ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS

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1 CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS CCE DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Curso de Especalzação Lato Sensu em Estatístca ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS Professor: Dr. Waldr Medr Londrna/Pr Março de 011

2 ÍNDICE ESTATÍSTICA INTRODUÇÃO... 1 ÁREAS DA ESTATÍSTICA....1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA.... ESTATÍSTICA INFERENCIAL POPULAÇÃO E AMOSTRA POPULAÇÃO AMOSTRA VARIÁVEIS VARIÁVEIS QUALITATIVAS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS DADOS DADOS BRUTOS ROL DISPOSITIVO - RAMO E FOLHAS REPRESENTAÇÃO TABULAR REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Representação Gráfca para uma Varável Qualtatva Representação Gráfca para uma Varável Quanttatva Séres Conjugadas Dstrbução de Frequêncas LISTA 1 EXERCÍCIOS MEDIDAS ESTATÍSTICAS MEDIDAS TENDÊNCIA CENTRAL (POSIÇÃO) Méda Medana Conceto de resstênca de uma medda Moda MEDIDAS DE DISPERSÃO Ampltude Desvo Médo Varânca Desvo Padrão Erro Padrão Coefcente de Varação SEPARATRIZES: QUARTIS, DECIS E PERCENTIS ASSIMETRIA CURTOSE BOX PLOT MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Méda Medana Moda Separatrzes: Quarts, Decs e Percents... 47

3 6.7.5 Cálculo das Separatrzes Utlzando Proporções Desvo Médo Varânca Desvo Padrão Erro Padrão LISTA - EXERCÍCIOS TRANSFORMAÇÕES DE VARIÁVEIS MUDANÇA DE ORIGEM MUDANÇA DA UNIDADE ANÁLISE BIDIMENSIONAL INTRODUÇÃO VARIÁVEIS QUALITATIVAS ASSOCIAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS QUALITATIVAS MEDIDAS DE ASSOCIAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS QUALITATIVAS ASSOCIAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS QUANTITATIVAS Coefcentes de assocação ou correlação ASSOCIAÇÃO ENTRE AS VARIÁVEIS QUALITATIVAS E QUANTITATIVAS LISTA 3 - EXERCÍCIOS REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFIAS... 78

4 v

5 1 ESTATÍSTICA 1 INTRODUÇÃO Desde a Antgüdade város povos já regstravam o número de habtantes, de nascmento, de óbtos, fazam estmatvas das rquezas ndvdual e socal, dstrbuíam equtatvamente terras ao povo, cobravam mpostos e até realzavam nquértos quanttatvos por processos que, hoje, se chama de Estatístca. A palavra Estatístca vem de status, que sgnfca em latm Estado. Com essa palavra fazam-se as descrções e dados relatvos aos Estados, tornando a Estatístca um meo de admnstração para os governantes. Mas recentemente se passou a falar em estatístca em váras cêncas de todas as áreas do conhecmento humano, onde pode defnr a Estatístca como um conjunto de métodos e processos quanttatvos que servem para estudar e medr os fenômenos coletvos. Ao se estudar os fenômenos coletvos, o que nteressa são os fatos que envolvem os elementos desses fenômenos, como eles se relaconam e qual o seu comportamento. Para que tal estudo possa acontecer com toda a seredade que a cênca exge, é necessáro que o levantamento seja feto através de uma pesqusa centífca, sendo ela defnda como a realzação concreta de uma nvestgação planejada, desenvolvda e redgda de acordo com as normas de metodologa. A Estatístca é muto mas do que a smples construção de gráfcos e o cálculo de médas. As nformações numércas são obtdas com a fnaldade de acumular nformação para a tomada de decsão. Então, a estatístca pode ser vsta como um conjunto de técncas para planejar expermentos, obter dados e organzá-los, resumlos, analsá-los, nterpretá-los e deles extrar conclusões. A nformação de estatístca é apresentada constantemente no rádo e na televsão, como por exemplo, a coleta de dados sobre nascmentos e mortes, a avalação da efcênca de produtos comercas e a prevsão do tempo. As técncas clásscas da estatístca foram delneadas para serem as melhores possíves sob rgorosas suposções. Entretanto, a experênca tem forçado os estudosos a conhecer que as técncas clásscas comportam-se mal quando stuações prátcas não apresentam o deal descrto por tas suposções. O

6 desenvolvmento recente de métodos exploratóros robustos está aumentando a efcênca da análse estatístca. Os bons profssonas de estatístca têm sempre olhado com detalhes os dados antes de levantar suposções estatístcas e testes de hpóteses. Mas o uso ndscrmnado de pacotes estatístcos computaconas, sem o exame cudadoso dos dados profssonas da área, conduz, às vezes, a resultados aberrantes. A análse exploratóra de dados nos fornece um extenso repertóro de métodos para um estudo detalhado dos dados, antes de adaptá-los. Nessa abordagem, a fnaldade é obter dos dados a maor quantdade possível de nformação, que ndque modelos plausíves a serem utlzados numa fase posteror, a análse confrmatóra de dados ou nferênca estatístca. ÁREAS DA ESTATÍSTICA Se entender Estatístca como a Cênca dos Dados, será de grande vala o domíno que seu corpo de conhecmento pode oferecer. Prmeramente, como ponto de partda, pode-se dvdr a Estatístca em duas áreas: Descrtva Inferencal (Indutva) Obs. Alguns autores, como por exemplo, Marcos Nascmento Magalhães e Antono Carlos Pedroso de Lma, dzem que a estatístca, grosso modo, pode ser dvdda em três áreas: Estatístca descrtva; Probabldade e Inferênca estatístca..1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA A Estatístca Descrtva se preocupa com a organzação, apresentação e sntetzação de dados. Utlzam gráfcos, tabelas e meddas descrtvas como ferramentas. Utlzada na etapa ncal da análse, destnada a obter nformações que ndcam possíves modelos a serem utlzados numa fase fnal que sera a chamada nferênca estatístca.

7 3. ESTATÍSTICA INFERENCIAL A Estatístca Inferencal postula um conjunto de técncas que permtem utlzar dados orundos de uma amostra para generalzações sobre a população. Consttu esse conjunto de técncas: a determnação do número de observações (tamanho da amostra); o esquema de seleção das undades observaconas; o cálculo das meddas estatístcas; a determnação da confança nas estmatvas; a sgnfcânca dos testes estatístcos; a precsão das estmatvas; dentre outras. Essa generalzação é feta a partr do processo de estmação das meddas estatístcas que podem ser calculadas, porém não sem antes se antecpar um grau de certeza de que a amostra esteja fornecendo os dados que seram de se esperar caso toda a população fosse estudada. Nesse caso, o ramo da matemátca que será utlzado para se avalar tal grau de certeza é a probabldade. Com ela teremos condções de mensurar a fdedgndade de cada nferênca feta com base na amostra. Antes de começar a estudar os métodos estatístcos que permtrá analsar dados, sejam eles qualtatvos ou quanttatvos, é mportante ntroduzr alguns concetos prelmnares a fm não apenas de dar nomes aos nstrumentos, mas também adequar e equalzar a termnologa a ser utlzada ao longo do curso. Na termnologa estatístca, o grande conjunto de dados que contém a característca que temos nteresse recebe o nome de população. Esse termo referese não somente a uma coleção de ndvíduos, mas também ao alvo sobre o qual resde nosso nteresse. Assm, nossa população pode ser tanto todos os habtantes de Londrna como todas as lâmpadas produzdas por uma fábrca em certo período de tempo. Algumas vezes podemos acessar toda a população para estudarmos característcas de nteresse, mas, em mutas stuações, tal procedmento não pode ser realzado. Em geral, razões econômcas são determnantes dessas stuações. Por exemplo, uma empresa, usualmente, não dspõe de verba sufcente para saber o que pensam todos os consumdores de seus produtos. Há anda razões étcas, quando, por exemplo, os expermentos de laboratóro que envolvem o uso de seres vvos. Além dsso, exstem casos em que a mpossbldade de se acessar toda a população de nteresse é ncontornável. Por exemplo, em um expermento para determnar o tempo de funconamento das lâmpadas produzdas por uma ndústra, não podemos observar toda a população de nteresse.

8 4 Tendo em vsta as dfculdades de váras naturezas para se observar todos os elementos da população, tomaremos alguns deles para formar um grupo a ser estudado. Este subconjunto da população, em geral com dmensão menor, é denomnado amostra. 3 POPULAÇÃO E AMOSTRA 3.1 POPULAÇÃO População é o conjunto consttuído por todos os ndvíduos que representam pelo menos uma característca comum, cujo comportamento nteressa analsar (nferr). Assm sendo, o objetvo das generalzações estatístcas está em dzer se algo acerca de dversas característcas da população estudada, com base em fatos conhecdos. 3. AMOSTRA Amostra pode ser defnda como um subconjunto, uma parte seleconada da totaldade de observações abrangdas pela população, através da qual se faz nferênca sobre as característcas da população. Uma amostra tem que ser representatva, a tomada de uma amostra bem como seu manuseo requer cudados especas para que os resultados não sejam dstorcdos. Parâmetro é uma medda numérca que descreve uma característca de uma população. São valores fxos, geralmente desconhecdos e usualmente representados por caracteres gregos. Por exemplo, µ (méda populaconal), p (proporção populaconal), σ (desvo-padrão populaconal), σ (varânca populaconal). Estatístca é uma estatístca numérca que descreve uma característca de uma amostra. Representada por caracteres latnos. Por exemplo, x (méda amostral), pˆ (proporção amostral), s (desvo-padrão amostral), s (varânca amostral). Undade Observável é a portadora da(s) característca(s), ou propredade(s), que se deseja nvestgar.

9 5 A seleção da amostra pode ser feta de váras maneras, dependendo, entre outros fatores, do grau de conhecmento que temos da população, da quantdade de recursos dsponíves a assm por dante. Cabe ressaltar que este tem será apresentado mas para frente. 4 VARIÁVEIS Ao se fazer um estudo estatístco de um determnado fato ou grupo, tem-se que consderar o tpo de varável. Pode ter varáves qualtatvas ou varáves quanttatvas. 4.1 VARIÁVEIS QUALITATIVAS Varáves qualtatvas são aquelas em que a varável assume valores em categoras, classes ou rótulos. São, portanto, por natureza, dados não numércos. Apesar de ser consderada de baxo nível de mensuração, do ponto de vsta da aplcação de nstrumental estatístco, a varável qualtatva oferece um vasto espectro de aplcação nas cêncas socas e do comportamento. Varáves qualtatvas denotam característcas ndvduas das undades sob análse, tas como sexo, estado cvl, naturaldade, raça, grau de nstrução, dentre outras, permtndo estratfcar as undades para serem analsadas de acordo com outras varáves. 4. VARIÁVEIS QUANTITATIVAS Varáves quanttatvas são aquelas expressas pelas varáves com níves de mensuração ntervalar ou de razão. Ou seja, são aqueles nas quas as varáves assumem valores numa escala métrca defnda por uma orgem e uma undade, por exemplo: dade, saláro, peso, etc. As varáves qualtatvas podem ser, também, classfcadas como nomnal e ordnal. Por outro lado, as varáves quanttatvas podem ser classfcadas como dscretas, quando assumem um número fnto de valores, ou contínuas, quando assume um número nfnto de valores, geralmente em ntervalos, como apresentam na Tabela 1.

10 6 Tabela 1: Classfcação das varáves qualtatvas e quanttatvas Varáves Tpos Descrção Exemplos Qualtatvas ou Categórcas Quanttatvas Nomnal Ordnal Dscretas Contínuas Não exste nenhuma ordenação Exste uma ordenação I, II, III Valor pertence a um conjunto enumerável Quando o valor pertence a um ntervalo real Cor dos olhos, sexo, estado cvl, tpo sangüíneo. Nível de escolardade, estágo da doença, colocação de concurso. Número de flhos por casal, quantdade de letos Meddas de altura e peso, taxa de glcose, nível de colesterol. Em algumas stuações podem-se atrbur valores numércos às váras qualdades ou atrbutos e depos proceder à análse como esta varável como se fosse quanttatva, desde que o procedmento seja passível de nterpretação. Uma vez obtdos os dados referentes às varáves qualtatvas, a tarefa segunte é representá-los através de uma tabela e de um gráfco. Posterormente, poderá ser útl calcular as frequêncas, smples, acumuladas e as relatvas. Para os dados quanttatvos, quando o número de observações cresce e os valores são dferencados entre s, há que se representá-los de modo resumdo. Para sso a melhor forma de representação tabular é através de dstrbuções de frequênca por classes de valores. Como exemplo: Suponha que um médco está nteressado em fazer um levantamento sobre algumas característcas de pacentes atenddos em sua clínca neurológca: sexo peso, tpo de tratamento, número de convulsões e classfcação da doença (leve, moderada e severa). Os dados podem ser organzados em uma tabela. Usualmente os ndvíduos são representados nas lnhas e as varáves nas colunas. Este formato é utlzado pela maora do programas computaconas. Note através da Tabela que cada ndvíduo é uma undade de observação na qual são fetas váras meddas e/ou anotados város atrbutos, referentes às varáves.

11 7 Tabela : Característcas de pacentes atenddos em uma clínca neurológca Pacente Sexo Peso Tpo de Tratamento N o de Convulsões Classfcação da Doença 1 M 89,8 A 1 Leve F 64, A 3 Severa 3 M 91,0 B Moderada 4 F 56,7 A 0 Moderada 5 F 48,5 B 1 Leve M 71,0 B 0 Severa 59 M 78,8 A Leve 60 F 71,0 B 3 Moderada Analse a tabela e classfque as varáves: Varáves qualtatvas nomnal: Sexo, Tpo de tratamento. Varáves qualtatvas ordnal: Classfcação da doença. Varáves quanttatvas dscreta: Número de convulsões Varáves quanttatvas contínua: Peso. Um outro exemplo: Um pesqusador está nteressado em fazer um levantamento sobre alguns aspectos socoeconômcos dos empregados da seção de orçamentos da Companha MB. Usando nformações obtdas do departamento pessoal, ele elaborou a Tabela 3. De modo geral, para cada elemento nvestgado numa pesqusa, tem-se assocado um (ou mas de um) resultado correspondendo à realzação de uma característca (ou característcas). Algumas varáves, como sexo, educação, estado cvl, apresentam como possíves realzações de qualdade (ou atrbuto) do ndvíduo pesqusado, ao passo que outras, como número de flhos, saláro, dade, apresentam como possíves realzações números resultantes de uma contagem ou mensuração. As varáves do prmero tpo são chamadas qualtatvas e as do segundo quanttatvas.

12 8 N o Tabela 3: Informações sobre estado cvl, grau de nstrução, número de flhos, saláro Estado Cvl mínmo, dade e procedênca de 36 empregados da seção de orçamentos da companha MB. Grau de Instrução N o de Flho s Saláro mínmo Idade Anos Meses Regão de Procedênca 1 Soltero Ensno fundamental 4, Interor Casado Ensno fundamental 1 4, Captal 3 Casado Ensno fundamental 5, Captal 4 Soltero Ensno médo 5, Outra 5 Soltero Ensno fundamental 6, Outra 6 Casado Ensno fundamental 0 6, Interor 7 Soltero Ensno fundamental 6, Interor 8 Soltero Ensno fundamental 7, Captal 9 Casado Ensno médo 1 7, Captal 10 Soltero Ensno médo 7, Outra 11 Casado Ensno médo 8, Interor 1 Soltero Ensno fundamental 8, Captal 13 Soltero Ensno médo 8, Outra 14 Casado Ensno fundamental 3 8,95 44 Outra 15 Casado Ensno médo 0 9, Interor 16 Soltero Ensno médo 9, Outra 17 Casado Ensno médo 1 9, Captal 18 Casado Ensno fundamental 9, Outra 19 Soltero Ensno superor 10, Interor 0 Soltero Ensno médo 10, Interor 1 Casado Ensno médo 1 11, Outra Soltero Ensno médo 11,59 34 Captal 3 Soltero Ensno fundamental 1, Outra 4 Casado Ensno superor 0 1, Outra 5 Casado Ensno médo 13,3 3 5 Interor 6 Casado Ensno médo 13, Outra 7 Soltero Ensno fundamental 13, Outra 8 Casado Ensno médo 0 14, Interor 9 Casado Ensno médo 5 14, Interor 30 Casado Ensno médo 15, Captal 31 Soltero Ensno superor 16, 31 5 Outra 3 Casado Ensno médo 1 16, Interor 33 Casado Ensno superor 3 17, Captal 34 Soltero Ensno superor 18, Captal 35 Casado Ensno médo 19, Captal 36 Casado Ensno superor 3 3,30 4 Interor Fonte: Dados hpotétcos

13 9 5 DADOS São as nformações nerentes às varáves que caracterzam os elementos que consttuem a população ou a amostra em estudo. Os dados obtdos em pesqusas devem ser analsados e nterpretados com o auxílo de métodos estatístcos. Na prmera etapa deve-se fazer uma análse descrtva que consste na organzação e descrção dos dados, na dentfcação de valores que representem o elemento típco e, na quantfcação da varabldade presente nos dados. 5.1 DADOS BRUTOS Qualquer pesqusa é baseada em levantamento ou coleta de dados. Os dados são obtdos dretamente da pesqusa, sem terem passados por nenhum processo de síntese ou análse. Por exemplo, os 50 valores, em decbés, de nível de ruído de tráfego em certo cruzamento estão apresentados a segur: 58,0 6,5 65,0 67,0 68,3 65,0 66,4 58,0 67,0 67,0 6,5 6,5 66,4 66,4 65,0 65,0 60, 60, 60, 60, 59,5 59,5 59,5 65,0 66,4 66,4 66,4 60, 6,5 67,0 67,0 67,0 70,1 70,1 71,9 70,1 67,0 66,4 66,4 68,3 68,3 68,3 65,0 65,0 6,5 6,5 65,0 65,0 68,3 71,9 Apesar de todos estes valores terem sdo obtdos em de nível de ruído de tráfego em certo cruzamento, nota-se uma grande varação nos resultados. Assm, os métodos estatístcos são fundamentas para o estudo de stuações em que a varabldade é nerente. A Estatístca Descrtva ajuda na percepção, avalação e quantfcação da varabldade em tabelas e gráfcos obtdos a partr de um conjunto de dados que sntetzem os valores, com o objetvo de se ter uma vsão global e clara da varação exstente nas varáves. 5. ROL A mão, ou com auxílo de computador, pode-se classfcar os dados x 1, x,...,x n em ordem crescente. Pode-se, pelo rol, verfcar de manera mas clara e rápda a composção do conjunto, dentfcando o maor e o menor valor além de alguns elementos que podem se repetr váras vezes, mostrando assm o comportamento dos dados.

14 DISPOSITIVO - RAMO E FOLHAS A mas comum estrutura de dados é um grupo de números. Até mesmo esta tão smples estrutura de dados pode ter característcas não faclmente dstnguíves por estudos dos números. O dspostvo ramo e folhas é uma técnca flexível e efcaz para começarmos a olhar um conjunto ou uma amostra de dados. Os dígtos mas sgnfcantes dos valores, por s própros, fazem muto trabalho de ordenação do grupo. Está técnca básca, mas versátl, é ntensamente usada, prncpalmente para comparar grupos e examnar cada característca, tas como: quanto o grupo está próxma da assmetra; como estão dstrbuídos os valores; se alguns valores estão dstancados dos demas; se exste concentração de dados; se exste lacunas nos dados. Aplcação do dspostvo ramo e folhas. Não exste uma regra fxa para construr o ramo e folhas, mas a déa básca é dvdr cada observação em duas partes: a prmera (o ramo) é colocada à esquerda de uma lnha vertcal, a segunda (a folha) é colocada à dreta. A Fgura 1 apresenta um dessa aplcação. Ramo Folha Frequênca Fgura 1 - Ramos e folhas para os depóstos bancáros Assm, o Rol dos 50 valores do nível de ruído de tráfego em certo cruzamento, faca:

15 11 58,0 58,0 59,5 59,5 59,5 60, 60, 60, 60, 60, 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 65,0 65,0 65,0 65,0 65,0 65,0 65,0 65,0 65,0 66,4 66,4 66,4 66,4 66,4 66,4 66,4 66,4 67,0 67,0 67,0 67,0 67,0 67,0 67,0 68,3 68,3 68,3 68,3 68,3 70,1 70,1 70,1 71,9 71,9 A apresentação dos dados pode ser de duas formas: Apresentação Tabular e apresentação Gráfca. 5.4 REPRESENTAÇÃO TABULAR Apresentação tabular numérca de dados é a representação das nformações por ntermédo de uma tabela. Uma tabela é uma manera bastante efcente de mostrar os dados levantados e que faclta a compreensão e nterpretação dos dados. Para organzar uma sére estatístca ou uma dstrbução de frequêncas, exstem algumas normas naconas dtadas pela Assocação Braslera de Normas Técncas (ABNT) as quas devem ser respetadas. Assm, toda tabela estatístca de conter: a) Elementos essencas Título ndca a natureza do fato estudado (o quê?), as varáves escolhdas na análse do fato (como?), o local (onde?) e a época (quando?). Corpo é o conjunto de lnhas e colunas que contém, respectvamente, as séres horzontas e vertcas de nformações. Cabeçalho desgna a natureza do conteúdo de cada coluna. Coluna ndcadora mostra a natureza do conteúdo de cada lnha. b) Elementos complementares (se necessáro) Fonte é o ndcatvo, no rodapé da tabela, da entdade responsável pela sua organzação ou fornecedora dos dados prmáros. Notas são colocadas no rodapé da tabela para esclarecmentos de ordem geral. c) Snas convenconas (hífen), quando o valor numérco é nulo;... (retcênca), quando não se dspõe de dado;

16 1? (ponto de nterrogação), quando há dúvdas quanto à exatdão do valor numérco; 0; 0,0; 0,00 (zero), quando o valor numérco é muto pequeno para ser expresso pela undade utlzada, respetando o número de casas decmas adotado; X (letra x), quando o dado for omtdo. d) Numerar as tabelas quando houver mas de uma. e) As tabelas devem ser fechadas acma e abaxo por lnha horzontal, não sendo fechadas à dreta e à esquerda por lnhas vertcas. É facultatvo o emprego de traços vertcas para separação de colunas no corpo da tabela. f) Os totas e subtotas devem ser destacados. g) Manter a unformdade do número de casas decmas. As tabelas podem ser classfcadas como undmensonal ou bdmensonal. A Tabela 4 é uma representação undmensonal, enquanto a Tabela 5 é bdmensonal. Tabela 4: Número e porcentagem de causas de morte de resdentes de Londrna, no período de 10 de agosto a 31 de dezembro de 008 CAUSAS DA MORTE N O % Doenças do ap. crculatóro 81 33,5 Neoplasas ,7 Causas externas 9 11,0 Doenças do ap. respratóro 87 10,4 Doenças das glând. endóc./transt. Imuntáros 56 6,7 Doenças do ap. dgestvo 54 6,4 Doenças e nfec. e parastáras 46 5,5 Afecções do per. Pernatal 6 3,1 Demas grupos 8 9,8 TOTAL ,0 FONTE: Núcleo de nformação em mortaldade PML

17 13 Tabela 5: Percentual de vendas do produto A, da Empresa WD, no mês de março de 008 FAIXA ETÁRIA REGIÃO < 1 ano 1 a 4 anos 5 a 19 anos 0 a 49 anos 50 anos ou + Centro 4,54 -,0 14,65 78,79 Norte 6,45 1,61,4 6,61 6,91 Sul 7,7 4,55 5,45,73 60,00 Leste 3,36-4,03 4,16 68,45 Oeste 4,57 1,14 3,43 18,9 7,57 Rural 15,71 4,9 4,8 14,9 61,43 LONDRINA 5,83 1,4 3,37 0,61 68,77 FONTE: Relatóro do mês de março do Departamento de vendas. 5.5 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA A representação gráfca é usada para aumentar a legbldade do resultado de uma pesqusa. Os gráfcos devem ser auto-explcatvos e de fácl compreensão. Devem sempre ter um título, onde se destaca o fato, o local e o tempo. Ser construídos em uma escala que não desfgure os fatos ou as relações que se deseja destacar. Assm, a altura de um gráfco deve compreender entre 60% a 80% da largura Representação Gráfca para uma Varável Qualtatva Para esse tpo de varável os gráfcos mas utlzados são os de: colunas, barras, lnhas e de setores. Tabela 6: Densdade demográfca, segundo as Grandes Regões Brasl e Grandes Regões Densdade demográfca (hab/km ) Brasl Norte Nordeste Sudeste Sul Centro Oeste,3 4,0 34,4 86,3 47,8 8,6 Fonte: IBGE, Pesqusa Naconal por Amostra de Domcílo 008

18 14 No Brasl a densdade demográfca méda, em 008, é de,3 hab/km. Regão Norte, que possu 45,% da área total do País e 8,1% da população, tem apenas 4,0 hab/km Nessa regão, anda exstem grandes vazos espacas, em função da vastdão terrtoral e de grandes áreas ntocadas, como a ocupada pela floresta Amazônca. A Regão Sudeste, a mas evoluída economcamente do País, com 4% da população total, é a que tem a maor densdade com 86,3 hab/km A Regão Metropoltana de São Paulo, com 19,5 mlhões de pessoas, corresponde a 47,9% da população do estado, enquanto a Regão Metropoltana do Ro de Janero, com 11,5 mlhões de pessoas, contém 73,4% dos habtantes do Ro de Janero (Tabela 6). a) Gráfco de Colunas Os gráfcos de colunas (Fgura ) ou barras (Fgura 3) consstem em construr retângulos, em que uma das dmensões é proporcona à magntude a ser representada, sendo a outra arbtrára, porém gual para todas as colunas (ou barras). Essas colunas (ou barras) são dspostas paralelamente umas às outras, vertcalmente (ou horzontalmente), sto é: Densdade demográfca (hab/km) ,3 4,0 34,4 86,3 47,8 Brasl Norte Nordeste Sudeste Sul Centro Oeste Brasl e Grandes Regões 8,6 Fgura Densdade demográfca, Brasl e as Grandes Regões - 008

19 15 b) Gráfco de Barras Centro Oeste 8,6 Brasl e Grandes Regões Sul Sudeste Nordeste Norte 4,0 34,4 47,8 86,3 Brasl, Densdade demográfca (hab/km) Fgura 3 Densdade demográfca, Brasl e as Grandes Regões c) Gráfco de Lnhas (Fgura 4) Densdade demográfca (hab/km) ,3 4,0 34,4 86,3 47,8 Brasl Norte Nordeste Sudeste Sul Centro Oeste Brasl e Grandes Regões 8,6 Fgura 4 Densdade demográfca, Brasl e as Grandes Regões, 008 Obs. O gráfco de lnha acma não é adequado para o exemplo d) Gráfco de Setores O gráfco de setores (Fgura 5) destna-se representar a composção, usualmente em porcentagem, de partes de um todo. Consste num círculo de rao arbtráro, representando o todo, dvdndo em setores, que correspondem às partes de manera proporconal.

20 16 CO-8,6 S-47,8 SU-86,3 B-,3 N-4,0 NE-34,4 Brasl Norte Nordeste Sudeste Sul Centro Oeste Fgura 5 Densdade demográfca, Brasl e as Grandes Regões Representação Gráfca para uma Varável Quanttatva Gráfcos referentes a varáves quanttatvas (dscretas ou contínuas) mas utlzados são os de: colunas (Fgura 6) e barras (Fgura 7). Tabela 7: As taxas mensas, em porcentagem, da Poupança, no período de janero a dezembro de 005 Meses Taxa (%) Janero Feverero Março Abrl Mao Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Fonte: Caxa Econômca Federal 0,715 0,69 0,675 0,734 0,737 0,739 0,774 0,808 0,771 0,733 0,711 0,714

21 17 a) Gráfco de colunas 0,85 0,80 Taxa (%) 0,75 0,70 0,65 0,60 Jan Fev Mar Abr Ma Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Meses Fgura 6 Taxa de juros em porcentagem da caderneta de Poupança de janero a dezembro de 005 c) Gráfco de lnhas Taxas (%) 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,715 0,69 0,675 0,734 0,737 0,739 0,774 0,808 0,771 0,733 0,711 0,714 0,60 Jan Fev Mar Abr Ma Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Meses Fgura 7 Taxa de juros em porcentagem da caderneta de Poupança de janero a dezembro de Séres Conjugadas Mutas vezes tem-se a necessdade de apresentar, em uma únca tabela, a varação de valores de mas de uma varável, sto é, fazer uma conjunção de duas ou mas séres. Conjugando duas séres em uma únca tabela, obtém-se uma tabela de dupla entrada (horzontal e vertcal). A Tabela 8 apresenta a méda de anos de estudo, no Brasl e nas Regões: Sudeste e Nordeste, no período de 00 a 008

22 18 Tabela 8: Méda de anos de estudo, no Brasl e nas Regões, Sudeste e Nordeste, no período de 00 a 008 Brasl e Regões Anos Sudeste 7, 7,4 7,6 7,7 7,9 7,9 8,1 Brasl 6,5 6,7 6,8 7,0 7, 7,3 7,4 Nordeste 5,1 5,3 5,5 5,6 5,8 6,0 6, Fonte: IBGE, Pesqusa Naconal por Amostra de Domcílo 008 A educação básca no País é formada por dos cclos fundamental e médo que correspondem a 11 anos de estudo completos. Os dados sobre os níves de escolarzação da população revelam melhoras, se comparados àqueles da década anteror, porém são anda nsufcentes e não compatíves com o nível de desenvolvmento econômco do País. Basta observar a escolardade méda da população. Em 008, o braslero de 15 anos ou mas de dade tnha, em méda, 7,4 anos de estudo. Na Regão Sudeste, essa méda atngu 8,1 anos, enquanto na Regão Nordeste apenas 6, anos. Os com os gráfcos, de lnhas (fgura 8) e de colunas múltplas (fgura 9) mostram esta stuação. a) Gráfco de Lnhas (Fgura 8) 9 Médas de estudos (anos) 7 5 7, 6,5 5,1 7,4 7,6 7,7 6,7 6,8 7,0 5,3 5,5 5,6 7,9 7,9 8,1 7, 7,3 7,4 6, 6,0 5, Sudeste Brasl Nordeste Fgura 8 Médas de estudo no Brasl e nas Regões: Sudeste e Nordeste, no período de 00 a 008

23 19 b) Gráfco de Colunas Múltplas (Fgura 9) 9 Médas de estudos (anos) 7 5 SU B NE SU B NE SU B NE SU B NE SU B NE SU B NE SU B NE Sudeste Brasl Nordeste Fgura 9 Médas de estudo no Brasl e nas Regões: Sudeste e Nordeste, no período de 00 a 008 O gráfco de colunas múltplas é útl quando se quer fazer estudo comparatvo Dstrbução de Frequêncas Quando se estuda uma varável, o maor nteresse do pesqusador é conhecer o comportamento dessa varável, analsando a ocorrênca de suas possíves realzações. Consderando-se a varável qualtatva a ser estudada, como por exemplo, grau de nstrução (Tabela 3), será observada e estudada muto mas faclmente quando se dspõem os ensnos: Fundamental, Médo e Superor em uma coluna e coloca-se, ao lado de cada ensno, o número de vezes que aparece repetdo. Assm, a Tabela 9 apresenta a dstrbução de frequêncas da varável grau de nstrução. Tabela 9: Frequêncas e porcentagens dos 36 empregados da seção de orçamentos da Companha MB segundo o grau de nstrução Grau de Instrução Frequênca (n ) Proporção (f ) Porcentagem (%) Fundamental Médo Superor ,3333 0,5000 0, ,33 50,00 16,67 Total 36 1, ,00

24 0 Fonte: Tabela 3 Através da Tabela 9 da segunda coluna, nota-se que dos 36 empregados da Companha MB, 1 têm o ensno fundamental, 18 o ensno médo e 6 possu curso superor. Uma medda bastante útl na nterpretação de tabelas de frequêncas é a proporção (ou a porcentagem) de cada realzação em relação ao total. Assm 6/36 = 0,1667 (16,67%) dos empregados da Companha MB (seção de orçamento) têm nstrução superor. As proporções são muto útes quando se quer comparar resultados de duas pesqusas dstntas. Por exemplo, suponha-se que se quera comparar a varável grau de nstrução para os empregados da seção de orçamentos com a mesma varável para todos os empregados da Companha MB. Supondo que a empresa tenha.000 empregados e que a dstrbução de frequêncas seja a Tabela 10. Tabela 10: Frequêncas e porcentagens dos.000 empregados da Companha MB segundo o grau de nstrução Grau de Instrução Frequênca (n ) Proporção (f ) Porcentagem (%) Fundamental Médo Superor ,350 0,5100 0,1650 3,50 51,00 16,50 Total.000 1, ,00 Fonte: dados hpotétcos Importante: Não pode comparar dretamente as colunas das frequêncas das Tabelas 9 e 10, pos os totas de empregados são dferentes nos dos casos. Mas as colunas das porcentagens são comparáves, já que as frequêncas foram reduzdas a um mesmo total. (no caso 100). Gráfcos para varáves qualtatvas O gráfco de colunas múltplas (Fgura 10) segundo a varável qualtatva, grau de nstrução das Tabelas 9 e 10, fca:

25 porcentagem (%) Orçamento Companha 0 Fundamental Médo Superor Grau de nstrução Fgura 10 Grau de nstrução dos funconáros da Seção de Orçamento e da Companha MB Já o gráfco de lnhas (Fgura 11) referente a varável, grau de nstrução das Tabelas 9 e 10, fca: porcentagem (%) Orçamento Companha 0 Fundamental Médo Superor Grau de nstrução Fgura 11 Grau de nstrução dos funconáros da Seção de Orçamento e da Companha MB Gráfcos para varáves quanttatvas Consderando-se, agora, a varável quanttatva dscreta a ser estudada, número de flhos dos empregados casados da seção de orçamentos da Companha MB (Tabela 3). A Tabela 11 apresenta a dstrbução de frequêncas e as porcentagens desta varável.

26 Tabela 11: Frequêncas e porcentagens dos empregados da seção de orçamentos da Companha MB, segundo o número de flhos N o de Flhos Frequênca (n ) Porcentagem (%) Total Fonte: Tabela 3 O gráfco de colunas (Fgura 1) da varável quanttatva do número de flhos dos empregados casados da seção de orçamentos da Companha MB da Tabela 11, é representado da segunte forma: 8 6 Frequênca Número de flhos Fgura 1 Número de flhos dos empregados dos casados da seção de orçamento da Companha A construção de tabelas de frequêncas para varáves contínuas necessta de certo cudado. Por exemplo, a construção da tabela de frequêncas para a varável saláro (Tabela 3) usando o mesmo procedmento anteror, não resumrá as 36 observações num grupo menor, pos não exstem observações guas. A solução empregada é agrupar os dados por faxas de saláro. A Tabela 1 dá a dstrbução de frequêncas dos saláros dos 36 empregados da seção de orçamentos da Companha MB por faxa de saláros.

27 3 Tabela 1: Frequêncas e porcentagens dos 36 empregados da seção de orçamentos da Companha MB por faxa de saláro Classe de Saláros Frequênca (n ) Porcentagem (%) 4, ,00 8, ,00 1, ,00 16, ,00 0, , ,78 33,33, 13,89,78 Total ,00 Fonte: Tabela 3 Procedendo-se desse modo, ao resumr os dados referentes a uma varável contínua, perde-se alguma nformação. Por exemplo, não se sabe quas são os oto saláros da classe de 1 a 16, a não ser que se nvestga a tabela orgnal (tabela 3). Sem perda de muta precsão, pode-se supor que todos os oto saláros daquela classe fossem guas ao ponto médo da referda classe, sto é, 14. A dstrbução de frequêncas é mportante quando exste uma grande quantdade de dados. A fnaldade em agrupar os dados é facltar a vsualzação e também os cálculos deles, porém, a determnação das meddas de posção e de dspersão para uma varável quanttatva contínua, através de sua dstrbução de frequêncas, exge aproxmações, já que perde a nformação dos valores observados. Não há um modo únco par se construr uma tabela de frequênca por classe de valores. A escolha dos ntervalos é arbtrára e a famlardade do pesqusador com os dados é que lhe ndcará quantas classes (ntervalos) devem ser usadas. Entretanto, deve-se observar que, com um pequeno número de classes, perde-se nformação, e com um número grande de classes, o objetvo de resumr os dados fca prejudcado. Estes dos extremos têm a ver, também, com o grau de suavdade da representação gráfca dos dados. Normalmente, sugere-se o uso de 5 a 15 classes com a mesma ampltude. As classes não precsam ter ampltude constante, mas por uma questão de smplfcação da construção da representação gráfca, geralmente são classes com

28 4 ntervalos constantes. Por outro lado, exstem técncas para construção de tabelas de dstrbução de frequêncas para ntervalos contínuos (dados agrupados). Etapas para a construção de tabelas de frequênca para dados agrupados: 1) O cálculo da ampltude total dos dados é a dferença entre o maor e o menor valor da sére, sto é: At = n o do maor n o do menor ) Não exstndo um crtéro rígdo para estabelecer o número deal de ntervalos, sugere-se que não se utlze menos de 5 e não mas de 15 ntervalos. A experênca tem demonstrado que se pode fxar o número de ntervalo como: K = n ou K = 1+ 3,3.log n, para uma amostra de tamanho n 3) O ntervalo das classes (ampltude de classes) pode ser feto dvdndo-se a ampltude total pelo número de classes, sto é: a C = At K Assm, pode construr os ntervalos partndo do menor valor do conjunto e somando a ampltude calculada (a C ), o que permte determnar os lmtes dos ntervalos. Aplcação: A Tabela 13 apresenta uma dstrbução de frequênca usando as técncas de construção dos 50 valores, em decbés, de nível de ruído de tráfego em certo cruzamento estão apresentados a segur: Cálculo: At = X max X mn = 71,9 58,0 = 13,9 k = n = 50 7 a C = K At 13,9 = = 7

29 5 Tabela 13: Nível de ruído, em decbés, de tráfego em certo cruzamento Nível de ruído (em db) Quantdade ( f ) Ponto médo ( x ) Freq. Acum. ( F ac ) ( f x. ) ( x. f ) 58, , ,0 -- 6, , , , , , , , , ,0 -- 7, Total Os resultados referentes a varáves contínuas frequentemente são organzados em tabelas de dstrbuções de frequêncas por ntervalos. Três tpos de gráfcos geralmente são utlzados neste caso: hstograma, polígono de frequênca e ogvas. a) Hstograma (Fgura 13) é a representação gráfca de uma dstrbução de frequênca por meo de retângulos justapostos, contendo as classes de valores na abscssa e as frequêncas, absolutas ou relatvas, nas ordenadas, centradas nos pontos médos Quantdade Nível de ruído (db) Fgura 13 Nível de ruído (db) em certo cruzamento Através da fgura, pode-se dzer que 10 níves de ruído foram nferores a 6 decbés, ou 5 níves de ruído foram guas ou superores a 70 decbés.

30 6 b) Polígono de frequêncas (Fgura 14) é a representação gráfca de uma dstrbução de frequênca, contendo os pontos médos de cada classe na abscssa e as frequêncas, absolutas ou relatvas, nas ordenadas Frequênca Nível de ruído (db) Fgura 14 Nível de ruído (db) em certo cruzamento O gráfco de uma dstrbução cumulatvo é chamado de ogva (Fgura 15). Os valores dos dados são mostrados no exo horzontal e as frequêncas cumulatvas são apresentadas no exo vertcal. 60 Frequênca x Nível de ruído (db) Fgura 15 Nível de ruído (db) acumulado em certo cruzamento As frequêncas nesse exemplo foram acumuladas de modo crescente. Há casos, no entanto, que a acumulação das frequêncas é feta de modo decrescente. Este gráfco pose ser usado para fornecer nformações adconas. Por exemplo, para saber qual o nível de ruído x tal que 30 das quantdades (frequêncas) atngem menos do que x, basta procurar o ponto (x, 30) na curva. Observando as lnhas pontlhadas no gráfco, nota-se que a solução é aproxmadamente 67 decbés.

31 7 5.6 LISTA 1 EXERCÍCIOS 1) Ao nascer, os bebês são pesados e meddos, para se saber se estão dentro das tabelas de peso e altura esperados. Estas duas varáves são: a) qualtatvas b) ambas dscretas c) ambas contínuas d) contínua e dscreta, respectvamente e) dscreta e contínua, respectvamente ) A dstrbução abaxo ndca o número de acdentes ocorrdos em uma empresa com 70 funconáros. (dados fctícos). N o de acdentes N o de funconáros Determne: a) o número de funconáros que não sofreram acdente; b) o número de funconáros que sofreram pelo menos 4 acdentes; c) o número de funconáros que sofreram 1 < acdentes 4; d) o número de funconáros que sofreram no mínmo 3 e no máxmo 5 acdentes; e) a porcentagem dos funconáros que sofreram no mínmo 5 acdentes; f) a porcentagem dos funconáros que sofreram entre e 4 acdentes; g) gráfcos de colunas e de barras. 3) Os depóstos bancáros da Empresa AKI-SE-TRABALHA, em mlhares de Reas, Fev/Mar, 005: 3,7 1,6,5 3,0 3,9 1,9 3,8 1,5 1,1 1,8 1,4,7,1 3,3 3,,3,3,4 0,8 3,1 1,8 1,0,0,0,9 3, 1,9 1,6,9,0 1,0,7 3,0 1,3 1,5 4,,4,1 1,3,7,1,8 1,9 a) Ordenar os dados pelo dspostvo ramo e folhas. (também pelo computador). b) Construa a dstrbução de frequêncas usando as técncas de construção. c) Faça o hstograma, o polígono de frequênca e a ogva do tem b.

32 8 4) Se os saláros dos professores do Estado aumentam em 0% em dado período, enquanto o Índce de Preços aumenta em 10%, então, o aumento real de saláro, durante o período, fo: a) de 10% b) maor que 10% c) menor que 10% d) nulo 5) Substtur por uma tabela o trecho do relatóro segunte retrado do IBGE - Estatístcas de Regstro Cvl 004. No Brasl, a porcentagem de óbtos volentos para ndvíduos do sexo masculno entre 000 e 003, nas Regões; Norte, Nordeste, Sudeste, Sul e Centro Oeste são: 000 Norte 17,4%, Nordeste 13,4%, Sudeste 17,3%, Sul 13,6% e Centro-Oeste 19,6%; 001 Norte 17,6%, Nordeste 13,5%, Sudeste 17,4%, Sul 14,6% e Centro-Oeste 19,4%; 00 Norte 17,5%, Nordeste 13,4%, Sudeste 17,5%, Sul 13,5% e Centro-Oeste 19,5%; 003 Norte 15,8%, Nordeste 13,6%, Sudeste 17,0%, Sul 13,3% e Centro-Oeste: 19,7%. Construr também o gráfco de colunas. 6) Substtur por uma tabela o trecho do relatóro segunte retrado do IBGE - Estatístcas de Regstro Cvl 004. No Brasl, a porcentagem de óbtos volentos para ndvíduos do sexo masculno é quase 4 vezes superor à do sexo femnno. Baseado em dados exstentes entre 000 e 003, a stuação no Norte, Nordeste, Sudeste, Sul e Centro Oeste é a segunte: 000 Norte: 17,4% masculno e 5,8% femnno; Nordeste: 13,4% masculno e 3,8% femnno; Sudeste: 17,3% masculno e 4,4% femnno; Sul: 13,6% masculno e 4,4% femnno e Centro- Oeste: 19,6% masculno e 6,5% femnno; 001 Norte: 17,6% masculno e 5,9% femnno; Nordeste: 13,5% masculno e 3,8% femnno; Sudeste: 17,4% masculno e 4,3% femnno; Sul: 14,6% masculno e 5,1% femnno e Centro- Oeste: 19,4% masculno e 6,4% femnno; 00 Norte: 17,5% masculno e 5,8% femnno; Nordeste: 13,4% masculno e 3,7% femnno; Sudeste: 17,5% masculno e 4,% femnno; Sul: 13,5% masculno e 5,7% femnno e Centro- Oeste: 19,5% masculno e 6,3% femnno; 003 Norte: 15,8% masculno e 4,7% femnno; Nordeste: 13,6% masculno e 3,4% femnno; Sudeste: 17,0% masculno e 4,3% femnno; Sul: 13,3% masculno e 3,6% femnno e Centro- Oeste: 19,7% masculno e 6,0% femnno.

33 9 7) Um professor preencheu uma tabela, envado pelo Departamento de Educação, com os seguntes dados: Sére e Turma 1 o B 1 o C 1 o E 1 o F N o de alunos 30/ N o de alunos 30/ Promovdos sem recupe reção Retdos sem Recupe ração Em recupe ração Recupe rados Não Recupe rados Total Geral Promo vdos Total Pede-se: a) a taxa de evasão, por classe; b) a taxa de evasão total; c) a taxa de aprovação, por classe; d) a taxa de aprovação geral; e) a taxa de recuperação, por classe; f) a taxa de recuperação geral; g) a taxa de reprovação na recuperação geral; h) a taxa de aprovação, sem a recuperação; ) a taxa de retdos, sem a recuperação. Ret dos ) A tabela abaxo apresenta uma dstrbução de frequênca das áreas de 400 lotes: Áreas (m ) N o de Lotes Determne: a) o lmte nferor da qunta classe b) o ponto médo da sétma classe c) a ampltude do ntervalo da sexta classe d) a frequênca da quarta classe e) a frequênca relatva da sexta classe f) a freq. acumulada da qunta classe g) o número de lotes cuja área não atnge 700 m. h) o número de lotes gual ou maor a 800 m. ) a porcentagem dos lotes cuja área não atnge 600 m. j) a porcentagem dos lotes cuja área é de 500 m, no mínmo, mas nferor a m.

34 30 6 MEDIDAS ESTATÍSTICAS Além da construção de tabelas e gráfcos, a análse exploratóra de dados, consste também de cálculos de meddas estatístcas que resumem as nformações obtdas dando uma vsão global dos dados. Essas meddas, também conhecdas como meddas descrtvas, recebem o nome genérco de estatístcas quando calculada com os dados da amostra, e de parâmetros quando calculadas com dados populaconas. Dentre as meddas estatístcas as mas utlzadas são as de tendênca central (ou de posção) e as de dspersão (ou de varabldade). Destacam-se, anda, as separatrzes, as assmetras e os box plot. 6.1 MEDIDAS TENDÊNCIA CENTRAL (POSIÇÃO) As meddas de tendênca central são aquelas que produzem um valor em torno do qual os dados observados se dstrbuem, e que vsam sntetzar em um únco número o conjunto de dados. As meddas de tendênca central são: méda artmétca, medana e moda Méda Uma das meddas estatístcas mas utlzadas na representação de uma dstrbução de dados é a méda artmétca, na sua forma smples, ou ponderada. No prmero caso dvde-se a soma de todos os valores da sére pelo número de observações, enquanto no segundo, mas utlzado em dstrbuções de frequêncas, os valores são ponderados pelas frequêncas com que ocorrem e depos dvdem-se pelo total das frequêncas (este segundo caso será vsto em dstrbução de frequêncas): Smples: X n x x x x Σ n = 1 = = ou smplesmente n n X = n x Exemplo: Foram levantados os dâmetros de 10 peças (cm) da Empresa AA Ltda. As meddas foram as seguntes: 13,1 13,5 13,9 13,3 13,7 13,1 13,1 13,7 13, 13,5. Portanto, dâmetro médo é 13,41 cm.

35 31 A méda artmétca possu algumas propredades desejáves e não desejáves e são as seguntes:. Uncdade. Para um conjunto de dados exste somente uma méda artmétca.. Smplcdade. A méda artmétca é fácl de ser nterpretada e de ser calculada.. Todos os valores entram para o cálculo da méda artmétca, porém, os valores extremos afetam no valor calculado, e em alguns casos pode haver uma grande dstorção, tornando, neste caso, a méda artmétca ndesejável como medda de tendênca central. Como a méda é nfluencada por valores extremos da dstrbução, ela só deve ser utlzada em dstrbuções smétrcas, ou levemente assmétrcas, e em dstrbuções não heterogêneas. Sua aplcação nos dos casos acma é precára e de pouca utldade prátca, pos perde sentdo prátco e capacdade de representar a dstrbução que a orgnou. Também nos casos de sére em que o fenômeno tem uma evolução não lnear, como as séres de valores fnanceros no tempo, de acordo com uma captalzação composta, a méda mas recomendada sera a geométrca. Fnalmente, não se recomenda à aplcação da méda artmétca nas séres cujos valores representem relações recíprocas, como por exemplo, velocdades, expressas através da relação entre o espaço e o tempo. Neste últmo caso recomenda-se a utlzação da méda harmônca Medana A medana é o valor que ocupa a posção central de um conjunto de valores ordenados, ou seja, medda dvde a dstrbução de valores em duas partes guas: 50% acma e 50% abaxo do seu valor. Quando o conjunto possu quantdade par de valores, há dos valores centras, neste caso, a medana é o valor médo dos dos valores centras do conjunto de dados ordenados. Exemplo: Com os dados do exemplo anteror, calcular a medana. 13,1 13,1 13,1 13, 13,3 13,5 13,5 13,7 13,7 13,8 Nesta sére tem-se número par de observações logo, têm-se dos valores centras e são 13,3 e 13,5. Logo, a medana é 13,4 cm.

36 3 Suponha, neste mesmo exemplo que se acrescente o valor 14,0 tornando um rol de número ímpar, 13,1 13,1 13,1 13, 13,3 13,5 13,5 13,7 13,7 13,8 14,0 a 13,5 cm. Neste caso, a sére possu apenas um valor central logo, a medana é gual Propredades da medana. Uncdade. Exste somente uma medana para um conjunto de dados... Smplcdade. A medana é fácl de ser calculada. A medana não é tão afetada pelos valores extremos como a méda artmétca, por sso, se dz que a medana é uma medda robusta. Conceto de resstênca de uma medda Dz-se que uma medda de centraldade ou de dspersão é resstente quando ela é pouco afetada pela presença de observações dscrepantes. Entre as meddas de centraldade, a méda é bem menos resstente que a medana. Por outro lado, entre as meddas de dspersão, o desvo padrão é bem menos resstente do que o desvo nter-quartílco Moda Moda de um conjunto de valores é o valor que ocorre com maor frequênca, sua aplcação não depende do nível de mensuração da varável, sendo aplcada tanto a fenômenos qualtatvos quanto quanttatvos. Se todos os valores forem dferentes não há moda, por outro lado, um conjunto pode ter mas do que uma moda: bmodal, trmodal ou multmodal. Exemplo: Para os dados dos exemplos anterores a moda é gual a 13,1 cm. A moda pode ser utlzada para descrever dados qualtatvos. Por exemplo, suponha que os pacentes vstos em uma clínca de saúde mental durante um determnado ano receberam um dos seguntes dagnóstcos: retardo mental, pscose,

37 33 neurose e mudança de personaldade. O dagnóstco que ocorre com maor frequênca no grupo de pacentes pode ser chamado de dagnóstco modal. 6. MEDIDAS DE DISPERSÃO A dspersão de conjunto de dados é a varabldade que os dados apresentam entre s. Se todos os valores forem guas, não há dspersão; se os dados não são guas, exste dspersão entre os dados. A dspersão é pequena quando os valores são próxmos uns dos outros. Se os valores são muto dferentes entre s, a dspersão é grande, assm, as meddas de dspersão apresentam o grau de agregação dos dados. Veja como exemplo a Tabela 14. Tabela 14: Valores das séres A, B e C Repetção Sére A Sére B Sére C Méda Medana Nota-se que a sére A não apresenta dspersão, já os valores da sére B apresentam certa dspersão em torno da méda 45, e os valores da sére C apresentam uma dspersão em torno da méda e maor do que a da sére B. As meddas descrtvas mas comuns para quantfcar a dspersão são: ampltude, desvo médo, varânca, desvo-padrão e coefcente de varação Ampltude Uma manera de medr a varação em um conjunto de valores é calcular a ampltude. A ampltude é a dferença entre o maor e o menor valor de um conjunto de observações. At = n o maor n o menor

38 34 Exemplo: Determnar ampltude total da sére: A, B e C. A utldade da ampltude total como medda de dspersão é muto lmtada, pos depende apenas dos valores extremos. A maor vantagem em usá-la é a smplcdade do seu cálculo. 6.. Desvo Médo Uma vez que se deseja medr a dspersão ou grau de concentração dos valores em torno da méda, nada mas nteressante do que analsar o comportamento dos desvos de cada valor em relação à méda, sto é: d = ( x x) Porém, para qualquer conjunto de dados, a soma de todos os desvos é gual a zero, sto é: d = ( x x) = 0 Neste caso, consdera-se o módulo de cada desvo x x, evtando com sso que d = 0. Dessa forma, o desvo de um conjunto de n valores é dado por: DM n = = 1 x x Exemplo: Determnar desvo médo da sére B. n 6..3 Varânca Embora o desvo médo seja uma medda melhor do que a Ampltude, anda não é uma medda deal, pos não dscrmna pequenos dos grandes afastamentos em relação à méda. Se para elmnar o problema dos snas, ao nvés de consderarmos os valores absolutos elevarmos os afastamentos ao quadrado, estaremos não apenas elmnando o problema dos snas como também potencalzando os afastamentos, enfatzando os grandes desvos em relação às

39 35 observações mas próxmas da méda. Como resultado defne a medda de varação, denomnada de varânca, como: s = n = 1 ( X X ) ou n 1 = = 1 Exemplo: Determnar as varâncas das séres A, B e C. s n X ( n 1 n = 1 X n ) Esta estatístca solada tem dfícl nterpretação por apresentar undade de medda gual ao quadrado da undade de medda dos dados Desvo Padrão Devdo à dfculdade de nterpretação da varânca, por ter sua undade de medda ao quadrado, na prátca usa-se o desvo padrão que é a raz quadrada da varânca, ou seja: s = s Exemplo: Determnar os desvos-padrão das séres A, B e C Erro Padrão Dferentes amostras retradas de uma mesma população podem apresentar médas dferentes. A varação exstente entre este conjunto de médas é estmada através do erro padrão, que corresponde ao desvo padrão das médas, sendo representado por s e calculado pela fórmula: x s x = s n 6..6 Coefcente de Varação Uma pergunta que pode surgr é se um desvo-padrão é grande ou pequeno; questão relevante, por exemplo, na avalação da precsão de métodos. Um desvopadrão pode ser consderado grande ou pequeno dependendo da ordem de grandeza da varável. Por exemplo, um desvo-padrão de 10 pode ser nsgnfcante

40 36 se a observação típca for , mas será um valor bastante sgnfcatvo para um conjunto de dados cuja observação típca é 100. O coefcente de varação é uma medda relatva de dspersão, utlzada para comparar, em termos relatvos, o grau de concentração em torno da méda. É representada por: s CV = X O CV é uma medda admensonal, sto é, sem undade de medda, podendo ser expressa em termos decmas ou percentuas (multplcando por 100). Dzemos que uma dstrbução é homogênea quando a varabldade relatva expressa pelo coefcente de varação, não ultrapassar a 0%. Obvamente a dstrbução não dexa de ser homogênea para valores maores do que 0% mas va perdendo o grau de homogenedade na medda em que o coefcente aumenta. Exemplo: Determnar o erro padrão e o coefcente de varação das séres A, B e C. Esta medda pode ser bastante útl na comparação de duas varáves ou dos grupos que a prncípo não são comparáves (por exemplo, com ordens de grandeza das varáves dferentes). Exemplo: Comparação dos depóstos bancáros de duas Empresas (mlhares R$). A Empresa X depostou, em méda mensal,,0 (mlhares R$) e um desvopadrão de 0,5 (mlhares R$). A Empresa Y depostou méda mensal,,3 (mlhares R$) e um desvo-padrão de 0,8 (mlhares R$). A Empresa Y apresenta não só uma méda mensal mas alta como também maor varabldade em torno da méda. O coefcente de varação capta esta dferença. Neste caso, o coefcente de varação é 5% para a Empresa X e 34,8% para a Empresa Y. Alguns especalstas consderam: Baxa dspersão: CV 15% Méda dspersão: 15% < CV < 30% Alta dspersão: CV 30%.

41 SEPARATRIZES: QUARTIS, DECIS E PERCENTIS Os quarts, decs e percents são muto smlares à medana, uma vez que também subdvdem a dstrbução de meddas de acordo com a proporção das frequêncas observadas. Os quarts dvdem um conjunto de dados em quatro partes guas, sto é, 5% por parte. 0% 5% 50% 75% 100% Q 1 Q Q 3 onde: Q 1 = 1 0 quartl, dexa 5% dos elementos. Q = 0 quartl, dexa 50% dos elementos (concde com a medana). Q 3 = 3 0 quartl, dexa 75% dos elementos. parte. Os decs dvdem um conjunto de dados em dez partes guas, sto é, 10% por 0 10% 0%... 90% 100% D 1 D... D 9 onde: D 1 = 1 0 decl, dexa 10% dos elementos. D = 0 decl, dexa 0% dos elementos.... D 9 = 9 0 decl, dexa 90% dos elementos. Já, os percents permtem dvdr o conjunto de dados em 100 partes, sendo e 1% em cada parte. 0% 1% %... 50%... 98% 99% 100% P 1 P... P P 98 P 99 onde: P 1 = 1 0 percentl, dexa 1% dos elementos. P = 0 percentl, dexa % dos elementos.... P 99 = 99 0 percentl, dexa 99% dos elementos.

42 38 A medana é o percentl de ordem 50. Pos, a medana é um valor que dvde o conjunto de dados em duas partes guas, ou seja, 50% dos dados fcam abaxo e 50% acma. Os percents de ordem 5, 50 e 75 são os respectvamente prmero, segundo e tercero quarts, porque dvdem a dstrbução em 1/4, /4 = 1/ e 3/4. Logo o Q é outra notação para a medana. Enquanto que os decs D 1, D,,...,D 9 são os valores que dvdem o conjunto em dez partes guas, que concdem com os percents P 10, P 0,,...,P 90, que também dvdem os dados em grupos com 10% em cada um. Portanto, os quarts e os decs estão nserdos nos percents. Para determnar o valor correspondente a um certo quartl, decl ou percentl, deve segur a segunte sequênca: Ordenar os dados do menor para o maor. Localzar a posção (L), dado por: L = k.n 100 onde: k é o percentual desejado e n é o número de valores do conjunto de dados. Se o valor de L for decmal, arredonda o seu valor para o maor ntero mas próxmo, e quando o valor de L for ntero, deve-se somar o valor correspondente a L ao valor de L+1 e dvdr o resultado por. Consdere os depóstos bancáros da Empresa AKI-SE- TRABALHA, em mlhares de Reas, Fev/Mar, 005, fca: 0,8 1,0 1,0 1,1 1,3 1,3 1,4 1,5 1,5 1,6 1,6 1,8 1,8 1,9 1,9 1,9,0,0,0,1,1,1,3,3,4,4,5,7,7,7,8,9,9 3,0 3,0 3,1 3, 3, 3,3 3,7 3,8 3,9 4, Por exemplo: O percentl 5 que corresponde ao prmero quartl, que dexa 5% dos dados abaxo e 75% dos dados acma dele, usa-se:

43 39 O percentl de ordem 5 (P 5 ) que dexa 5% dos dados abaxo é: 5 x 43 L = = 10,75 (11 o, é aposção que ocupa no conjunto). 100 Então, P 5 = 1,6 (que é gual ao prmero quartl, sto é Q1 = 6,5). Isto mplca que 5% dos depóstos bancáros da empresa são guas ou abaxo de 1,6 (mlhares de reas). 6.4 ASSIMETRIA Embora as medas de posção e de varação possbltam descrever estatstcamente um conjunto de dados, é necessáro verfcar como está se comportando de forma geral essa dstrbução, o que é possível através da dstrbução de frequênca e de hstograma. Sendo que as dstrbuções possam tomar pratcamente qualquer forma, a maora que se encontra na prátca é dscreta por alguns tpos padrão. É de suma mportânca que a dstrbução seja em forma de sno, ou seja, é uma dstrbução smétrca, pos metade da esquerda do seu hstograma é aproxmadamente a magem-espelho da metade dreta. As dstrbuções consderadas assmétrcas apresentam uma cauda em uma das extremdades, quando está à dreta, é postvamente assmétrca, e se está à esquerda, é negatvamente assmétrca. As dstrbuções consderadas assmétrcas apresentam uma cauda em uma das extremdades, quando está à dreta, é postvamente assmétrca, e se está à esquerda, é negatvamente assmétrca. Para verfcar o tpo e o grau da assmetra da dstrbução utlza-se a medda estatístca admensonal denomnada de Coefcente de Assmetra de Pearson, defndo como: 3( x Md) As = s Para uma dstrbução perfetamente smétrca, o valor de As é zero, de modo geral, os valores As stuam-se entre 3 e 3. forte. Se, 0,15 < As < 1, a assmetra é consderada moderada; se As > 1, é

44 40 Em uma dstrbução smétrca, a méda ( x ), a medana (Md) e a moda (Mo) são guas, sto é, x = Md = Mo. Em uma dstrbução assmétrca postva ou assmétrca à dreta, a méda é maor que a medana, e esta, por sua vez, maor que a moda ( x > Md > Mo), ao passo que, em uma dstrbução assmétrca negatva ou assmétrca à esquerda, a méda é menor que a medana, e esta, menor que a moda ( x < Md < Mo). A Fgura 16 apresenta um esquema dessas dstrbuções: x = Md = Mo Mo < Md < x x < Md < Mo Fgura 16: gráfcos smétrco e assmétrco à dreta e à esquerda 6.5 CURTOSE Curtose é o grau de achatamento de uma dstrbução em relação a uma dstrbução padrão, denomnada de curva normal. A curva normal, que é nossa base referencal, recebe o nome de mesocúrtca. Já, uma dstrbução que apresentar uma curva de frequênca mas achatada do que a normal é denomnada de leptocúrtca, e a que apresentar uma curva de frequênca mas aberta, recebe o nome de platcúrtca. A Fgura 17 apresenta um esquema dessas curvas. f(x f(x f (x C C x mesocúrtca leptocúrtca platcúrtca x C x Fgura 17: Classfcação das curvas em relação a uma dstrbução padrão

45 41 Para verfcar o tpo de curva (da dstrbução) e o grau de curtose utlza-se a medda estatístca admensonal denomnada de Coefcente de Curtose defndo como: Q3 Q1 C = ( P90 P10 ) Para uma curva relatvamente à normal, tem-se que C = 0,63. Isto é: Se C = 0,63 curva mesocúrtca C < 0,63 curva leptocúrtca C > 0,63 curva platcúrtca 6.6 BOX PLOT O box plot ntroduzdo pelo estatístco amercano John Tukey em 1977 é a forma de representar grafcamente os dados da dstrbução de uma varável quanttatva em função de seus parâmetros. Os cnco tens ou valores: o menor valor (x 1 ), os quarts (Q 1, Q e Q 3 ) e o maor valor (x n ), são mportantes para se ter uma déa da posção, dspersão e assmetra da dstrbução dos dados. Na sua construção são consderados os quarts e os lmtes da dstrbução, permtndo uma vsualzação do posconamento da dstrbução na escala da varável. Para melhor compreensão deste box plot, a Fgura 18 apresenta um esquema sntetzado: Lmte nferor Valores típcos Lmte superor Outlers Ponto extremo 0 * LI Q 1 Md Q 3 LS Valores 1,5DQ DQ 1,5DQ 3,0DQ Fgura 18: Esquema para construção do box plot

46 4 A escala de medda da varável encontra-se na lnha horzontal do quadro onde está nserda a fgura. Na caxa retangular da fgura são fornecdos os quarts Q 1, na parte esquerda, e Q 3 na parte dreta da caxa. Entre eles encontra-se a Medana da dstrbução. Observe que 50% da dstrbução têm valores dentro da caxa. As lnhas horzontas que saem da caxa termnam nos lmtes nferor (LI) e superor (LS) da dstrbução. Entre esses lmtes encontram-se os valores consderados como típcos da dstrbução. Esses lmtes são determnados em função da dstânca entre os dos quarts (Q 3 e Q 1 ), sto é, do desvo nter-quartílco: DQ = Q 3 Q 1. Observações com afastamento superor a 1,5 desvo nter-quartílco, para cma ou para baxo, são consderadas atípcas, ou possíves outlers. Os pontos que estão mas de 1,5 DQ e menos que 3,0 DQ, são chamados de outlers, aparecendo (o). Valores com afastamento superor a 3,0 DQ, para cma ou para baxo são consderados como pontos extremos, aparecendo na fgura com (*). Quanto maor for o valor do desvo nter-quartílco, maor a varabldade da dstrbução. Obs. Mutos lvros e softwares apenas comentam sobre os pontos atípcos chamando-os de outlers (pontos dscrepantes). O box plot também fornece nformações mportantes sobre o comportamento do conjunto de dados, como smetra e varabldade. Se a ampltude for muto maor que à dstânca nterquartílca e a medana estver mas próxma do 1 o quartl do que do 3 o quartl, há forte ndcação de assmetra postva e de grande dspersão das observações. Exemplo: O objetvo da admnstração é lucrar o máxmo possível com o captal nvestdo em sua empresa. Uma medda de bom desempenho é o retorno sobre os nvestmentos. A segur são apresentados os mas recentes retornos em mlhares (R$)

47 43 A medana é.405 e os quarts Q 1 =.365 e Q 3 =.500. A resenha dos dados mostra um menor valor.10 e um maor valor de.85. Assm, a regra de cnco tens (números) para os dados de pesos dos recém nascdos é.10;.365;.405;.500;.85. Além desses valores, têm-se os lmtes, nferor que é dado por LI = Q 1 1,5DQ e superor LS = Q 3 + 1,5DQ. No caso, LI =.16,5 e LS =.70,5. Os dados fora destes lmtes são consderados pontos fora da curva. Neste caso, o =.85 é um outlers. A Fgura 19 apresenta um esquema do box plot com esses resultados: Retorno Medana = 405 Q 1 =365 e Q 3 = 500 X 1 = 10 X 11 = 630 Outlers = 85 Fgura 19: Resultados do desempenho de retorno de nvestmento da empresa Observações atípcas (outler) É muto comum aparecerem entre os dados coletados, observações atípcas (outlers), sto é, valores muto grande ou muto pequeno em relação aos demas. Um conjunto de dados pode apresentar apenas um ou város outlers. Observações atípcas alteram enormemente as médas e varabldade dos grupos a que pertencem e podem até mesmo dstorcer as conclusões obtdas através de uma análse estatístca padrão. Portanto, é de fundamental mportânca detectar e dar um tratamento adequado a elas. É sempre boa a prátca fazer-se uma

48 44 nspeção dos dados no níco da análse estatístca. Técncas descrtvas de dados têm um papel mportante nesta fase. Causas do aparecmento de outlers Dentre as possíves causas do aparecmento de outlers, pode ctar as seguntes: Letura, anotação ou transção ncorreta dos dados. Erro na execução do expermento ou na tomada da medda. Mudanças não controláves nas condções expermentas ou dos pacentes. Como detectar outlers As questões báscas são quas observações devem ser consderadas como outlers e como detectá-los. Exstem procedmentos para responder a essas perguntas. Os outlers podem ser detectados smplesmente por uma verfcação lógca dos dados, através de gráfcos específcos ou anda através de teste aproprados. Uma forma gráfca usual é o box plot. As plotagens de retângulos são outras maneras de dentfcar os pontos fora da curva. Mas eles não necessaramente dentfcam os mesmos valores que aqueles com uma contagem-z menor que -3 ou maor que +3. No entanto, o objetvo de ambas as abordagens é smplesmente dentfcar os valores de dados extremos que devem ser revsados para assegurar a valdade dos dados. Pontos fora da curva dentfcados pelos dos métodos devem ser revsados.

49 MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Quando exste uma grande quantdade de dados, estes podem ser agrupados. A fnaldade em agrupar os dados é para facltar os cálculos. Exemplo: Um novo medcamento para ccatrzação está sendo testado e um expermento é feto para estudar o tempo (em das) de completo fechamento em cortes provenentes de crurga. Uma amostra em trnta cobaas forneceu os valores: 15, 17, 16, 15, 17, 14, 17, 16, 16, 17, 15, 18, 14, 17, 15, 14, 15, 16, 17, 18, 18, 17, 15, 16, 14, 18, 18, 16, 15 e 14. a) Organze uma tabela de frequênca. b) Obter as frequêncas relatvas de cada classe. c) Calcular a méda. d) Que porcentagem das observações está abaxo de 16 das? e) Classfque como rápda as ccatrzações guas ou nferor a 15 das e como lenta as demas. Quas as porcentagens para cada classfcação. Solução: a e b Ccatrzação total Frequênca Frequênca relatva 0,167 0,33 0,00 0,33 0,167 1,000 x. f x. f 480 Méda x = = = 16 n 30 A determnação das meddas de posção e de dspersão para uma varável quanttatva contínua, através de sua dstrbução de frequêncas, exge aproxmações, já que perde a nformação dos valores observados. Por exemplo, com as quantdades de depóstos bancáros (mlhares R$), a dstrbução de frequênca está representada na Tabela 15.

50 46 Tabela 15: Nível de ruído, em decbés, de tráfego em certo cruzamento Nível de ruído (em db) Quantdade ( f ) Ponto médo ( x ) Freq. Acum. ( F ac ) ( f x. ) ( x. f ) 58, , ,0 -- 6, , , , , , , , , ,0 -- 7, Total Como fo dto, no agrupamento dos dados acarreta alguma perda de nformação. Cada elemento perde sua dentdade, por sso, sabem apenas quantos elementos há em cada classe. Uma aproxmação razoável é supor que todos os valores dentro de cada classe tenham seus valores guas ao ponto médo desta classe Méda Para o cálculo da méda, em geral, obtém-se uma boa aproxmação atrbundo a cada elemento que se enquadra em uma classe o valor médo correspondente. Esse processo em geral é satsfatóro, pos os erros ntroduzdos nos cálculos tendem a compensar-se. A fórmula para a méda de uma dstrbução de frequêncas, onde x 1, x,..., x n são os valores médos das classes, ponderados pelas frequêncas correspondentes f 1, f,..., f n é dada por: 6.7. Medana n x. f = x = 1 n, assm 3.68 x = = 65,36 50 A medana dvde um conjunto de dados ordenados em duas partes guas. A expressão para determnar a medana de uma dstrbução de frequêncas é dada por:

51 47 n Fac 1 Md = l + ac, assm f M d 5 16 Md = 64 + = 66, 0 9 onde: l = lmte nferor da classe da medana; n = número de elementos; a C = ampltude da classe; F ac-1 = frequênca acumulada anteror à classe da Md; f Md = frequênca smples da classe da Md; Para sso tem-se que: 1 0 ) Calcular a posção, sto é, a ordem n/. 0 ) Identfcar a classe que contém a medana, pela frequênca acumulada Moda A moda de um conjunto de n números é o valor que ocorre com maor frequênca. A expressão para determnar a moda de uma dstrbução de frequêncas é dada por: 1 Mo = l + a C, assm Mo = 66 + = 66, Para sso tem que dentfcar a classe modal (de maor frequênca) l = lmte nferor da classe modal; a C = ampltude da classe. 1 = dferença entre a frequênca da classe modal e a anteror; = dferença entre a frequênca da classe modal e a posteror; Obs. Pelos cálculos, nota-se que a curva dos dados da tabela é assmétrca à dreta, já que a méda > medana > moda Separatrzes: Quarts, Decs e Percents a1) Quarts Os quarts dvdem um conjunto de dados em quatro partes guas. A fórmula para o cálculo dos quarts de uma dstrbução de frequênca é dada por: Q = l +. n F 4 fq ac 1 a C

52 ) Calcula-se. n, onde = 1, e ) Identfca-se a classe Q pela F ac. a) Decs Os decs dvdem um conjunto de dados em dez partes guas. A fórmula para o cálculo dos decs de uma dstrbução de frequênca é dada por: D = l +. n F 10 fd ac 1 a C 1 0. n ) Calcula-se, onde = 1,,..., ) Identfca-se a classe D pela F ac. a3) Percents Os percents dvdem um conjunto de dados em cem partes guas. A fórmula para o cálculo dos percents de uma dstrbução de frequênca é dada por: P. n F = l fp ac 1 a C 1 0. n ) Calcula-se, onde = 1,,..., ) Identfca-se a classe P pela F ac Exemplo: Calcular o percentl de ordem 50 p 50 = Md = 64 + = 66, 0 9 Como já fo dto, os quarts, decs e percents são muto smlares à medana, uma vez que também subdvdem a dstrbução de meddas de acordo com a proporção das frequêncas observadas. A medana é o percentl de ordem 50, já que a medana é um valor que dvde o conjunto de dados em duas partes guas, ou seja, 50% dos dados fcam abaxo e 50% acma. Os percents de ordem 5, 50 e 75 são chamados, respectvamente prmero, segundo e tercero quarts porque dvdem a dstrbução em 1/4, /4 e 3/4. São

53 49 representados por Q 1, Q e Q 3 e, evdentemente, Q é outra notação para a medana. Enquanto que os decs D 1, D,,...,D 9 são os valores que dvdem o conjunto em dez partes guas, que concdem com os percents P 10, P 0,,...,P 90, que também dvdem os dados em grupos com 10% em cada um. Assm, a fórmula do percentl sntetza as expressões da medana, dos quarts e dos decs Cálculo das Separatrzes Utlzando Proporções Calcular a medana utlzando proporções com os dados da Tabela 15. Neste caso constró-se o hstograma com as frequêncas relatvas (Fgura 0). Frequênca (%) % Q Nível de ruído (db) Fgura 0: O nível de ruído de certo cruzamento Q = ==> Q = 6, Exemplo: A Tabela 16 apresenta as frequêncas relatvas de ocorrêncas de faxas de altura (em cm) para uma amostra de 100 cranças de 1 anos de dade. a) Construa o hstograma b) Calcule a medana Tabela 16: Altura de 100 cranças Frequênca Faxas relatva , , , , ,10 c) Desejando-se separar as 15 cranças mas altas, qual sera o ponto de corte?

54 Desvo Médo O desvo médo para dados agrupados, sto é, de uma dstrbução de frequêncas é calculado da segunte forma: n x x f = DM = 1 n e onde: x são os pontos médos das classes e os f as respectvas frequêncas. x = x n f Varânca A expressão para o cálculo da varânca amostral de uma dstrbução de frequêncas é: s = n = 1 x f ( n 1 n = 1 x n f ) Obter a varânca referenta a tabela 0. s (368) = 50 = 1, Desvo Padrão O desvo padrão é obtdo extrando a raz quadrada da varânca, sto é: s = s ==> s = 1,94 = 3, Erro Padrão s x s = n = 3,49 50 = 0,49

55 LISTA - EXERCÍCIOS 1) Consdere os seguntes dados amostras (conjunto de peças, em gramas): a) Pede-se: a méda, a medana, a moda, o desvo médo, a varânca, o desvo padrão, o erro padrão, e o coefcente de varação. b) Os dados possuem pequena dspersão? Por quê? c) Somar 100 de cada observação para obter uma amostra com valores transformados e calcule a méda, a varânca. (Compare essa varânca com os dados orgnas). ) Os coefcentes de lqudez obtdos da análse de balanço em 60 ndústras são apresentados em forma ordenada abaxo. 4,44 4,47 4,50 4,54 4,61 4,64 4,67 4,69 4,70 4,75 4,76 4,79 4,81 4,84 4,86 4,87 4,90 4,9 4,95 4,97 4,97 5,00 5,01 5,03 5,05 5,08 5,08 5,09 5,11 5,11 5,1 5,14 5,15 5,17 5,18 5,0 5, 5,3 5,5 5,6 5,8 5,30 5,3 5,33 5,34 5,36 5,39 5,40 5,41 5,43 5,45 5,47 5,50 5,55 5,59 5,63 5,68 5,7 5,80 5,85 Pede-se: a) a méda; b) a medana; c) o prmero quartl; d) o qunto decl; e) o vgésmo qunto percentl; f) o desvo-padrão (usar calculadora); h) o coefcente de varação; ) é uma dstrbução smétrca ou assmétrca (postva ou negatva)? Justfque. j) o coefcente de curtose. Explcar o tpo da curva. l) explcar os resultados dos quarts, decs e percents; 3) Em certo ano, além de outros remédos uma farmáca vendeu quatro tpos relevantes. Vendeu 450 remédos da marca X por R$ 10,00 cada um, 350 da marca Y por R$ 130,00 cada um, 0 da marca Z por R$ 145,00 cada um e 180 da marca W por R$ 95,00 cada um de seus. Qual o valor médo desses quatro tpos de remédos venddos? 4) Em um exame de colesterol, o grau médo de um grupo A de 150 pessoas fo de 14 mg/dl e um desvo-padrão de mg/dl. Em um outro grupo B, entretanto, grau médo de 150 pessoas fo de 01 mg/dl e um desvo-padrão de 1 mg/dl. Em que grupo fo maor a dspersão?

56 5 5) Cronometrando o tempo para váras provas de uma gncana automoblístca, encontrouse: Equpe 1: Equpe : 8 provas Tempo: Tempo médo: 15 segundos N o de provas: 3 3 Varânca segundos Pede-se: a) Qual o coefcente de varação relatvo à equpe 1? b) Qual o tempo médo e o desvo padrão da equpe? c) Qual a equpe que apresentou resultados mas dsperso? Por quê? 6) Vnte e uma pacentes de uma clínca médca tveram seu nível de potásso no plasma meddo. Os resultados foram os seguntes: Nível,35 --,55,55 --,75,75 --,95, ,15 3, ,35 3, ,55 Frequênca a) Determne os quarts: 1 o., o. e 3 o. pela fórmula de dados agrupados. b) Construa o hstograma c) Determne os quarts: 1 o., o. e 3 o. utlzando proporções d) Qual a porcentagem de valores que estão acma do nível 3? 7) As vendas anuas, em mlhões de dólares, para 1 empresas farmacêutcas são apresentadas a segur: a) Obter os cnco tens (números) e os lmtes nferor e superor. b) Parece haver pontos fora da curva? Qual(s)? c) As vendas Johnson & Johnson são as maores na lsta, com US$ mlhões. Suponha que um erro de lançamento tenha sdo cometdo e que as vendas tenham sdo regstradas como US$ mlhões. Neste caso, este valor é um ponto solto (extremo)? Por quê?

57 53 7 TRANSFORMAÇÕES DE VARIÁVEIS Antes de qualquer análse é fundamental que se proceda a um exame dos dados relatvos a uma varável, seja ela qualtatva ou quanttatva. Este procedmento é mportante como um prmero contato do analsta com a dstrbução, além de servr, também, para avalar a exstênca de possíves valores atípcos na dstrbução. Se a varável for qualtatva, a concentração de respostas em torno de umas poucas categoras, a exstênca de células esparsas, com baxa frequênca, ou até mesmo o aparecmento de respostas não esperadas, pode ndcar algum problema no levantamento dos dados (questão mal formulada ou resposta nválda). No caso da varável ser quanttatva, valores muto afastados da dstrbução, ou até mesmo dstrbuções com assmetra acentuada pode ndcar a exstênca de outlers ou a necessdade de se proceder a uma transformação na escala da varável. A escolha e a mudança de escalas são artfícos útes para melhor compreensão de fenômenos. Consdere as notas de uma turma de dez alunos em três exames, conforme a Tabela 17: Tabela 17: Notas de uma turma de 10 alunos em três exames ALUNOS EXAME Português Matemátca Cêncas Fonte: Dados hpotétcos Sendo a méda e a dspersão de cada exame: Português méda µ = 40 e desvo σ = 4 Matemátca méda µ = 0 e desvo σ = Cêncas méda µ = 10 e desvo σ = 1 Em prmero lugar, note que as notas de cada exame estão expressas em escalas dferentes. Como consequênca, nada se pode comparar o desempenho dos alunos nos três exames. Tampouco pode comparar os desempenhos entre os alunos, o que mpede um ordenamento baseado em suas performances.

58 MUDANÇA DE ORIGEM Por uma questão de convenênca, pode-se proceder a uma transformação que separe os escores observados de uma dstrbução a partr do seu valor médo. Nesses casos, valores acma da méda serão postvos, enquanto aqueles que estverem abaxo dela serão negatvos. A méda, como valor central de uma dstrbução, passa a ser, desse modo, a orgem da nova escala dos escores. No exemplo dos escores nos três exames, essa transformação permte a avalação dos alunos com respeto ao desempenho ndvdual tendo a méda como base. Na prátca, essa transformação está smplesmente movendo toda a dstrbução para a dreta ou esquerda, dependendo do snal da méda, sem alterar a undade das meddas, expressa pela mesma undade de medda da varável. A mudança da orgem, de zero para a méda é expressa por: X - µ, para = 1,,..., n. O valor nulo na nova escala verfca-se para os valores da dstrbução, na escala prmtva, guas à méda. A Tabela 18 apresenta os escores dos alunos (do exemplo acma) na nova escala. Os valores nessa tabela são expressos em afastamentos, em pontos, da méda. Tabela 18: Valores expressos em relação aos afastamentos, em pontos, da méda ALUNOS EXAME Português Matemátca Cêncas A tabela 18 permte separar, para cada exame, os alunos que tveram desempenho superor ou nferor às respectvas médas. Como afastamentos em torno da méda, a soma dos novos escores é gual a zero. As undades não foram alteradas, o que não permte, anda, comparar os desempenhos entre os exames. Por exemplo, não pode avalar se o aluno 3 teve um desempenho mas fraco em Matemátca ou Cêncas. Para sso será necessáro colocar as três dstrbuções numa undade comum.

59 55 7. MUDANÇA DA UNIDADE A transformação acma desloca as dstrbuções ao longo do exo das escalas das varáves, centrando as dstrbuções num ponto comum (zero). Não obstante, essa transformação preserva as suas undades orgnas. Ao dvdr os escores de cada dstrbução pelos respectvos desvos padrões, estão unfcando também as novas undades das varáves. A nova undade de cada dstrbução fca, então, expressa em termos das undades de desvos de cada dstrbução. Desse modo, um aluno que tenha obtdo 44 pontos num exame cuja méda tenha sdo de 40 pontos e desvo padrão de 4 pontos, passa a ter 1 undade de desvo (não mas pontos) acma da méda na nova escala. A nova transformação pode ser expressa através de: X µ Z =. σ Tanto a mudança da orgem como a da undade pode ser feta separadamente, mas quando fetas smultaneamente unfca as escalas, que terão méda 0 e desvo padrão 1. Por sso, essa transformação é denomnada padronzação dos escores. Os escores padronzados para as dstrbuções das notas dos alunos nos três exames do exemplo acma são apresentados na Tabela 19. Tabela 19: Escores padronzados das notas dos alunos nos três exames ALUNOS EXAME Português -1-1,5 1,5-0,5 0 0,5 1 1,5-1,5 0 Matemátca 1 1,5-1,5 0 0,5-0,5 0,5-1,5 1-1 Cêncas Agora sm, pode analsar os escores dos alunos em termos comparatvos. Note, por exemplo, que embora o aluno 3 tvesse fcado com 3 pontos abaxo da méda em Matemátca e pontos abaxo da méda em Cêncas, o seu desempenho por fo no exame de Cêncas, em que fcou undades de desvo abaxo da méda, tendo sdo o aluno de por performance nessa dscplna, dentre os dez alunos que se submeteram ao exame. Isto sgnfca que análses comparatvas devem consderar parâmetros relatvos e não absolutos.

60 56 8 ANÁLISE BIDIMENSIONAL 8.1 INTRODUÇÃO Até agora fo vsto como organzar e resumr nformações pertnentes a uma únca varável de um conjunto de dados, mas freqüentemente está nteressado em analsar o comportamento conjunto de duas ou mas varáves aleatóras. Os dados aparecem na forma de uma matrz, usualmente com as colunas ndcando as varáves e as lnhas os ndvíduos (ou elementos). A Tabela 3 (dados hpotétcos da Companha MB) apresenta uma matrz com 6 varáves e 36 ndvíduos. O objetvo prncpal das análses nessa stuação é explorar relações (smlardades) entre as colunas, ou algumas vezes entre as lnhas. A dstrbução conjunta das frequêncas será um nstrumento poderoso para compreensão do comportamento dos dados. Incalmente deter-se-á no caso de duas varáves ou dos conjuntos de dados e, na sequênca, no caso de três varáves. Em algumas stuações, pode ter dos ou mas conjuntos de dados provenentes da observação da mesma varável. Por exemplo, pode-se estar nteressado em comparar os saláros dos casados e dos solteros. Na Tabela 3 têm-se sete varáves: estado cvl, grau de nstrução, número de flhos, saláro, dade e procedênca. Quando consdera duas varáves ou dos conjuntos de dados, pode ter três stuações: as duas varáves são qualtatvas; as duas varáves são quanttatvas; e uma varável é qualtatva e a outra é qualtatva. As técncas de análse de dados nas três stuações são dferentes. Quando as varáves são qualtatvas, os dados são resumdos em tabelas de dupla entrada (ou de contngênca), onde aparecerão as frequêncas absolutas ou contagens de ndvíduos que pertencem smultaneamente a categoras de uma e outra varável; quando as duas varáves são quanttatvas, as observações são provenentes de mensurações e quando se tem uma varável qualtatva e outra quanttatva, em geral analsa-se o que acontece com a varável quanttatva quando os dados são categorzados de acordo com os dversos atrbutos da varável qualtatva.

61 57 8. VARIÁVEIS QUALITATIVAS Suponha que se quera analsar o comportamento conjunto das varáves: grau de nstrução e regão de procedênca, cujos dados estão contdos na Tabela 3. A dstrbução de frequêncas é representada por uma tabela de dupla entrada como mostra a Tabela 0. Tabela 0: Dstrbução conjunta das frequêncas das varáves: grau de nstrução e Regão de Procedênca Captal Interor Outra regão de procedênca Grau de nstrução Ensno Ensno Fundamental Médo Superor Total Total Fonte: Tabela Cada elemento do corpo da tabela dá a frequênca observada das realzações smultâneas das varáves: grau de nstrução e regão de procedênca. Dessa forma, nota-se quatro ndvíduos da captal com ensno fundamental, sete do nteror com ensno médo, etc. A lnha dos totas fornece a dstrbução da varável grau de nstrução, ao passo que a coluna dos totas fornece a dstrbução da varável regão de procedênca. As dstrbuções assm obtdas são chamadas tecncamente de dstrbuções margnas. Em vez de se trabalhar com frequêncas absolutas, constró-se tabelas com frequênca relatvas. Porém, exstem três possbldades de se expressar as frequêncas relatvas de cada casela (célula). em relação ao total geral; em relação ao total de cada lnha; e em relação ao total de cada coluna.

62 58 De acordo com o objetvo do problema em estudo, uma delas será a mas convenente. A Tabela 1 apresenta a dstrbução conjunta das frequêncas relatvas (proporções) com relação ao total geral. Pode-se, então, afrmar que 11,1% dos empregados vêm da captal e têm ensno fundamental. Os totas nas margens fornecem as dstrbuções undmensonas de cada uma das varáves. Por exemplo, 30,6% dos ndvíduos vêm da captal, 33,3% do nteror e 36,1% de outras regões. Tabela 1: Dstrbução conjunta das frequêncas relatvas (em porcentagem) em Regão de Procedênca Captal Interor Outra relação ao total geral das varáves: grau de nstrução e regão de procedênca Ensno Fundamental 11,1% 8,3% 13,9% Grau de nstrução Ensno Médo 13,9% 19,4% 16,7% Superor 5,6% 5,6% 5,6% Total 30,6% 33,3% 36,1% Total 33,3% 50,0% 16,7% 100,0% Fonte: Tabela 3 A Tabela a segur apresenta a dstrbução conjunta das frequêncas relatvas com relação ao total das colunas. Pode-se dzer que, entre os empregados com nstrução com ensno fundamental (33,3%), médo (7,8%) e superor (33,3%) vêm da captal. De modo análogo, pode-se construr a dstrbução das frequêncas relatvas em relação ao total das lnhas.

63 59 Tabela : Dstrbução conjunta das frequêncas relatvas (em porcentagem) em Regão de Procedênca Captal Interor Outra relação aos totas de cada coluna das varáves: grau de nstrução e regão de procedênca Grau de nstrução Ensno Ensno Fundamental Médo 33,3% 7,8% 5,0% 41,7% 38,9% 33,3% Superor 33,3% 33,3% 33,3% Total 30,6% 33,3% 36,1% Total 100% 100% 100% 100,0% Fonte: Tabela 3 A comparação entre as duas varáves também pode ser feta utlzando-se representações gráfcas. A Fgura 1 mostra a dstrbução da regão de procedênca por grau de nstrução de acordo com os dados da Tabela. 100% 80% 60% 40% Outra Interor Captal 0% 0% Fundamental Médo Superor Total Fgura 1: Regão de procedênca versus grau de nstrução 8.3 ASSOCIAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS QUALITATIVAS Um dos prncpas objetvos de se construr uma dstrbução conjunta de duas varáves qualtatvas é descrever a assocação entre elas, sto é, quando se quer

64 60 conhecer o grau de dependênca entre elas, de modo que se possa prever o resultado de uma delas quando se conhece a realzação da outra. Por exemplo, pode-se estmar a renda méda de uma famíla moradora na cdade de São Paulo, conhecendo a classe socal a que ela pertence, pos sabe que exste uma dependênca entre as varáves: renda famlar e classe socal. Para dentfcar se exste uma assocação entre duas varáves: sexo e carrera escolhda por 00 alunos da dstrbução conjunta apresentada na Tabela 3, deve construr as proporções (porcentagens) segundo as lnhas ou as colunas para poder fazer comparações. Tabela 3: Dstrbução conjunta de 00 alunos de acordo com sexo e com o curso escolhdo Curso Sexo Escolhdo Masculno Femnno Total Economa Admnstração Total Fonte: Dados hpotétcos 80 A Tabela 4 apresenta as porcentagens, sto é, as frequêncas relatvas referentes ao sexo por curso escolhdo, que são obtdas fxando-se os totas das colunas em 100%. Com os dados da tabela nota-se que, ndependentemente do sexo, 60% das pessoas preferem Economa e 40% Admnstração (observe na coluna total). Não tendo dependênca entre as varáves, espera essas mesmas porcentagens para cada sexo. Observando a tabela, vê que as porcentagens do sexo masculno (61% e 39%) e do sexo femnno (58% e 4%) são próxmas das margnas. Esses resultados parecem ndcar que não exste dependênca entre as duas varáves, para o conjunto de alunos consderados. Conclu-se, então, que as varáves: sexo e escolha do curso não estão assocadas.

65 61 Tabela 4: Dstrbução conjunta das porcentagens dos 00 alunos de acordo com sexo e com o curso escolhdo Sexo Curso Masculno Escolhdo Femnno Total Economa Admnstração 61% 39% 58% 4% 60% 40% Total 100% 100% 100% Fonte: Tabela 3 Consdere-se, agora, um problema semelhante, porém envolvendo alunos de Físca e Cêncas Socas, cuja dstrbução conjunta está na Tabela 5. Tabela 5: Dstrbução conjunta das porcentagens dos 00 alunos de acordo com sexo e com o curso escolhdo Curso Sexo Escolhdo Masculno Femnno Físca Cêncas Socas 100 (71%) 40 (9%) 0 (33%) 40 (67%) Total 10 (60%) 80 (40%) Total 140 (100%) 60 (100%) 00 (100%) Fonte: Dados hpotétcos Comparando a dstrbução das porcentagens pelos cursos, ndependente do sexo (coluna total), com as dstrbuções dferencadas por sexo (coluna de masculno e femnno), nota-se uma dspardade bem acentuada nas porcentagens. Há uma maor concentração dos homens no curso de Físca e mulheres no curso de Cêncas Socas. Portanto, neste caso, parece que as varáves: sexo e curso escolhdas estão assocadas. Pesqusa sobre consumo cultural Será que exste algum tpo de relação entre dade de uma pessoa e o tpo de programa que ela prefere na hora de escolher entre: r ao cnema, r ao teatro, assstr um show de músca etc.? Será que as preferêncas do públco mas jovem são completamente dferentes das do públco de mea dade? Ou será que exste um

66 6 desses programas que é sempre o preferdo do públco, ndependente da faxa etára? Em uma pesqusa de opnão, n = 499 pessoas foram ouvdas a respeto de suas preferêncas em termos de consumo cultural. Admt-se que essas pessoas representam uma amostra do públco jovem do Ro de Janero. A cada um dos entrevstados perguntou-se, entre outras cosas, a sua faxa etára e qual entre cnco tpos de programa era mas do seu agrado. Com base nos resultados fo montada a segunte Tabela 6 de contngênca. Tabela 6: Tabela de contngênca relatva às varáves: Faxa Etára e Programa Preferdo em uma pesqusa de opnão sobre consumo cultural Programa Preferdo Faxa etára Cnema Exposções Teatro Dança Shows muscas Total 18 a 1 a 5 6 a a Total Nossa ntenção é procurar extrar algumas conclusões sobre a nterdependênca entre Faxa Etára e Programa Preferdo, a partr dessa tabela de contngênca. Deseja-se que essas conclusões fossem aplcáves à população como um todo, e não apenas a essa partcular amostra. Mas, neste caso, uma constatação que salta aos olhos quando se olha para a tabela de contngênca é o fato de que há relatvamente poucas ocorrêncas na coluna relatva a Exposções. Isso mplca que quasquer proporções smples que venham a ser calculadas a partr das frequêncas que constam nessa coluna poderão não ser estatstcamente confáves. Exemplfcando melhor: com base nesses dados, as pessoas que escolheram o programa Exposções se dvdem pelas faxas etáras conforme a Tabela 7:

67 63 Tabela 7: Faxa etára com relação a Exposções Faxa etára Freq. observada Percentagem 18 a 1 a 5 6 a a ,67% 0,00% 53,33% 0,00% Total ,00% Suponha agora que dspuséssemos de uma outra amostra formada por 499 pessoas do públco jovem. E que nessa outra amostra houvesse também apenas 15 pessoas optando por Exposções, porém dstrbuídas entre as faxas etáras de forma levemente dferente, conforme apresenta a Tabela 8. Tabela 8: Faxa etára referentes a Exposções Faxa etára Freq. observada Percentagem 18 a 1 a 5 6 a a ,33% 6,67% 46,67% 13,33% Total ,00% Como pode observar, bastou ntroduzr uma pequena perturbação nas frequêncas absolutas para que ocorresse uma alteração expressva nos percentuas. Ora, tal flutuação de uma amostra para outra é algo que está perfetamente dentro do esperado. Assm sendo, fcara comprometdo o nosso propósto de extrapolar para a população as conclusões extraídas a partr da amostra. Por sso, nossa prmera provdênca aqu será fundr em uma só as colunas referentes à Dança e Exposções, smplesmente somando as frequêncas das duas. A nova coluna na crada recebe o título de Dança/Exposções. Dessa forma, a nova

68 64 tabela de contngênca passou a ter quatro colunas de contagens além da coluna de totas. Esse é um expedente muto utlzado na prátca com o objetvo de se preservar a representatvdade estatístca dos resultados (Tabela 9). Tabela 9: Nova tabela de contngênca relatva às varáves: Faxa Etára e Programa Preferdo, após a fusão de duas colunas. Faxa etára Programa preferdo Cnema Teatro Shows muscas Dança/Exposções Total 18 a 1 a 5 6 a a Total Com base na nova tabela de contngênca podem ser montadas as duas tabelas de percentuas, que certamente são mas nformatvas sobre a eventual exstênca de assocação entre as duas varáves aqu consderadas. Tabela 30: Percentuas (de lnha) correspondentes aos Programas Preferdos, uma Faxa etára 18 a 1 a 5 6 a a 40 vez fxada a faxa etára Cnema (%) 49,8 45,83 49,5 46,99 Programa Preferdo Teatro Shows Dança/Exposções (%) muscas (%) (%) 10,87 3,61 7,5 14,58 17,91 19,8 9,17 18,66 0,48 10,4 14,18 13,5 Total (%) 100,00 100,00 100,00 100,00 Total 47,90 15,3 5,85 11,0 100,00

69 65 A Tabela 30 parece segur, por exemplo, que: a) Cnema é o programa preferdo de pratcamente metade do públco consderado, ndependente da faxa etára. b) Embora em todas as faxas etáras o segundo tpo de programa mas apontado seja shows muscas, há uma predomnânca dessa opção para o públco de até 5 anos. c) A preferênca pelo teatro aumenta com a dade. Como já vsto antes, uma outra forma de encara ndependênca entre duas varáves Faxa Etára e Programa Preferdo é nverter os papés desempenhados por lnhas e colunas, produzndo assm a tabela a segur: Tabela 31 Percentuas (de coluna) correspondentes às faxas etáras, uma vez fxado o programa preferdo Faxa etára Programa preferdo Cnema Teatro Shows muscas Dança/Exposções Total (%) (%) (%) (%) 18 a 1 a 5 6 a a 40 8,45 7,6 7,6 16,3 19,74 7,63 31,58 1,05 34,88 3,56 19,38 13,18 18,18 7,7 34,55 0,00 7,66 8,86 6,85 16,63 Total (%) 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 A Tabela 31 parece segur, por exemplo, que pratcamente /3 do públco adepto de shows muscas estão stuados nas duas prmeras faxas etáras, ou seja, têm no máxmo 5 anos de dade. Na dscplna de estudos não paramétrcos será feta uma análse mas aprofundada das tabelas de contngênca, usando o teste qu-quadrado para ndependênca de varáves.

70 MEDIDAS DE ASSOCIAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS QUALITATIVAS Quando exste assocação entre duas varáves, sempre é nteressante quantfcar essa assocação. A quantfcação do grau entre duas varáves é feta através dos coefcentes de assocação ou correlação. Essas são medas que descrevem, por meo de um únco número, a dependênca entre duas varáves, no ntervalo de 0 a 1, e se for próxmo de zero sgnfca falta de assocação, sto é, de dependênca. Exstem mutas meddas que qualfcam a assocação ou dependênca entre duas varáves qualtatvas. Por exemplo, o coefcente de contngênca (C), devdo a Pearson. Para sso, deve-se recorrer a uma mportante aplcação que é o teste ququadrado ( χ ). Ressalta-se que esta aplcação será apresentada na dscplna de estatístca não paramétrca. 8.5 ASSOCIAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS QUANTITATIVAS Em mutas stuações de negócos, é razoável sugerr que exstam assocações entre as varáves. Por exemplo, sera lógco supor que as vendas de um tem produzdo em massa estejam assocadas com seu preço e despesas de propaganda. Para propóstos de tomada de decsão, é útl dentfcar se exste uma assocação lnear entre duas varáves ou entre mas de duas varáves e, se aproprado, quantfcar a assocação. Um dspostvo bastante útl para se verfcar a assocação entre duas varáves quanttatvas, ou entre dos conjuntos de dados, é o dagrama de dspersão, e sua assocação pode ser quantfcada utlzando-se uma medda estatístca chamada coefcente de correlação ou grau de assocação. Dagrama de dspersão Um dagrama de dspersão é smplesmente uma representação de pontos de dados em um gráfco X-Y. O exo y é utlzado para representar a varável dependente que nteressa a quem toma as decsões, enquanto o exo x é para representar uma varável que pode ser controlada ou medada por quem toma as decsões, chamada de varável ndependente. Dependendo das varáves consderadas, a relação entre elas pode ser fortemente lnear, não lnear ou mesmo nexstente. Portanto, um dagrama de

71 67 dspersão é uma prmera ndcação útl da possível exstênca de uma assocação entre duas varáves Coefcentes de assocação ou correlação A análse de correlação é uma técnca matemátca utlzada para medr a força de assocação entre duas varáves. Essa medção leva em consderação a dspersão entre os valores dados. Quanto menos dspersos estverem os dados, mas forte será a dependênca, sto é, a assocação entre as varáves. O coefcente de correlação R assume um valor entre [ 1 e + 1], sto é: Se r = 1, a correlação é postva perfeta; Se r = -1, a correlação é negatva perfeta; Se r = 0, a correlação é nula. Consderando-se os dados das as varáves X e Y, pode construr os dagramas de dspersão como mostram as Fguras, 3, 4 e 5. Y X Y X Fgura : Assocação lnear postva R = 1 Fgura 3: Assocação lnear postva Em ambas as fguras e 3, nota-se que exste uma assocação postva entre as varáves X e Y, pos à medda que aumenta uma, a outra também aumenta Y 00 Y X X Fgura 4: Assocação lnear negatva Fgura 5: Não há assocação - R = 0

72 68 Na fgura49, exste uma assocação nversa, sto é, à medda que a varável X aumenta, a varável Y dmnu. Ao passo que, na fgura 5 não há uma assocação entre as varáves, pos à medda que X aumenta, Y não reage. Na Tabela 3 está apresentado os dados referentes a Taxa de Fundo de Investmento: FIC Executvo RF LP e taxa SELIC, no período de outubro de 004 a setembro de 006 Tabela 3: Taxa do Fundo de Investmento - FIC Executvo RF LP e taxa SELIC, no período de outubro de 004 a setembro de 006 Meses Taxa Selc (X) Out/04 1,10 Nov/04 1,50 Dez/04 1,480 Jan/05 1,380 Fev/05 1,0 Mar/05 1,530 Abr/05 1,410 Ma/05 1,500 Jun/05 1,590 Jul/05 1,510 Ago/05 1,660 Set/05 1,500 Out/05 1,410 Nov/05 1,380 Dez/05 1,470 Jan/06 1,430 Fev/06 1,150 Mar/06 1,40 Abr/06 1,080 Ma/06 1,80 Jun/06 1,180 Jul/06 1,170 Ago/06 1,60 Set/06 1,060 Fonte: Caxa Econômca Federal 006 Taxa FIC Executvo (Y) 1,140 1,190 1,470 1,336 1,177 1,485 1,348 1,430 1,55 1,49 1,550 1,46 1,347 1,48 1,460 1,39 1,098 1,331 1,00 1,16 1,097 1,077 1,153 0,970 Com os dados da tabela 3, constró-se o dagrama de dspersão como mostra a Fgura 6.

73 69 1,6 Taxa SELIC e Taxa FIC EXECUTIVO, no período de outubro de 004 a setembro de 006 Taxa Executvo 1,4 1, 1,0 0,8 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 1,8 Taxa Selc Fgura 6: Dagrama de dspersão Como já fo vsto em meddas de dspersão, a soma de todos os desvos em relação à méda é gual a zero, como mostra a Tabela 33. Tabela 33: Calculo do coefcente de correlação entre as varáves: Selc e FIC Meses Out/04 Nov/04 Dez/04 Jan/05 Fev/05 Mar/05 Abr/05 Ma/05 Jun/05 Jul/05 Ago/05 Set/05 Out/05 Nov/05 Dez/05 Jan/06 Fev/06 Mar/06 Abr/06 Ma/06 Jun/06 Jul/06 Ago/06 Set/06 Selc (X) 1,10 1,50 1,480 1,380 1,0 1,530 1,410 1,500 1,590 1,510 1,660 1,500 1,410 1,380 1,470 1,430 1,150 1,40 1,080 1,80 1,180 1,170 1,60 1,060 Executvo (Y) 1,140 1,190 1,470 1,336 1,177 1,485 1,348 1,430 1,55 1,49 1,550 1,46 1,347 1,48 1,460 1,39 1,098 1,331 1,00 1,16 1,097 1,077 1,153 0,970 X X Z X X Y Y X = σ -0,145-0,105 0,15 0,05-0,135 0,175 0,055 0,145 0,35 0,155 0,305 0,145 0,055 0,05 0,115 0,075-0,05 0,065-0,75-0,075-0,175-0,185-0,095-0,95-0,154-0,104 0,176 0,04-0,117 0,191 0,054 0,136 0,31 0,135 0,56 0,168 0,053 0,134 0,166 0,098-0,196 0,037-0,9-0,13-0,197-0,17-0,141-0,34-0,901-0,653 0,77 0,15-0,839 1,08 0,338 0,896 1,453 0,958 1,887 0,896 0,338 0,15 0,710 0,46-1,73 0,400-1,706-0,467-1,087-1,149-0,591-1,830 Z Y Y Y = Z X. Z y σ -0,893-0,603 1,019 0,43-0,678 1,106 0,31 0,787 1,337 0,781 1,48 0,97 0,306 0,775 0,961 0,567-1,136 0,14-1,69-0,765-1,14-1,58-0,817-1,877 0,804 0,394 0,786 0,037 0,569 1,196 0,106 0,705 1,944 0,748,797 0,871 0,104 0,118 0,68 0,6 1,446 0,085,887 0,358 1,41 1,445 0,483 3,436 TOTAL 3,530 31, ,504 Fonte: Ste da Caxa Econômca Federal, 006

74 70 Observa-se que houve uma mudança de escala das colunas e 3 para escala padronzada colunas 6 e 7. Na coluna 8 da tabela 33 ocorrem os produtos das coordenadas reduzdas. Dessa forma, pode-se defnr o coefcente de correlação entre duas varáves X e Y como: n 1 x x y y R = ( ).( ) n σ σ = 1 x y ou R = 1 n n = 1 ( Zx. Zy) ou seja, a méda dos produtos dos valores padronzados das varáves. 1 Com relação ao problema anteror, tem-se: R = 3,504 = 0, Covarânca. Uma medda de dependênca lnear entre duas varáves (X, Y) é dada pela covarânca: Cov ( x, y) = E( x y) E( x). E( y) onde: E n ( x) = x. p( x ) E y) = = 1 n n ( y. p( y ) E( x y) = = 1 = 1 x. y p( x, y) Neste caso, a Correlação lnear é dada por: Cov( x, y) ρ( x, y) = σ. σ x y Com os dados da tabela 33, vamos calcular a correlação lnear entre as varáves: Taxa Selc (X) e Taxa FIC Executvo (Y). n 1 E( x) = x. p( x ) = (1,10 + 1,50 + L + 1,060) = 1, = 1 n 1 E( y) = y. p( y ) = (1, ,190 + L + 0,970) = 1, = 1 n 1 E( x y) = x. y p( x, y) = (1, ,487 + L + 1,08) = 1, = 1 Cov ( x, y) = E( x y) E( x). E( y) = 1,7814 1,3554x 1,941 = 0,073

75 71 Cov( x, y) 0,073 ρ( x, x) = = = 0, 979 σ. σ 0,1614 x0,176 x y Outra manera de se verfcar se exste assocação entre duas varáves quanttatvas é por meo do coefcente de correlação, utlzando o método dos mínmos quadrados, tal que: r = x y x y n ( x) ( y) [ x ].[ y ] n n onde -1 R 1 regressão. Esta aplcação será vsta na dscplna de correlação e análse de 8.6 ASSOCIAÇÃO ENTRE AS VARIÁVEIS QUALITATIVAS E QUANTITATIVAS É comum nessas stuações analsar o que acontece com a varável quanttatva dentro de cada categora da varável qualtatva. Essa análse pode ser conduzda por meo de meddas-resumo ou box plot. Com os dados da Tabela 3, vamos analsar agora o comportamento dos saláros dentro de cada categora de grau de nstrução, ou seja, nvestgar o comportamento conjunto das varáves, saláro e grau de nstrução, como apresenta a Tabela 34.

76 7 Tabela 34: Meddas-resumo para a varável saláro segundo o grau de nstrução, na Companha MB SALÁRIO Grau de Instrução n x σ σ X 1 Q 1 Q Q 3 X n Fundamental 1 7,84,83 8,0 4,00 6,00 7,13 9,16 13,85 Médo 18 11,53 3,61 13,04 5,73 8,83 10,91 14,4 19,40 Superor 6 16,48 4,11 16,89 10,53 13,65 16,74 18,38 3,30 Todos 36 11,1 4,5 0,46 4,00 7,55 10,17 14,01 3,30 Com os dados da Tabela 8 podemos construr a Fgura 7 de box plot. Essa fgura dá uma boa vsualzação e uma boa déa para analsar a assocação entre as varáves, saláro e grau de nstrução Fundamental Médo Superor Fgura 7: Saláros segundo o grau de nstrução dos funconáros da Companha MB Nota-se por meo da fgura 7 uma dependênca dos saláros em relação ao grau de nstrução: o saláro aumenta conforme aumenta o nível de educação do ndvíduo. O saláro médo de um funconáro é 11,1 (saláros mínmos), já para um

77 73 funconáro com curso superor o saláro médo passa a ser 16,48, enquanto funconáros com ensno fundamental completo recebem, em méda, 7,84. Como nos casos anterores, é nteressante medr o grau de assocação ou de dependênca entre as duas varáves. Com esse ntuto, convém observar que as varâncas podem ser usadas como nsumos para determnar essa medda. Sem usar a nformação da varável categorzada, a varânca calculada para a varável quanttatva para todos os dados mede a dspersão dos dados globalmente. Se a varânca dentro de cada categora for pequena e menor do que a global, sgnfca que a varável qualtatva melhora a capacdade de prevsão da quanttatva e, portanto, exste uma relação entre as duas varáves. Observe que, para as varáves: saláro e grau de nstrução, as varâncas do saláro dentro das três categoras são menores do que a global. Neste caso, deve-se obter a varânca entre as categoras da varável qualtatva, bem como a méda entre elas. A méda será ponderada pelo número de observações em cada categora, ou seja; σ = k = 1 n. σ k = 1 n 1(8,0) + 18(13,04) + 6(16,89) = = 1, na qual k é o número de categoras e σ, a varânca dos saláros dentro de cada categora, como = 1,,..., k. Verfca-se que σ σ, e o grau de assocação entre as duas varáves como ganho relatvo na varânca, obtdo pela ntrodução da varável qualtatva é dado por: R σ σ σ 1,01 = = 1 R = 1 = 0,413 = 41,3% 0 R 1 σ σ 0,46 Conclu-se que 41,3% da varação total do saláro é explcado pela varável grau de nstrução. Vamos analsar agora o comportamento dos saláros dentro de cada categora da regão procedente, como apresenta a Tabela 35.

78 74 Tabela 35: Meddas-resumo para a varável saláro, segundo a regão de procedênca, na Companha MB SALÁRIO Regão de Procedênca N x σ σ X 1 Q 1 Q Q 3 X n Captal 11 11,46 5, 7,7 4,56 7,49 9,77 16,63 19,40 Interor 1 11,55 5,07 5,71 4,00 7,81 10,65 14,70 3,30 Outra 13 10,45 3,0 9,13 5,73 8,74 9,80 13,79 16, Todos 36 11,1 4,5 0,46 4,00 7,55 10,17 14,01 3,30 Com os dados da Tabela 3 pode-se construr a Fgura 8 de box plot para vsualzar e analsar a assocação entre as varáves, saláro e regão procedênca CAPITAL INTERIOR OUTRA Fgura 8: Saláros segundo a regão de procedênca dos funconáros da Companha MB Na fgura 8 temos os resultados da análse dos saláros em função da regão de procedênca, que mostra a nexstênca de uma relação melhor defnda entre as duas varáves. O saláro médo de um funconáro é 11,1 (saláros

79 75 mínmos), já os funconáros da captal recebem, em méda, 11,46; do nteror 11,55 e de outras localdades recebem, em méda, 10,45. Observe que, para as varáves: saláro e regão de procedênca, as varâncas do saláro dentro das três categoras, ora são maores (captal e nteror) ora é menor (outros) do que a global. Neste caso, vamos calcular a varânca méda será ponderada pelo número de observações em cada categora, ou seja; σ = k = 1 n. σ k = 1 n 11(7,7) + 1(5,71) + 13(9,13) = = 0, σ 0,0 e, portanto, R = 1 R = 1 = 0,013 = 1,3% σ 0,46 Conclu-se que apenas 1,3% da varabldade dos saláros é explcada pela regão de procedênca.

80 LISTA 3 - EXERCÍCIOS 1) Uma companha de seguros analsou a frequênca com que.000 segurados (1.000 homens e mulheres) usaram o hosptal. Os resultados foram: Homens Mulheres Usaram o hosptal Não usaram o hosptal a) Calcule a proporção dos homens entre os ndvíduos que usaram o hosptal. b) Calcule a proporção dos homens entre os ndvíduos que não usaram o hosptal. c) O uso do hosptal ndepende do sexo do segurado? ) Abaxo estão os dados referentes à porcentagem da população economcamente atva empregada no setor prmáro e o respectvo índce de analfabetsmo para algumas regões metropoltanas brasleras. Regões metropoltanas Setor prmáro (Y) Índce de analfabetsmo (X) São Paulo Ro de Janero Belém Belo Horzonte Salvador Porto Alegre Recfe Fortaleza,0,5,9 3,3 4,1 4,3 7,0 13,0 17,5 18,5 19,5, 6,5 16,6 36,6 38,3 Fonte: Indcadores Socas para Áreas Urbanas-IBGE-1977 a) Faça o dagrama de dspersão. b) Você acha que exste uma dependênca lnear entre as duas varáves? Se achar que sm, então calcule a correlação lnear.

81 77 3) Uma pesqusa sobre a partcpação em atvdades esportvas de adultos moradores nas proxmdades de centros esportvos construídos pelo estado de São Paulo mostrou os resultados da tabela abaxo. Baseado nesses resultados você dra que a partcpação em atvdades esportvas depende da cdade. Partcpam Cdade São Paulo Campnas Rb. Preto Santos Sm Não ) Uma pesqusa para verfcar a tendênca dos alunos a prossegur os estudos, segundo a classe socal do respondente, mostrou a segunte tabela: Pretende Classe socal Total Contnuar Alta Méda Baxa Sm Não Exste uma dependênca entre os dos fatores? Por quê? 5) Completar a Tabela Meddas-resumo para a varável saláro, segundo a regão de procedênca, na Companha MB SALÁRIO Estado Cvl N x σ σ X 1 Q 1 Q Q 3 X n Soltero Casado Todos 36 11,1 4,5 0,46 4,00 7,55 10,17 14,01 3,30 Verfque se exste assocação entre as varáves, saláro e estado cvl por meo do box plot. Calcular quanto a varação total (R ) do saláro é explcado pela varável estado cvl.

82 78 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFIAS ANDERSON, Davd R.; SWEENEY, Denns J., WILLIAMS, Thomas A. Estatístca aplcada à admnstração e economa. Trad. Luz Sérgo de Castro Pava.. ed. São Paulo: Ponera, 00. BUSSAB, Wlton; MORETTIN, Pedro. A estatístca básca. 5. ed. São Paulo: Sarava, 00. MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C., HUBELE, Norma F. Estatístca Aplcada à Engenhara. Tradução Profa. Verônca Calado, D. Sc.. ed. Ro de Janero: LTC, 004. FREUND, John E.; SIMON, Gary A. Estatístca aplcada: economa, admnstração e contabldade. Trad. Alfredo Alves de Fara. 9. ed. Porto Alegre: Bookmam, 000. MAGALHÃES, Marcos N.; Lma. Antono C. P. Noções de probabldade e estatístca. 6.ed. São Paulo: USP, 004. NEUFELD, John L. Estatístca aplcada à admnstração usando Excel: Trad. José Luz Celeste. São Paulo: Prentce Hall 003. PEREIRA, Júlo César Rodrgues. Análse de dados qualtatvos: estratégas metodológcas para as cêncas da saúde, humanas e socas..ed. São Paulo: USP, PINHEIRO, Ismael, D. P.; CUNHA, Sona, B. da.; CARVAJAL, Santago, R; GOMES, Gastão, C. Estatístca básca arte de trabalhar com dados. Ro de Janero: Elsever, 009. SMAILES, Joanne; McGRANE, Ângela. Estatístca aplcada à admnstração com excel. São Paulo: Atlas, 00. SOARES, José F.; SIQUEIRA, Armnda, L. Introdução à estatístca médca. Belo Horzonte: UFMG,1999.