um parâmetro de localzação µ. A famíla de dstrbuções Beta contempla as dstrbuções Unforme, Arco-seno e Drchlet. O MRB proposto apresenta uma estrutura de regressão baseada em três componentes: () Componente aleatóra supõe-se que a varável dependente (y) segue uncamente a dstrbução de probabldade Beta; () Componente sstemátca que especfca uma soma lnear dos coefcentes desconhecdos das varáves ndependentes, conhecdo como predtor lnear (η); () Função de lgação que permte modelar a méda da varável dependente em relação às demas varáves ndependentes através de uma função, conhecda como g(.). A estrutura do modelo de regressão é expressa da forma, g(µ) = η = β 0 + β 1 X β k X k. (15) onde η é o predtor lnear, β s coefcentes desconhecdos, k números de varáves ndependentes, g(.) a função de lgação e µ a méda da varável dependente. Conforme Keschnck & McCullough (2003), o MRB permte gerar estmatvas precsas e seguras dos coefcentes, mesmo que o conjunto de dados coletados para a nvestgação seja consderavelmente pequeno ou os dados mensurados sejam próxmos de zero e próxmos de um. Ferrar & Crbar-Neto (2004) se baseam na suposção de que as proporções seguem uma dstrbução de probabldade Beta, para realzar uma parametrzação da esperança 0 Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de

8 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras matemátca E(y) = p / (p+q) e da varânca Var(y) = pq / [(p+q) 2 + (p+q+1)] de uma varável dependente y, utlzando os parâmetros (p e q) da dstrbução de probabldade Beta. A estmação dos coefcentes para os MRB é obtda pela maxmzação da função de logverossmlhança (EMV), em que os coefcentes β e φ são obtdos a partr da maxmzação do logartmo da função de verossmlhança, conforme equação (5). O procedmento de maxmzar a função de verossmlhança é realzado pelo algortmo de otmzação não-lnear de quas-newton (BFGS). 3. Meddas de Dagnóstco Uma etapa essencal na análse de ajuste dos modelos de regressão é a verfcação da adequação dos modelos de regressão aos dados. Esta etapa, conhecda como meddas de dagnóstco, consttu um conjunto de crtéros de adequação e ferramentas gráfcas na avalação da adequação do modelo aos dados. As meddas de dagnóstco fornecem subsídos para detectar: possível volação de alguma das suposções fetas para o modelo, especalmente para a componente aleatóra (y) e a função de lgação (g(.)), aleatoredade dos dados, presença de pontos extremos (outlers), adequação da dstrbução de probabldade proposta para a varável dependente e observação de pontos nfluentes. As meddas de dagnóstco propostas neste artgo para análse de adequação dos modelos de regressão são apresentadas a segur. 3.1 Crtéros de Adequação Coefcente de Determnação: é uma medda global da qualdade do ajuste, utlzado como ndcador numérco que permte comparar o desempenho de dferentes modelos, contudo, não é uma boa estratéga, pos o mesmo sempre aumenta com a nclusão de novas varáves ndependentes. Para contornar esse problema, fo utlzado um coefcente de determnação ajustado, denomnado pseudo R 2 (R 2 p ) que é defndo como o quadrado do coefcente de correlação amostral entre g(.) e ˆ η. Segundo Rao & Wu (2005), este coefcente se restrnge a 0 R 2 p 1 e, quando R 2 p = 1 exste uma concordânca perfeta entre ˆµ e y, consequentemente, melhor será o ajuste. Devance: A análse de devance é feta através da comparação dos valores da medda devance dos modelos ajustados. Segundo Atknson & Ran (2000), a devance é obtda como duas vezes a dferença entre o máxmo do logartmo da verossmlhança do modelo nulo e do modelo sob pesqusa. n (16) = 1 ( ; µφ, ) = 2 { ( µφ, ) ( µφ, )} D y l l é a função de máxma µ φ é a função de máxma verossmlhança em que µ é solução de l / µ = 0, sto é, φ (y * µ * ) = 0, l ( µφ, ) verossmlhança do modelo sob pesqusa e l (, ) do modelo nulo. Conforme Lee & Nelder (1998), usualmente costuma-se proceder a análse de devance utlzando o ponto crítco χ 2 (n k)(α) da dstrbução qu-quadrado ao nível de sgnfcânca gual a α, sendo n o número de observações e k o número de coefcentes do modelo. Portanto, se D( y ; µφ, ) χ( 2 n k)( α ), pode-se consderar que há evdêncas que o 60 Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de 2010

9 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras modelo sob pesqusa esteja bem ajustado aos dados, a um nível de α % de sgnfcânca, usualmente α < 0,05, caso contráro deve-se descartar o modelo, pos o mesmo pode ser consderado nadequado. Esta estatístca de decsão também pode ser utlzada para a função de quase-devance na adequação do modelo de Quase-verossmlhança. Crtéro de Informação de Akake: O AIC (Akake Informaton Crteron) fo o prmero crtéro baseado na nformação de Kullback-Lebler (K-L) e assntotcamente não vesado para K-L. O crtéro AIC supõe que o modelo verdadero pertence ao conjunto de modelos canddatos e é defndo por AIC = 2 l ˆ µφ, ˆ + 2 k + 1 (17) onde ( ˆ, ˆ) ( ) ( ) l µφ é a função de máxma verossmlhança do modelo ajustado e k o número de coefcentes do modelo. Segundo Rao & Wu (2005), o crtéro AIC fo desenvolvdo através dos estmadores de máxma verossmlhança (EMV), para decdr qual o modelo mas adequado quando se utlza mutos modelos com quantdades dferentes de coefcentes, sto é, seleconar um modelo que esteja bem ajustado com um número reduzdo de coefcentes. A decsão quanto ao melhor modelo ajustado é realzado escolhendo o menor valor de AIC. 3.2 Ferramentas Gráfcas Resíduo Devance: é o resíduo mas recomendado em análse gráfca de dagnóstco, pos estes resíduos são os que mas se aproxmam da dstrbução de probabldade Normal na verfcação da adequação ao papel de probabldade e aleatoredade dos resíduos. Para cada d observação () da varável dependente y, pode-se defnr o desvo r = D ( y ; ˆ µ ), de tal modo que em que n ( ; ˆ, ˆ d µφ) ( r ) 2 D y =, (18) = 1 ( ˆ µ ){ ( µ ˆ φ ) ( ˆ µ ˆ φ) } 1/2 d r = snal y 2 l, l,. (19) d sendo que a -ésma observação contrbu com a quantdade ( ) 2 r para o desvo e uma observação com um valor absoluto grande de r d, pode ser vsta como dscrepante (Lee & Nelder, 1998). Um gráfco desses resíduos contra o índce das observações () não deve mostrar nenhuma tendênca e sm uma aleatoredade. Alavanca Generalzada: tem-se mostrado uma ferramenta mportante na análse gráfca de dagnóstco quanto a nfluênca das observações em modelos de regressão, ou seja, avala a mportânca ndvdual de cada observação no própro valor ajustado. A medda de alavancagem proposta por We et al. (1998), generalza a defnção de pontos de alavanca usados em modelos de regressão lnear múltpla para outros modelos lneares pertencentes a classe dos MLG, sendo desenvolvda a partr dos elementos h j da matrz H que é conhecda como matrz de projeção ou matrz chapéu (H = X(X X) 1 X ). Supondo que todos os pontos exerçam a mesma nfluênca sobre os valores ajustados, pode-se esperar que os Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de

10 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras elementos h da dagonal da matrz H sejam defndos por w / n, onde w é o somatóro dos elementos h defndo pelos coefcentes dos modelos e n é o número de observações. A alavanca generalzada proposta por We et al. (1998) sugere que sejam examnados aqueles pontos tas que, h 3w/n, (20) defndos como grandes pontos de alavanca. Ou seja, o valor de h assocado a -ésma observação y é três vezes maor que a méda de todos os h da dagonal da matrz H. Dstânca de Cook: é uma ferramenta gráfca bastante utlzada para detectar a nfluênca de cada observação nas estmatvas dos coefcentes do modelo de regressão. Esta medda dentfca a nfluênca da retrada da -ésma observação sobre as estmatvas dos coefcentes do modelo, sendo defndo por T ( ˆ ˆ T β() ) ( ˆ ˆ β X X β() β) D =, (21) 2 w ˆ σ onde D representa uma soma ponderada dos desvos entre as estmatvas baseadas nos coefcentes ˆβ e ˆ 2 β (), w é o posto da matrz dagonal das varáves ndependentes, ˆ σ é a varânca estmada. Assm, essa quantdade obtda pela soma mede a dstânca quadrátca entre ˆβ e ˆ β (). Segundo Cook & Wesberg (1982), as observações serão consderadas nfluentes quando D F (k, n k) (α). Sabe-se que F (k, n k) (α) é o valor crítco da dstrbução F de Snedecor (n, k) ao nível α % de sgnfcânca. Geralmente, observações que apresentam D > 0,05, são consderadas nfluentes e devem ser nvestgadas. Envelope smulado meo-normal: é uma ferramenta gráfca de dagnóstco muto útl em modelos lneares e não-lneares. A proposta desta medda é acrescentar ao gráfco de probabldade normal usual um envelope smulado que pode ser usado para decdr se as observações são consstentes com o modelo ajustado. Este gráfco é construído a partr da smulação de k valores (estatístcas de ordem) para cada valor prevsto pelo modelo ajustado e gerado médas, valores mínmos e máxmos de cada valor prevsto. Esses valores mínmos e máxmos das k estatístcas de ordem produzem o envelope. Desta forma, o gráfco apresentará um ntervalo para cada valor prevsto ordenadamente contra os escores meo-normas Φ 1 {( + n 1/8) / (2n + ½)}, (22) onde Φ( ) é a função de densdade acumulada da dstrbução normal padrão e n é o número de observações. Segundo Atknson & Ran (2000), caso ocorram tendêncas não aleatóras dos resíduos absolutos dentro do envelope smulado há ndícos de escolha ncorreta da dstrbução de probabldade para a varável dependente ou da função de lgação. 4. Estudo Aplcado Esta seção apresenta um estudo para lustrar a teora descrta nas seções anterores. A aplcação trata-se de uma pesqusa realzada numa empresa curtdora de couro, produtora de couro acabado e fornecedora para as ndústras de calçados e artefatos em couro. 62 Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de 2010

11 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras A etapa wet blue do processo produtvo avalado consste em: o classfcador recebe um lote de dferentes tamanhos contendo as matéras-prmas e verfca se as característcas de qualdade satsfazem às especfcações, por métodos cogntvos. As matéras-prmas que não satsfazem às especfcações são classfcadas como produtos não-conformes, e a fração de produtos não-conformes às especfcações, por lote, é consderada a varável dependente. Os fatores controláves defndos como varáves ndependentes relevantes para a modelagem da fração de não-conformes foram: a seleção da matéra-prma em cnco dferentes estágos, conforme qualdade e preço (x 1 ); a procedênca da matéra-prma adqurda pela empresa (x 2 ); o classfcador que nspecona as matéras-prmas (x 3 ) e o estado de rebaxamento da matéra-prma (x 4 ). Os dados coletados contemplaram uma amostra de 754 lotes. Tabela 1 Caracterzação dos níves dos fatores controláves. Número de Fatores Controláves Níves Codfcados Níves Seleção de Couro Procedênca Classfcador Rebaxamento Análse dos Efetos Numa análse prelmnar da amostra coletada de 754 lotes, a fração méda de produtos nãoconformes às especfcações fo de 0,185, desvo-padrão de 0,170 e coefcente de varação de 91%. Nota-se que o hstograma da fração de produtos não-conformes lustra claramente que os dados não seguem a dstrbução Normal (ver Fgura 1). Fgura 1 Dstrbução da fração de não-conformes com dstrbução Normal sobreposta. Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de

12 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras A análse dos efetos das varáves ndependentes sobre a varável dependente fração de produtos não-conformes, mostra que, a varável ndependente seleção apresenta uma tendênca crescente, ou seja, à medda que aumenta o nível da varável seleção aumenta a varável dependente fração de produtos não-conformes às especfcações (Fgura 2(a)). Na Fgura 2(b) os níves da varável procedênca não apresentam dferenças sgnfcatvas (p > 0,05) para a fração de produtos não-conformes às especfcações, segundo o teste estatístco ANOVA. Fração de não-conforme 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, ,4% 21,4% 16,3% 16,2% 2,3% Tpo 1 Tpo 2 Tpo 3 Tpo 4 Tpo 5 Seleção Fração de não-conforme 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, ,7% 24,2% 24,2% 20,6% 16,8% Orgem 1 Orgem 2 Orgem 3 Orgem 4 Orgem 5 Procedênca (a) (b) Fgura 2 Gráfcos da fração de não-conformes em função das varáves seleção (a) e procedênca (b). Observa-se que o avalador 3 da varável classfcador apresentou maor fração de nãoconformes que os outros dos avaladores, sendo esta dferença estatstcamente sgnfcante (p<0,01) e que o nível rebaxado da varável rebaxamento apresenta sgnfcatvamente (p<0,01) menor fração de não-conformes, conforme Fgura 3(a) e (b). 0,3 0,3 Fração de não-conforme 0,25 0,2 0,15 0,1 0, ,6% 14,7% 15,8% Avalador 1 Avalador 2 Avalador 3 Classfcador Fração de não-conforme 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 Não 23,5% Rebaxamento 12,4% Sm (a) Fgura 3 Gráfcos da fração de não-conformes em função das varáves classfcador (a) e rebaxamento (b). (b) 64 Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de 2010

13 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras 4.2 Estrutura dos Modelos Ajustados Esta seção apresenta a estrutura dos modelos de regressão Beta e de Quase-verossmlhança utlzada na modelagem da fração de não-conformes às especfcações na etapa do processo wet blue da empresa curtdora de couro. No processo de modelagem, as varáves ndependentes: seleção (x 1 ), procedênca (x 2 ), classfcador (x 3 ) e rebaxamento (x 4 ) foram substtuídas pelas varáves dummy, para construção dos modelos de regressão. As novas varáves ndependentes foram defndas como: seleção tpo 2 (x 1 ), seleção tpo 3 (x 2 ), seleção tpo 4 (x 3 ), seleção tpo 5 (x 4 ), procedênca 2 (x 5 ), procedênca 3 (x 6 ), procedênca 4 (x 7 ), procedênca 5 (x 8 ), classfcador 2 (x 9 ), classfcador 3 (x 10 ) e rebaxado (x 11 ). No ajuste do modelo pertencente à classe dos MLG, o modelo de Quase-verossmlhança fo consderado ncalmente conforme a equação reescrta a segur, g(µ ) = β 0 + β j x j +ε, com = (1,..., 754) ; j = (1,..., 11) (23) onde g é a função de lgação, β s os coefcentes do modelo e ε o vetor de erro aleatóro. Observa-se que não é assumdo a pror que a varável dependente (fração de não-conformes) possu uma dstrbução de probabldade. Segundo Sant Anna & Caten (2005), para construção dessa classe de modelos outras funções de lgação e de varânca podem ser usadas, com objetvo de verfcar qual melhor se ajusta aos dados em estudo. Nesta modelagem foram escolhdas a função de lgação logto e de varânca do tpo V(µ) =µ(1 µ), pos forneceram o melhor ajuste aos dados, ou seja, produzram a menor quase-devance. Para a segunda modelagem fo ajustado um modelo de regressão Beta, assumu-se que a varável dependente (y) segue uma dstrbução de probabldade Beta com méda (µ) e utlzou-se as varáves ndependentes (x 1, x 2, x 3,..., x 10 e x 11 ) como estrutura lnear dos coefcentes, conforme a equação a segur, g(µ ) = β 0 + β j x j +ε, com = (1,..., 754) ; j = (1,..., 11) (24) onde g representa a função de lgação, β s os coefcentes do modelo e ε o vetor de erro aleatóro. Para o modelo Beta, fo utlzada a função de lgação logto e função de varânca do tpo V(µ) =φ*{pq / [(p+q) 2 + (p+q+1)]} por gerarem melhor ajuste do modelo aos dados. 4.3 Análse do Ajuste dos Modelos Ao se modelar com varáves ndependentes qualtatvas, a estmatva de um dos níves dessa varável é nula para que os estmadores dos demas níves possam assumr valores postvos ou negatvos, conforme a sua nfluênca na varável dependente. Este nível base, que assume o seu estmador nulo, tornar-se um referencal passível de ser comparado com os outros níves (Sant Anna & Caten, 2005). Na modelagem ncal dos dados, os modelos de regressão propostos apresentaram as varáves ndependentes seleção, classfcador e rebaxamento como estatstcamente sgnfcatvas para explcar a varável dependente fração de não-conformes às especfcações, ao nível de sgnfcânca de 5%, baseado no teste estatístco Wald-test. E a varável ndependente procedênca não apresentou sgnfcânca estatístca ao nível de 5% nos dos modelos de regressão ajustados, ver Apêndce. Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de

14 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras A Tabela 2 apresenta as estmatvas dos coefcentes com respectvos erros padrões e crtéros de adequação da qualdade do ajuste dos dos modelos de regressão fnas. Tabela 2 Estmatvas dos coefcentes, erros-padrões e crtéros de adequação dos modelos de regressão fnas. Modelo de Quase-verossmlhança Modelo Beta Parâmetro Estmatva Erro padrão Estmatva Erro padrão Intercepto -3,7692* 0,3844-2,4225* 0,2225 Seleção de Couro Tpo Tpo 2 2,0475* 0,4219 1,5822* 0,2761 Tpo 3 2,2857* 0,3886 1,1202* 0,2270 Tpo 4 2,5226* 0,3878 1,2295* 0,2260 Tpo 5 2,7583* 0,3913 1,4469* 0,2308 Classfcador Avalador Avalador 2 0,2672* 0,1095 0,2883* 0,0900 Avalador 3 0,4483* 0,0877 0,3740* 0,0744 Rebaxamento Não Sm -0,8357* 0,0917-0,6807* 0,0749 Dspersão (φ) 0,15512* 0,5015 0,12337* 0, R p 0,467 0,581 Devance 115,65 (746 gl) 121,48 (746 gl) AIC 213,3 224,96 *Nível de sgnfcânca Wald-test (p < 0,01) gl (graus de lberdade) A forma de regressão para o modelo de Quase-verossmlhança é descrto como g ( ˆ µ ) = -3, ,0475(seleção 2) + 2,2857(seleção 3) + 2,5226(seleção 4) + 2,7583(seleção 5) + 0,2672(avalador 2) + 0,4483(avalador 3) 0,8357(rebaxado). Para o modelo Beta a forma de regressão é apresentado como g ( ˆ µ ) = -2, ,5822(seleção 2) + 1,1202(seleção 3) + 1,2295(seleção 4) + 1,4469(seleção 5) + 0,2883(avalador 2) + 0,3740(avalador 3) 0,6807(rebaxado). 4.4 Análse de Adequabldade dos Modelos Avalando as estmatvas encontradas pelos modelos fnas (ver Tabela 2), observa-se que para o modelo de Quase-verossmlhança a seleção do tpo 2 tem exp[β 1 ] = exp[2,0475] = 7,75 e para o modelo Beta exp[β 1 ] = exp[1,5822] = 4,87 o que sgnfca estmar que, para o modelo de Quase-verossmlhança a seleção tpo 2 apresenta 7,75 vezes mas chances de produzr fração de não-conformes às especfcações que a seleção tpo 1, já para modelo Beta a seleção tpo 2 apresenta 4,87 vezes mas chances de produzr fração de não-conformes às 66 Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de 2010

15 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras especfcações que a seleção tpo 1. Bem como, para o modelo de Quase-verossmlhança, a seleção tpo 5, apresenta 15,77 vezes mas chances (exp[β 4 ] = exp[2,7583] = 15,77) que a seleção tpo 1 e 425 vezes para o modelo Beta (exp[β 4 ] = exp[1,4469] = 4,25). A varável ndependente classfcador, no modelo de Quase-verossmlhança, os avaladores 2 e 3 aumentam as chances de produzr fração de não-conformes em 31% (exp[β 5 ] = exp[0,2672] = 1,31) e 56% (exp[β 6 ] = exp[0,4483] = 1,56) respectvamente, em relação ao avalador 1. Enquanto que, para o modelo Beta, as chances de produzr fração de não-conformes dos avaladores 2 e 3 são de 33% (exp[β 5 ] = exp[0,2883] = 1,33) e 45% (exp[β 6 ] = exp[0,3740] = 1,45) respectvamente, comparando com o avalador 1. Para a varável ndependente rebaxamento, a estmatva do coefcente é negatva (β 7 = -0,8357), ndcando que o fato do estado de textura da matéra-prma estar rebaxado mplca em que as chances de produzr frações de não-conformes às especfcações dmnuem em 43% (exp[β 7 ] = exp[-0,8357] = 0,43) para o modelo de Quase-verossmlhança. Enquanto o modelo Beta estma que as chances dmnuem em 51% (exp[β 7 ] = exp[-0,6807] = 0,51). Analsando a qualdade do ajuste do modelo de Quase-verossmlhança, o coefcente de determnação pseudo R 2 p fo 0,467, a Devance = 115,65 (746 graus de lberdade) que corresponde a um valor de probabldade (p-value) p < 0,01 e um AIC = -213,3 demonstrando que o modelo se ajustou satsfatoramente. Para o modelo Beta, o coefcente de determnação fo de 0,581, a Devance = 121,48 (746 graus de lberdade) e um AIC = -224,96 demonstrando que o modelo fo bem ajustado. Nota-se que as meddas de qualdade de ajuste para os modelos ajustados estão relatvamente próxmas, porém os crtéros para o modelo Beta ndcam que este é o melhor modelo (ver Tabela 2). As Fgura 4(a) e (b) apresentam uma aleatoredade dos resíduos Devance, ou seja, os pontos não apresentam nenhuma tendênca ndcando que a função de lgação utlzada é adequada. Embora estas revelem que há dos pontos com maor valor resdual, correspondendo às observações 685 e 702. Em relação à dstânca de Cook s, nota-se que as mesmas observações se apresentam altamente nfluentes (D > 0,05) (Fgura 5(a) e (b)). (a) Fgura 4 Gráfcos de resíduos Devance para os dados com o ajuste dos Modelos de Quase-verossmlhança (a) e Modelo Beta (b). (b) Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de

16 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras (a) (b) Fgura 5 Gráfcos de dstânca de Cook para os dados com o ajuste dos Modelos de Quase-verossmlhança (a) e Modelo Beta (b). Observa-se nas Fgura 6(a) e (b), que os Modelos de Quase-verossmlhança e Beta apresentaram smlardade na verfcação dos pontos de alavanca no conjunto de dados. Os pontos de alavanca em destaque nas fguras referem-se às observações 685 e 702. Contudo, após um estudo realzado com as observações 685 e 702 se verfcou que, embora estas aparecerem como pontos dscrepantes nos gráfcos de dagnóstco nos dos modelos ajustados, as mesmas não foram retradas da modelagem, por não se consttuírem observações dscrepantes (outlers), não modfcando as estmatvas dos coefcentes dos modelos. (a) (b) Fgura 6 Gráfcos de alavanca generalzada para os dados com o ajuste dos Modelos de Quase-verossmlhança (a) e Modelo Beta (b). Conforme Fgura 7(a), o gráfco de envelope smulado meo-normal apresenta alguns resíduos fora do envelope, evdencando a necessdade de um ajuste mas adequado. Uma opção para se buscar um melhor ajuste é nvestgar a possbldade de haver outros fatores (varáves ndependentes) que estejam nfluencando na etapa wet blue do processo de produção da empresa, gerando a fração de não-conformes às especfcações. 68 Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de 2010

17 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras No envelope smulado meo-normal gerado pelo modelo Beta a maora dos resíduos aderu aos lmtes do envelope, embora haja alguns resíduos sobrepostos nos lmtes do envelope, e dos em destaque. Porém pode-se consderar que o modelo Beta se adequou perfetamente aos dados (ver Fgura 7(b)). (a) (b) Fgura 7 Gráfcos de envelope smulado para os dados com o ajuste dos Modelos de Quase-verossmlhança (a) e Modelo Beta (b). 5. Consderações Fnas A mportânca de conhecer e utlzar modelos de regressão vêm da necessdade de nvestgar o efeto das varáves ndependentes, chamadas de fatores controláves, sobre a varável dependente, chamada de característca de qualdade. O foco deste estudo fo a modelagem da fração ou proporção de produtos não-conformes às especfcações de um processo ndustral em que a característca de qualdade é mensurada no ntervalo [0,1]. Observou-se que a aplcação de modelos de regressão mas corretos para o tpo de dados no processo de modelagem, como modelo de Quase-verossmlhança e modelo Beta, aumenta a precsão das estmatvas e fornece uma análse de nvestgação mas consstente. Ademas, estes modelos consderam a relação não-lnear entre as varáves ndependentes e dependente e a varânca dos erros dependente da méda. Estas característcas são nerentes a dados mensurados em fração ou proporção. Os modelos de Quase-verossmlhança e Beta apresentam vantagem na modelagem dos dados mensurados em fração ou proporção, por permtr flexbldade de escolha da função de lgação e de varânca que melhor se ajuste ao conjunto de dados. Com base na análse das meddas de dagnóstco os modelos de regressão propostos na modelagem da fração de produtos não-conformes às especfcações apresentaram bom desempenho no ajuste e precsão das estmatvas dos efetos dos fatores controláves. Espera-se que as comparações realzadas neste artgo forneçam alguma orentação na nvestgação e análse de dados em trabalhos futuros, pos a natureza dos dados deve ser levada em consderação. Com base nas análses realzadas recomenda-se o uso dos modelos de regressão Beta e de Quase-verossmlhança a processos ndustras que mensurem a produção de produtos não-conformes às especfcações de manufatura. Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de

18 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras Agradecmentos Os autores agradecem aos revsores anônmos pelos valosos comentáros e sugestões, aprmorando a qualdade deste trabalho. Referêncas Bblográfcas (1) Atknson, A.C. & Ran, M. (2000). Robust Dagnostc Regresson Analyss. Sprnger- Verlag, New York. (2) Cook, R.D. & Wesberg, S. (1982). Resduals and Influence n Regresson. Chapman & Hall, New York. (3) Cordero, G.M. (1986). Modelos Lneares Generalzados. VII SINAPE, Campnas-SP. (4) Cot, J; Manch, A. & Aramón, C. (1992). Procedmentos e Instalação para o Tratamento Integral de subprodutos da Indústra Curtdora. Revsta do Couro, ABQTIC, 19. (5) Cox, C. (1996). Nonlnear quas-lkehood models: applcatons to contnuous proportons. Computatonal Statstcal & Data Analyss, 21, (6) Dobson, A.J. (2002). An Introducton to Generalzed Lnear Models. 3ª ed., Chapman & Hall, London. (7) Ferrar, S.L.P & Crbar-Neto, F. (2004). Beta regresson for modelng rates and proportons. Journal of Appled Statstcs, 31, (8) Hamada, M. & Nelder, J.A. (1997). Generalzed lnear models for qualty-mprovement experments. Journal of Qualty Technology, 29, (9) Keschnck, R. & McCullough, B.D. (2003). Regresson analyss of varates observed on (0,1): percentages, proportons and fractons. Statstcal Modellng, 3, (10) Lee, Y. & Nelder, J.A. (1998). Generalzed lnear models for the analyss of qualty mprovement experments. The Canadan Journal of Statstcs, 26, (11) McCullagh, P. & Nelder, J.A. (1989). Generalzed Lnear Models. 2ª ed., Chapman & Hall, London. (12) Montgomery, D.C. (2001). Introducton Statstcal Qualty Control. 4ª ed., John Wley & Sons, New York. (13) Montgomery, D.C.; Peck, E.A. & Vnng, G.G. (2006). Introducton to Lnear Regresson Analyss. 4ª ed., John Wley & Sons, New York. (14) Myers, R.H.; Montgomery, D.C. & Vnng, G.H. (2002). Generalzed Lnear Models wth applcatons n Engneerng and the Scences. John Wley & Sons, New York. (15) Nelder, J.A. & Wedderburn, R.W.M. (1972). Generalzed Lnear Models. Journal of the Royal Statstcal Socety A, 135, (16) Prentce, R.L. (1986). Bnary Regresson usng an extended Beta-Bnomal dstrbuton, wth dscusson of correlaton nduced by covarate measurement errors. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, 81, (17) Rao, C.R. & Wu, Y. (2005). Lnear model selecton by cross-valdaton. Journal Statstcal Plannng and Inference, 128, Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de 2010

19 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras (18) Sant Anna, A.M.O. & Caten, C.S. (2005). Modelagem da proporção de defetuosos usando Modelo de Quase-verossmlhança. XXV ENEGEP, Porto Alegre-RS. (19) Sant Anna, A.M.O. (2006). Método de orentação à modelagem de dados mensurados em proporção. Tese de M. Sc. PPGEP UFRGS, Ro Grande do Sul, RS, Brasl. (20) Wedderburn, R.W.M. (1974). Quas-lkelhood functons, generalzed lnear models and the Gauss-Newton method. Bometrka, 61, (21) We, B-C.; Hu, Y-Q. & Fung, W-K. (1998). Generalzed leverage and ts applcatons. Scandnavan Journal of Statstcal, 25, Apêndce A Tabela 3 apresenta um recorte da matrz de dados expermentas utlzados na construção dos modelos de regressão propostos, uma vez que totalza 754 observações, se tornando nvável publcar. Os autores podem ceder gentlmente a matrz completa dos dados expermentas. BERTIN LTDA. Tabela 3 Matrz resumo de dados expermentas utlzados na modelagem. Undade EV (RS) RESULTADO DA CLASSIFICAÇÃO DE COUROS WET BLUE Período: 02 à Itens Seleção Procedênca Classfcador Rebaxamento Volume Conforme Não Conforme ,24 0, ,78 0, ,79 0, ,65 0, ,65 0, ,71 0, ,65 0, ,53 0, ,92 0, ,98 0, ,36 0, ,91 0, ,95 0, ,88 0, ,81 0, Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de

20 Sant Anna & Caten Modelagem da fração de não-conformes em processos ndustras A Tabela 4, com as estmatvas dos coefcentes, respectvos erros padrões e crtéros de adequação da qualdade do ajuste dos modelos de regressão ncas. Tabela 4 Estmatvas dos coefcentes, erros-padrões e crtéros de adequação dos modelos de regressão propostos. Modelo de Quase-verossmlhança Modelo Beta Parâmetro Estmatva Erro padrão Estmatva Erro padrão Intercepto -3,7702* 0,3862-3,3144* 0,2217 Seleção de Couro Tpo Tpo 2 2,0507* 0,4233 1,6806* 0,2761 Tpo 3 2,2832* 0,3899 1,9123* 0,2267 Tpo 4 2,5236* 0,3892 2,1206* 0,2256 Tpo 5 2,7547* 0,3928 2,6724* 0,2304 Procedênca Orgem Orgem 2 0,0246 0,1360 0,0134 0,1146 Orgem 3 0,0562 0,1069 0,0117 0,0889 Orgem 4 0,0312 0,1598 0,0716 0,1352 Orgem 5 0,1363 0,2185 0,1881 0,1886 Classfcador Avalador Avalador 2 0,2693* 0,1100 0,1813* 0,0899 Avalador 3 0,4511* 0,0892 0,3953* 0,0734 Rebaxamento Não Sm -0,8317* 0,0961-0,8183* 0,0749 Dspersão (φ) 0,15271* 0,4989 0,12483* 0, R p 0,361 0,429 Devance 113,10 (742 gl) 120,98 (742 gl) AIC 207,5 218,66 *Nível de sgnfcânca teste Wald-test (p < 0,01) gl (graus de lberdade) 72 Pesqusa Operaconal, v.30, n.1, p.53-72, Janero a Abrl de 2010