Critérios de divisibilidade em bases numéricas genéricas

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1 Crtéros de dvsbldade em bases numércas genércas Clezo A. Braga 1 Jhon Marcelo Zn 1 Colegado do Curso de Matemátca - Centro de Cêncas Exatas e Tecnológcas da Unversdade Estadual do Oeste do Paraná Caxa Postal Cascavel - PR - Brasl [email protected] Resumo. Este trabalho tem por obetvo apresentar condções para dervar crtéros de dvsbldade de números nteros a partr da representação desses números em uma base numérca escolhda e, a partr da escolha da base, descrever tas crtéros em termos dos dígtos que representam esses números nessa base. Palavras Chaves. crtéros de dvsbldade, base numérca, números nteros. 1. Introdução Quando pensamos em crtéros de dvsbldade, em geral vem à nossa cabeça os clásscos crtéros de dvsbldade por 10, 2, 3, 5 e 9. Isso porque em geral, lvros de álgebra abstrata ntrodutóros, ou lvros ddátcos do ensno médo trazem os crtéros de dvsbldade de números nteros e apresentam técncas para determnar quando um número é dvsível por outro, sempre no sstema numérco decmal. Mas, a artmétca modular permte fazer essa análse para qualquer par de números nteros e a facldade ou dfculdade de um crtéro de dvsbldade de um número por outro está ntmamente lgada à base numérca na qual esses números estão representados. Ao trabalhar com o sstema de numeração decmal, sabemos que o resto da dvsão de número ntero n por 9, é o mesmo resto da soma dos seus dígtos, em outras palavras, o número n será dvsível por 9 se e somente se a soma de seus dígtos for dvsível por 9. A pergunta que fazemos é a segunte: se mudarmos a base de representação de um número, o que podemos dzer sobre os crtéros de dvsbldade nessa nova base? Para quas números temos crtéros de dvsbldade mas fáces de serem verfcados? Nossa ntenção é estender o racocíno para uma base numérca k genérca e verfcar o que é de fato geral e o que é ntrínseco da base numérca escolhda. 2. Dvsbldade em uma base genérca Nessa seção apresentaremos os resultados que nos permtrão estabelecer os crtéros de dvsbldade em uma base numérca qualquer. Para nosso estudo vamos admtr conhecdos resultados báscos de estruturas algébrcas, como anés de restos e propredades

2 de números nteros. Incaremos o estudo com resultados geras. Vale a pena lembrar que para o anel Z k, dos restos na dvsão por k, a classe de equvalênca n de um número ntero n é nula se e somente se k dvde n. Usaremos aqu a notação k n para ndcar quando k dvde n. Para maores detalhes sobre teora de anés, sugermos ao letor as referêncas (GONÇALVES, 2003), (DOMINGUES; IEZZI, 1972) e (MONTEIRO, 1978). Para efetos desse texto, a menos que o contráro estea expresso, índce de somatóros, expoentes e dgtos ou algarsmos de representação de um número em uma dada base serão sempre números naturas. Proposção 2.1. Sea a k um número ntero escrto em uma base numérca k. Então E é dvsível por k somente se a 0 o for. Demonstração. Como a k, podemos reescrevê-lo na forma a 0 + a k. ( Evdencado o termo k temos a 0 + k a k ). 1 Então a 0. Como k E se e somente se 0 em Z k. Segue que k E se e somente se k a 0. Em uma base numérca k, usamos na representação de um número, dígtos a, que são valores numércos menores que k, a únca possbldade para que k dvda a 0 é quando a 0 = 0. Em partcular um número expresso em uma base k é dvsível pelo própro k se termnar em 0. Isso explca o crtéro de dvsbldade por 10 na base decmal. Proposção 2.2. Seam E Z escrto em uma base k na forma a k e p Z. Consdere m = k p um dvsor ntero de k. Então E é dvsível por m somente se a 0 o for. Demonstração. Consdere m = k, então k = mp e p a (mp). Assm a 0 + a m p. (1) ( Se evdencamos m no segundo membro da equação (1), vemos que a 0 + ) m a p m 1 e então, a 0. Como m E se e somente se 0 em Z m, segue que m E se e somente se m a 0. Como queríamos demonstrar. Observe que a escolha de p na proposção 2.2 não é arbtrára, pos m tem que ser um número ntero. A escolha p = 1 mplca no crtéro de dvsbldade por k. Proposção 2.3. Seam E Z escrto em uma base k na forma a k e n Z. Consdere r = k 1 n um dvsor ntero de k 1. Então r E se e somente se r a.

3 Demonstração. Consdere r = k 1 n, então k = nr + 1 e a (nr + 1). Observe que cada termo da forma (nr + 1) pode ser escrto como bnomal e pode ser escrto como =1 a + =0 (nr) + 1. Assm a ( =1 (nr) 1 por expansão )(nr). (2) Agora colocando r em evdênca no segundo membro da equação (2) vemos que ( ( ) a + r a )(nr) 1. (3) =1 Como r E se e somente se 0 em Z r e por (3), se r a. Como queríamos demonstrar. a. Então r E se e somente Novamente a escolha do n na Proposção 2.3 não é arbtrára, pos r tem que ser um número ntero. Para n = 1 temos um crtéro de dvsbldade para k 1. Exemplo: 1. 3 dvde 69, se dvdr a soma = 15, como 3 dvde 15, três dvde (132) 9 é dvsível por 2, pos = 6 que é dvsível por 2, ao mesmo tempo,(132) 9 não é dvsível por 4. Interessante quando transformamos (132) 9 para base 10, (132) 9 = 110 que de fato é dvsível por 2, pos é par, mas não é por 4. Proposção 2.4. Seam E Z escrto em uma base k na forma a k e r = k + 1. Então, E será dvsível por r se a soma dos coefcentes que estão em posção mpar subtraída da soma dos que estão em posção par for dvsível por k. Demonstração. Sea a k, como r = k + 1, segue que k = ( 1 + r). Assm a ( 1 + r). Desenvolvendo os bnômos temos ( 1 + r) = =0 )( 1) (r). Rea- grupando os termos ( 1) (r). Então ( 1) a + =0 a ( =0 ( 1 a )( 1) (r). (4)

4 Observe que no segundo somatóro no segundo membro da equação 4 ao evdencarmos r 1 1 temos ( 1) (r) = r ( 1) (r) (+1). Assm, em Z r, vale a gualdade =0 =0 ( 1 ( )( 1) (r) = 0, e portanto, ( 1) a ). Logo r E se e somente se =0 r ( 1) a. Vemos claramente que E será dvsível por r se a soma dos termos de índce mpar subtraída da soma dos termos de índce par for dvsível por r. Exemplos: é dvsível por 11, pos = 11, que é dvsível por 11; 2. (1210) 8 é dvsível por 9, pos = 0 que é dvsível por 9. Proposção 2.5. Seam E Z e a, b Z tas que mdc(a, b) = 1, a E e b E, então ab E. Demonstração. Como a E, podemos escrever al com l Z. Sendo mdc(a, b) = 1, exstem nteros x 0 e y 0 tas que x 0 a + y 0 b = 1. Então, x 0 al + y 0 bl = l. Como b x 0 al e b y 0 bl, então b l. Portanto ab E. Coroláro 2.6. Sea E Z escrto numa base k na forma a k e r = m(k + 1) de forma que mdc(m, k + 1) = 1. Então E será dvsível por r se e somente se E for dvsível por m e a soma dos coefcentes que estão em posção mpar, subtraídos da soma dos que estão em posção par for dvsível por k + 1. Demonstração. Obvamente se E for dvsível por r, será também dvsível por m e por k+1. Recprocamente sendo E dvsível por m e k+1 e mdc(m, k+1) = 1, pelo coroláro 2.6 acma, m(k + 1) dvde E. O resultado agora segue pela proposção 2.4. Proposção 2.7. Sea E Z escrto em uma base k na forma a k. Agora consdere r Z, tal que r k p, p N, ou sea, r dvde uma potênca de k. Então E será dvsível por r, se r dvde o número formado pelos p últmos algarsmos de E. Demonstração. Sea a k + a p k p + k p [(a p ) + a k. Vamos reescrevê-lo da segunte manera: a k, colocando k p em evdênca, temos que a k + =p+1 a k p ]. Como r E se e somente se 0 em Z r e, por hpótese, r k p =p+1 temos a k. Portanto, r E se e somente se, r a k.

5 Proposção 2.8. Seam E Z escrto em uma base k na forma que r = k 1 n Z e p tal que mdc(p, r) = 1. Então, pr E se p E e r Demonstração. Supomos que p E e r a k, n Z tal a. Pela Proposção 2.3, r E. Então, br com b Z. Como p r então, p b. logo pb r e portanto pr E. A recíproca segue pela Proposção 2.3. Exemplo: na base hexadecmal (16) o número B22 é dvsível por A pos 5 B e 2 2 na base hexadecmal. a 3. Consderações Fnas Como podemos ver pelos resultados lstados acma, os tradconas crtéros de dvsbldade na base decmal são casos partculares de crtéros mas geras que dependem da base numérca escolhda, por exemplo, os crtéros de dvsbldade por 9 e 11 estão dretamente relaconados a dstânca desses números à base. Crtéros de dvsbldade por fatores ou por múltplos desses números são descrtos pelas proposções 2.6, 2.7 e 2.8 de modo que estão também relaconados à base. Observamos também que a facldade da aplcação de um crtéro de dvsbldade por um número é maor o menor dependendo da base escolhda. Por exemplo, na base decmal é mas dfícl utlzar um crtéro de dvsbldade por 7 do que na base octal. Crtéros de dvsbldade dependem essencalmente da base numérca escolhda. Em suma, esse é um trabalho bem smples, mas que serve para lustrar algumas das propredades algébrcas de estão por trás dos crtéros de dvsbldade. Referêncas DOMINGUES, H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. 4 a edçao. ed. São Paulo: Edtora Atual, GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. 2 a. ed. Ro de Janero - RJ: IMPA, MONTEIRO, L. J. (Ed.). Elementos de Álgebra. 2 a. ed. Ro de Janero: Lvros Técncos e Centífocs Edtora S.A., 1978.