QUESTÕES DISCURSIVAS Módulo 01 (com resoluções)

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1 QUESTÕES DISCURSIVAS Módulo 0 (com resoluções D (Fuvest-SP/00 Nos tens abaxo, denota um número complexo e a undade magnára ( Suponha a Para que valores de tem-se? b Determne o conjunto de todos os valores de para os quas é um número real D (Fuvest-SP/000 - modfcada a Determne todas as soluções, no campo complexo, da equação, onde é a undade magnára, sto é, e é o conjugado de b Represente essas soluções no plano complexo D (Uncamp-SP/00 Dada a equação polnomal com coefcentes reas x 5x 9xα 0 a Encontre o valor numérco de α de modo que o número complexo seja uma das raíes da referda equação b Para o valor de α encontrado no tem anteror, determne as outras duas raíes da mesma equação D (FUVEST-SP/00 O polnômo P( x x x 6x 58x é dvsível por x Encontre as raíes da equação P ( x 0 no conjunto dos números complexos 5 D5 (FGV-SP/00 modfcada Resolva a equação x x x x x 0 no conjunto dos números complexos D6 (UFSCar SP 007 Consdere a equação algébrca x kx kx kx 0, na varável x, com k a Determne k a b, com a e b reas, para que o número complexo seja uma das raíes da equação b Determne todas as raíes da equação quando k 5 D7 (UFBA/00 Consderando o polnômo p( x x x x x, mostre que é uma ra de p(x, que, juntamente com as demas raíes, e, satsfa à equação 0 D8 (Unesp 006 modfcada Seja um número complexo a Escreva na forma trgonométrca b Determne o polnômo de coefcentes reas, de menor grau, que tem e ² como raíes e coefcente domnante gual a marcelorenatocom 009

2 marcelorenatocom 009 RESOLUÇÕES DAS DISCURSIVAS COMPLEXOS 008 D Sabemos que para um número complexo ser real a sua parte magnára é nula, certo? Sabemos também que para um número complexo real 0 a 0 a Assm sendo, ou seja, para ser real, podemos afrmar que: (PROPRIEDADE DOS CONJUGADOS que lembrando, ( ( ( ( ( ( ( (PROPRIEDADE: Assm, o conjunto peddo consste em todos os números complexos tas que, entretanto, conforme a condção de exstênca presente no enuncado, Respostas: a 5 5 b O conjunto em questão é formado por todos os valores de tas que, sendo

3 D Faendo a b a b : a b (a b a b (a ab b a b [(a b ab ] a b ( ab (a b Em ( : a 0 ou b / a ab ( b a b ( caso : b 0, ou se a 0 ( b (0 b b b 0 caso : b Em ( : caso : a se b / ( ( / a ( / a / caso : a Respostas: /, ou / Como temos casos possíves, escreveremos os quatro números complexos ( a b específcos: Caso : a 0 e b ; Caso : a 0 e b 0 ; Caso : a / e b / ; Caso : a / e b / Representando as quatro soluções no plano de Argand-Gauss: marcelorenatocom 009

4 D a x 5x 9xα 0 Como a equação acma possu coefcentes reas, sendo temos que x (conjugado de x também é outra ra; Utlando a relação de Grard referente à soma das raíes da equação: ( 5 x x x ( ( x 5 x Como sabemos, agora, que x é ra da equação dada, podemos afrmar que: ( 5( 9( α 0 α 5 x uma das suas três raíes, conseqüentemente Observação: para encontrarmos o valor de α poderíamos ter utlado a relação de Grard referente ao produto das raíes, ou seja: ( α x x x ( ( ( ( α α α 5 ( b conforme cálculos do tem a anteror, para α 5 Respostas: a α 5 b as outras raíes são ( e x 5x 9x 5 0 x x x D Para o polnômo P( x x x 6x 58x : Como P(x é dvsível por x, sgnfca que x é uma das suas quatro raíes; Por nspeção, verfcamos que a soma dos coefcentes do polnômo P(x é gual a ero; assm, podemos afrmar que uma outra ra de P(x 0 é x ; Podemos utlar o dspostvo prátco de Brot-Ruffn para determnarmos as demas raíes através da redução do grau da equação P(x 0, utlando as raíes até então conhecdas, ou seja: x 8x 9 0 ( x 6x 0 x e x Respostas: São raíes de P(x 0 :,, e marcelorenatocom 009

5 5 D5 x x x x x 0 Como a equação dada possu coefcentes raconas, pelo teorema das possíves raíes raconas, x é uma das suas cnco raíes Utlando o dspostvo prátco de Brot-Ruffn para redurmos o grau da equação dada e calcularmos as demas raíes: Assm, x x 0, y ou Faendo-se x y y y 0 y Retornando à varável x: x x x ± x ± x e x x e x5 Respostas: sendo S o conjunto solução da equação dada, S { ; ; ; ; } D6 a Como x é uma ra da equação: k( k( k( k( 0 6 8k k k 0 k k0 0 0 k k( 0 0 ( k ( 0 k 0 b Para k 5 teremos x 5x 5x 5x 0 x 5x 5x 5x 0 Pelo teorema das possíves raíes raconas verfcamos que x e x são raíes da equação Utlando o dspostvo prátco de Brot-Ruffn: x 0x 0 x ou x 0 0 Respostas: a k b,, e marcelorenatocom 009

6 D7 p( ( ( ( ( p ( p( 0, assm é uma das quatro raíes de p(x Com a relação de Grard ( ( Como ( ( ( ( ( ( ( 9 ( ( 0 D8 a Sendo θ o argumento de, tg θ θ 5º (cosθ senθ (cos 5º sen 5º b Como o polnômo p(x possu coefcentes reas, tendo como ra terá também O menor grau possível para p(x tendo as raíes (, ( e ² será, ou seja: p( x p( x p( x a x a( x x ( x x ( x x x x x [ x ( x x x ( xx ] ( x x ( x x ( x p( x x x 6x Respostas: a p( x x x 6x b p( x x x 6x marcelorenatocom 009