O CPV conquistou 70% das vagas do ibmec (junho/2007)

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1 O conquistou 70% das vagas do ibmec (junho/007) IBMEC 04/ novembro/007 (Tarde) ANÁLISE QUANTITATIVA E LÓGICA DISCURSIVA 01. O polígono ABCDEF da figura abaixo tem área 3, e o triângulo ADF tem área 5,5. Calcule os valores de x e y. x + y S P = 3 S T = 5,5 = (x + y). 1 x + y = 11 (I) 1 S P = 3 = x + y. 1 x + y = 3 (II) x + y = 11 x + y = 3 Do sistema acima resulta x x 1 = 0, de onde se obtém: x = 4 ou x = 3 (não convém) Se x = 4, então y = 7 x=4 Resposta: y=7 ibmecnov007 1

2 IBMEC 04/11/007 Seu pé direito nas melhores Faculdades 0. Uma nova loteria foi inventada, a trigoloteria. Nessa loteria, um apostador precisa escolher apenas um número θ no π intervalo 0;. Depois disso, o apostador gira duas roletas A e B ao mesmo tempo duas vezes. Os resultados de cada roleta podem ser apenas prêmio ou perdeu. O apostador ganha na trigoloteria se obtiver duas vezes consecutivas o resultado prêmio em pelo menos uma das roletas. A tabela abaixo indica as probabilidades das duas roletas fornecerem o resultado prêmio em cada uma das duas rodadas. Roleta A B 1 a rodada sen(θ) cos(θ) a rodada cos(θ) sen(θ) a) Calcule, em função de θ, a probabilidade de uma pessoa que aposta uma vez não ganhar na trigoloteria. b) Determine o valor de para o qual a probabilidade de alguém que faz uma aposta não ganhar na trigoloteria é a menor possível. a) A probabilidade de que a pessoa ganhe é calculada por: P ( ganhar em A ou ganhar em B ) = sen θ. cosθ + cos θ. sen θ sen θ. cos θ. cosθ. sen θ P(A) P(B) P(A B) A B Assim, temos: P (ganhar) =. sen θ. cos θ sen θ. cos θ A probabilidade complementar é dada por: P (perder) = 1. sen θ. cos θ + sen θ. cos θ = (1 sen θ. cos θ) sen θ = ( 1 ) b) A probabilidade de perder é minimizada quando sen θ é maximizado, ou seja, quando sen θ = 1. π π Deve-se ter θ = θ = rad A média semestral de um estudante que cursa uma determinada disciplina é calculada com base nas notas de três avaliações que ele realiza durante o semestre (A 1, A e A 3 ). A tabela abaixo indica os pesos atribuídos a cada cada avaliação. Avaliação A 1 A A 3 Peso 40% 0% 40% Para incentivar seus alunos a não faltarem na avaliação A, o professor dessa disciplina determinou a seguinte regra de cálculo para quem faltasse nessa avaliação: adotar para A um valor igual a menos raiz quadrada do valor de A 3, ou seja: Valor para A = Valor de A3 a) Se um estudante tirou nota dez na avaliação A 1 e faltou na avaliação A, qual a nota que ele precisa tirar em A 3 para ficar com média semestral igual a 7? b) Um estudante tirou dez na avaliação A 1 e faltou na avaliação A. Qual é o menor valor possível para a média semestral desse estudante? ibmecnov007

3 Seu pé direito nas melhores Faculdades IBMEC 04/11/007 3 a) Se um estudante tirou nota dez na avaliação A 1 e faltou à avaliação A, a média final é dada por: 0,4 x 10 0,. A 3 + 0,4. A 3 = 7 Fazendo k = A 3, obtemos a equação quadrática: 0,4. k 0,k 3 = 0 k k 15 = 0, 5 de onde k = 3 ou k = (que não convém, por ser negativo). Assim: k = A 3 = 3 A 3 = 9 b) Para o estudante que tirou dez na avaliação A 1 e faltou à avaliação A, a média final é dada por: M = 0,4 x 10 0,. A 3 + 0,4. A 3 M = 0,4. A 3 0,. A Fazendo k = A 3, obtemos a função quadrática no numerador: 4k k + 40 b + 1 M =, cujo mínimo acontece quando k 10 V = = = a Finalmente, calculamos M 4 : 1 M = 3, Considere a expressão y = cos ( x ), em que x IR, para responder o que se pede a seguir. a) Determine o menor valor real de x para o qual cos ( x ) = 1. Dados: log 0,30 e log π 0,50. b) Sabendo que cos ( x ) = 3 4, calcule cos (x + 1 ). a) Como x assume apenas valores positivos, o menor valor para o qual cos ( x ) = 1 ocorre quando x = π. Assim: x = π log x = log (π) x. log = log + log π x. 0,30 = 0,30 + 0,50 x = 8 3 O menor valor real de x para o qual cos ( x ) = 1 é x = 8 3. b) Lembrando que cos (θ) = cos θ sen θ = cos θ 1, temos: cos ( x + 1 ) = cos (. x ) =. cos ( x ) 1 =. cos ( x + 1 ) = = 1 8 ibmecnov007

4 4 IBMEC 04/11/007 Seu pé direito nas melhores Faculdades 05. A figura ao lado ilustra um campo de futebol. Um jogador posicionado no ponto P fará um lançamento para o atacante de seu time que está no lado oposto do campo sobre o ponto Q, de modo que a bola siga a trajetória da reta de equação x 7y 17 = 0. O jogador não goleiro do time adversário que está mais à direita no campo, localiza-se sobre o ponto R. Para que não seja considerado impedido, o atacante precisa, no momento do lançamento, estar num ponto alinhado verticalmente (paralelo ao eixo Oy) ou mais à esquerda do que o ponto R. a) Determine a menor distância que o atacante precisará correr para chegar à linha de trajetória da bola sem ser considerado impedido. b) O objetivo do atacante é chutar para o gol delimitado pelas traves que estão sobre os pontos A e B. Para isso, ele pretende pegar a bola sobre o ponto que gerou a distância mínima do item anterior, correr com ela para a esquerda numa trajetória paralela ao eixo Ox até um ponto C, localizado a uma distância k da linha do fim do campo (reta AB ), e chutar para o gol. Determine k para que o ângulo de visão do atacante ( A Ĉ B) seja o maior possível. tg ( β) tg ( α) Se necessário, utilize a fórmula tg (β α) = 1+ tg( β)tg( α ). a) Para x = 3, temos: x 7y 17 = 0 3 7y 17 = 0 7y = 14 y = A distância que o atacante deverá percorrer é: d = ( 5 3) + ( 3,5 ( ) ) d = 4 +,5 d = 6,5 d =,5 b) A C ) θ α ) β K B D tg θ = tg (β α) = K K K = K = K K K K Para 0 < θ < π, a função tangente é crescente, ou seja, 1 tg θ é decrescente. K + 3 Devemos encontrar, portanto, o valor de K para que seja mínima. K K + 3 K 3 = + K K Se o produto de termos a e b é constante, a soma é mínima para a = b, ou seja: K 3 = 3 = cte K + 3 é mínima para K = 3 K 4 K K K = 6 K = 3 K = 3 (K = 3 não convém) K = 3 ibmecnov007

5 Seu pé direito nas melhores Faculdades IBMEC 04/11/ O frasco de um determinado perfume tem a forma de um cilindro cuja base é um círculo de diâmetro cm e cuja altura mede 9, 9cm. Para ser exportado em grandes quantidades, esses frascos são primeiro embalados em caixinhas de base quadrada (lado igual a cm) e altura medindo 10 cm. Essas caixinhas são depois acondicionadas em caixas cúbicas maiores de lado 40 cm, sem que sobre espaço dentro da caixa grande. (Considere o volume de perfume dentro de um frasco como sendo igual ao volume do frasco e utilize nos seus cálculos π ) a) Determine o volume do espaço que sobra dentro de cada caixinha de embalagem individual quando o frasco de perfume é ali inserido. b) O fabricante desse perfume contratou um designer de embalagem para estudar uma forma de desperdiçar menos espaço no transporte desse produto. As recomendações desse estudo foram as seguintes: fornecer 0, 9 cm 3 a mais de perfume por frasco, aumentando nessa mesma quantidade o volume do frasco; mudar a forma do frasco para um paralelepípedo de base quadrada e altura 8 cm e acondicioná-los em caixinhas de mesmas dimensões. Determine quantos frascos a mais poderão ser acondicionados em cada caixa grande. a) Volume do frasco: V F = π. r. h = π.. 9,9 V F = 9,9. π 9, V F = 31,1 cm3 Volume da caixa pequena: V P =. 10 = 40 cm V P V F = 40 31,1 = 8,9 cm 3 O volume do espaço que sobra em cada caixinha é 8,9 cm 3. b) Volume da caixa grande: V G = 40 3 = cm 3 VG Design antigo: Q = = = V P 40 Cabem caixinhas em cada caixa grande Novo design: V P = V F = 31,1 + 0,9 = 3 cm Q = = 000 caixinhas 3 Portanto, poderão ser adicionados 400 frascos a mais em cada caixa grande. 07. Um menino tem como passatempo construir triângulos com palitos de fósforo idênticos, como o mostrado na figura. Observe que, para formar cada lado do triângulo, os palitos são colocados alinhados, com suas extremidades se tocando. Além disso, ele sempre usa um número inteiro de palitos em cada lado. a) Se quiser usar exatamente 8 palitos para construir um triângulo nessas condições, quantos palitos serão usados em cada lado? b) Considerando que cada palito tem comprimento 1 palito, calcule a área do triângulo descrito no item (a) em palitos quadrados. a) Para que seja possível formar um triângulo, cada lado do triângulo tem que ser menor do que a soma dos outros dois lados (desigualdade triangular). Obedecendo esta condição e usando somente 8 palitos, a única possibilidade de distribuição desses palitos é a figura ao lado: 3p 3p Para formar um triângulo usando 8 palitos, deve-se montar lados com 3 palitos e 1 lado com palitos. p b) Aplicando o Teorema de Pitágoras no AHC, resulta: h + 1 = 3 h = 8 h = palitos A =. = palitos quadrados O triângulo descrito no item (a) tem área igual a palitos quadrados. 3p A h 3p B H C p ibmecnov007

6 6 IBMEC 04/11/007 Seu pé direito nas melhores Faculdades 08. X é uma seqüência finita e não decrescente de números inteiros positivos. Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras para os elementos dessa seqüência: I. 3 é um valor que aparece na seqüência. II. A média aritmética dos elementos de X é igual a 3. III. O maior elemento de X é o número 10. a) Seja S o menor valor que a soma dos elementos de X que são menores do que 3 pode assumir. Determine o valor de S. b) Suponha que a soma dos valores menores do que 3 é igual a S, ou seja, é a menor possível. Se há na seqüência X apenas um elemento que se repete, determine-a explicitamente, ou seja, escreva ordenadamente todos os elementos que a compõem. a) Se o maior número da seqüência é 10, se 3 pertence à seqüência e se a média destes números é 3, concluímos que: 1 o os demais termos são menores que 3 (1 e/ou ); o o número total de termos não pode ser menor que ou igual a 4. Se o número de termos for 5, a soma dos termos deve ser 15, ou seja, a soma dos outros 3 termos deve ser. Entretanto, sendo os números inteiros positivos, é impossível que a soma dos 3 seja. Então o número mínimo de termos só pode ser 6. A soma de todos os termos deve ser 18, e portanto a soma dos 4 números restantes é 5. S = 5 b) A seqüência pedida é: X = (1, 1, 1,, 3, 10) 09. Considere a função f dada pela lei f (x) = x 4. a) Esboce o gráfico da função f no sistema cartesiano (fornecido). b) Sendo a um número real, determine todos os valores de a para os quais a equação f (x) = a. x possui exatamente quatro soluções reais. a) A curva solicitada pode ser obtida graficamente. y = x y = x 4 0 y = x 4 ibmecnov007

7 Seu pé direito nas melhores Faculdades IBMEC 04/11/007 7 b) y = f (x) y = a. x 0 ) α ) 45º Para que haja 4 intersecções entre as duas curvas (ou seja, 4 soluções), observamos que a inclinação α deve atender a duas condições: α deve ser positiva (para que as duas semi-retas situem-se no 1 o e o quadrantes); e α não deve atingir o patamar de 45º, de modo que as semi-retas não sejam paralelas às da função do item A. Assim: 0 < a < Os participantes do programa de televisão Show da Lógica foram desafiados a descobrir o valor de um número inteiro n compreendido entre 1 e 100. Para tanto, foram fornecidas três informações sobre n, todas verdadeiras, reproduzidas abaixo. (1) Se n é ímpar, então n é um quadrado perfeito. () Se n é par, então o resto da divisão de n por 11 é igual a 5. (3) A soma dos algarismos de n é igual a 11 se, e somente se, n é menor do que 30. Um dos participantes disse, então, que não era possível descobrir o valor de n, pois havia mais de um número inteiro entre 1 e 100 que satisfazia as condições dadas. Descubra quais são esses números, explicando seu raciocínio. De acordo com a informação (I), temos: n = 1; 9; 5; 49 ou 81 (supondo que n é ímpar) De acordo com a informação (II), temos: n = 11q + 5, ou seja: para q = 1; n = 16 q = 3; n = 38 q = 5; n = 60 q = 7; n = 8 (supondo que n é par) Com a informação (III), excluímos os números: 1, 9, 5, 16 e 38. Assim, os números possíveis são: 49, 81, 60 e 8. ibmecnov007

8 8 IBMEC 04/11/007 Seu pé direito nas melhores Faculdades COMENTÁRIO DA PROVA DE ANÁLISE QUANTITATIVA E LÓGICA DISCURSIVA A prova discursiva do IBMEC de Análise Quantitativa e Lógica apresentou boa qualidade e exigiu dos candidatos paciência e muita capacidade de interpretação. A Banca Examinadora optou pela elaboração de uma prova criativa, evitando as questões recorrentes em vestibulares, que demandaram, à semelhança da prova objetiva, mais que o binômio memorização / aplicação de fórmulas. Quanto ao grau de dificuldade, houve boa distribuição ao longo da prova, com predominância de questões de nível médio, apesar da ocorrência de algumas questões (como a 5 e a ) de nível difícil. ibmecnov007