RODRIGO LUIZ PEREIRA LARA DESEMPENHO DO GRÁFICO DE CONTROLE CUSUM TABULAR PARA O MONITORAMENTO DA MÉDIA

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1 RODRIGO LUIZ PEREIRA LARA DESEMPENO DO GRÁFICO DE CONTROLE CUSUM TABULAR PARA O MONITORAMENTO DA MÉDIA Dssertação apresentada à Unversdade Federal de Vçosa, como parte das exgêncas do Programa de Pós Graduação em Estatístca Aplcada e Bometra, para obtenção do título de Magster Scentae. VIÇOSA MINAS GERAIS BRASIL 22

2 Fcha catalográfca preparada pela Seção de Catalogação e Classfcação da Bbloteca Central da UFV T Lara, Rodrgo Luz Perera, 984- L38d Desempenho do gráfco de controle CUSUM tabular para o 22 montoramento da méda / Rodrgo Luz Perera Lara. Vçosa, MG, 22. x, 85f. : l. (algumas col.) ; 29cm. Inclu anexos. Orentador: José Ivo Rbero Júnor. Dssertação (mestrado) - Unversdade Federal de Vçosa. Referêncas bblográfcas: f Controle de qualdade. 2. Probabldades. 3. Smulação (Computadores). I. Unversdade Federal de Vçosa. II. Título. CDD 22. ed

3 RODRIGO LUIZ PEREIRA LARA DESEMPENO DO GRÁFICO DE CONTROLE CUSUM TABULAR PARA O MONITORAMENTO DA MÉDIA Dssertação apresentada à Unversdade Federal de Vçosa, como parte das exgêncas do Programa de Pós Graduação em Estatístca Aplcada e Bometra, para obtenção do título de Magster Scentae. APROVADA: 6 de feverero de 22. Moysés Nascmento Adrana Ferrera de Fara José Ivo Rbero Júnor (Orentador)

4 Aos meus pas Mara Aparecda Perera Lara e Luz Alcdes Mesquta Lara e à mnha rmã Cnara Aparecda Lara Capucho

5 AGRADECIMENTOS A Deus, por me conduzr no camnho da vda. Aos meus pas pela educação e amor ncondconal, a quem sempre estare em dívda; e à mnha rmã Cnara que sempre esteve próxma a mm e partlhou de grandes momentos da mnha vda. À Unversdade Federal de Vçosa que me acolheu como estudante. Ao meu professor orentador e amgo José Ivo Rbero Júnor, pelo apoo, dsponbldade e ajuda prestada no desenvolvmento deste trabalho. A todos os demas professores do Departamento de Estatístca da Unversdade Federal de Vçosa. Aos companheros de mestrado, tanto da mnha turma como turmas adjacentes, cuja convvênca e espírto de equpe se mostraram fundamentas ao longo da jornada. Agradeço a todos, prncpalmente Yury Vasconcellos, Glson Slvéro, Marcon Mranda e Rafael Rocha. Aos funconáros do DET, Anta Pava e Joel Texera, pela constante prontdão em nos auxlar nas dversas atvdades burocrátcas do PPESTBIO/UFV. Ao Otávo Brustoln pela oportundade, amzade, conselhos e ncentvo. A todos os companheros de repúblca, prncpalmente Denns La, Igor de Almeda, Luan Aníco e Thales eck. A todos os amgos da graduação, que camnharam comgo em dversos períodos da mnha vda, que me forneceram ajuda e companhersmo nas mas varadas stuações. Aos demas amgos, dentre eles Fabríco Zmmerer e Cao de Araújo. Ao professor Sérgo Brommonschenkel, à CNPq e aos membros do Laboratóro de Genômca pela oportundade, apoo fnancero e experêncas. Aos professores membros da banca Moysés Nascmento e Adrana Fara pelas crítcas e sugestões.

6 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS... v LISTA DE TABELAS... v LISTA DE SIGLAS E SÍMBOLOS... x RESUMO... x ABSTRACT... x. INTRODUÇÃO OBJETIVOS Objetvo Geral Objetvos Específcos REFERENCIAL TEÓRICO Planejamentos Vsando Melhora da Qualdade Gráfcos de Controle Gráfcos de Controle da Soma Acumulada Resposta Incal Rápda Desempenho do Gráfco de Controle CUSUM Tabular MATERIAL E MÉTODOS Smulação dos Dados Alarme Falso Alarme Verdadero Análse de Regressão RESULTADOS E DISCUSSÃO Alarme Falso Probabldade Estmada Probabldade Teórca Recomendações v

7 5.2 Alarme Verdadero Probabldade Estmada Probabldade Teórca Recomendações Recomendação Conjunta CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 6 ANEXO A Probabldade observadas do alarme falso (α) em cada subgrupo raconal para cada valor de h* entre e e k* =,25,,5,, e,5 e n =, 5 e de acordo com a smulação de dados ANEXO B Probabldade observadas do alarme verdadero (Pd) em cada subgrupo raconal para cada valor de h* entre e, k* =,25,,5,, e,5 e n =, 5 e de acordo com a smulação dos dados ANEXO C Estmatva dos parâmetros das dstrbuções normal e lognormal ajustadas à varável aleatóra Z( ) + S ( ) * dado δ = ANEXO D Estmatva dos parâmetros de dstrbução normal ajustados à Z( ) + S ( ) * dado δ > ANEXO E Probabldades observadas dos alarmes falsos ( α,5) em função do subgrupo raconal para dferentes combnações de k*, h* e n, de acordo com a smulação dos dados ANEXO F Probabldades observadas dos alarmes verdaderos em função do subgrupo raconal para dferentes combnações de k*, h* e n, de acordo com a smulação dos dados...82 v

8 LISTA DE FIGURAS Fgura 3. Cclo DMAIC... 5 Fgura 3.2 Poder (Pd) de um gráfco e rsco β quando o processo está fora de controle estatístco para a méda... 8 Fgura 3.3 Gráfco de controle que montora o estmador W em um processo sob controle estatístco... 9 Fgura 5. Probabldade do alarme falso observado em função do subgrupo raconal para dferentes combnações de k* e h*... 3 Fgura 5.2 P-valores do teste de Kolmogorov-Smrnov referentes aos ajustes da varável aleatóra Z( ) + S ( ) * às dstrbuções de probabldades normal e lognormal 3P... 3 Fgura 5.3 Ajuste de Z( ) + S ( ) * nos subgrupos raconas, 25 e 5 pelas dstrbuções lognormal 3P (k* =,25 e,5) e normal (k* =, e,5).. 33 Fgura 5.4 Estmatva dos parâmetros da dstrbução de probabldade lognormal 3P ajustada aos valores aleatóros de Z( ) + S ( ) * obtdas por k* gual a,25 e,5 em 5 subgrupos raconas Fgura 5.5 Estmatva dos parâmetros da dstrbução de probabldade normal ajustada aos valores aleatóros de Z( ) + S ( ) * obtdas por k* gual a, e,5 em 5 subgrupos raconas Fgura 5.6 Probabldade do alarme falso calculada em função do subgrupo raconal para dferentes combnações entre k* e h* Fgura 5.7 Probabldade do alarme falso ( α,5) observada em função da ordem do subgrupo raconal, para dferentes combnações entre k* e h* e ndependente do n Fgura 5.8 Probabldade do alarme falso ( α,) observada em função da ordem do subgrupo raconal, para dferentes combnações entre k* e h* e ndependente do n Fgura 5.9 Probabldade do alarme verdadero observado em função do subgrupo raconal para dferentes combnações entre k*, h* e n Fgura 5. P-valores do teste de Kolmogorov-Smrnov referentes aos ajustes da varável aleatóra Z( ) + S ( ) * à dstrbução de probabldade normal 44 v

9 Fgura 5. Ajuste de Z( ) + S ( ) * nos subgrupos raconas de ordens, 25 e 5 pela dstrbução normal Fgura 5.2 Estmatva dos parâmetros da dstrbução de probabldade normal para n gual a, 5 e Fgura 5.3 Probabldade teórca e observada do alarme verdadero calculadas em função do subgrupo raconal para k* =,25, e n =, 5 e... 5 Fgura 5.4 Probabldade teórca e observada do alarme verdadero calculadas em função do subgrupo raconal para k* =,5, e n =, 5 e... 5 Fgura 5.5 Probabldade teórca e observada do alarme verdadero calculadas em função do subgrupo raconal para k* =,, e n =, 5 e... 5 Fgura 5.6 Probabldade teórca e observada do alarme verdadero calculadas em função do subgrupo raconal para k* =,5, e n =, 5 e Fgura 5.7 Probabldade observada do alarme verdadero em função do subgrupo raconal para dferentes combnações entre k*, h* e n Fgura 5.8 Quantdade de tens não conformes ( m n ) produzdos em função do tamanho n do subgrupo raconal para um processo vsando Pd, 9 nas dversas combnações de k* e h* que proporconam α, 5 ou α, v

10 LISTA DE TABELAS Tabela 3.. Valores de ARL para os procedmentos CUSUM... 5 Tabela 3.2. Valores de k* e os correspondentes valores de h* que fornecem = 37 ARL para o CUSUM tabular blateral... 5 Tabela 4.. Função densdade de probabldade e função de dstrbução acumulada das dstrbuções Normal e Lognormal de três parâmetros Tabela 5.. Probabldade teórca e observada do alarme falso no prmero subgrupo raconal Tabela 5.2. Valores recomendados para k* e h* para processos com subgrupos raconas vsando α, Tabela 5.3. Valores recomendados para k* e h* para processos com subgrupos raconas vsando α,... 4 Tabela 5.4. Ordem do subgrupo raconal que detecta o descontrole com α,5 e Pd, 9 para dferentes combnações entre k*, h*, e n Tabela 5.5. Ordem do subgrupo raconal que detecta o descontrole com α, e Pd, 9 para dferentes combnações entre k*, h*, e n Tabela 5.6. Valores recomendados para k*, h*, e n vsando Pd, 9 e α, Tabela 5.7. Valores recomendados para k*, h*, e n vsando Pd, 9 e α, v

11 LISTA DE SIGLAS E SÍMBOLOS ARL CUSUM FIR Comprmento médo da sequênca (Average Run Length) Soma Acumulada (Cumulatve Sum) Resposta Incal Rápda (Fast Intal Response) f (x) função dstrbução de probabldade da varável aleatóra X F (x) função de dstrbução acumulada da varável aleatóra X ntervalo de decsão h* ntervalo de decsão padronzado j K hpótese de nuldade hpótese alternatva ordem do subgrupo raconal repetção dentro do subgrupo raconal de ordem valor de referênca, tolerânca ou de folga para a varação δ k* valor padronzado de K LC LIC LSC n Pd Pd Pd 2 R s S S L Lnha Central Lmte Inferor de Controle Lmte Superor de Controle tamanho do subgrupo raconal probabldade do alarme verdadero probabldade do alarme verdadero no subgrupo raconal estmatva da probabldade do alarme verdadero no subgrupo raconal coefcente de determnação smulação CUSUM unlateral superor CUSUM unlateral nferor S * CUSUM unlateral superor padronzada S * CUSUM unlateral nferor padronzada L S () * varável aleatóra da CUSUM unlateral superor padronzada no subgrupo raconal x

12 S L () * varável aleatóra da CUSUM unlateral nferor padronzada no subgrupo raconal s () * valor observado da CUSUM unlateral superor padronzada no subgrupo raconal s () * valor observado da CUSUM unlateral nferor padronzada no y subgrupo raconal valor observado no subgrupo raconal y js y s z s valor observado no subgrupo raconal, repetção j e smulação s méda das observações do subgrupo raconal, smulação s valor padronzado referente a y s α probabldade do alarme falso (erro tpo I) α αˆ β probabldade do alarme falso no subgrupo raconal estmatva da probabldade do alarme falso no subgrupo raconal probabldade da falta de detecção (erro tpo II) δ dferença entre as médas fora e sob controle em número de desvos-padrão µ méda sob controle estatístco σ µ méda fora de controle estatístco sob uma varação de δ desvos- δ padrão desvo-padrão ncal do processo x

13 RESUMO LARA, Rodrgo Luz Perera, M.Sc., Unversdade Federal de Vçosa, feverero de 22, Desempenho do gráfco de controle CUSUM tabular para o montoramento da méda. Orentador: José Ivo Rbero Júnor. Coorentadores: Fabyano Fonseca e Slva e Carlos enrque Osóro Slva. O presente trabalho teve por objetvo estmar as probabldades dos alarmes falsos e verdaderos provocados pelo gráfco de controle CUSUM tabular ao longo dos subgrupos raconas, em função de dferentes combnações entre o tamanho n do subgrupo raconal, o ntervalo de decsão padronzado h* e o valor de tolerânca k*. Para estudá-los foram smulados dados de uma varável aleatóra Y, sob dstrbução normal com méda µ = e desvo-padrão σ = para um processo sob controle estatístco para até 5 subgrupos raconas com até 6 repetções. Para tanto, foram realzadas smulações por subgrupo raconal. Em seguda foram estabelecdos outros quatro processos fora de controle estatístco para a méda em todos os subgrupos raconas ( µ µ + δσ = ), em que δ se refere ao deslocamento da méda em número de desvos-padrão do processo. A probabldade do alarme falso (α ) dmnu com os respectvos aumento, aumento e dmnução de k*, h* e, enquanto a probabldade do alarme verdadero (Pd) possu relação dreta com n e, e nversa com h* para uma mesma dferença mínma pré-defnda entre as médas µ e µ e consderando-se a escolha de k* como sendo a metade desta em número de desvos-padrão. Ambas probabldades dos alarmes falso e verdadero foram obtdas por meo das dstrbuções de probabldade normal e lognormal 3P ajustadas à varável aleatóra Z( ) + S ( ) *. Para conferr um Pd gual ou superor a,9 e α gual ou nferor a,5 ou, recomendou-se dferentes combnações de k*, h*, e n. x

14 ABSTRACT LARA, Rodrgo Luz Perera, M.Sc., Unversdade Federal de Vçosa, February, 22, The performance of tabular CUSUM control chart for montorng the mean. Advsor: José Ivo Rbero Júnor. Co-Advsors: Fabyano Fonseca e Slva and Carlos enrque Osóro Slva. Ths study amed to estmate the probabltes of false and true alarms caused by the Cumulatve Sum control chart over the ratonal subgroups, accordng to varous combnatons of sze n of subgroup ratonal, standardzed decson nterval h* and the tolerance value k*. To study them, were smulated data from a random varable Y, under normal dstrbuton wth mean µ and standard devaton σ = for a process under statstcal control over 5 ratonal subgroups, for n between -6. To ths end, smulatons were performed by ratonal subgroup. Then four out of control processes have been set for the statstcal average at all ratonal subgroup ( µ = µ + δσ ) n whch δ refers to the dsplacement of the average n numbers of standard devatons of the process. The probablty of false alarm α decreases wth the ncrease, ncrease and decrease of k*, h* and respectvely, whle the probablty of true alarm Pd has drect relaton to n and, and nverse relaton to h* for the same pre-defned mnmum dfference between the means µ and µ consderng the choce of k* as beng half of that dfference n number of standard devatons. Both probabltes of true and false alarms were obtaned by the normal and lognormal 3P probablty dstrbutons adjusted to the random varable Z( ) + S ( ) *. In order to gve a power greater than.9 and α equal or less than.5 or. were recommended to dfferent combnatons of k*, h*, and n. = x

15 . INTRODUÇÃO Atualmente, a melhora e o montoramento da qualdade têm se tornado preocupações e necessdades para mutas organzações (MONTGOMERY & RUNGER, 29). Dentro do contexto da qualdade total, o controle estatístco se refere a um conjunto de métodos usados com o objetvo de possbltar a ntervenção raconal num sstema de produção a fm de conferr-lhe qualdade (WERKEMA, 995; MUNIZ e OLIVEIRA, 2). Dentre os métodos que compõem o controle estatístco da qualdade, os gráfcos de controle são smples e efcentes no montoramento da méda e da varabldade de dversas característcas avaladas. Esses gráfcos atuam com base em subgrupos raconas retrados em ntervalos de tempos regulares, estratfcados ou não por fatores conhecdos. De acordo com Montgomery (24), os gráfcos de controle são métodos comprovados para a melhora da produtvdade, são efetvos na prevenção de defetos, prevnem ajustes desnecessáros no processo, fornecem nformações confáves para o dagnóstco do desempenho e para a capacdade de processos. Como exstem dferentes tpos de gráfcos de controle com o mesmo objetvo, é mportante conhecer o desempenho e a rapdez com que cada um deles detecta alterações reas no processo. A análse da relação entre os custos de amostragem e as nterferêncas no processo devem nortear a escolha do tamanho dos subgrupos raconas, do ntervalo de tempo entre eles, do tpo e dos valores dos termos utlzados nas construções dos gráfcos de controle, como também no posconamento dos lmtes de controle (COSTA et al., 24). Avalando cudadosamente a escolha dos valores desses termos no momento da construção de um gráfco de controle, outros fatores também estarão sendo consderados, como a mnmzação do número de alarmes falsos e a maxmzação da detecção de causas especas no processo. Reconhecdo por Van Rj et al. (995, apud COLQUOUN, 28, p. 296) como nstrumento de pesqusa de ampla análse, o gráfco de controle das somas acumuladas (CUSUM, Cumulatve Sum) possu a vantagem de poder ser relatvamente sensível a pequenas mudanças no processo. Incalmente proposto por Page (954), o gráfco ncorpora as nformações de uma sequênca de

16 observações amostras plotando as somas acumuladas dos seus desvos em relação a um valor-alvo. Os termos requerdos para a sua construção são: número de subgrupos raconas (), número de repetções por subgrupo raconal (n), valor de referênca (k*) e ntervalo de decsão (h*) padronzados. Város trabalhos como os de Page (954), Brook e Evans (972), Lucas (973, 976), Lucas e Croser (982a, 982b), awkns (987, 993a), Kng (995), Montgomery (24), Alves e Samohyl (24) e Souza et al. (28), já apresentaram o desempenho do gráfco de controle CUSUM em relação às probabldades dos alarmes falsos e verdaderos. Alguns forneceram recomendações sobre as utlzações e mplcações das dferentes combnações entre os valores de n, k* e h*. No entanto, anda não exstem nformações para a escolha da quantdade de subgrupos raconas e das dstrbuções assocadas aos cálculos dessas probabldades. Desse modo, o presente trabalho contrbu para dmnur as dvergêncas sobre as recomendações que anda exstem e para dsponblzar aos usuáros a utlzação de forma correta de um gráfco de controle que possblte detectar pequenas e grandes dferenças em relação à méda de controle. 2

17 2. OBJETIVOS 2.. Objetvo Geral O presente trabalho tem por objetvo, estmar, por meo da smulação de dados, as probabldades dos alarmes falsos e verdaderos provocados pelo gráfco de controle CUSUM tabular ao longo dos subgrupos raconas, em função de dferentes combnações entre os valores de n, k* e h* Objetvos Específcos De forma específca, o presente trabalho tem os seguntes objetvos: Determnar as dstrbuções de probabldade com os seus respectvos parâmetros para os cálculos das probabldades dos alarmes falsos e verdaderos, em função das dferentes combnações entre os valores de, n, k* e h*. Determnar o número médo de subgrupos raconas necessáros para snalzar o prmero alarme falso ou verdadero. Estabelecer recomendações para os valores de, n, k* e h* para a realzação do montoramento pelo gráfco de controle CUSUM tabular vsando detectar dferentes deslocamentos da méda de controle. 3

18 3. REFERENCIAL TEÓRICO 3. Planejamentos Vsando Melhora da Qualdade Para que as empresas sejam capazes de promover as mudanças necessáras, em um tempo adequado, é precso que tenham um sstema de gestão que as ajudem a enfrentar os desafos que rão encontrar. O programa ses sgma começou a ser dfunddo com base na dvulgação dos resultados obtdos pela Motorola, General Eletrc, AlledSgnal e outras empresas de porte (AGUIAR, 22). A sua aplcação requer o uso ntensvo de métodos estatístcos com o objetvo de dmnur a varabldade dos processos e, consequentemente, de obter produtos ou servços com o mínmo de defetos, baxo custo e máxma satsfação do clente. Ele vem a contrastar com a forma tradconal de assegurar a qualdade, de nspeconar ao fnal da produção e de corrgr os defetos após ocorrdos. Um processo ses sgma é aquele capaz de produzr com, no máxmo, 3,4 defetos por mlhão, o que equvale a uma probabldade acma de,9999 do produto ter qualdade. Este nível de qualdade confere, aproxmadamente, zero defetos e pode ser aplcado a processos ndustras de manufatura, transaconas e comercas de qualquer tpo, de servços, fnanceros, logístcos e outros. No Brasl o índce de rejeção encontra-se em torno de ppm, enquanto a méda mundal é de 2 ppm. O Japão por sua vez já atngu o índce de ppm (Pande et al. 2, apud Schleper, 27). O cclo PDCA é uma metodologa que auxla as empresas a defrontarem os desafos que rão encontrar (WERKEMA, 995; AGUIAR, 22). Pode ser utlzado para a manutenção, melhora, planejamento ou novação da qualdade. O cclo PDCA é consttuído de quatro etapas: planejamento (plan), execução (do), verfcação (check) e ação (acton). De acordo com o tpo do gerencamento a ser realzado, o gro do PDCA assume característcas dferentes. No cclo PDCA para a manutenção da qualdade, o S (standard) substtu o P (plan) porque a meta e os métodos utlzados para atng-la são, justamente, a meta padrão e os procedmentos operaconas padrões 4

19 da empresa. Durante as etapas do cclo PDCA ou SDCA, os gráfcos de controle são adotados de forma ntegrada. Já o DMAIC é uma metodologa de solução de problemas utlzada pela maora das companhas amercanas que empregam o programa ses sgma com o objetvo de realzar as melhoras nos produtos, servços e processos e para projetálos e/ou reprojetá-los (AGUIAR, 22). As cnco etapas do DMAIC (Fgura 3.) podem ser descrtas como: defnr (defne), medr (measure), analsar (analyse), melhorar (mprove) e controlar (control). A etapa de controle, últma fase do cclo, é o foco do presente trabalho, no qual vsa o permanente montoramento do processo. Desse modo, buscou-se aprmorar os parâmetros que defnem quando um processo está ou não sob controle. Jalal et al. (28) ressalvam anda que os fatores mas mportantes dessa fase são a documentação, montoramento vsando melhora, preservação dos resultados obtdos na fase mprove, além de um bom preparo da equpe técnca. Fgura 3. Cclo DMAIC. Fonte: CARVALO (2). Outro elemento muto mportante para o êxto do programa ses sgma é o trenamento e a capactação dos colaboradores. O papel dos agentes de mudança ses sgma é fundamental para o sucesso do programa, em qualquer que seja a organzação, automatzada ou anda dependente de mão-de-obra humana dreta. É precso trenar pessoas que tenham o perfl aproprado, para que assumam, de 5

20 acordo com o desejado, os papés de patrocnadores ou de especalstas dos métodos gerencas e estatístcos. 3.2 Gráfcos de Controle Desde o níco da Revolução Industral, o estatístco Walter A. Shewhart preocupou-se em estudar a varabldade dos processos. Segundo ele, em qualquer processo de produção, ndependente de quão bem projetado ou cudadosamente mantdo ele seja, uma certa quantdade de varabldade nerente ou natural, provocada por causas comuns ou aleatóras, sempre exstrá. Neste caso, dz-se que o processo estará sob controle estatístco, apresentando comportamento estável ou prevsível. De forma prátca, o processo será consderado homogêneo em relação a todos os subgrupos raconas coletados durante o proceso. (WERKEMA, 995). No entanto, outras causas de varação, chamadas de especas, poderão surgr esporadcamente ou permanentemente, devdo a stuações partculares que fazem com que o processo se comporte de um modo completamente dferente do usual, o que poderá resultar em um deslocamento do seu nível de qualdade. Quando um processo está operando sob a atuação de causas especas de varação, dz-se que ele está fora de controle estatístco. De forma prátca, o processo será consderado heterogêneo ou se comportará de manera dferencada em relação aos dversos estratos (WERKEMA, 995). De acordo com Gallus et al. (986, apud WILLIAMS et al., 992), o prncpal objetvo do uso do controle de qualdade consste em montoramento. Város métodos têm sdo desenvolvdos a fm de detectar mudanças em stuações raras, como por exemplo, um produto fnal mal acabado ou a detecção de um ndíco de epdema. Com essas nvestgações, é possível que ações corretvas possam ser empreenddas antes que mutas undades não conformes sejam fabrcadas. Com esse objetvo, o gráfco de controle permte a dstnção entre os dos tpos de causas de varação, ou seja, de verfcar se o processo está ou não sob controle estatístco. Desse modo, o prncpal objetvo dos gráfcos de controle é de avalar a varabldade do processo, para que se possa mantê-la ou dmnuí-la mesmo quando é analsado o montoramento da méda de uma determnada característca de 6

21 qualdade, pos deslocamentos da méda de controle também aumentam a varabldade do processo. Para o montoramento da méda de processos sob controle estatístco para a varabldade, ou seja, quando todos os subgrupos raconas apresentarem o mesmo desvo-padrão de controle ( σ ), as hpóteses de nuldade ( ) e alternatva ( ) estabelecdas para cada subgrupo raconal são dadas, respectvamente, por: : µ = µ ; Y : µ µ. Y (3.) A especfcação dos lmtes de controle é uma das decsões crítcas que tem de ser feta no planejamento de um gráfco de controle. Pelo deslocamento dos lmtes de controle para mas longe da lnha central, dmnu-se a probabldade do alarme falso (α), ou seja, a probabldade de um ponto car além dos lmtes de controle, ndcando a condção de falta de controle quando nenhuma causa atrbuída estver presente ( P ( R / é verdadero)). No entanto, o alargamento dos lmtes de controle aumentará também a probabldade da falta de detecção (β), sto é, a probabldade de um ponto car entre os lmtes de controle, quando o processo estver realmente fora de controle ( P ( A / é falso)). Se os lmtes de controle forem movdos para mas perto da lnha central, o efeto oposto será obtdo: o α será aumentado, enquanto o β será dmnuído (MONTGOMERY & RUNGER, 29). A consequênca de ordem prátca assocada ao alarme falso é ntervr no processo na hora errada, quando ele está sento de causas especas, o que em s já acarreta um custo de nterrupção do processo, de mão-de-obra, além de um rsco de desajustar o processo que estava ajustado. E a consequênca de ordem prátca assocada à falta de detecção é não ntervr no processo na hora certa, quando ele está sob a nfluênca de causas especas (COSTA; EPPRECT; CARPINETTI, 24). Já o poder (Pd) é a probabldade do gráfco de controle rejetar a hpótese de nuldade ( ) quando esta é falsa ( P ( R / é falso)), sto é, a probabldade do alarme verdadero. É mportante observar que o β e o Pd de um gráfco de controle se complementam, ou seja, 7

22 P ( A / é falso ) P( R / + é falso ) = (3.2) onde o prmero e segundo termos da equação acma correspondem, ao β e ao Pd respectvamente. Como ambas as probabldades estão assocadas à dstrbução de (Fgura 3.2), então torna-se necessáro defnr a sua méda ( µ ) e o seu desvopadrão ( σ ), para que elas possam ser calculadas. Fgura 3.2 Poder (Pd) de um gráfco e rsco β quando o processo está fora de controle estatístco para a méda (RA = regão de acetação de ; RR = regão de rejeção de ). A dferença entre as médas fora ( µ ) e sob controle ( µ ) é dada pela segunte equação: em que: µ = (3.3) µ δσ δ µ µ = (3.4) σ O poder do gráfco de controle e a probabldade do alarme falso são nversamente proporconas ao número médo de subgrupos raconas (NMSR) necessáros para a obtenção do snal, que pode ser falso ou verdadero. No prmero 8

23 caso, é desejável ter um NMSR baxo e, no segundo, um NMSR alto. O NMSR é a medda de desempenho mas usual dos gráfcos de controle e representa o número médo de pontos que tem de ser plotado antes de um ponto ndcar uma condção fora de controle. Os gráfcos de controle consttuem-se de gráfcos temporas, onde os estmadores estudados de uma característca de qualdade são plotados no exo vertcal, sendo o exo horzontal composto pela evolução temporal. Esses gráfcos possuem uma lnha central (LC) que representa a méda da varável quando o processo está sob controle (lvre de causas especas) e duas outras lnhas que representam os lmtes de controle do processo (Fgura 3.3). O processo é dto fora de controle quando algum ponto do gráfco sar acma do lmte superor de controle (LSC) ou abaxo do lmte nferor de controle (LIC), ou anda quando os pontos apresentarem algum comportamento sstemátco ou não aleatóro. Fgura 3.3 Gráfco de controle que montora o estmador W em um processo sob controle estatístco. A determnação da lnha central e dos lmtes de controle seguem um modelo geral, onde W é o estmador que representa a característca de qualdade de nteresse, µ W é a méda de W e σ W é o desvo-padrão de W. O lmte superor de 9

24 controle (LSC), a lnha central (LC) e o lmte nferor de controle (LIC) são dados por (MONTGOMERY & RUNGER, 29): LSC = µ + kσ (3.5) W W LC = µ W (3.6) LIC = µ kσ (3.7) W W O valor de k se refere ao fator de alargamento do lmte de controle, em número de desvos-padrão de controle ( σ ) e, usualmente, é estabelecdo o valor gual a 3. No entanto, outros valores de k que sejam de nteresse também podem ser utlzados. Para valores de k guas a 3, 2 e consdera-se que 99,73%, 95,45% e 68,27%, respectvamente, das estmatvas estarão dentro do ntervalo compreenddo pelos LIC e LSC, sob causas aleatóras de varação e com base na dstrbução normal. Além da normaldade, será necessáro que as observações da característca de qualdade de nteresse sejam ndependentes para a correta aplcação dos gráfcos de controle. Para a LC ( µ ), é nteressante concd-la com a méda de controle ( µ ). Já o desvo-padrão do estmador ( σ W ) depende do desvo-padrão dos valores da característca de qualdade (σ ). Quando da cração dos gráfcos de controle, a regra de decsão proposta por Shewhart era bastante smples: um ponto amostral dentro dos lmtes de controle de 3σ sgnfca que não se deve ntervr no processo e, um ponto fora desses lmtes, sgnfca que deve-se ntervr no processo em busca de causas especas. No entanto, após a cração do gráfco de controle, surgram novas regras de decsão (regras suplementares), todas com o propósto de acelerar a detecção de alterações no processo (COSTA; EPPRECT; CARPINETTI, 24). Uma regra suplementar sera a perodcdade ou a tendênca de quatro pontos consecutvos alternando-se para cma e para baxo ou de ses pontos consecutvos aumentando ou decrescendo. Uma sequênca ou deslocamento apresenta uma confguração em que nove pontos consecutvos do gráfco de controle aparecem em apenas um dos lados da LC, que ndca uma mudança no nível de deslocamento do processo. Uma outra regra suplementar acusa o processo como fora de controle no sstema 3σ, quando há a ocorrênca de dos de três pontos W

25 consecutvos entre os lmtes µ + 2σ e µ + 3σ ou entre µ 2σ e µ 3σ e na ocorrênca de quatro de cnco pontos consecutvos entre os lmtes µ + σ e µ + 2σ ou entre µ σ e µ 2σ, apesar desses pontos anda estarem dentro dos lmtes de controle µ ± 3σ. Também pode-se consderar o processo como fora de controle na ocorrênca de cnco pontos consecutvos até os lmtes µ ± σ, o que confere uma varabldade menor do que a esperada. Note que este últmo caso pode sgnfcar excesso de ênfase em tarefas desnecessáras caso os lmtes de controle estejam bem estmados. E, consequentemente, acarreta perda de tempo na produção. 3.3 Gráfcos de Controle da Soma Acumulada Incalmente proposto por Page (954) o gráfco de controle CUSUM tabular realza somas de pequenas dferenças que se acumulam quando o processo começa a se desvar para algum valor superor ou nferor a µ. O controle do processo se mantém quando os desvos ocorrem em ambos os lados (acma e abaxo do alvo) e, consequentemente, se anulam. E o descontrole va ocorrer para um dos dos lados gerando uma tendênca. Para a construção do gráfco de controle CUSUM tabular fo utlzada a metodologa descrta por Montgomery (24). Para a detecção de uma mudança acma do alvo, utlza-se a expressão S que realza a soma acumulada de desvos acma da méda. De forma análoga, a expressão S L realza a soma acumulada dos desvos que estão abaxo da méda, de modo a detectar a mudança caso o processo mgre para uma méda abaxo do alvo. As expressões S e S L são chamadas CUSUMs unlateras superor e nferor, respectvamente. Elas são calculadas como seguem: [, y ( + K) + S ( ) ] S ( ) = máx µ (3.8) [,( K) y + S ( ) ] S L ( ) = máx µ L (3.9) onde y é a méda das observações dentro do subgrupo raconal e S ( ) = S L () =. Em partcular, para n = tem-se y = y.

26 Note que S () e S L () acumulam desvos da méda que são maores que K (valor de referênca), com ambas as quantdades reajustadas para zero, caso se tornarem negatvas. Se pelo menos um S () ou S L () exceder a um valor (ntervalo de decsão), então o processo será consderado como fora de controle. Deste modo, para subgrupos raconas de tamanhos constantes, tem-se: LC = e LSC =. LIC =, As CUSUMs unlateras também podem ser calculadas através do procedmento de resposta ncal rápda (FIR) com headstart de 5%, ou seja, aplcando-se S ( ) = S () 2. L = Os valores de e K são defndos, respectvamente, por: K σ = h * σ = h * Y n (3.) σ = k * σ = k * Y n (3.) em que: h* = valor padronzado de ; δ k * = = valor padronzado de K; 2 δ = deslocamento da méda de controle (valor-alvo) em número de desvos-padrão de controle ( σ ). Alternatvamente, pode-se padronzar a varável Y, fazendo-se: z y µ =. (3.2) σ n Desse modo, as CUSUMs tabulares padronzadas são dadas por: [, z k * + S ( ) *] S ( )* = máx (3.3) 2

27 [, k * z + S ( ) *] S L ( )* = máx L (3.4) Deve-se notar que as regras suplementares descrtas por Costa et al. (24) não podem ser seguramente aplcadas ao gráfco CUSUM, porque valores sucessvos de S () e S L () ou mesmo padronzados, não são ndependentes. De fato, as CUSUMs tabulares ou padronzadas são médas ponderadas até o subgrupo raconal, cujos valores, apesar de altamente correlaconados, ocorrem em função de valores aleatóros da característca de qualdade se somente causas aleatóras estverem atuando. Caso contráro, a manfestação de pelo menos uma regra suplementar ocorrerá com maor evdênca. Por fm, de modo a recomendar um bom planejamento de um gráfco de controle, Rbero Júnor e Gonçalves (29) recomendam escolher valores de δ maores que 2,5 no níco do controle do processo, valores entre,5 e 2,5 nas fases ntermedáras e, menores que,5 quando o controle estver numa fase mas avançada, em termos da redução da varabldade do processo. 3.4 Resposta Incal Rápda Um modo alternatvo de utlzação do gráfco de controle CUSUM tabular consste em aplcar o procedmento da resposta ncal rápda (Fast Intal Response FIR) proposto por Lucas & Croser (982a). O FIR consste em atrbur valores não nulos para os valores ncas S ( ) e ( ) utlza-se no FIR S ( ) = S ( ), ou S ( ) * S ( ) L = 2 S da soma acumulada. Em geral, L h * = L * (chamado FIR de 2 = 5%). A aplcabldade do FIR ocorre na maor rapdez em detectar o descontrole quando o processo, desde o seu níco, atua fora da méda especfcada. Desse modo, o procedmento da resposta ncal rápda garante que um número reduzdo de subgrupos raconas não conformes seja sufcente para detectar que o processo esteja fora de controle estatístco. 3

28 3.5 Desempenho do Gráfco de Controle CUSUM Tabular Lucas (976, apud KING, 995) propõe um procedmento para obter K e baseado no Comprmento Médo da Sequênca (ARL Average Run Length) do gráfco de controle CUSUM tabular no qual assume-se que: a méda-alvo µ do processo seja conhecda; a varação crítca do alvo, em undades de desvo, esteja bem defnda; o desvo-padrão σ seja conhecdo ou tenha sdo prevamente estmado. Os passos para a determnação de K e são os seguntes: ) Seja = 2 K ( = µ ) µ melhor desempenho adotando esse valor para K.. Em geral o gráfco de controle CUSUM obtém 2) Calculam-se os valores padronzados k* e δ pelas respectvas equações: = K ( n ) e δ ( n ) k* σ =. σ 3) Verfque o conjunto de ARL obtdo por Lucas (976, apud KING 995). Escolha o valor de h* mas adequado para ARL de tamanhos e δ (Tabela 3.). 4) Calcula-se = h *.( σ n ) 5) Calcula-se o ARL para os valores obtdos de K e. Se os ARLs não forem satsfatóros, repete-se o processo usando um novo h*. Anda quanto à escolha do valor de K, Lucas et al. (982, apud OSANAIYE et al., 989) recomenda que, para o montoramento de uma méda no processo, tal valor deve estar também próxmo de µ µ. ln µ ln µ awkns (993a, apud ALVES 23) obteve os valores de k* e os correspondentes valores de h* que atngrão ARL = 37, ou seja, α =, 27 ( δ = ). No entanto, ele não apresenta recomendações sobre as probabldades dos alarmes verdaderos, dado δ >. A Tabela 3.2 resume suas recomendações. 4

29 Tabela 3.: Valores de ARL para os procedmentos CUSUM. Fonte: LUCAS & CROSIER h* k* (982a) δ,5 2 3 s/ FIR FIR s/ FIR FIR 2,5,25 3,6 9,24 7,67 5,8 4,6 2,62 2,6,37,42,7 4,25 38,5 28 3,2 8,68 6,6 3,69 2,93,77 2,5,23 6, ,9 3,4 8,73 5,5 4,7 2,37 2,74,64 8, ,8 7,8,4 6,39 5,2 2,94 3,48 2,4, , 4, 7,72 6,35 3,5 4,2 2,38 2,5 9,3 5, 9,63 7,7 4,49 3,9,99,39,32,6 3,5 58,8 49,2 7,2 2,9 6,4 4,9 2,68,68,77,6 4, ,6 2, 8,38 5,29 3,34 2, 2,9,32 5, ,7,4 6,35 4, 2,36 2,57,54 6, ,3 38,7 2,4 7,38 4,67 2,7 2,98,77,5,75 2,3 8,2 8,99 4,77 3,62,89,43,24,7 2,3,75 69,9 62, 22 8,2 7,3 5,2 2,5,67,56,3 3, ,3 33 9,68 6,75 3,2,95,93,24 3,8, ,6 56,2 2,4 8,45 3,7 2,25 2,27,39 4,5, ,6 5,2, 4,3 2,56 2,59,56 7,6 5,9,4 9,2 4,72 3,93,78,47,7,7,5 46,9 42,8 2,3 7,8 7,7 5,63 2,24,66,34, ,9 33,6 7,77 2,74,87,58,7 2, ,8 6 3,6,3 3,25 2,,85, ,4 3,4 3,75 2,35 2,2,35 3, ,8 6,6 4,25 2,6 2,37,46,7,5 33,9 32,6 8,9 7,9 7,59 6,92 2,8,89,25,5,,5 92, 89,6 4,9 38,7 2,7,8 2,8 2,22,43,2,5, ,6 87,3 2, 8,7 3,5 2,6,66,28,9, ,3 3,5 4,26 3,2,92,37 2,3, ,5 49 5,3 3,45 2,2,47 s/ FIR FIR s/ FIR FIR s/ FIR FIR Tabela 3.2: Valores de k* e os correspondentes valores de h* que fornecem ARL = 37 para o CUSUM tabular blateral. Fonte: awkns (993a, apud ALVES, 23) k*,25,5,75,,25,5 h* 8, 4,77 3,34 2,52,99,6 5

30 Montgomery (24) recomenda h * = 4 ou h * = 5 vsando montoramento de processos sujetos à varação δ =,, utlzando k * =, 5. Souza et al. (28) também realzaram uma sére de estudos a fm de obter uma baxa probabldade do alarme falso α e do alarme verdadero acma de 9%. Tas recomendações são as seguntes: n =, k * =, 5 e h * = 3, para δ ; n =, k * =, 5 e h * = 4, para δ < ; 6

31 4. MATERIAL E MÉTODOS 4. Smulação dos Dados Para um processo sob controle estatístco, foram smulados no software Mcrosoft Excel 23 dados de uma varável resposta Y padronzada, sob dstrbução normal com méda µ = e desvo-padrão σ para até 5 subgrupos raconas com até 6 repetções ( n 6, para n IN), onde um determnado subgrupo raconal fo especfcado pelo índce ( 5, para IN) e uma determnada repetção fo especfcada pelo índce j ( j n, para j IN). Para tanto, foram realzadas smulações ( s, para s IN) por subgrupo raconal. É mportante ressalvar que na prátca são utlzados geralmente 25 subgrupos raconas. Portanto, fo adotado o dobro para que o estudo pudesse ser realzado com maor precsão. Já o maor número de repetções fo escolhdo para atender com folga as recomendações mas utlzadas na prátca, que normalmente vão até repetções. Em seguda desenvolveu-se um aplcatvo na lnguagem de programação C++ em que foram estabelecdos quatro processos fora de controle estatístco para a méda em todos os subgrupos raconas, como segue: = µ δ = µ + δσ, (4.) para valores de δ guas a 2,, 2 e 3, em que: µ = µ + σ, 2 2 µ = +, µ σ µ = + e 2 µ 2σ µ = + 3 µ 3σ 7

32 Esses quatro processos fora de controle estatístco com méda µ δ e desvopadrão σ foram obtdos pela soma de cada valor smulado por δσ, como segue: y + δσ, para s =, 2,..., js em que: =, 2,..., 5 e j =, 2,..., n ( n 6). Os valores de δ acma foram escolhdos a partr dos estudos prevamente realzados por Souza et al. (28) vsando comparar as efcêncas dos gráfcos de controle CUSUM tabular, Shewhart e EWMA. Tas valores estão relaconados a uma gradação de pequena a grande dferenças entre as médas consderadas como fora e sob controle que o gráfco de controle CUSUM tabular consegue detectar. Para os quatro processos foram estabelecdos 4 gráfcos de controle CUSUM tabular padronzado em função das combnações entre os valores de k* e h*, defndos a segur: δ k * = (,25,,5, e,5) 2 (4.2), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e (4.3) No total, foram construídos 4 6 = 64 gráfcos de controle CUSUM tabular para os processos fora de controle, mas 64 para os processos sob controle, totalzando assm 28 gráfcos de controle CUSUM tabular. O valor de k* apresentado na Equação 4.2 é o valor padronzado de K (valor de referênca). Esse valor k* é usualmente escolhdo a meo camnho entre a méda de controle µ e a méda fora de controle µ, cuja mudança da méda é expressa em undades de desvo-padrão (Equação 4.). Assm, para os valores de δ guas a,5,, 2 e 3, têm-se os respectvos valores de k*:,25,,5, e,5. Consderando que o processo esteja fora de controle desde o prmero subgrupo raconal, conforme ocorre na smulação de dados do presente estudo, então o seu número será substtuído pelo própro contador. É claro que na prátca o processo pode sar de controle a qualquer momento (não necessaramente no 8

33 prmero subgrupo raconal). O mportante é que a partr desse momento o gráfco CUSUM tabular começará a regstrar a saída de controle. 4.2 Alarme Falso Quando δ =, o processo estará sujeto ao erro tpo I, cujo alarme falso no subgrupo raconal e smulação s ocorrerá quando a estmatva y s de Y s ~ N( µ =, σ = ) para =, 2,..., 5 e s =, 2,...,, corresponder às seguntes stuações: S L ( )* h * ou S ( )* h *, para o respectvo z s, em que: z s = y µ σ s n Note que y s é a méda artmétca dos valores do subgrupo raconal para a smulação s sob controle estatístco. Em partcular, para n =, tem-se y s = ys, sendo y s n yjs = j = n, para n 6. Do mesmo modo, foram geradas CUSUMs para cada subgrupo raconal e pela programação desenvolvda em C++, foram calculados todos os S * s e S * s de acordo com os dados smulados. Desse modo, a estmatva da L probabldade do alarme falso para cada subgrupo raconal, fo obtda por: I s NPFC s= ˆ α = =, para δ =, onde: (4.4) NPFC = número de pontos fora de controle no subgrupo raconal, e 9

34 I s se s = se s ( )* < h * e ( )* h * ou s ( )* < h * L s ( )* h * para o respectvo z L para o respectvo z s s em que: s ()* = valor observado da CUSUM unlateral superor padronzada no subgrupo raconal, e s L ()* = valor observado da CUSUM unlateral nferor padronzada no subgrupo raconal. Para o gráfco de controle CUSUM tabular, pode-se defnr a probabldade do alarme falso do subgrupo raconal ( α ), como a probabldade do S () * ser maor que h* somada à probabldade do S L () * do subgrupo raconal ser maor que h*, dado que não há varação na méda do processo, ou seja, δ = (Equação 4.5). ( S ( )* h *) + P( S ( )* h *) α = P, para δ = ( µ ), onde (4.5) L = S ()* = varável aleatóra da CUSUM unlateral superor padronzada no subgrupo raconal, e S L ()* = varável aleatóra da CUSUM unlateral nferor padronzada no subgrupo raconal. Como essas duas probabldades são guas, quando Y é uma varável aleatóra com dstrbução de probabldades smétrcas, então neste caso tem-se: ( S ( )* *) α = 2 P h, para =, 2,..., 5 (4.6) Como o S ()* depende do ( ) *, e assm sucessvamente, então a probabldade do alarme falso no subgrupo raconal pode ser defnda por: S 2

35 ( Z k * + S ( ) * *) α = 2 P h ( Z + S ( ) * k * *) = 2 P h +, para δ = e =, 2,..., 5. (4.7) Como Z e S ( ) * são varáves aleatóras em cada subgrupo raconal, a soma das duas também é uma varável aleatóra. Entretanto, a dstrbução dessa combnação lnear depende do valor de k* e do subgrupo raconal. Desse modo, a probabldade do alarme falso de acordo com a ordem do subgrupo raconal, é dada por: ( Z + S ( ) * k * *) α = 2 P h, para δ = + [ P( Z + S ( ) * k * *)] α = 2 h + [ F( k * *)] α = 2 h, para =, 2,..., 5 + No presente trabalho escolheu-se ajustar as dstrbuções normal e lognormal de três parâmetros a fm de obter as estmatvas das probabldades dos alarmes falsos e verdaderos. Desse modo, as conclusões a serem obtdas nesse trabalho não se basearão somente na smulação de dados, mas também pelos ajustes a dstrbuções. A função densdade de probabldade (FDP) e função de dstrbução acumulada (FDA) dessas duas dstrbuções estão apresentadas na Tabela 4.. Portanto, foram realzados ajustes das dstrbuções normal e lognormal de três parâmetros (3P) em todo ( =, 2,..., 5) para valores de k* guas a,25,,5, e,5 para o processo sob controle estatístco. Daí, segue que: 2 ( k* + h*) µ t = σ 2 α 2 e dt, para δ = (4.8) 2π obtdo pela dstrbução normal, e 2 ln( k* + h* γ ) µ t = σ 2 α 2 e dt, para δ = (4.9) 2π 2

36 obtdo pela dstrbução lognormal 3P. Tabela 4.: Função densdade de probabldade e função de dstrbução acumulada das dstrbuções Normal e Lognormal de três parâmetros. Dstrbução Normal Função Densdade de Probabldade Função de Dstrbução Acumulada 2 x µ 2 σ f ( x) = 2 e, < x < + σ π x t 2 x x µ F ( x) = Φ σ, onde Φ( ) = e 2π 2 dt Dstrbução Lognormal 3P Função Densdade de Probabldade Função de Dstrbução Acumulada 2 ln( x γ ) µ 2 σ f ( x) = e, γ < x < + ( x γ ) σ 2π 2 x t 2 x ln( x γ ) µ F ( x) = Φ σ, onde Φ( ) = e 2π dt Para testar a aderênca às dstrbuções normal e lognormal 3P fo aplcado o teste de Kolmogorov-Smrnov a 5% de probabldade para cada subgrupo raconal. Utlzou-se o software EasyFt 5.5 versão demo para obter o ajuste e a aplcação do teste. A partr da obtenção dos parâmetros, realzou-se uma análse de regressão de modo a obter uma equação ajustada para cada um deles em função da ordem do subgrupo raconal. Em suma, para cada subgrupo raconal, obteve-se as estmatvas ˆ µ, σˆ (ajuste pela normal) ou ˆ, µ σˆ, γˆ (ajuste pela lognormal 3P) e, consequentemente, para um determnado k* e h*, obteve-se as seguntes probabldades teórcas do alarme falso: 2 ( k* + h*) ˆ µ t ˆ = ˆ σ 2 α 2 e dt, para δ = (4.) 2π obtdo pela dstrbução normal, e 22

37 2 ln( k* + h* ˆ γ ) ˆ µ t ˆ = ˆ σ 2 α 2 e dt, para δ = (4.) 2π obtdo pela dstrbução lognormal 3P. As equações de estmação dos parâmetros da normal e lognormal 3P, juntamente com o teste t para verfcar a sgnfcânca do efeto do subgrupo raconal, foram obtdos pelo software SAEG versão demo e Mntab 6. As probabldades teórcas αˆ foram calculadas no Mntab 6 e Mcrosoft Excel 23. Para plotar as dstrbuções ajustadas de Z( ) + S ( ) * fo utlzado o Mntab 6. Para a plotagem dos dversos gráfcos referentes a probabldade do alarme falso, estmatva dos parâmetros das dstrbuções ajustadas e p-valor, sendo que, todos eles em função da ordem do subgrupo raconal, fo utlzado o Mcrosoft Excel Alarme Verdadero Para regstrar o desempenho do gráfco de controle CUSUM tabular em termos de alarme verdadero para cada subgrupo raconal, separadamente, foram anotadas as estmatvas y s ' de Y s ~ N( µ = δ, σ = ) para =, 2,..., 5 e s =, 2,...,, que estavam assocadas também aos seguntes casos: S L ( )* h * ou S ( )* h *, para o respectvo z s, em que: z s = ys ' µ σ n onde y s ' é a méda artmétca dos valores do subgrupo raconal para a smulação s fora de controle estatístco. Em partcular, para o subgrupo raconal de tamanho n =, tem-se y ' = y ', sendo s s 23

38 n yjs ' j= ys ' =, para n 6 e y js ' = y js + δσ. n Para calcular o Pd, também fo desenvolvdo um aplcatvo em C++, no qual foram obtdas as seguntes estmatvas por meo da smulação dos dados: I s NPFC s= Pd = =, para δ >, onde: (4.2) NPFC = número de pontos fora de controle no subgrupo raconal, e I s se s = se s ( )* < h * e S L ( )* h * ou S ( )* < h * ( )* h * para o respectvo z L para o respectvo z s s em que: s ()* = valor observado da CUSUM unlateral superor padronzada no subgrupo raconal, e s L ()* = valor observado da CUSUM unlateral nferor padronzada no subgrupo raconal. Para compreender o efeto dos termos k* e, deve-se analsar a Equação 3.3. Supondo que o processo esteja fora de controle, então os valores observados podem ser representados pela varável aleatóra Y N( µ δσ, ) e, consequentemente, Z N( δ, σ ). δ ~ δ ~ + σ Para o prmero subgrupo raconal, tem-se: δ S ( )* = max[, z k * + S () *], onde k * = 2 24

39 Daí, o valor esperado para S () * pode ser escrto como: E [ S ) *] = E[ z k * + S () *] = E[ z ] k * + S ()* = δ k * + * ( = k Em seguda, para o segundo subgrupo raconal, tem-se: [, z k * S () *] S ( 2)* = max 2 + E o seu valor esperado é: E [ S 2) *] = E[ z k * + S () *] = E[ z ] k * + S ()* = δ k * + k* 2 * ( 2 2 = k E, para o tercero subgrupo raconal: E [, z k * S (2) *] S ( 3)* = max 3 + [ S 3) *] = E[ z k * + S (2) *] = E[ z ] k * + S (2)* = δ k * + 2k* 3 * ( 3 3 = k De forma geral, pode-se ver que: [ S ( ) *] k * E =, para δ > (4.3) Para o gráfco de controle CUSUM tabular pode-se defnr a probabldade de alarme verdadero por: Pd ( )* h * δ n ) + P( S ( )* h δ n ) = P S ( *, para δ ( µ = δ n ), onde L (4.4) S ()* = varável aleatóra da CUSUM unlateral superor padronzada no subgrupo raconal, e S L ()* = varável aleatóra da CUSUM unlateral nferor padronzada no subgrupo raconal. 25

40 Logo, Pd = P Z ( k * + S ( ) h * δ n ) + P( Z k * + S ( ) h * δ n ) ( Z + S ( ) h* + k * δ n ) + P( Z + S ( ) h * + k δ n ) = P * L (4.5) Entretanto, ao supor δ, segue que o processo se desloca ou para acma da méda de controle ( δ > ), ou para baxo da méda de controle ( δ < ). Então, a probabldade de alarme verdadero defnda pela Equação 4.4 pode ser reescrto como: Pd Pd ( )* h δ n ) ( )* h δ n ) = P S ( *, para δ > = P S ( *, para δ < L (4.6) Assm, fnalzando o desenvolvmento de Pd para δ > chega-se que: Pd ( + S )* h* + k δ n ) = P Z ( *, para δ > (4.7) A partr da Equação 4.7, a probabldade do alarme verdadero é dado por: Pd ( + S ( ) h * + k δ n ) ( h * + k δ n ) = P Z *, para δ > = F * Assm, ajustou-se pelo software EasyFt 5.5 as dstrbuções normal e lognormal de três parâmetros (Tabela 4.) a fm de obter as estmatvas das probabldades dos alarmes verdaderos. Pd ( k* + h* δ n ) µ σ = 2 t 2 e dt, para δ > (4.8) 2π ajustado pela dstrbução normal, e 26

41 Pd ln[( k* + h* δ n ) γ ] µ σ = 2 t 2 e dt, para δ > (4.9) 2π ajustado pela dstrbução lognormal 3P. Do mesmo modo, para testar os ajustes às dstrbuções, fo aplcado o teste de Kolmogorov-Smrnov a 5% de probabldade para cada subgrupo raconal. Assm como feto para a probabldade do alarme falso, realzou-se aqu uma análse de regressão de modo a obter uma equação ajustada para cada um dos parâmetros prevamente obtdos em função da ordem do subgrupo raconal. Uma vez estmados os parâmetros, obteve-se as seguntes probabldades teórcas do alarme verdadero: Pd ( k* + h* δ n ) ˆ µ ˆ σ = 2 t 2 e dt, para δ > (4.2) 2π obtdo pela dstrbução normal, e Pd ln[( k* + h* δ n ) ˆ γ ] ˆ µ ˆ σ = 2 t 2 e dt, para δ > (4.2) 2π obtdo pela dstrbução lognormal 3P. As equações de estmação dos parâmetros da normal e lognormal 3P, juntamente com o teste t para verfcar a sgnfcânca do efeto do subgrupo raconal, foram obtdos pelo software SAEG versão demo e Mntab 6. As probabldades teórcas Pd foram calculadas no Mntab 6 e Mcrosoft Excel 23. Para plotar as dstrbuções ajustadas de Z( ) + S ( ) * fo utlzado o Mntab 6. Para a plotagem dos dversos gráfcos referentes a probabldade do alarme verdadero, estmatva dos parâmetros das dstrbuções ajustadas e p-valor, sendo que, todos eles em função da ordem do subgrupo raconal, fo utlzado o Mcrosoft Excel

42 4.4 Análse de Regressão Para verfcar o efeto dos termos do gráfco de controle CUSUM tabular que podem ser modfcados, ou seja, k*, h*, n e, fo realzada uma análse de regressão do α e do poder. Para a probabldade do alarme falso, o maor modelo de regressão adotado fo do tpo: α = β + β k + β h * + β n + β + β k * h * + β k * n + k * + * β 7 + β * n + β h + β n + ε 8 h 9 * (4.22) e, analogamente para a probabldade do alarme verdadero obtda dentro de cada valor de k * = δ 2: Pd = β + βh * + β 2n + β 3 + β 4h * n + β 5h * + β 6n + ε (4.23) Para seleconar a melhor equação de regressão ajustada para as probabldades dos dos alarmes, foram retrados os coefcentes não sgnfcatvos, um de cada vez e começando pelos mas complexos de nterpretação (nterações), de acordo com o teste t de Student ao nível de 5% de sgnfcânca. As equações de regressão que estmaram α e Pd, juntamente com o teste t que verfcou a sgnfcânca dos efetos referentes aos fatores ndvduas e nterações duplas, foram realzadas no software Mntab 6. 28