Apostila De Estatística

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1 Apostla De Estatístca Professores: Wanderley Akra Shgut Valéra da S. C. Shgut Brasíla 006

2 INTRODUÇÃO 1.1. PANORAMA HISTÓRICO Toda Cênca tem suas raízes na hstóra do homem; A Matemátca que é consderada A Cênca que une a clareza do racocíno à síntese da lnguagem, orgnou-se do convívo socal, das trocas, da contagem, com caracter prátco, utltáro e empírco; A Estatístca é um ramo da Matemátca que teve orgem semelhante; Desde a Antgüdade város povos já regstravam o número de habtantes, de nascmento, de óbtos, fazam estmatvas de rquezas ndvduas e socas, etc; Na dade méda colham-se nformações, geralmente com a fnaldade trbutára; A partr do século XVI começaram a surgr às prmeras análses de fatos socas, como batzados, casamentos, funeras, orgnando as prmeras tábuas e tabelas e os prmeros números relatvos; No século XVII o estudo de tas fatos fo adqurndo proporções verdaderamente centífcas; Godofredo Achenwall, batzou a nova cênca (ou método) com o nome de ESTATÍSTICA, determnando assm o seu objetvo e suas relações com a cênca. 1.. MÉTODO Exstem váras defnções para métodos, Lakatos e Marcon (198:39-40) menconaram dversas defnções, entre elas: Método é o camnho pelo qual se chega a um determnado resultado... (Hegemberg, 1976: II-115) Método é um procedmento regular, explícto e passível de ser repetdo para consegurmos alguma cosa, seja materal ou concetual (Bunge 1980: 19) A ESTATÍSTICA A defnção de estatístca não é únca, a estatístca abrange muto mas do que um smples traçado de gráfcos e cálculos de meddas. Uma defnção sera: A estatístca é uma coleção de métodos para planejar expermentos, obter dados e organzá-los, resumlo, analsá-los nterpretá-los e deles extrar conclusões O MÉTODO ESTATÍSTICO Dos métodos centífcos podemos destacar: o método Expermental e o Método Estatístco. O método expermental consste em manter constante todas as causas (fatores) menos uma e varar esta causa de modo que o pesqusador possa descobrr seus efetos caso exstam. O método estatístco dante da mpossbldade de se manter causas constantes, admte todas essas causas presentes varando-as regstrando essa varação e procurando determnar no resultado fnal que nfluêncas cabem a cada uma delas. 1

3 RESUMO DA PROFISSÃO O Estatístco promove o levantamento de pesqusas estatístcas em suas aplcações técncas e centífcas, nvestgando, elaborando e testando métodos matemátcos e sstema de amostragem, bem como coletando, analsando e nterpretando os dados relaconados com os fenômenos estatístcos, e anda estudando e renovando a metodologa estatístca a fm de estabelecer a sua evolução e desenvolvmento. ALGUMAS ESPECIALIZAÇÕES Vnculam-se aos campos profssonas que exgem ou permtem o exercíco do estatístco. Resultam da prátca profssonal e decorrem quase sempre da demanda decorrente no mercado de trabalho. Demografa Boestatístca Estatístco Matemátco Estatístco de Estatístca Aplcada, Etc. CARGOS PROCURADOS Estatístco Estatístco Matemátco Estatístco de Estatístca Aplcada 1.5. A NATURZA DA ESTATÍSTICA Podemos descrever duas varáves para um estudo: VARIÁVEIS QUALITATIVAS (ou dados categórcos) podem ser separados em dferentes categoras, atrbutos, que se dstnguem por alguma característca não numérca. VARIÁVEIS QUANTITATIVAS consstem em números que representam contagens ou meddas. Dvde-se em: VARIÁVEIS QUANT. DISCRETAS resultam de um conjunto fnto, enumerável de valores possíves. Ex: número de flhos. VARIÁVEIS QUANT. CONTÍNUAS resultam de números nfntos de valores possíves que podem ser assocados a pontos em uma escala contínua. Ex: peso, altura. Medda de Desobedênca Como coletar dados sobre algo que não se apresente mensurável, como o nível de desobedênca do povo? O pscólogo Stanley Mlgran planejou o segunte expermento: Um pesqusador determnou que um voluntáro aconasse um panel de controle que dava choques elétrcos crescentemente dolorosos em uma tercera pessoa. Na realdade, não eram dados choques e a tercera pessoa era um ator. O voluntáro começou com 15 volts e fo orentado a aumentar os choques de 15 em 15 volts. O nível de desobedênca era o ponto em que a pessoa se recusava a aumentar a voltagem. Surpreendentemente, dos terços dos voluntáros obedeceram às ordens mesmo que o ator grtasse e smulasse um ataque cardíaco. Texto extraído do lvro: Tola, Maro F. Introdução à Estatístca. 7 ª ed. Ro de Janero RJ. LTC

4 1.6. USOS E ABUSOS DA ESTATÍSTICA USOS DA ESTATÍSTICA As Aplcações da estatístca se desenvolveram de tal forma que, hoje, pratcamente todo o campo de estudo se benefca da utlzação de métodos estatístcos. Os fabrcantes fornecem melhores produtos a custos menores através de técncas de controle de qualdade. Controlam-se doenças com o auxlo de análses que antecpam epdemas. Espéces ameaçadas são protegdas por regulamentos e les que reagem a estmatvas estatístcas de modfcação de tamanho da população. Vsando reduzr as taxas de casos fatas, os legsladores têm melhor justfcatvas para les como as que regem a polução atmosférca, nspeções de automóves, utlzação de cnto de segurança, etc. ABUSOS DA ESTATÍSTICA Não é de hoje que ocorrem abusos com a estatístca. Assm é que, há cerca de um século, o estadsta Benjamn Dsrael dsse: Há três tpos de mentras: as mentras, as mentras séras e as estatístcas. Já se dsse também que os números não mentem; mas os mentrosos forjam os números (Fgures don t le; lars fgure) e que se torturarmos os dados por bastante tempo, eles acabam por admtr qualquer cosa. O hstorador Andrew Lang dsse que algumas pessoas usam a estatístca como um bêbado utlza um poste de lumnação para servr de apoo e não para lumnar. Todas essa afrmações se referem aos abusos da estatístca quando os dados são apresentados de forma enganosa. Es alguns exemplos das dversas maneras como os dados podem ser dstorcdos. Pequenas amostras Números mprecsos Estmatvas por suposção Porcentagens dstorcdas Cfras parcas Dstorções delberadas Perguntas tendencosas Gráfcos enganosos Pressão do pesqusador Más amostras Os motorstas mas Idosos são mas Seguros do que os mas Moços? A Amercan Assocaton of Retred People AARP (Assocação Amercana de Aposentados) alega que os motorstas mas dosos se envolvem em menor número de acdentes do que os mas jovens. Nos últmos anos, os motorstas com anos de dades causaram cerca de 1,5 mlhões de acdentes em comparação com apenas causados por motorstas com 70 anos ou mas, de forma que a alegação da AARP parece válda. Acontece, entretanto que os motorstas mas dosos não drgem tanto quanto os mas jovens. Em lugar de consderar apenas o número de acdentes, devemos examnar também as taxas de acdentes. Es as taxas de acdentes por 100 mlhões de mlhas percorrdas: 8,6 para motorstas com dade de 16 a 19, 4,6 para os com dade de 75 a 79, 8,9 para os com dade 80 a 84 e 0,3 para os motorstas com 85 anos de dade ou mas. Embora os motorstas mas jovens tenham de fato o maor número de acdentes, os mas velhos apresentam as mas altas taxas de acdente. Texto extraído do lvro: Tola, Maro F. Introdução à Estatístca. 7 ª ed. Ro de Janero RJ. LTC

5 1.7. ESTATÍSTICA DEDUTIVA E INDUTIVA A estatístca dedutva também conhecda como Descrtva se encarrega de descrever o conjunto de dados desde a elaboração da pesqusa até o cálculo de determnada medda. A estatístca Indutva ou nferencal está relaconada a ncerteza. Inca-se no cálculo das Probabldades e se desenvolve por todo a área da nferênca. 4

6 UNIDADE I CONCEITOS INICIAIS EM ESTATÍSTICA DEFINIÇÕES: POPULAÇÃO: É um conjunto de ndvíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma característca em comum. CENSO é a coleção de dados relatvos a todos os elementos da população. AMOSTRA: Consderando a mpossbldade, na maora das vezes do tratamento de todos os elementos da população, necesstaremos de uma parte representatva da mesma. A esta porção da população chamaremos de amostra. ESTATÍSTICA: é a medda numérca que descreve uma característca da amostra. PARÂMETRO é a medda numérca que descreve uma característca da população. RAMOS DA ESTATÍSTICA A estatístca possu três ramos prncpas: ESTATÍSTICA DESCRITIVA: envolve a organzação e sumarzação dos dados através de metodologas smples; TEORIA DA PROBABILIDADE: que proporcona uma base raconal para ldar com stuações nfluencadas por fatores que envolvem o acaso. TEORIA DA INFERÊNCIA: que envolve a análse e nterpretações da amostra. ESTATÍSTICA DESCRITIVA A Estatístca Descrtva pode ser resumda no dagrama a segur: Coleta De dados Crítca Dos dados Apresentação Dos dados Tabelas Análse Gráfcos 5

7 COLETA DOS DADOS: Após a defnção do problema a ser estudado e o estabelecmento do planejamento da pesqusa (forma pela qual os dados serão coletados; cronograma das atvdades; custos envolvdos; exame das nformações dsponíves; delneamento da amostra, etc.), o passo segunte é a coleta dos dados, que consste na busca ou complação dos dados das varáves, componentes do fenômeno a ser estudado. A coleta dos dados é dreta quando os dados são obtdos dretamente da fonte orgnára, como no caso da empresa que realza uma pesqusa para saber a preferênca dos consumdores pela sua marca. A coleta dos dados é ndreta quando é nferda a partr dos elementos consegudos pela coleta dreta. CRÍTICA DOS DADOS A revsão crítca dos dados procede com a fnaldade de suprmr os valores estranhos ao levantamento, os quas são capazes de provocar futuros enganos. APRESENTAÇÃO DOS DADOS Convém organzarmos o conjunto de dados de manera prátca e raconal. Tal organzação denomna-se Sére Estatístca (que será abordado na próxma undade). Sua apresentação pode ocorrer por meo de Tabelas e/ou Gráfcos. TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM As regras de Amostragem podem ser classfcadas em duas categoras geras: PROBABILÍSTICA - São amostragem em que a seleção é aleatóra de tal forma que cada elemento tem gual probabldade de ser sorteado para a amostra. NÃO-PROBABILISTICAS OU INTENCIONADAS - São amostragem em que há uma escolha delberada dos elementos da amostra. TIPOS DE AMOSTRAGEM AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES Também conhecda por amostragem ocasonal, acdental, casual, randômca, etc. A amostragem smples ao acaso destaca-se por ser um processo de seleção bastante fácl e muto usado. Neste processo, todos os elementos da população têm gual probabldade de serem escolhdos, desde o níco até completo processo de coleta. 6

8 PROCEDIMENTO 1. Devemos enumerar todos os elementos da população. Devemos efetuar sucessvos sorteos com reposção até completar o tamanho da amostra (n) Para realzarmos este sorteo devemos fazer uso das tábuas de números aleatóros (veja págna segunte). Estas apresentam os dígtos de 0 a 9 dstrbuídos aleatoramente. EXEMPLO: Supor que nós tenhamos uma população com elementos, que numeramos de 000 a 999, para seleconarmos uma amostra aleatóra, de 00 elementos, basta escolhermos uma posção de qualquer lnha e extrarmos conjuntos de três algarsmos, até completarmos os 00 elementos da amostra. O processo termna quando for sorteado o elemento 00. Se o número sorteado não exsta na população smplesmente não o consderamos, e prossegumos com o processo. AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA Trata-se de uma varação da amostragem smples ao acaso, muto convenente quando a população está naturalmente ordenada, como fchas em um fcháro, lstas telefôncas etc. Requer uma lsta dos tens da população, e, assm, padece das mesmas restrções já menconadas na aleatóra ao acaso. Se os tens da lsta não se apresentarem numa ordem determnada à amostragem Sstemátca pode dar uma amostra realmente aleatóra. PROCEDIMENTO Sejam os seguntes elementos: N: tamanho da população; n: tamanho da amostra. N Então, calcula-se o ntervalo de amostragem através da razão a = n (onde a é o ntero mas próxmo). Sortea-se, utlzando a tábua de números aleatóros, um número x entre 1 e a formando-se a amostra dos elementos correspondentes ao conjunto de números: x; x+a;x+a;...; x+(n-1)a. 500 EXEMPLO: Seja N = 500, n = 50. Então a = = Sortea-se um número de 1 a 10. Seja 3 (x = 3) o número sorteado. Logo, os elementos numerados por 3;13;3;33;... serão os componentes da amostra. AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA No caso de possur uma população com uma certa característca heterogênea, na qual podemos dstngur subpopulações mas ou menos homogêneas, denomnadas de estratos, podemos usar a amostragem estratfcada. Estratfcar uma população em L subpopulações denomnada estratos, tas que: 7

9 n 1 + n n L = n Onde os estratos são mutuamente exclusvos. Após a determnação dos estratos, selecona-se uma amostra aleatóra de cada sub-população. Se as dversas sub-amostras tverem tamanhos proporconas ao respectvo número de elementos nos estratos, teremos a estratfcação proporconal. 8

10 Stevenson, Wllam J. Estatístca aplcada à admnstração. Harper & Row do Brasl, São Paulo, 1986, p.165 9

11 EXERCÍCIOS 1. População ou unverso é: a) Um conjunto de pessoas; b) Um conjunto de elementos quasquer c) Um conjunto de pessoas com uma característca comum; d) Um conjunto de elementos com pelo menos uma característca em comum; e) Um conjunto de ndvíduo de um mesmo muncípo, estado ou país.. Uma parte da população retrada para analsá-la denomna-se: a) Unverso; b) Parte; c) Pedaço; d) Dados Brutos; e) Amostra. 3. A parte da estatístca que se preocupa somente com a descrção de determnadas característcas de um grupo, sem trar conclusões sobre um grupo maor denomna-se: a) Estatístca de População; b) Estatístca de Amostra; c) Estatístca Inferencal d) Estatístca Descrtva; e) Estatístca Grupal. 4. Dga qual tpo de varáves estamos trabalhando nos casos abaxo: a. No. de nscrções no Seguro Socal b. No. de passageros no ônbus da lnha Ro-São Paulo c. Escolardade d. Peso Médo dos Recém Nascdos e. Alttude acma do nível do mar f. Uma pesqusa efetuada com 1015 pessoas ndca que 40 delas são assnantes de um servço de computador on-lne g. Cada cgarro Camel tem 16,13mg de alcatrão h. O radar ndque que Nolan Ryan rebateu a ultma bola a 8,3m/h. O tempo gasta para uma pessoa fazer uma vagem de carro de Brasíla até Belo Horzonte é de aproxmadamente 8:00h a uma velocdade méda de 93,75km/hs 5. Classfque as seguntes varáves: a) Cor dos olhos ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. 10

12 b) Número de flhos de um casal: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. c) Peso de um ndvíduo: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. d) Altura de um ndvíduo: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. e) Número de alunos de uma escola: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. f) Tpo sangüíneo: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. g) Fator RH: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. h) Valor obtdo na face superor de um dado: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. ) Sexo: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. 11

13 j) Resultado da extração da lotera Federal: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. k) Comprmento de um segumento de reta: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. l) Área de um Círculo: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. m) Raça: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. n) Quantdade de lvro de uma bbloteca: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. o) Relgão: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. p) Saláro dos Empregados de uma empresa: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. q) Estado Cvl: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. 1

14 r) Profssão: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. s) Volume de água contdo numa pscna: ) Qualtatva; ) Qualtatva dscreta; ) Quanttatva contínua; v) Quanttatva dscreta; v) Qualtatva contínua. 6. Suponha que exstem N = fchas de pacentes das quas uma amostra aleatóra de n = 0 deve ser seleconada. Determne que fchas devem ser escolhdas na amostra de tamanho n = 0. Dga que tpo de amostragem fo feto e como foram seleconadas as fchas. 7. Suponha que uma pesqusa de opnão públca deve ser realzada em um estado que tem duas grandes cdades e uma zona rural. Os elementos na população de nteresse são todos os homens e mulheres do estado com dade acma de 1 anos. Dga que tpo de amostragem utlzará? 8. Servço florestal do estado está conduzndo um estudo das pessoas que usam as estruturas de um campng operado por ele. O estado tem duas áreas de campng, uma localzada nas montanhas e outra localzada ao longo da costa. O servço florestal deseja estmar o número médo de pessoas por acampamento e a proporção de acampamento ocupada por pessoas de fora do estado, durante o fm de semana em partcular, quando se espera que todos os acampamentos estejam ocupados. Sugra um plano amostral e explque rapdamente como devem ser fetos. 9. Um médco está nteressado em obter nformação sobre o número médo de vezes em que especalstas prescreveram certa droga no ano anteror (N = ). Deseja-se obter n = Que tpo de amostragem você sugerra e por que? 10. Um hematologsta deseja fazer uma nova verfcação de uma amostra de n = 10 dos 854 espécmes de sangue analsados por um laboratóro médco em um determnado mês. Que tpo de amostragem você sugerra e por que? 11. Um repórter da revsta Busness Week obtém uma relação numerada de empresas com maores de cotações de ações na bolsa. Ele entrevstará 100 gerentes geras das empresas correspondentes a esta amostra. Que tpo de amostragem você sugerra e por que? 1. Comente rapdamente sobre a pesqusa abaxo Um relatóro patrocnado pela Flórda Ctrus Comsson concluu que os níves de colesterol podem ser reduzdos medante ngestão de produtos cítrcos. Por que razão a conclusão podera ser suspeta 13. Dada uma população com ses elementos, A, B, C, D, E e F, explque como você fara para obter, dessa população, uma amostra aleatóra smples com três elementos. 13

15 14. Descreva uma forma de se obter uma amostra sstemátca com 10 elementos de uma população com tamanho Explque a forma de se obter uma amostragem estratfcada dos empregados de uma frma, consderando que exstem empregados de escrtóro, de ofcna e representantes da mesma. 16. Imagne que se pretenda fazer um levantamento de opnão públca para verfcar se as pessoas são contra ou a favor do uso gratuto de ônbus pelos dosos. Pense em três maneras dstntas de elaborar uma pergunta que nduza a resposta postva, outra que nduza a resposta negatva e uma outra que não ocorra nenhum tpo de tendênca na resposta. 17. Identfque o tpo de amostragem utlzado para cada uma das stuações abaxo: a. Quando escreveu Woman n Love: A Cultural Revoluton, a autora Shere Hte baseou suas conclusões em respostas a questonáros dstrbuídos a mulheres. b. Uma pscóloga da Unversdade de Nova York faz uma pesqusa sobre alguns alunos seleconados aleatoramente de todas as 0 turmas que partcparam desta pesqusa. c. Um socólogo da Unversdade Charleston selecona 1 homens e 1 mulheres de cada uma de quatro turmas de nglês. d. A empresa Sony selecona cada 00 o CD de sua lnha de produção e faz um teste de qualdade rgoroso. e. Um cabo eletoral escreve o nome de cada senador dos EUA em cartões separados, mstura-os e extra 10 nomes. f. Gerente comercal da Amerca OnLne testa uma nova estratéga de vendas seleconando aleatoramente 50 consumdores com renda nferor a US$50.000,00 e 50 consumdores com renda de ao menos de US$50.000,00. g. O programa Planned Parenthood (Planejamento Famlar) pesqusa 500 homens e 500 mulheres sobre seus pontos de vsta sobre o uso de antconcepconas. h. Um repórter da revsta Busness Week Entrevsta todo o 50 o gerente geral constante da relação das empresas com maor cotação de suas ações.. Um repórter da revsta Busness Week obtém uma relação numerada das empresas com maor cotação de ações na bolsa, utlza um computador para gerar 0 números aleatóros e então entrevsta gerentes geras das empresas correspondentes aos números extraídos. 14

16 UNIDADE II - NORMAS PARA CONSTRUÇÃO DE TABELAS TABELAS ESTATÍSTICAS Um dos objetvos da estatístca é sntetzar os valores que uma ou mas varáves podem assumr, para que tenhamos uma vsão global da varação das mesmas. Tabela é uma manera de apresentar de forma resumda um conjunto de dados. ELEMENTOS DE UMA TABELA A tabela se apresenta da segunte forma: TÍTULO DA TABELA CORPO DA TABELA RODAPÉ 15

17 EXEMPLO: Tabela 1 Produção de Café Brasl 1991 a 1995 TÍTULO DA TABELA: Anos Produção (1.000 t) Fonte: IBGE Conjunto de nformações, as mas completas possíves, respondendo às perguntas: O que?, Quando? e Onde?, Localzado no topo da tabela, além de conter a palavra TABELA e sua respectva numeração. CORPO DA TABELA: É o conjunto de Lnhas e Colunas que contém nformações sobre a varável em estudo. a) Cabeçalho da Coluna Parte superor da tabela que especfca o conteúdo das colunas; b) Coluna Indcadora Parte da tabela que especfca o conteúdo das lnhas; c) Lnhas retas magnáras que facltam a letura, no sentdo horzontal, de dados que se nscrevem nos seus cruzamentos com as lnhas; d) Casa ou Célula espaço destnado a um só número; e) Total deve ser SEMPRE destacado de alguma forma; f) Lateras da tabela não devem ser fechadas. Caso as feche, passa a ser chamada de QUADRO. g) Número preferencalmente utlzar separador de 1000 (por exemplo: ao nvés de ). Há anda a consderar os elementos complementares da tabela, que são a fonte, as notas, e as chamadas, localzadas, de preferênca, no rodapé. a) Fonte dentfca o responsável (pessoa físca ou jurídca) ou responsável pelos dados numércos; b) Notas é o texto que rá esclarecer o conteúdo estudado, que poderá ser de caráter geral ou específco de uma tabela; c) Chamadas símbolo remssvo atrbuído a algum elemento de uma tabela que necessta de uma nota específca. SINAL CONVENCIONAL: A substtução de uma nformação da tabela poderá ser feta pelos snas abaxo: a) - dado numérco gual a zero; b)... Quando não temos os dados; c)? Quando temos dúvda na nformação; d) 0 quando o valor for muto pequeno. 16

18 SÉRIES ESTATÍSTICAS Introdução Uma vez que os dados foram coletados, mutas vezes o conjunto de valores é extenso e desorganzado, e seu exame requer atenção, pos há o rsco de se perder a vsão global do fenômeno analsado. Para que sto não ocorra faz-se necessáro reunr os valores em tabelas convenentes, facltando sua compreensão. Além da apresentação do conjunto de valores na forma tabulada, tem-se também a forma gráfca, que por sua vez, representa uma forma mas útl e elegante de representar o conjunto dos valores. Qualquer que seja a forma de representação do conjunto de valores, desde de que não haja alterações em seus valores ncas, quer seja o de caracterzação de um conjunto, ou de comparação com outros semelhantes ou anda o de prevsão de valores possíves, facltará sua compreensão de qualquer estudo. É o caso da sére estatístca. Defnção de Sére Estatístca Uma sére estatístca defne-se como toda e qualquer coleção de dados estatístcos referdos a uma mesma ordem de classfcação: QUANTITATIVA. Em um sentdo mas amplo, SÉRIE é uma seqüênca de números que se refere a uma certa varável. Caso estes números expressem dados estatístcos a sére é chamada de sére estatístca. Em um sentdo mas restrto, dz-se que uma sére estatístca é uma sucessão de dados estatístcos referdos a caracteres quanttatvos. Para dferencar uma sére estatístca de outra, temos que levar em consderação três fatores: A ÉPOCA (fator temporal ou cronológco) a que se refere o fenômeno analsado; O LOCAL (fator espacal ou geográfco) onde o fenômeno acontece; O FENÔMENO (espéce do fator ou fator específco) que é descrto. Tpos de Séres Estatístcas São quatro os tpos de séres estatístcas conforme a varação de um dos fatores: SÉRIE TEMPORAL A sére temporal, gualmente chamada sére cronológca, hstórca, evolutva ou marcha, dentfca-se pelo caráter varável do fator cronológco. Assm deve-se ter: VARIÁVEL: a época FIXO: o local e o fenômeno SÉRIE GEOGRÁFICA Também denomnadas séres terrtoras, espacas ou de localzação, esta sére apresenta como elemento ou caráter varável somente o fator local. Assm: 17

19 VARIÁVEL: o local FIXO: a época e o fenômeno SÉRIE ESPECÍFICA A sére específca recebe também outras denomnações tas como sére categórca ou sére por categora. Agora o caráter varável é o fenômeno. VARIÁVEL: o fenômeno FIXO: a época e o local DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA Neste caso todos os elementos (época, local e fenômeno) são fxos. Embora fxo, o fenômeno apresenta-se agora através de graduações, sto é, os dados referentes ao fenômeno que se está representando são reundos de acordo com a sua magntude. Normalmente os problemas de tabulação são enquadrados neste tpo de sére, que remos estudar com maor detalhe mas adante neste curso. Proporção, Porcentagem e Razão. Introdução Do ponto de vsta estatístco, estas podem ser consderadas como meddas muto smples que permtem estabelecer comparações entre dversos grupos. Proporção Consdere um número de empregados que fo dstrbuído em quatro repartções de uma certa empresa de acordo com sua função. Estas repartções são mutuamente exclusvas (cada pessoa somente poderá ser alocada em uma únca repartção) e exaustvas (todas as pessoas deverão ser alocadas). Em termos smbólcos podemos escrever: N 1 = número de pessoas alocadas na repartção 1 N = número de pessoas alocadas na repartção N 3 = número de pessoas alocadas na repartção 3 N 4 = número de pessoas alocadas na repartção 4 N = N 1 + N + N 3 + N 4 = número total de empregados Neste caso, a proporção de empregados pertencentes à prmera repartção é determnada medante o cálculo do quocente N 1 ; para as demas repartções segue o mesmo procedmento: N, N N N N3 N N 4. Note que o valor de uma proporção não pode exceder a undade, e que a soma de todas as proporções será sempre gual à undade. Assm, N N N N N N = = 1 N N N N e 18

20 Exemplo: Tabela 01. Número de empregados contratados (consultores) e com cartera assnada em dos órgãos públcos EMPREGADO ÓRGÃO PÚBLICO 1 ÓRGÃO PÚBLICO CONSULTOR: TEMPO INTEGRAL MEIO EXPEDIENTE CARTEIRA ASSINADA TOTAL FONTE: Departamento de Recursos Humanos destes Órgãos Públcos Não é smples racocnar em termos absolutos e dzer qual dos dos órgãos públcos conta com maor número de empregados consultores em suas duas modaldades de expedentes porque o número total de empregados dfere muto entre s. Por outro lado, a comparação dreta pode ser estabelecda rapdamente, se os dados forem expressos em proporções. A proporção de consultores com tempo ntegral no órgão públco 1 é: N = = 0, 099 0, 1 N E no órgão públco, segundo o mesmo racocíno temos: N = = 0, 058 0, 053 N Note que, em números absolutos, estes valores são muto próxmos (580 e 680). Entretanto, o órgão públco apresenta uma proporção nferor de consultores com tempo ntegral. Analogamente, fazendo os cálculos para ambos os órgãos públcos, têm: ÓRGÃO PÚBLICO 1 Consultores com ½ expedente: N 430 = = 0, , 074 N Cartera assnada: ÓRGÃO PÚBLICO N = = 0, 864 0, 86 N Consultores com ½ expedente: N = = 0, , 106 N N Cartera assnada: = = 08406, 0841, N 1860 Assm, temos a segunte tabela de proporções: Tabela 0. Proporção de empregados contratados (consultores) e com cartera assnada em dos órgãos públcos 19

21 EMPREGADO ÓRGÃO PÚBLICO 1 ÓRGÃO PÚBLICO CONSULTOR: TEMPO INTEGRAL 0,100 0,053 MEIO EXPEDIENTE 0,074 0,106 CARTEIRA ASSINADA 0,86 0,841 TOTAL 1 1 FONTE: Departamento de Recursos Humanos destes Órgãos Públcos Porcentagem As porcentagens são obtdas a partr do cálculo das proporções, smplesmente multplcando-se o quocente obtdo por 100. A palavra porcentagem sgnfca, portanto, por cem. Uma vez que a soma das proporções é gual a 1, a soma das porcentagens é gual a 100, a menos que as categoras não sejam mutuamente exclusvas e exaustvas. Exemplo: Utlzando os dados do exemplo anteror e multplcando as proporções por 100 teremos a segunte tabela: Tabela 03. Percentual de empregados contratados (consultores) e com cartera assnada em dos órgãos públcos EMPREGADO ÓRGÃO PÚBLICO 1 ÓRGÃO PÚBLICO ABSOLUTO RELATIVO (%) ABSOLUTO RELATIVO (%) CONSULTOR: TEMPO INTEGRAL , ,3 MEIO EXPEDIENTE 430 7, ,6 CARTEIRA ASSINADA , ,1 TOTAL FONTE: Departamento de Recursos Humanos destes Órgãos Públcos As porcentagens e proporções, em Estatístca, têm como prncpal fnaldade estabelecer comparações relatvas. Como um outro exemplo, as vendas de duas empresas foram as seguntes em dos anos consecutvos: Tabela 4. Faturamento anual das Empresas A e B em 1994 e 1995 dados em números absoluto e relatvo (%) EMPRESA FATURAMENTO (por reas) CRESCIMENTO CRESCIMENTO ABSOLUTO RELATIVO (%) A B FONTE: Departamento de Fnanças das Empresas A e B Em valores absolutos, a empresa B teve um crescmento no faturamento maor que a empresa A. Contudo, na realdade, comparando estes valores em termos percentuas, a empresa A fo a que apresentou um desempenho superor (crescmento de 50% na empresa A e de 5% na empresa B). Razão A razão de um número A em relação a outro número B defne-se como A dvddo por B A quantdade precedente é posta no numerador e a segunte, no denomnador. 0

22 Exemplo: Através de uma pesqusa realzada em uma certa cdade, descobru-se que, das pessoas entrevstadas, 300 se manfestaram a favor a uma determnada medda adotada pela prefetura local, 400 contra e 70 eram ndferentes. Neste caso, a razão daquelas pessoas contra a medda para aquelas a favor fo de: ou ou 43 : ou 133, para 1 3 E a razão daquelas a favor e contra para aquelas ndferentes fo de: ( ) 70 ou 70 7 ou 70 : 7 ou 10 para 1 EXERCÍCIOS 1. Uma sére estatístca é denomnada evolutva quando? a) O elemento varável é o tempo; b) O elemento varável é o local; c) O elemento varável é a espéce; d) É o resultado da combnação de séres estatístcas de tpos dferentes; e) Os dados são agrupados em subntervalos do ntervalo observado.. Uma sére estatístca é denomnada espacal quando? f) O elemento varável é o tempo; g) O elemento varável é o local; h) O elemento varável é a espéce; ) É o resultado da combnação de séres estatístcas de tpos dferentes; j) Os dados são agrupados em subntervalos do ntervalo observado. 3. Uma sére estatístca é denomnada cronológca quando? a) O elemento varável é o tempo; b) O elemento varável é o local; c) O elemento varável é a espéce; d) É o resultado da combnação de séres estatístcas de tpos dferentes; e) Os dados são agrupados em subntervalos do ntervalo observado. 4. Uma sére estatístca é denomnada categórca quando? a) O elemento varável é o tempo; b) O elemento varável é o local; c) O elemento varável é a espéce; d) É o resultado da combnação de séres estatístcas de tpos dferentes; e) Os dados são agrupados em subntervalos do ntervalo observado. 5. Uma sére estatístca é denomnada marcha quando? a) O elemento varável é o tempo; b) O elemento varável é o local; c) O elemento varável é a espéce; d) É o resultado da combnação de séres estatístcas de tpos dferentes; e) Os dados são agrupados em subntervalos do ntervalo observado. 6. Uma sére estatístca é denomnada geográfca quando? a) O elemento varável é o tempo; b) O elemento varável é o local; c) O elemento varável é a espéce; d) É o resultado da combnação de séres estatístcas de tpos dferentes; e) Os dados são agrupados em subntervalos do ntervalo observado. 7. Uma sére estatístca é denomnada composta quando? a) O elemento varável é o tempo; 1

23 b) O elemento varável é o local; c) O elemento varável é a espéce; d) É o resultado da combnação de séres estatístcas de tpos dferentes; e) Os dados são agrupados em subntervalos do ntervalo observado. 8. Uma sére estatístca é denomnada qualtatva quando? a) O elemento varável é o tempo; b) O elemento varável é o local; c) O elemento varável é a espéce; d) É o resultado da combnação de séres estatístcas de tpos dferentes; e) Os dados são agrupados em subntervalos do ntervalo observado. 9. Uma sére estatístca é denomnada específca quando? a) O elemento varável é o tempo; b) O elemento varável é o local; c) O elemento varável é a espéce; d) É o resultado da combnação de séres estatístcas de tpos dferentes; e) Os dados são agrupados em subntervalos do ntervalo observado. 10. Uma sére estatístca é denomnada msta quando? a) O elemento varável é o tempo; b) O elemento varável é o local; c) O elemento varável é a espéce; d) É o resultado da combnação de séres estatístcas de tpos dferentes; e) Os dados são agrupados em subntervalos do ntervalo observado. 11. Uma sére estatístca é denomnada Temporal quando? a) O elemento varável é o tempo; b) O elemento varável é o local; c) O elemento varável é a espéce; d) É o resultado da combnação de séres estatístcas de tpos dferentes; e) Os dados são agrupados em subntervalos do ntervalo observado. 1. A representação tabular de dados no Brasl obedece às normas a) Da SUNAB; b) Da Receta Federal; c) Do IBGE; d) Do Governo Federal; e) Da Secretara Muncpal de Estatístca. 13. De acordo com as normas para representação tabular de dados, quando o valor de um dado é zero, deve-se colocar na célula correspondente: a) Zero (0); b) Três pontos (...); c) Um traço horzontal (-) d) Um ponto de nterrogação (?); e) Um ponto de exclamação (!). 14. De acordo com as normas para representação tabular de dados, quando o valor de um dado é não está dsponível, deve-se colocar na célula correspondente. a) Zero (0); b) Três pontos (...); c) Um traço horzontal (-) d) Um ponto de nterrogação (?); e) Um ponto de exclamação (!).

24 15. De acordo com as normas para representação tabular de dados, quando o valor de um dado é muto pequeno, para ser expresso com o número de casa decmas utlzadas ou com a undade de medda utlzada, deve-se colocar na célula correspondente. a) Zero (0); b) Três pontos (...); c) Um traço horzontal (-) d) Um ponto de nterrogação (?); e) Um ponto de exclamação (!). 16. De acordo com as normas para representação tabular de dados, quando há dúvda, na exatdão do valor de um dado, deve-se colocar na célula correspondente. a) Zero (0); b) Três pontos (...); c) Um traço horzontal (-) d) Um ponto de nterrogação (?); e) Um ponto de exclamação (!). 17. Assnale a alternatva verdadera a) Tanto a nota quanto a chamada são usadas para esclarecmento geral sobre um quadro e uma tabela. b) Tanto a nota quanto a chamada são usadas para esclarecer detalhes em relação à casa, lnhas ou colunas de um quadro ou uma tabela. c) A nota é usada para esclarecer detalhes em relação a casas, lnhas ou colunas enquanto a chamada é usada para um esclarecmento geral sobre um quadro ou uma tabela. d) A nota é usada para esclarecmento geral sobre um quadro ou tabela enquanto a chamada é usada para esclarecer detalhes em relação a casas, lnhas ou colunas. e) Todas as afrmatvas anterores são falsas. 18. Para cada tabela abaxo, calcule a proporção e a porcentagem e responda às perguntas: Tabela 01. Quocente de Intelgênca (QI) de uma certa faculdade braslera QI No. DE ALUNOS PROPORÇÃO PORCENTAGEM TOTAL 107 a) Qual o nível de QI que possu a maor proporção/percentual? E a menor? b) Calcule e nterprete as seguntes razões: ) Alunos com QI entre 9 e 1 (exclusve) para aqueles com QI entre 137 e 15 (exclusve). ) Alunos com QI entre 107 e 15 (exclusve) para os demas. ) Alunos com QI entre 9 e 107 (exclusve) para aqueles com QI entre 15 e 167 (exclusve). v) Alunos com QI nferor a 1 para aqueles com QI maor ou gual a

25 Tabela 0. Notas de canddatos de um certo concurso públco realzado em uma cdade NOTAS FREQUÊNCIA PROPORÇÃO PORCENTAGEM TOTAL 500 a) Dado que a nota de corte seja de 60 pontos, qual a proporção/percentual dos canddatos que foram aprovados? b) Calcule e nterprete as seguntes razões: ) Canddatos com nota menor que 0 para aqueles com nota de 40 a 60 (exclusve). ) Canddatos com nota menor que 40 para aqueles com nota mínma de 60. ) Canddatos com nota de 40 a 60 (exclusve) para aqueles com nota gual ou superor a 80. v) Canddatos com nota máxma de 40 para aqueles com nota maor ou gual a 60. v) Canddatos com nota de 0 a 60 (exclusve) para os demas. Tabela 03. Área das Regões Brasleras REGIÃO ÁREA PROPORÇÃO PORCENTAGEM NORTE NORDESTE SUDESTE SUL C.OESTE TOTAL a) Qual a regão que ocupa a maor área do Brasl e qual é a sua proporção/porcentagem? b) Calcule e nterprete as seguntes razões: ) Área da regão Norte para a da regão Nordeste. ) Área das regões Norte e Nordeste para o da regão Centro-Oeste. ) Área da regão Sudeste para o das regões Sul e Centro-Oeste. v) Área da regão Norte para as demas. 4

26 UNIDADE III - NORMAS PARA CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS Introdução Tem como fnaldade: Representar os resultados de forma smples, clara e verdadera. Demonstrar a evolução do fenômeno em estudo Observar a relação dos valores da sére Normas para construção de gráfcos A dsposção dos elementos é dêntca à das tabelas: CABEÇALHO DO GRÁFICO CORPO DO GRÁFICO RODAPÉ 5

27 TIPOS DE GRÁFICOS GRÁFICO EM COLUNAS Conjunto de retângulos dspostos vertcalmente separados por um espaço. Tabela 01. Efetvo do CBMDF em Cnco Regões Admnstratvas do DF Regão Efetvo Admnstratva RA I - Brasíla 867 RA III - Taguatnga 443 RA V - Sobradnho 116 RA XIII - Santa Mara 77 RA XVIII - Lago Norte 03 Total FONTE: Banco de Dados do Dstrto Federal 1998 NOTAS: Os efetvos especalzados (emergênca médca, ncêndo florestal e guarda e segurança) estão alocados nas regões admnstratvas. Gráfco 01. Efetvo do CBMDF em algumas Regões Admnstratvas do DF Efetvo RA I - Brasíla RA III - Taguatnga RA V - Sobradnho RA XIII - Santa Mara RA XVIII - Lago Norte Regão Admnstratva Fonte: Tabela 01 GRÁFICOS EM BARRAS Semelhante ao gráfco em colunas, porém os retângulos são dspostos horzontalmente. 6

28 Tabela 0. Efetvo do CBMDF em Cnco Regões Admnstratvas do DF Regão Efetvo Admnstratva RA I - Brasíla 867 RA III - Taguatnga 443 RA V - Sobradnho 116 RA XIII - Santa Mara 77 RA XVIII - Lago Norte 03 Total FONTE: Banco de Dados do Dstrto Federal 1998 NOTAS: Os efetvos especalzados (emergênca médca, ncêndo florestal e guarda e segurança) estão alocados nas regões admnstratvas. Gráfco 0. Efetvo do CBMDF em algumas Regões Admnstratvas do DF RA XVIII - Lago Norte Regão Admnstratva RA XIII - Santa Mara RA V - Sobradnho RA III - Taguatnga RA I - Brasíla Fonte: Tabela Efetvo 7

29 GRÁFICO EM SETORES É a representação através de um círculo, por meo de setores. Muto utlzado quando pretendemos comparar cada valor da sére com o total - proporção. Forma de cálculo: Total parte 360 o x o Tabela 03. Efetvo (valores absoluto e relatvo) do CBMDF em Cnco Regões Admnstratvas do DF FONTE: Banco de Dados do Dstrto Federal 1998 Regão Admnstratva Absoluto Efetvo Relatvo (%) RA I - Brasíla ,8 RA III - Taguatnga 443 5,97 RA V - Sobradnho 116 6,80 RA XIII - Santa Mara 77 4,51 RA XVIII - Lago Norte 03 11,90 Total ,00 NOTAS: Os efetvos especalzados (emergênca médca, ncêndo florestal e guarda e segurança) estão alocados nas regões admnstratvas. Efetvo x o RA I - Brasíla ,0 RA III - Taguatnga ,5 RA V - Sobradnho 116 4,5 RA XIII - Santa Mara 77 16, RA XVIII - Lago Norte 03 4,8 Total ,0 8

30 Gráfco 03.a. Comparatvo (percentual) do Efetvo do CBMDF em Cnco Regões Admnstratvas do DF 1998 RA V - Sobradnho 6,80% RA XVIII - Lago Norte 11,90% RA XIII - Santa Mara 4,51% RA I - Brasíla 50,8% RA III - Taguatnga 5,97% FONTE: Tabela 03 Gráfco 03.b. Comparatvo (percentual) do Efetvo do CBMDF em Cnco Regões Admnstratvas do DF 1998 RA XIII - Santa Mara 4,51% RA V - Sobradnho 6,80% RA XVIII - Lago Norte 11,90% RA I - Brasíla 50,8% RA III - Taguatnga 5,97% FONTE: Tabela 03 9

31 GRÁFICO EM CURVAS / LINHAS Muto utlzado para representar dados temporas. Tabela 04. População da RA XIV São Sebastão 1991 a 1995 Ano População FONTE: Censo Demográfco de 1991 IBGE Estmatvas para 199 a CODEPLAN Gráfco 04. População da RA XIV São Sebastão 1991 a População Ano FONTE: Tabela 04 Gráfco 05. População da RA XIV São Sebastão 1991 a 1995 População Ano 30 FONTE: Tabela 04

32 GRÁFICO POLAR / RADAR Representação por meo de um polígono Geralmente presta-se para apresentação de séres temporas Gráfco 05. População da RA XIV São Sebastão 1991 a FONTE: Tabela 04 31

33 EXERCÍCIOS 1. Assnale a afrmatva verdadera: a) Um gráfco de barras ou colunas é aquele em que os retângulos que o compõem estão dspostos horzontalmente. b) Um gráfco de barras ou colunas é aquele em que os retângulos que o compõem estão dspostos vertcalmente. c) Um gráfco de barras é aquele em que os retângulos que o compõem estão dspostos vertcalmente e um gráfco de colunas, horzontalmente. d) Um gráfco de barras é aquele em que os retângulos que o compõem estão dspostos horzontalmente e um gráfco de colunas, vertcalmente. e) Todas as alternatvas anterores são falsas.. O gráfco mas comumente utlzado quando se deseja evdencar a partcpação de um dado em relação ao total é denomnado: a) Gráfco em barras; b) Gráfcos em colunas; c) Gráfco em setores; d) Gráfco pctórco ou pctograma; e) Gráfco decoratvo. 3. Uma representação gráfca comumente encontrada em jornas e revstas que nclu fguras de modo a torná-las mas atraente é denomnada: a) Gráfco em barras; b) Gráfcos em colunas; c) Gráfco em setores; d) Gráfco pctórco ou pctograma; e) Gráfco decoratvo. 4. A tabela abaxo mostra o consumo de determnada bebda durante um bale de carnaval: Bebda Consumo (l) Vnho 100 Suco de Frutas 00 Água Mneral 400 Refrgerante 700 Cerveja 1600 Fo construído um gráfco em setores para melhor representar o fenômeno acma. a) Qual o ângulo do setor correspondente ao vnho? ) 6 ) 10 ) 1 v) 4 v) 100 b) Qual o ângulo do setor correspondente ao suco de frutas? ) 1 ) 0 ) 4 v) 48 v) 00 c) Qual o ângulo do setor correspondente à água mneral? 3

34 ) 4 ) 40 ) 48 v) 84 v) 100 d) Qual o ângulo do setor correspondente aos refrgerantes? ) 4 ) 70 ) 84 v) 19 v) 700 e) Qual o ângulo do setor correspondente às cervejas? ) 1 ) 96 ) 160 v) 19 v)

35 UNIDADE IV - DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA REPRESENTAÇÃO DA AMOSTRA: Podemos observar que a estatístca tem como objetvo encontrar les de comportamento para todo o conjunto, por meo da sntetzação dos dados numércos, sob a forma de tabelas, gráfcos e meddas. PROCEDIMENTO COMUM PARA A REPRESENTAÇÃO DAS DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIA (MANEIRA DE SUMARIZAR OS DADOS) 1) DADOS BRUTOS: O conjunto dos dados numércos obtdos após a crítca dos valores coletados consttuse nos dados brutos. Assm: ) ROL: É o arranjo dos dados brutos em ordem de freqüêncas crescente ou decrescente: Assm: ) AMPLITUDE TOTAL OU RANGE R : É a dferença entre o maor e o menor valor observado. No exemplo: R = 36-1 = 15 4) FREQÜÊNCIA ABSOLUTA (F ): É o número de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o número de elementos pertencentes a uma classe. No exemplo F (1) = 3. 5) DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA: É o arranjo dos valores e suas respectvas freqüêncas. Assm, a dstrbução de freqüênca para o exemplo será: X F

36 Para a varável contínua: Seja X peso de 100 ndvíduos: CLASSE F ) NUMERO DE CLASSES (K): Não há fórmula exata para o número de classes (arredondar para o ntero mas próxmo). Soluções: 5, se n < 5 K = n, se n 5 Fórmula de Sturges: K= 1 + 3,3 log(n) Onde: n = tamanho da amostra. EXEMPLO: Consdere o exemplo apresentado no ROL: Portanto, a tabela rá conter 6 classes. ( 30) K = 5,9 K 6 K = 1+ 3,3 log = R 7) AMPLITUDE DA CLASSE (h): h = (aproxmar para o maor ntero). K EXEMPLO: Consdere novamente o exemplo apresentado no ROL: 15 h = h =,5 h = 3 6 8) LIMITE DE CLASSES: Representado por 10-1: valores entre 10 e 1; 10-1: valores de 10 a 1, exclundo o 10; 10-1: valores de 10 a 1, exclundo o 1. Obs.: Neste curso remos utlzar a últma representação. 35

37 EXEMPLO: Consdere o exemplo apresentado no ROL: Classe F TOTAL 30 9) PONTO MÉDIO DA CLASSE (x ): É a méda artmétca entre o lmte superor (L ) e o nferor da classe (l ). EXEMPLO: Da tabela acma: x l = + L Classe F x 1-4 8, , , , , ,5 TOTAL 30-10) FREQÜÊNCIA ABSOLUTA ACUMULADA (F ac ): É a soma das freqüêncas dos valores nferores ou guas ao valor dado. Exemplo: Classe F x F ac 1-4 8, , , , , ,5 30 TOTAL

38 11) FREQÜÊNCIA RELATIVA SIMPLES ( f ): A freqüênca relatva de um valor é dada por, será a percentagem daquele valor na amostra caso multplque por 100. f = F F, ou Classe F x F ac f 1-4 8,5 8 0, ,5 17 0, ,5 18 0, ,5 0, ,5 9 0, ,5 30 0,033 TOTAL ,000 Exemplo: 1) FREQÜÊNCIA RELATIVA ACUMULADA (f ac ): É a soma das freqüêncas relatvas dos valores nferores ou guas ao valor dado. Exemplo: Classe F x F ac f f ac 1-4 8,5 8 0,67 0, ,5 17 0,300 0, ,5 18 0,033 0, ,5 0,133 0, ,5 9 0,33 0, ,5 30 0,033 1,000 TOTAL ,000-13) HISTOGRAMA: É a representação gráfca de uma dstrbução de FREQÜÊNCIA por meo de retângulos justapostos (veja exemplo a segur). 14) POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA: É a representação gráfca de uma dstrbução por meo de um polígono. Exemplo: HISTOGRAMA E POLÍGONO DE FREQUÊNCIA SIMPLES DA TABELA ACIMA F Classes 37

39 15) POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA ACUMULADA: Exemplo: POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA DA TABELA ACIMA Fac Classes 38

40 EXERCÍCIOS 1. Um dado fo lançado 50 vezes e foram regstrados os seguntes resultados Construa uma dstrbução de freqüênca sem ntervalo de classe e determne: a) A Ampltude Total ) 5 ) 6 ) 7 v) 10 v) 50 b) A freqüênca total ) 5 ) 6 ) 7 v) 10 v) 50 c) A freqüênca smples absoluta do prmero elemento: ) 10% ) 0% ) 1 v) 10 v) 0 d) A freqüênca smples relatva do prmero elemento: ) 10% ) 0% ) 1 v) 10 v) 0 e) A freqüênca acumulada do prmero elemento: ) 10% ) 0% ) 1 v) 10 v) 0 f) A freqüênca acumulada relatva do prmero elemento: ) 10% ) 0% ) 1 v) 10 v) 0 g) A freqüênca smples absoluta do segundo elemento: ) 19 ) 9 ) v) 38% 39

41 v) 18% h) A freqüênca smples relatva do qunto elemento: ) 1% ) 84% ) 5 v) 6 v) 4 ) A freqüênca acumulada relatva do sexto elemento: ) 50 ) 8 ) 6 v) 100% v) 16% 3. Dado o rol de meddas das alturas (dadas em cm) de uma amostra de 100 ndvíduos de uma faculdade: Calcule: a) A ampltude amostral; b) O número de classes; c) A ampltude de classes; d) Os lmtes de classes; e) As freqüêncas absolutas das classes; f) As freqüêncas relatvas; g) Os pontos médos das classes; h) As freqüêncas acumuladas; ) O hstograma e o polígono de freqüênca; j) O polígono de freqüênca acumulada; k) Faça um breve comentáro sobre os valores das alturas desta amostra através da dstrbução de frequênca. 4. Os dados seguntes representam 0 observações relatvas ao índce pluvométrco em determnado muncípo do Estado: Mlímetros de chuva a) Determnar o número de classes pela regra de Sturges; b) Construr a tabela de freqüêncas absolutas smples; 40

42 c) Determnar as freqüêncas absolutas acumuladas; d) Determnar as freqüêncas smples relatvas; 5. Consdere a segunte dstrbução de frequênca correspondente aos dferentes preços de um determnado produto em vnte lojas pesqusadas. Preços No. De lojas Total 0 a) Quantas lojas apresentaram um preço de R$5,00? b) Construa uma tabela de freqüêncas smples relatvas. c) Construa uma tabela de freqüêncas absolutas acumuladas. d) Quantas lojas apresentaram um preço de até R$5,00 (nclusve)? e) Qual o percentual de lojas com preço maor de que R$51,00 e menor de que R$54,00? 6. O quadro segunte representa as alturas (em cm) de 40 alunos de uma classe a) Calcular a ampltude total. b) Admtndo-se 6 classes, qual a ampltude do ntervalo de classe? c) Construr uma tabela de frequênca das alturas dos alunos. d) Determnar os pontos médos das classes. 7. Vnte alunos foram submetdos a um teste de aprovetamento cujos resultados são Pede-se agrupar tas resultados em uma dstrbução de freqüêncas: 41

43 UNIDADE V - MEDIDAS DE POSIÇÃO E SEPARATRIZES MEDIDAS DE POSIÇÃO As meddas de posção, também chamada de meddas de tendênca central, possuem três formas dferentes para três stuações dstntas: MÉDIA ARITMÉTICA Exstem duas médas: POPULACIONAL, representada letra grega µ AMOSTRAL, representada por x 1 a SITUAÇÃO: Dados não agrupados Sejam os elementos x 1, x, x 3,...,x n de uma amostra, portanto n valores da varável X. A méda artmétca da varável aleatóra de X é defnda por, x = 1 x = ou smplesmente, n Onde n é o número de elementos do conjunto. n x x = n Exemplo: Suponha o conjunto de tempo de servço de cnco funconáros: 3, 7, 8, 10 e 11. Determnar a méda artmétca smples deste conjunto de dados x = = = 7,8 5 5 Interpretação: o tempo médo de servço deste grupo de funconáros é de 7,8 anos. a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma dstrbução de frequênca por valores smples Quando os dados estverem agrupados numa dstrbução de freqüênca usaremos a méda artmétca dos valores x 1, x, x 3,...,x n, ponderados pelas respectvas freqüêncas absolutas: F 1, F, F 3,..., F n. Assm Exemplo: x = Em um determnado da fo regstrado o número de veículos negocados por uma amostra de 10 vendedores de uma agênca de automóves obtendo a segunte tabela: n = 1 x F n 4

44 Portanto: veículos número de negocados vendedores x F (x ) (F ) TOTAL x = = 10 Interpretação: em méda, cada vendedor negocou,6 veículos.,6 3 a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma dstrbução de frequênca por classes Quando os dados estverem agrupados numa dstrbução de freqüênca usaremos a méda artmétca dos pontos médos x 1, x, x 3,...,x n de cada classe, ponderados pelas respectvas freqüêncas absolutas: F 1, F, F 3,..., F n. Desta forma, o cálculo da méda passa a ser gual ao da a stuação. Assm x F = 1 x = n Exemplo: A tabela abaxo representa os escores obtdos por um grupo de 58 alunos matrculados em uma determnada dscplna: n ESCORES ALUNOS x x F (F ) TOTAL Portanto, 3610 x = = 6,4 58 Interpretação: o desempenho médo deste grupo de alunos fo de 6,4 pontos nesta dscplna. 43

45 MODA - Mo Dentre as prncpas meddas de posção, destaca-se a moda. É o valor mas freqüente da dstrbução. 1 a SITUAÇÃO: Dados não agrupados Sejam os elementos x 1, x, x 3,...,x n de uma amostra, o valor da moda para este tpo de conjunto de dados é smplesmente o valor com maor frequênca. Exemplo 1: Suponha o conjunto de tempo de servço de cnco funconáros: 3, 7, 8, 8 e 11. Determnar a moda deste conjunto de dados. Mo = 8 Dstrbução unmodal ou modal Interpretação: o tempo de servço com maor frequênca é de 8 anos. Exemplo : Suponha o conjunto de tempo de servço de cnco funconáros: 3, 3, 7, 8, 8 e 11. Determnar a moda deste conjunto de dados. Mo = 3 Dstrbução bmodal Mo = 8 Interpretação: os tempos de servço com maor frequênca foram de 3 e 8 anos. Exemplo 3: Suponha o conjunto de tempo de servço de cnco funconáros: 3, 7, 8, 10 e 11. Determnar a moda deste conjunto de dados. não exste Mo Dstrbução amodal Interpretação: não exste o tempo de servço com maor frequênca. a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma dstrbução de frequênca por valores smples Para este tpo de dstrbução, a dentfcação da moda é facltada pela smples observação do elemento que apresenta maor freqüênca. Assm, para a dstrbução. Exemplo: Em um determnado da fo regstrado o número de veículos negocados por uma amostra de 10 vendedores de uma agênca de automóves obtendo a segunte tabela: veículos número de negocados vendedores (x ) (F ) TOTAL 10 44

46 Portanto, se a maor frequênca é F = 5, logo Mo = 3. Interpretação: A quantdade de veículos comercalzados no da com maor frequênca fo de três veículos. 3 a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma dstrbução de frequênca por classes Para dados agrupados em classes, temos dversas fórmulas para o cálculo da moda. A utlzada será: Fórmula de Czuber Procedmento: a) Identfca-se a classe modal (aquela que possur maor freqüênca) CLASSE(Mo). b) Utlza-se a fórmula: em que: l = F F = F F 1 Mo = l h = lmte nferor da classe modal 1,ant,post h = ampltude da classe modal Exemplo: A tabela abaxo representa os escores obtdos por um grupo de 58 alunos matrculados em uma determnada dscplna: ESCORES ALUNOS F TOTAL 58 CLASSE ( Mo) 6 Mo = = Mo = onde : 1 = 18 1 = 6 = = Interpretação: O escore com maor frequênca entre o grupo de 58 alunos fo de 61 pontos. 45

47 MEDIANA - Md Construído o ROL, o valor da medana é o elemento que ocupa a posção central, ou seja, é o elemento que dvde a dstrbução em 50% de cada lado: Md 0% 50% 100% 1 a SITUAÇÃO: Dados não agrupados Sejam os elementos x 1, x, x 3,...,x n de uma amostra, portanto n valores da varável X. A medana da varável aleatóra de X é defnda por, n + 1 par, então o valor da medana será a méda das duas observações adjacentes à posção se n = n + 1 ímpar, então o valor da medana será o valor localzado na posção Exemplo 1: Suponha o conjunto de tempo de servço de cnco funconáros: 3, 7, 8, 10 e 11. Determnar a medana deste conjunto de dados Como n = 5, então o valor da medana estará localzado na posção = 3. Portanto, Md = 8 Interpretação: 50% dos funconáros possuem até oto anos de tempo de servço, ou, 50% dos funconáros possuem no mínmo oto anos de tempo de servço. Exemplo : Suponha o conjunto de tempo de servço de cnco funconáros: 3, 7, 8, 10, 11 e 13. Determnar a medana deste conjunto de dados Como n = 6, então o valor da medana estará localzado na posção = 3, 5. Portanto, Md = = 9 Interpretação: 50% dos funconáros possuem até nove anos de tempo de servço, ou, 50% dos funconáros possuem no mínmo nove anos de tempo de servço. a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma dstrbução de frequênca por valores smples Quando os dados estverem agrupados numa dstrbução de freqüênca dentfcaremos a medana dos n POS Md = através da frequênca absoluta acumulada - F ac, valores x 1, x, x 3,...,x n pela posção da medana ( ) 46

48 Exemplo: Em um determnado da fo regstrado o número de veículos negocados por uma amostra de 10 vendedores de uma agênca de automóves obtendo a segunte tabela: Portanto: veículos número de negocados vendedores F ac (x ) (F ) TOTAL POS = ( Md) = = 5 Md 3 Interpretação: 50% dos vendedores comercalzaram no máxmo três veículos, ou então, metade dos vendedores comercalzou pelo menos três veículos. 3 a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma dstrbução de frequênca por classes Procedmento: 1. Calcula-se a posção da medana: ( Md) POS =. Pela F ac dentfca-se a classe que contém o valor da medana - CLASSE(Md) 3. Utlza-se a fórmula: POS( Md) Onde: Md = l + n F - F ac,ant l = Lmte nferor da classe medana n = Tamanho da amostra ou número de elementos F ac,ant = Frequênca acumulada anteror à classe medana h = Ampltude da classe medana F = Freqüênca absoluta smples da classe medana h Exemplo: A tabela abaxo representa os escores obtdos por um grupo de 58 alunos matrculados em uma determnada dscplna: 47

49 Portanto, POS(Md) = = 9. CLASSE(Md) = Md ESCORES ALUNOS F ac (F ) TOTAL = = ,67 Md = 61,67 18 Interpretação: 50% dos alunos obtveram escore máxmo de 61,67 pontos, ou então, metade dos alunos obtveram escore maor que 61,67 pontos.. SEPARATRIZES QUARTIS Os quarts dvdem um conjunto de dados em quatro partes guas. Q 1 Q = Md Q 3 0% 5% 50% 75% Assm: Onde: Q 1 = 1 quartl, dexa 5% dos elementos. Q = quartl, concde com a medana, dexa 50% dos elementos. Q 3 = 3 quartl, dexa 75% dos elementos. 100% Procedmento: n POS( Q ) 1. Calcula-se a posção do quartl: = 4 onde : = 1,,3. Pela F ac dentfca-se a classe que contém o valor do quartl - CLASSE(Q ) 48

50 3. Utlza-se a fórmula: POS( Q ) Q = l + - F ac,ant F onde: l = Lmte nferor da classe quartílca n = Tamanho da amostra ou número de elementos F ac,ant = Frequênca acumulada anteror à classe quartílca h = Ampltude da classe quartílca F = Freqüênca absoluta smples da classe quartílca h Exemplo: A tabela abaxo representa os escores obtdos por um grupo de 58 alunos matrculados em uma determnada dscplna. Calcule o prmero e o tercero quartl. ESCORES ALUNOS F ac (F ) TOTAL 58 - Portanto, POS(Q1) = 1 = 14,5 4. CLASSE(Q ) = Q ,5-5 = = ,9 Q 1 1 = 5,9 Interpretação: 5% dos alunos obtveram escore máxmo de 5,9 pontos, ou então, 75% dos alunos obtveram escore maor que 5,9 pontos POS(Q3) = 3 = 43,5 4. CLASSE(Q ) = Q ,5-35 = = ,07 Q 14 3 = 71,07 Interpretação: 75% dos alunos obtveram escore menor que 71,07 pontos, ou então, 5% dos alunos obtveram escore de pelo menos 71,07 pontos. 49

51 DECIS São valores que dvde a sére em dez partes. D 1 D D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9 0% 10% 0% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Procedmento: n POS( D ) = 1. Calcula-se a posção da medda: 10 onde : = 1,,3,4,5,6,7,8,9. Pela F ac dentfca-se a classe que contém o valor do decl - CLASSE(D ) 3. Utlza-se a fórmula: POS( D ) Onde: D = l + - F ac,ant F l = Lmte nferor da classe do decl n = Tamanho da amostra ou número de elementos F ac,ant = Frequênca acumulada anteror à classe do decl h = Ampltude da classe do decl F = Freqüênca absoluta smples da classe do decl h Exemplo: A tabela abaxo representa os escores obtdos por um grupo de 58 alunos matrculados em uma determnada dscplna. Calcule o sexto decl. ESCORES ALUNOS F ac (F ) TOTAL 58 - Portanto, 50

52 58 1. POS(D 6 ) = 6 = 34,8 10. CLASSE(D ) = D ,8-17 = = ,89 D 18 6 = 64,89 Interpretação: 60% dos alunos obtveram escore nferor a 64,89 pontos, ou então, 40% dos alunos obtveram escore mínmo de 64,89 pontos. PERCENTIS...P 10...P 0...P 30...P 40...P 50...P 60...P 70...P 80...P %...10%...0%...30%...40%...50%...60%...70%...80%...90%...100% São as meddas que dvdem a amostra em 100 partes guas. A fórmula será: Procedmento: n POS( P ) = 1. Calcula-se a posção da medda: 100 onde : = 1,,3,...,98,99. Pela F ac dentfca-se a classe que contém o valor do percentl - CLASSE(P ) 3. Utlza-se a fórmula: onde: ( ) POS P - F P = l + F ac,ant l = Lmte nferor da classe do percentl n = Tamanho da amostra ou número de elementos F ac,ant = Frequênca acumulada anteror à classe do percentl h = Ampltude da classe do percentl F = Freqüênca absoluta smples da classe do percentl h Exemplo: A tabela abaxo representa os escores obtdos por um grupo de 58 alunos matrculados em uma determnada dscplna. Calcule o percentl de ordem 3. ESCORES ALUNOS F ac (F ) TOTAL 58-51

53 Portanto, POS(P3 ) = 3 = 13, CLASSE(P ) = P ,34-5 = = ,95 P 1 3 = 51,95 Interpretação: 3% dos alunos com os menores escores obtveram pontuação nferor a 51,95 pontos, ou então, 77% dos alunos obtveram escore maor que 51,95 pontos. 5

54 EXERCÍCIOS 1. Dado o rol do número de erros de mpressão da prmera págna de um jornal durante 50 das, obteve-se os seguntes resultados: a) Complete a tabela de dstrbução de frequênca: Classe F x Fac f Segundo nos mostra a tabela acma responda: ) Qual a ampltude total (r)? ) Qual o valor de k (número de classe)? ) Qual o ntervalo de cada classe (h)?. Complete a tabela a segur: 3. Consdere a segunte tabela: classes F,75 -,80,80 -,85 3,85 -,90 10,90 -,95 11,95-3,00 4 3,00-3, ,05-3,10 9 3,10-3,15 8 3,15-3,0 6 3,0 - Total 3, Total - - Classes f P.M. F fr 0, ,06 66, , Total - - Identfcar os seguntes elementos da tabela: a) Frequênca smples absoluta da qunta classe. b) Frequênca total. 53

55 c) Lmte nferor da sexta classe. d) Lmte superor da quarta classe. e) Ampltude do ntervalo de classe. f) Ampltude total. g) Ponto médo da tercera classe. h) Número total de classe. ) Frequênca absoluta acumulada além da sexta classe. j) Porcentagem de valores guas ou maores que 3,0. 4. Responda as questões abaxo: I) Méda, Medana e Moda são meddas de : a) ( ) Dspersão b) ( ) posção c) ( ) assmetra d) ( ) curtose II) Na sére 10, 0, 40, 50, 70, 80 a medana será: a) ( ) 30 b) ( ) 35 c) ( ) 40 d) ( ) 45 III) 50% dos dados da dstrbução stua-se: a) ( ) abaxo da méda c) ( ) abaxo da moda b) ( ) acma da medana d) ( ) acma da méda 8. Calcule para cada caso abaxo a respectva méda. a) 7, 8, 9, 1, 14 b) c) X F Classes F Calcule o valor da medana. a) 8, 86, 88, 84, 91, 93 b) X F c) Classes F Calcule a moda a) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10 b) c) X,5 3,5 4,5 6,5 F Classes F Para a dstrbução abaxo calcular D, P 4 Q 3. a) Classes F

56 UNIDADE VI - MEDIDAS DE DISPERSÃO MEDIDA DE DISPERSÃO As meddas de dspersão ndcam se os valores estão relatvamente próxmos um dos outros, ou separados em torno de uma medda de posção: a méda. Consderaremos quatro meddas de dspersão: Desvomédo, Varânca, Desvo Padrão e Coefcente de Varação. DESVIO-MÉDIO O desvo-médo analsa a méda dos desvos em torno da méda. 1 a SITUAÇÃO: Dados não agrupados Sejam os elementos x 1, x, x 3,...,x n de uma amostra, portanto n valores da varável X, com méda gual a x. O desvo-médo da varável aleatóra de X é, onde n é o número de elementos do conjunto. DM = x x n Exemplo: Suponha o conjunto de tempo de servço de cnco funconáros: 3, 7, 8, 10 e 11. Determnar o desvo-médo deste conjunto de dados. como x = 7,8 então DM = 3-7, , , , ,8 5 11, = DM =,4 5 Interpretação: em méda, o tempo de servço deste grupo de funconáros se desva em,4 anos em torno dos 7,8 anos de tempo médo de servço. a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma dstrbução de frequênca por valores smples Quando os dados estverem agrupados numa dstrbução de freqüênca usaremos o desvo-médo dos valores x 1, x, x 3,...,x n, ponderados pelas respectvas freqüêncas absolutas: F 1, F, F 3,..., F n, como no cálculo da méda artmétca. Assm x x F DM = n Exemplo: Em um determnado da fo regstrado o número de veículos negocados por uma amostra de 10 vendedores de uma agênca de automóves como mostra a tabela abaxo. O cálculo do desvo-médo será: 55

57 veículos número de negocados vendedores x-méda x-méda *F (x ) (F ) 1 1 1,60 1,60 3 0,60 1, ,40, ,40 1,40 TOTAL 10 4,00 6,80 como x =,6 6,8 então DM = = 0,68 10 Interpretação: em méda, a quantdade de veículos negocada de cada vendedor possuu uma dstânca de 0,68 em torno dos,6 veículos comercalzados em méda por vendedor. 3 a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma dstrbução de frequênca por classes Quando os dados estverem agrupados numa dstrbução de freqüênca usaremos o desvo-médo dos pontos médos x 1, x, x 3,...,x n de cada classe, ponderados pelas respectvas freqüêncas absolutas: F 1, F, F 3,..., F n. Desta forma, o cálculo do desvo-médo passa a ser gual ao da a stuação. Assm x x F DM = n Exemplo: A tabela abaxo representa os escores obtdos por um grupo de 58 alunos matrculados em uma determnada dscplna. O cálculo do desvo-médo será: ESCORES ALUNOS F x x-méda x-méda *F TOTAL Portanto, como x = 6,4 então DM = = 10,9 56

58 Interpretação: Em méda, a nota de cada aluno deste grupo teve um dstancamento de 10,9pontos em torno do desempenho médo deste grupo de alunos fo de 6,4 pontos nesta dscplna. VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO A varânca de um conjunto de dados é a méda dos quadrados dos desvos dos valores a contar da méda. A fórmula da varânca poderá ser calculada de duas formas: POPULACIONAL, representada letra grega σ AMOSTRAL, representada por s. 1 a SITUAÇÃO: Dados não agrupados Sejam os elementos x 1, x, x 3,...,x n, portanto n valores da varável X, com méda gual a x. A varânca da varável aleatóra de X é, σ ou S = = ( x ) µ 1 ( x ) = x N ( x ) x 1 ( x ) = x n -1 N n -1 Obs: A Segunda fórmula é chamada de Fórmula Desenvolvda. Exemplo: Suponha o conjunto de tempo de servço de cnco funconáros: 3, 7, 8, 10 e 11. Determnar o desvo-padrão deste conjunto de dados. como x = 7,8 então S = ( 3-7,8) + ( 7 7,8) + ( 8 7,8) + ( 10 7,8) + ( 11 7,8) 38,8 5 1 N n = 4 S = 9,7anos Interpretação: encontramos então uma varânca para o tempo de servço de 9,7anos. Para elmnarmos o quadrado da undade de medda, extraímos a raz quadrada do resultado da varânca, que chegamos a uma tercera medda de dspersão, chamada de DESVIO-PADRÃO: POPULACIONAL, representada letra grega σ = σ AMOSTRAL, representada por S = S Portanto, o desvo-padrão do exemplo fo de 3,11anos. Ou seja, se calcularmos um ntervalo utlzando um desvo-padrão em torno da méda, encontraremos a concentração da maora dos dados. a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma dstrbução de frequênca por valores smples Quando os dados estverem agrupados numa dstrbução de freqüênca usaremos a varânca dos valores x 1, x, x 3,...,x n, ponderados pelas respectvas freqüêncas absolutas: F 1, F, F 3,..., F n. Assm 57

59 58 ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = n F x F x n -1 1 n -1 F x x S ou N F x F x N 1 N F µ x σ Exemplo: Em um determnado da fo regstrado o número de veículos negocados por uma amostra de 10 vendedores de uma agênca de automóves como mostra a tabela abaxo. O cálculo do desvo-médo será: 0,84veículos 0,71veículos S 0,71veículos 9 6,4 então S,6 como x = = = = = 0,84veículos 0,71veículos S 0,71veículos S = = = = Interpretação: Portanto, o desvo-padrão do exemplo fo de 0,84 veículos. Ou seja, se calcularmos um ntervalo utlzando um desvo-padrão em torno da méda, encontraremos a concentração da maora dos veículos negocados por vendedor. 3 a SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma dstrbução de frequênca por classes Quando os dados estverem agrupados numa dstrbução de freqüênca usaremos a varânca dos pontos médos x 1, x, x 3,...,x n de cada classe, ponderados pelas respectvas freqüêncas absolutas: F 1, F, F 3,..., F n. Desta forma, o cálculo da varânca passa a ser gual ao da a stuação. Assm ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = n F x F x n -1 1 n -1 F x x S ou N F x F x N 1 N F µ x σ veículos número de veículos número de negocados vendedores (x-méda) (x-méda) *F negocados vendedores x*f x *F (x ) (F ) (x ) (F ) 1 1,56, ,36 1,08 OU ,16 0, ,96 1, TOTAL 10 5,04 6,40 TOTAL

60 Exemplo: A tabela abaxo representa os escores obtdos por um grupo de 58 alunos matrculados em uma determnada dscplna. O cálculo do desvo-médo será: ESCORES ALUNOS ESCORES ALUNOS F x (x-méda) (x-méda) *F F x x*f x *F OU TOTAL TOTAL como x = 6,4 então S S = = ,1pontos = 165,1pontos = 1,85pontos S = 1 57 S = ,1pontos = 165,1pontos = 1,85pontos Interpretação: Portanto, o desvo-padrão do exemplo fo de 1,85 pontos. Ou seja, se calcularmos um ntervalo utlzando um desvo-padrão em torno do escore médo de 6,4 pontos, encontraremos a concentração da maora dos alunos dentro deste ntervalo de pontuação. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO Trata-se de uma méda relatva à dspersão, útl para a comparação e observação em termos relatvos do grau de concentração em torno da méda de séres dstntas. É dada por: σ CV = 100 µ Classfcação da dstrbução quanto à dspersão: DISPERSÇÃO BAIXA: CV 15% DISPERSÇÃO MÉDIA: 15% < CV < 30% DISPERSÇÃO ALTA: CV 30% OU CV = S 100 x 59

61 Exemplo: Numa empresa o saláro médo dos funconáros do sexo masculno é de R$ 4.000,00, com um desvo padrão de R$ 1.500,00, e os funconáros do sexo femnno é em méda de R$ 3.000,00, com um desvo padrão de R$ 1.00,00. Então: 1500 Sexo masculno : CV = 100 = 37,5% Sexo femnno : CV = 100 = 40% 3000 Interpretação: Logo, podemos conclur que o saláro das mulheres apresenta maor dspersão relatva que a dos homens. Para obtermos o resultado de C.V basta multplcarmos por 100. EXERCÍCIOS 1. Desvo Médo para o conjunto de dados abaxo será: x F a) ( ) 1,8 c) ( ) 1,00 b) ( ) 1,0 d) ( ) 0,83. O Desvo Padrão de um conjunto de dados é 9. A varânca é: a) ( ) 3 c) ( ) 81 b) ( ) 36 d) ( ) Na dstrbução de valores guas, o Desvo padrão é: a) ( ) negatvo c) ( ) zero b) ( ) a undade d) ( ) postvo 4. O calculo da varânca supõe o conhecmento da: a) ( ) Fac c) ( ) medana b) ( ) méda d) ( ) moda 5. A varânca do conjunto de dados tabelados abaxo será: Classes F a) ( ) 1,36 c) ( ) 4,54 b) ( ) 18,35 d) ( ) 0,66 60

62 UNIDADE VII - MEDIDAS DE ASSIMETRIA E DE CURTOSE MEDIDAS DE ASSIMETRIA DEFINIÇÃO: grau de deformação de uma dstrbução em relação ao exo de smetra. Podemos observar os tpos de assmetra abaxo: a) x = Md = Mo b) x < Md < Mo c) Mo < Md < x Exstem váras coefcentes com o objetvo de quantfcar tas assmetras. Estudaremos dos destes coefcentes que veremos a segur: COEFICIENTE DE PEARSON O coefcente de Pearson é apresentado pela segunte fórmula: µ Mo As = σ ou As = x Mo S Classfcação do coefcente de Pearson: As = 0 DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA 0 < As < 1 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA POSITIVA FRACA As 1 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA POSITIVA FORTE - 1 < As < 0 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA NEGATIVA FRACA As -1 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA NEGATIVA FORTE 61

63 COEFICENTE DE BOWLEY Q As = 3 + Q Q 3 1 Md Q Classfcação do coefcente de Bowley: As = 0 DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA 0 < As 0,1 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA POSITIVA FRACA 0,1 < As < 0,3 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA POSITIVA MODERADA 0,3 As 1 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA POSITIVA FORTE - 0,1 As < 0 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA NEGATIVA FRACA - 0,3 < As < 0,1 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA NEGATIVA MODERADA -1 As -0,3 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA NEGATIVA FORTE 1 MEDIDA DE CURTOSE Entende-se por curtose o grau de achatamento de uma dstrbução. Podemos ter: CURVA PLATICÚRTICA CURVA MESOCÚRTICA CURVA LEPTOCÚRTICA 6

64 Para medr o grau de curtose utlzaremos o coefcente Q K = 3 - Q ( P - P ) Classfcação do coefcente de Curtose: K = 0,63 CURVA MESOCÚRTICA K > 0,63 CURVA PLATICÚRTICA K < 0,63 CURVA LEPTOCÚRTICA EXERCÍCIOS 1. Analsando as curvas abaxo marque a resposta correta. (I) (II) (III) a) a curva I é smétrca - x > med > mo; b) a curva II é assmétrca postva - mo > σ > x ; c) a curva I é smétrca x = med = mo ; d) a curva III é smétrca postva x = med = mo ;. Para as dstrbuções abaxo foram calculados Dstrb. A Dstrb. B Dstrb. C Classes F Classes F Classes F x = 1Kg Med = 1Kg Mo = 1Kg S = 4,4Kg x = 1,9Kg Med = 13,5Kg Mo = 16Kg S = 4,0Kg x = 11,1Kg Med = 10,5Kg Mo = 8Kg S = 4,0Kg Marque a alternatva correta: a) a dstrbução I é assmétrca negatva; b) a dstrbução II é assmétrca postva; c) a dstrbução III é assmétrca negatva moderada. d) a dstrbução I é smétrca; 3. Sabe-se que uma dstrbução apresentou as seguntes meddas: Q 1 = 4,4cm Q 3 = 41,cm P 10 =0,cm P 90 = 49.5cm, Com tas meddas a curtose é: a) ( ) Leptocúrtca c) ( ) Mesocúrtca b) ( ) Platcúrtca d) ( ) Assmétrca. 63

65 UNIDADE VIII INTRODUÇÃO À TEORIA DA PROBABILIDADE EXPERIMENTO ALEATÓRIO OU NÃO DETERMINISTICO - E Defnção: 1. É o processo de observação ou medda de um determnado fenômeno em estudo.. É o expermento que repetdo sob as mesmas condções, conduz a resultados, em geral, dstntos. Exemplos: E1 lançamento de um dado e observar o número na face superor. E lançamento de uma moeda e observar o valor na face superor. E3 lançamento de um dado e uma moeda, nesta seqüênca, observar os valores nas faces superores. E4 um casal deseja ter três flhos e observar o sexo, de acordo com a ordem de nascmentos das cranças. ESPAÇO AMOSTRAL - S Defnção: Um espaço amostral é um conjunto de todas as ocorrêncas possíves de um determnado expermento aleatóro E. Exemplos: Consdere os expermentos aleatóros apresentados anterormente: No E1 - S={1,, 3, 4, 5, 6} No E - S={k, c}, onde k=cara, C=coroa. No E3 - S={1k, k, 3k, 4k, 5k, 6k, 1c, c, 3c, 4c, 5c, 6c} No E4 - S={MMM, MMF, MFM, MFF, FMM, FMF, FFM, FFF} EVENTOS (qualquer letra maúscula do alfabeto) Defnção: Um evento é qualquer subconjunto de ocorrêncas de um determnado espaço amostral S. Exemplo: Consdere o expermento aleatóro E3, com seu respectvo espaço amostral S: S={1k, k, 3k, 4k, 5k, 6k, 1c, c, 3c, 4c, 5c, 6c} Determne os seguntes eventos: A = ocorrênca de valor cara (K) B = ocorrênca de valor par C = ocorrênca de valor coroa (C) D = ocorrênca de valor ímpar E = ocorrênca de número prmo F = ocorrênca de valor maor que 4 G = ocorrênca de valor menor ou gual a 3 H = ocorrênca de valor par ou cara (K) I = ocorrênca de valor par ou ímpar 64

66 J = ocorrênca de valor par e cara (K) K = ocorrênca de valor par e ímpar L = ocorrênca de valor maor que 7 TIPOS DE EVENTOS EVENTO CERTO Defnção: É aquele evento que se gual ao espaço amostral S. Exemplo: O evento I acma é um evento certo. EVENTO IMPOSSÍVEL Defnção: É aquele evento que não possu elemento algum. Exemplo: Os eventos K e L acma são eventos mpossíves. EVENTOS MUTUAMENTES EXCLUSIVOS Defnção: Dos eventos A e B quasquer são chamados de mutuamente exclusvos, se eles não podem ocorrer smultaneamente, sto é, Exemplo: Consdere os eventos descrtos acma: A B = Os eventos A e C são mutuamente exclusvos, pos A C =. Os eventos B e D são mutuamente exclusvos, pos B D =. Os eventos C e J são mutuamente exclusvos, pos C J =. Os eventos H e J não são mutuamente exclusvos, pos H J. EVENTOS COMPLEMENTARES Defnção: Dos eventos A e B quasquer são chamados de complementares se: A B = A B = S Exemplo: Consdere os eventos descrtos no exemplo acma: Os eventos A e C são complementares, pos A C = e A C = S. Os eventos B e D são complementares, pos B D = e B D = S. Os eventos H e J não são complementares, pos H J e H J S. Os eventos F e K não são complementares, pos F K apesar de F K = S. Os eventos C e J não são complementares, pos C J S apesar de C J =. 65

67 PROBABILIDADE: Enfoque Teórco A probabldade de ocorrênca de um evento A, P(A), é um número real que satsfaz as seguntes condções: a) 0 P(A) 1 b) P(S) = 1 c) Se A e B são eventos mutuamente exclusvos então P(A B) = P(A) + P(B) d) Se A 1, A,...,A,... São mutuamente exclusvos, dos a dos, então: Prncpas teoremas : I) P( A ) = 1 - P(A) II) Se A é um evento mpossível de ocorrer (A= ), então P(A) = P( ) =0. III) Se A e B são eventos quasquer, então: P(A B) = P(A) + P(B) - P(B A). CÁLCULO DA PROBABILIDADE A probabldade deverá ser calculada a partr da fórmula: n(a) P(A) = n(s) Exemplo: Seja o Expermento E o lançamento de um dado e o seu espaço amostral dado por: S = {1,, 3, 4, 5, 6}. Qual a probabldade do evento A Números maores e guas a? O Evento A pode ser descrto na forma: A ={, 3, 4, 5, 6} n(a) n(a) = 5 e n(s) = 6. Logo a probabldade do evento A é P(A) = = 5/6. n(s) PROBABILIDADE CONDICIONAL Ilustração: Seja o expermento aleatóro E: lançar um dado e o evento A = {sar o número 3}. Então: 1 P(A) = 6 Seja o evento B = {sar o número mpar} = {1, 3, 5} Podemos estar nteressados em avalar a probabldade do evento A estar condconado à ocorrênca do evento B, desgnado por P(A B), onde o evento A é o evento condconado e o evento B o condconante. Assm P(A B) = 3 1 Formalmente a probabldade condconada é defnda por: Dado dos eventos quasquer A e B, denotaremos P(A B), por. 66

68 P ( A B) ( A B) P( B) ( A B) n( B) P n = =, Com P(B) 0, pos B já ocorreu. TEOREMA DO PRODUTO A probabldade da ocorrênca smultânea de dos eventos quasquer A e B, do mesmo espaço amostra, é gual ao produto da probabldade de ocorrênca do prmero deles pela probabldade condconal do outro, dado que o prmero ocorreu. Assm: P ( A B) P = ( A B) P( B) P ( A B) = P( B) P( A B) INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA Um evento A é consderado ndependente de um outro evento B se a probabldade de A é gual à probabldade condconal de A dado B, sto é, se: ( A) P( A B) P = Consderando o teorema do produto podemos afrmar que: P A B = P A P B ( ) ( ) ( ) TEOREMA DE BAYES Suponha que os eventos A 1, A,...,A n formam uma partção de um espaço amostral S; ou seja, os eventos A são mutuamente exclusvos e sua unão é S. Seja B outro evento qualquer. Então: B = S B = (A 1 A... A n ) B = (A 1 B) (A B)... (A n B) Onde os A B são também mutuamente exclusvos. Consequentemente, P(B) = P(A 1 B) + P(A B) P(A n B) Assm pelo teorema da multplcação, P(B) = P(A 1 )P(B\ A 1 )+ P(A )P(B\ A )+...+ P(A N )P(B\ A N ) Por outro lado, para qualquer, a probabldade condconal de A dado B é defnda como 67

69 P(A \B) = P(A B) P(B) Nesta equação, usamos (1) para substtur P(B) e P(A B) = P(A )P(B\ A ) para substtur P(A B), obtendo assm o: Teorema de Bayes: Suponha A 1, A,...,A n ser uma partção de S e B, um evento qualquer. Então, para qualquer, Exemplos: P(A \ B) P(A )P(B \ A ) = P(A )P(B \ A ) + P(A )P(B \ A ) P(A )P(B \ A ) 1 1 Três máqunas, A, B e C produzem 50%, 30% e 0%, respectvamente do total de peças de uma fábrca. As percentagens de produção defetuosa destas máqunas são 3%, 4% e 5%. Se uma peça é seleconada aleatoramente, ache a probabldade de ela ser defetuosa. Suponha agora que uma peça seleconada aleatoramente seja defetuosa. Encontre a probabldade de ela ter sdo produzda pela máquna A n n EXERCÍCIOS 1. Lance um dado e uma moeda um após o outro nesta seqüênca. a) Construa o espaço amostral b) Enumere os resultados seguntes I. A ={coroa marcada por par} II. B = {cara marcada por ímpar} III. C = {Múltplo de 3} c) Expresse os eventos I. B complementar II. A ou B ocorrem III. B ou C ocorrem IV. A ou B complementar c) Calcule as probabldades abaxo: P(A), P(B), P(C), P( A ),P( B ), P(A B) e P(B C). Um revendedor de carros tem dos carros, corsas 1996, na sua loja para serem venddos, nteressa-nos saber quanto cada um dos dos vendedores venderá ao fnal de uma semana. Como representar o prmero vendedor não vende nenhum carro e depos o segundo vendedor vende ao menos um dos carros. 3. Se A é o evento Um estudante fca em casa para estudar. E B é o evento o estudante va ao cnema, P(A) = 0,64 e P(B) = 0,1. Determne: P(A c ), P(B c ), P(B/A) 4. Se P(A) = ½ ; P(B) = ¼ e A e B são mutuamente exclusvos então: a) P(A c ) b) P(B c ) c) P(A B) 5. Se P(A) = ½; P(B) = 1/3 e P(A B) = ¼ calcule P(AUB). 6. Quantas comssões de três pessoas podem formar com um grupo de 10 pessoas? 68

70 7. A probabldade de três jogadores acertarem um pênalt são respectvamente /3, 4/5 e 7/10. Se cada um cobrar uma únca vez, qual a probabldade de: a) Todos acertarem b) Ao menos um acertar c) Nenhum acertar 8. Qual a probabldade de duas pessoas anversararem no mesmo da da semana? 9. Sr Ray Moon Dee, ao drgr-se ao trabalho, usa um ônbus ou o metrô com probabldade de 0, e 0,8, nessa ordem. Quando toma o ônbus, chega atrasado 30% das vezes. Quando toma o metrô, atrasa-se 0% dos das. Se o Sr Ray Moon Dee Chegar atrasado ao trabalho em determnado da, qual a probabldade dele haver tomado um ônbus? 10. Em certo colégo, 5% dos homens e % das mulheres tem mas que 1,80m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se um estudante é seleconado aleatoramente e tem mas de 1,80m de altura, qual a probabldade de que o estudante seja mulher? 69