MÉTODO DE FIBONACCI. L, em que L

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1 Métodos de bonacc e da Seção Aúrea Adotando a notação: MÉTODO DE IBOACCI L e L L, em que L b a, resulta a: ncal orma Recursva: ara,,, - (-a) ou ara,,, - (-b) A esta equação se assoca a condção de contorno (CC): = (-a) Este esquema recursvo ode ser reresentado no dagrama abaxo, no qual são mostradas três terações sucessvas: - Iteração : a Iteração +: x x b + + a Iteração +: x x b + a + x x b or: A dstânca entra a e x, que é gual à dstânca entra b e x, é, na teração, dada d ara,, () A dstânca entra x e x, é, na teração, dada or: d ara,, () essas duas dstâncas são mostradas abaxo: Iteração : a d x x b Somando as Eqs.() e (), resulta: d ara,, (6)

2 Métodos de bonacc e da Seção Aúrea Mas, de (-b): que de () é gual à d, assm: d ara,, (7) Substtundo (7) em (6), resulta:, mas de (-a):, resultando em: ara,, (8) Duas hóteses odem se assocar à segunda condção de contorno da equação recursva (): a Hótese: a dstânca entre x e x na últma teração, teração, é gual a, traduzdo or: ou, de acordo com (8), or: (9) () a Hótese: a dstânca entre a e x, que é gual à dstânca entra b e x, na últma teração, teração, é gual a, traduzdo or: ou, em acordo com (7), or: d () d () Crtéro de Parada: O valor de é calculado tal que: e () Isto é: é o rmero valor do índce de em que é nferor a.

3 Métodos de bonacc e da Seção Aúrea ORMA RECURSIVA DE RESOLUÇÃO DO PROBLEMA a Hótese: Alcando (-b) ara =, tem-se:. Alcando (-b) ara =, tem-se:. Alcando (-b) ara =, tem-se: 8. Permtndo conclur, or ndução, que: k k k ara k,,, () Em que: k é o k ésmo número de bonacc defndo ela orma Recursva: ara,, com () Dferentes roredades dos números de bonacc são aresentadas no Aêndce I. k j Adotando em (): j = k tem-se: k j, assm: k j j j j ara j,,,, - (6) Permtndo calcular: com j e com j Resultando em: e Mas, das roredades dos números de bonacc, (7), logo: (8) O valor de, número de terações necessáras, é o rmero valor ntero de j ara o qual a função: j, sto é: j j

4 Métodos de bonacc e da Seção Aúrea e (9) a Hótese: Alcando (-b) ara =, tem-se:. Alcando (-b) ara =, tem-se:. Alcando (-b) ara =, tem-se:. Permtndo conclur, or ndução, que: k kk ara k,,, () Adotando em (): j = -k tem-se: k j e k j, assm: j j j ara j,,,, () Permtndo calcular: com j e com j resultando, fnalmente, em: e () Mas, das roredades dos números de bonacc:, logo: () O valor de, número de terações necessáras, é o rmero valor ntero de j ara o qual a função: j j, sto é: j e ()

5 Métodos de bonacc e da Seção Aúrea RESOLUÇÃO DIRETA DA EQUAÇÃO DE DIEREÇAS DO PROBLEMA orma Recursva: ara,,, - com: = () a Hótese: a dstânca entre x e x na teração é gual a, () Identfcando os valores característcos assocados à equação de dferenças () como as raízes do olnômo: rr r r sto é: r, em que: r. Identfcando: r r ; r r e r r Desse modo, a solução de () [equação de dferenças lnear, de segunda ordem e homogênea] é dada or: Ar Br, onde as constantes A e B são determnadas a artr das condções de contorno assocadas ao roblema. Assm: CC: AB CC : Ar Br r A r r r B r r, logo: r r r r r r r r () a Hótese: a dstânca entre a e x, que é gual à dstânca entra b e x, na teração é gual a Desse modo, a solução de () é dada or: () Ar Br, onde as constantes A e B são determnadas a artr das condções de contorno assocadas ao roblema.

6 Métodos de bonacc e da Seção Aúrea r A CC: AB r r Assm: CC : Ar Br r B r r, logo: r r r r r r r r MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA a rmera hótese consderada no método de bonacc o valor do asso a ser consderado na rmera teração é dado or: a segunda hótese consderada no método de bonacc o valor do asso a ser consderado na rmera teração é dado or: Porém ara valores elevados de, verfca-se que: e, deste modo o valor de ndeende da hótese consderada e é gual a:, ermtndo calcular os valores de de forma recursva segundo: ara,,, () com: e Resultando no denomnado Método da Seção Áurea. Assm, alcando () ara: ; (6) (8) () 6

7 Métodos de bonacc e da Seção Aúrea Permtndo conclur, or ndução que: ara,,, () com: e Crtéros Alternatvos de Parada: -) O valor de é calculado tal que : e (6) Tal crtéro corresonde a consderar que a dstânca entre a e x (gual à dstânca entre b e x ) na teração é, ela rmera vez, nferor a.. -) O valor de é calculado tal que : e (7) Tal crtéro corresonde a consderar que a dstânca entre x e x na teração é, ela rmera vez, nferor a. -) O valor de é calculado tal que : (8) e Tal crtéro corresonde a consderar que a dstânca entre a e x (gual à dstânca entre b e x ) na teração é, ela rmera vez, nferor a. 7

8 Métodos de bonacc e da Seção Aúrea APÊDICE I ÚMEROS DE IBOACCI orma Recursva: ara,,, (I-) com : Alcando a forma recursva acma, chega-se a: Identfcando os valores característcos assocados à equação de dferenças (I-) como as raízes do olnômo: r r r r r sto é:, em que: r r ; r r e r r r Desse modo, a solução de (I-) [equação de dferenças lnear, de segunda ordem e homogênea] é dada or: Ar B r, onde as constantes A e B são determnadas a artr das condções de contorno assocadas ao roblema. r r CC: AB A r r Assm:, logo: CC : Ar Br r r B r r r r (I-) ara =,,,... Razão entre dos números de bonacc sucessvos Defnndo-se: q ara,,,, tem-se: q 8, em vsta de (I-), q, tem-se a: ara,,,, dentfcando: e q

9 Métodos de bonacc e da Seção Aúrea Equação Recursva: q ara,,, q (I-) com q = A equação (I-) é uma equação de dferenças não lnear de rmera ordem que ode ser resolvda recursvamente, dando orgem a: q q q q Ou, em forma gráfca:. q. q A Equação (I-) aresenta os ontos de equlíbro que são as raízes da equação: eq eq eq eq qeq q q q q recursva (I-) a função teração: ter q fter q, dentfcando na equação, em que: q q f q ara,,,, tem-se: f ter f ter f ter q q fter f ter 9

10 Métodos de bonacc e da Seção Aúrea Dessa forma, conclu-se que o onto, no qual q, é um onto de equlíbro nstável da Equação (I-) e o onto, no qual q onto de equlíbro estável da Equação (I-). Isto ermte conclur que:, é um lm q q, conforme ndcado nas fguras da ágna anteror! Determnação de S ara,,, Para = tem-se: S. Com genérco: S e substtundo: S, Assm: S S, mas, em vsta de: e, tem-se: S S S S ara,, com S, sto é:, logo: S S ; S ; S ; Determnação de ara,,, T ara,,, Para = tem-se: T. Com : genérco: T e substtundo: T, Assm: T T, mas, em vsta de: e, tem-se: T T T T ara,, com T, sto é:, logo: T T ;T ;T ; ara,,,