3 Traços Latentes e a Teoria de Resposta ao Item - TRI

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1 3 Traços Latentes e a Teora de Resosta ao Item - TRI Em mutas stuações de meddas socológcas, scológcas ou educaconas a varável de nteresse é de entendmento ntutvo ara todos. Porém, na maora das vezes, não é observável dretamente. É sto ue a scometra chama de varáves não observáves ou habldades ou traços latentes. Embora essas varáves ossam ser faclmente descrtas e lstadas, como or exemlo, a ntelgênca, a habldade em executar uma tarefa, ansedade, o nível de entendmento de texto, e etc, elas não odem ser meddas dretamente como o eso ou altura de uma essoa. Aesar de todas serem característcas mlíctas a cada ser humano. A meta das meddas educaconas e scológcas é determnar como os traços latentes se rocessam na essoa. e for de nteresse medr tal traço latente é necessáro então crar uma escala de medda segundo a ual essa varável assumrá seus valores. Por númeras razões técncas a defnção da escala de meddas, o número na escala e a nterretabldade da mesma em relação ao traço latente é muto dfícl, necesstando de um formalsmo maor. Do onto de vsta rátco, uestões de resosta lvre são de dfícl uso na TRI (exceto se a resosta for caracterzada como certo ou errada ou, anda, com algum to de graduação. Como resultado, a maora dos testes usados na TRI são de múltla escolha e os tens odem ser dcotômcos (certo ou errado ou oltômcos (ncororam varáves categórcas em suas resostas. È razoável admtr a hótese de ue cada examnando resonda a um tem de acordo com habldades mlíctas. Por motvos ue deos será exlcado, admtremos ue se desee medr aenas uma habldade ue reresentaremos ela letra grega θ. Por exemlo, no caso dcotômco a cada nível de habldade exstrá uma certa robabldade ue o resondente com esta habldade dará uma resosta correta ao tem. Esta robabldade será denotada or P θ. No caso tíco de ( testes com tens dcotômcos a robabldade será euena se a habldade do resondente for euena ou será grande se o mesmo também o for.

2 A curva ue caracterza essa P θ tem, em geral, uma forma de ( amortecda (fgura 1. Isso não é arbtráro, mas advém de mutos estudos emírcos e oneros. Ela é conhecda como curva característca do tem (CCI e é a base da construção da TRI, todas as outras construções deendem dela. 29 Fgura 1 - Curva Característca do Item Exstem duas roredades técncas da CCI ue são usadas ara descrevêlas: dfculdade do tem e seu oder de dscrmnação. Na fgura 2 abaxo estão reresentadas 3 curvas característcas do tem no mesmo gráfco. Todas têm o mesmo nível de dscrmnação, orém dferentes com reseto à dfculdade. Num contexto em ue as resostas odem ser certas ou erradas, a curva da esuerda reresenta um tem fácl orue a robabldade de resosta correta é alta ara habldade baxa. A curva do meo reresenta um tem de dfculdade médo e, a curva da dreta reresenta um tem dfícl orue a robabldade de resosta correta é baxa ara boa arte da escala exceto ara os níves mas altos de habldade. Fgura 2 - CCI com mesma dscrmnação e dferentes dfculdades

3 30 O conceto de dscrmnação é mostrado na fgura 3 abaxo. Estas três curvas contêm três CCI tendo o mesmo nível de dfculdade, mas dferem com reseto à dscrmnação. Fgura 3 - CCI com dfculdades guas, orem com dferentes dscrmnações A curva com maor formato de tem um alto nível de dscrmnação, enuanto ara a curva mas amortecda tem um oder de dscrmnação médo e or fm a últma ossu um oder de dscrmnação baxo. 3.1 Modelos da Curva Característca do Item CCI egundo Backer (1995, mutos autores audaram na construção da teora de resosta ao tem (TRI. Em esecal 3 desses ndvíduos, ara os uas é mortante ctar seus nomes e resectvos trabalhos. D.N. Lawley (1943 ublcou um trabalho mostrando ue mutos dos constructos roduzdos or testes baseados na Teora Clássca de Meddas (TCM oderam ser exressos em termos de arâmetros da curva característca do tem nos moldes dos modelos aresentados acma. Este trabalho marcou o níco da teora de medda da TRI. O trabalho de F. M. Lord ganhou força nos anos 50 com a alcação em testes educaconas. Lord ncou o desenvolvmento formal da teora, e também contrbuu ara o desenvolvmento de rogramas ara comutadores necessáros ara or a teora em rátca. O ue levou osterormente a lvros clásscos, redgdos unto com M. Novck em 1968 e Em 1960 o matemátco dnamaruês Georg Rasch reforçou os estudos da TRI crando o modelo de 1 arâmetro e, ara mutos seu trabalho é tão onero uando o de Lord.

4 Comentáro Na seção anteror, as roredades da CCI foram abordadas aenas como uma descrção verbal. Agora odemos ntroduzr de manera formal os modelos matemátcos ara CCI. Estes modelos são defndos a artr de uma euação matemátca ara a relação entre a robabldade do resondente ao teste resonder corretamente ao tem e a habldade do resondente. Cada modelo emrega um ou mas arâmetros, cuos valores defnem a forma da CCI. Esses modelos e seus arâmetros fornecem um veículo ara a comuncação de nformações sobre as roredades técncas do tem. A função logístca é muto utlzada nas cêncas bológcas e nos modelos de crescmento de lantas e anmas. eu uso se dá elo fato de sua smlcdade e também or ser uma função exlícta dos arâmetros dos tens e da habldade do resondente. Anterormente se utlzava a dstrbução normal acumulada, ue é uma função mlícta dos arâmetros. 3.3 Teora de Resosta ao Item - TRI A TRI consttu-se a artr de um conunto de modelos matemátcos ue buscam reresentar a relação entre a robabldade de um ndvíduo dar uma determnada resosta a um tem como função dos arâmetros do tem e da habldade do resondente, caso aramétrco. No caso dcotômco esta relação é semre exressa de tal forma ue uanto maor a habldade, maor a robabldade de acertos ao tem. O termo acerto é utlzado aenas devdo à orgem da TRI estar assocada a testes educaconas. No resente contexto, em ue a varável latente ue é obeto do estudo reresenta uma condção sócoeconômca famlar, a resosta dcotômca ode reresentar, or exemlo, o fato de se ossur ou não determnado bem.

5 32 Os rmeros modelos matemátcos da TRI foram os dcotômcos, cuos resultados eram certo ou errado. ea a resosta a um tem U = 1ara certo ou 0 ara tem errado. Exsta a necessdade de encontrar uma função não lnear ue exressasse a robabldade do resondente em função de sua habldade a dar uma certa resosta em função dos arâmetros do tem. A róra necessdade desta função á munha a restrção da CCI ser monótona crescente. Brnbaum fo motvado elo trabalho de LORD (1952. Uma contrbução mortante de Brnbaum fo sugerr a troca da função ogva normal elo modelo logístco de dos arâmetros, or uestões de convenênca. Além dsso, fo Brnbaum, também, uem ntroduzu o tercero arâmetro (vulgarmente conhecdo como arâmetro de acerto casual, ue modela um acerto em um teste educaconal devdo a um chute na uestão. Uma outra contrbução de Brnbaum ara a teora scométrca fo a ntrodução da medda de Fsher ara descrever a estrutura de nformação do teste. O conteúdo de nformação de um teste ara uma habldade do resondente desconhecda é a soma de todas as nformações ndvduas de cada tem. Paralelamente ao trabalho de Brnbaum, RAH ue nos anos 40 á trabalhava em meddas scométrcas (Lnden e Hambleton (1997, elos anos 50 começou a desenvolver seu trabalho ara modelos dcotômcos ue or razões hstórcas fcaram conhecdos como modelo de RAH. Vale lembrar ue, formalmente, os modelos de RAH são um caso artcular dos de Brnbaum, mas ue conduzem a uma teora da análse do teste comletamente dferente. A róra necessdade dos testes scométrcos de ntroduzr resostas ue não fossem consderadas somente dcotômcas encarregou-se de motvar a cênca a desenvolver modelos ara TRI ue tratassem de tas necessdades como: Modelo de Resosta graduada, Modelo de Crédto Parcal, Modelo de Escala Gradual, entre outros. Para maor detalhe destes modelos recomenda-se (Lnden e Hambleton (1997.

6 O Contexto das Avalações Educaconas Nas últmas décadas a TRI vem tornando-se a técnca redomnante no contexto de avalações educaconas em város aíses. No Brasl a rmera exerênca ocorreu em 1995, na análse de dados do AEB (stema Naconal de Avalação Básca. A TRI ermte uma melhor análse de cada tem ue consttu o nstrumento de avalação e/ou medda, levando em consderação suas característcas na rodução das habldades, o ue faclta, também, a nterretação da escala roduzda. Além dsso, a TRI é extremamente vantaosa, os ermte a comarabldade dos resultados roduzdos ara gruos de ndvíduos dferentes, mesmo uando são alcados testes arcalmente dferentes. Essa roredade é útl, artcularmente, uando se desea avalar a evolução da medda de uma mesma escala ao longo do temo, o ue se denomna de estudos longtudnas. É freüente autores afrmarem ue a medda de habldade roduzda através da TRI é ndeendente do teste alcado e ndeendente do gruo de alunos a ue é alcado. Claro ue cudados e técncas esecífcas devem ser emregadas ara garantr essa roredade. A TRI tem como base de todo seu desenvolvmento dos ostulados: a erformance de um resondente em um teste ode ser revsta or um conunto de fatores nerentes ao ndvíduo, chamados de habldade ou traço latente. Ressalta-se au ue a habldade é uma varável não observável dretamente elo teste emregado; a relação entre a habldade do ndvíduo e a robabldade de escolha no tem ode ser descrta or uma função característca ou curva característca tem (CCI, arametrzada or característcas do tem de um teste (1 oder de dscrmnação; 2 oder de dfculdade Antes de aresentar os modelos faz-se necessáro exlcação sobre duas hóteses báscas na TRI: undmensonaldade e nvarânca.

7 Hóteses Báscas Os modelos matemátcos emregados na TRI esecfcam ue a robabldade de resosta certa de um resondente deende de sua habldade ou habldades e as característcas do tem. Modelos da TRI au tratados ncluem um conunto de hóteses sobre os dados em ue o modelo é alcado. A rmera hótese é chamada de undmensonaldade. Esta hótese admte ue somente uma habldade é medda elo modelo. Isto é, o conunto de tens deve estar medndo um únco traço latente. Parece claro ue dentro das nstâncas do ser humano exsta uma varedade de habldades resonsáves or um rocesso de execução de uma tarefa. Porém, ara satsfazer tal ostulado, é sufcente admtr ue haa uma habldade domnante, resonsável elo conunto de tens. Este fator é ue se suõe estar sendo meddo elo teste (Hambleton, Tcamente a análse de undmensonaldade é obtda através de métodos de análse fatoral. omente uma habldade é medda elo conunto de tens ue comõe o teste. Fatores como motvação, ansedade, habldades cogntvas, dentre outros, comõem o rocesso de execução de um teste. Como fo dto antes, basta acetar a resença de um fator domnante, sto é, auele ue nfluenca a erformance do teste. Modelos ue ncororam mas de uma habldade ara erformance de um teste são chamados de multdmensonas (Lnden, Uma outra suosção é a chamada ndeendênca local ou nvarânca, a ual ostula ue, ara uma dada habldade, as resostas atrbuídas aos dferentes tens são ndeendentes entre s. Tal ressuosto será mortante ara a estmação dos arâmetros nos modelos. Teorcamente, a undmensonaldade mlca na ndeendênca local (Hambleton, 1991 e assm aenas uma e não duas hóteses devem ser verfcadas. De fato, se houver deendênca local entre os tens essa roduzrá falsas dmensões na análse fatoral.

8 Modelos Teorcamente ode exstr uma nfndade de modelos da TRI. Porém, oucos modelos são usados na rátca. Entre os modelos roostos na lteratura deendem fundamentalmente de três fatores: ( da natureza do tem dcotômcos ou oltômcos; ( do número de oulações envolvdas; ( da uantdade de traços latentes ue está sendo medda. Na seção aresentaremos os modelos undmensonas ara tens dcotômcos mas utlzados e na seção 3.7 aresentaremos um dos modelos ara tens oltômcos utlzado no trabalho roosto Modelos undmensonas ara tens dcotômcos 1. ML1 - Modelo logístco (undmensonal de um arâmetro ou modelo de Rasch. Rasch começou seu trabalho em meddas educaconas e scométrcas or volta de Por volta da década de 50, Rasch usando a função de Posson desenvolveu dos modelos, um ara letura de testes e um modelo ara arovetamento e ntelgênca de testes, com a fnaldade de rodução de scores. Para maores detalhes (Lnden, 1991 : 6-7. Com base em seus trabalhos a motvação de Rasch fo reresentar a robabldade de resosta como função da habldade do resondente e a característca do tem. ea θ o arâmetro de habldade do resondente e b a dfculdade do tem. O sucesso do resondente é a razão entre sua habldade e a soma, da habldade com a dfculdade do tem. Dessa forma, Rasch construu:

9 36 ( = 1/ θ = = or uestões de nomenclatura usaremos θ = θ θ θ + δ P U e δ = b θ δ 1 + δ θ Tomando em uma escala logarítmca ara os arâmetros será adotada or convenção dau or dante. Tem-se o modelo undmensonal de um arâmetro: 1 PU ( = 1/ θ = θ ( b 1+ e onde: U é uma varável dcotômca ue assume os valores 1, uando o ndvíduo resonde corretamente o tem, ou 0 uando o ndvíduo não resonde corretamente ao tem. P = 1/ θ é a robabldade de um ndvíduo com ( U habldade θ resonder corretamente o tem. O arâmetro de dfculdade (ou de osção do tem, meddo na mesma escala da habldade, é denotado or b. 2. ML2 - Modelo logístco de 2 arâmetros Esse modelo, roosto or Brnbaum,1968, a artr da substtução da função de dstrbução normal, roosta no modelo de Lord, 1952, ela função logístca, ressuõe a relação monótona entre o valor da varável latente (a ser estmada do ndvíduo e a sua robabldade de escolha or uma das duas alternatvas segundo uma função de dstrbução logístca arametrzada or coefcentes ue reresentam determnadas característcas do tem. É muto natural no contexto de avalação educaconal, onde a varável latente é dentfcada com a habldade cogntva do aluno, e as ossbldades de escolha são acertar ou não o tem. Assm, admta ue U sea uma varável aleatóra dcotômca assumndo os valores 0, ou, 1. No caso esecífco de um teste educaconal o valor 0 está assocado a uma resosta errada e, o valor 1 a uma resosta certa or arte do

10 aluno. O modelo de dos arâmetros exressa a relação entre a varável latente θ e a resosta dada ao tem da segunte forma: 37 P( U 1/ = θ = Da ( θ b 1+ e 1 a é o arâmetro de dscrmnação (ou de nclnação do tem, com valor roorconal à nclnação da Curva Característca do Item CCI no onto b. D é um fator de escala constante e gual a 1. Utlza-se o valor 1,7 uando se desea ue a função logístca forneça resultados semelhantes ao da função ogva normal, dz-se, então, ue o modelo está na métrca normal. O índce reresenta o número do tem e o resondente. Como se ode notar, o arâmetro b reresenta o onto na escala de habldade em ue um examnando tem 50% de robabldade de resonder ao tem corretamente. Num contexto mas geral, b reresenta o valor da varável latente θ, ara o ual há 50% de chance de escolha da resosta reresentada or U =1 elo ndvíduo. É fácl observar ue se (6 for dervada em relação à θ, a função resultante atnge seu máxmo em θ = b com um valor dretamente roorconal a a (0.425 a, ndcando ue a nclnação da curva do modelo atnge seu maor valor onde a robabldade de ocorrer uma resosta reresentada or U =1 (sto é, a resosta correta, no caso de modelos ara avalação educaconal é 0.5. Portanto, uanto maor for o valor do arâmetro a, mas sensível torna-se o modelo a varações na habldade em torno de seu onto de dfculdade. Isto é, maores valores ara o arâmetro a roduzrão maor caacdade de dstnção entre dos ndvíduos com habldades dferentes no nível da escala em torno do nível de dfculdade do tem. Por sso, ele é conhecdo como arâmetro de dscrmnação do tem. A segur, aresenta-se a denomnada curva característca de um tem, sto é, a reresentação dos valores, sob forma de gráfco, de um artcular modelo θ, enfatzando as roredades de seus arâmetros:

11 38 Fgura 4 Curva Característca do Item com valores esecfcados Muto embora, a motvação rncal na roosção desse modelo tenha sdo o de sua utlzação em avalação educaconal, ode-se emregá-lo com fnaldade dversa. È o caso de, or exemlo, utlzá-lo ara a construção de um índce ue mede a condção sóco-econômca de ndvíduos de uma oulação. Podem ser consderadas como varáves ndcadoras da condção sócoeconômca, a osse de determnados bens como, or exemlo, eletrodoméstcos, automóvel, etc. 3. ML3 Modelo Logístco de 3 arâmetros Dos modelos roostos ela TRI, o modelo logístco undmensonal de 3 arâmetros é dado or: P( U 1/ (1 1+ e = θ = c + c Da ( θ b 1

12 Onde c é o arâmetro do tem ue reresenta a robabldade de ndvíduos com baxa habldade resonderem corretamente o tem (mutas vezes referdo como a robabldade de acerto casual. E os outros arâmetros á foram ctados acma Modelos ara Itens com Formato de Resosta Poltômca erá aresentado agora o modelo de resostas graduadas elo fato de este ter sdo o modelo usado no desenvolvmento deste trabalho ara a rodução do score ndcador NE da condção sóco-econômca. Recomenda-se fortemente a letura do lvro (Lnden, 1991 ara aueles ue deseam se arofundar no conhecmento dos números modelos exstentes hoe. Itens oltômcos são tens ue não se caracterzam aenas ela resença do fator certo ou errado, mas or todo um conunto ordenado de resostas. Em artcular, o modelo de resosta graduada fo desenvolvdo or amema (1968. Modelo de resostas graduadas (MRG. O MRG de amema (1962 assume ue as categoras de resostas de um tem odem ser ordenadas entre s. uonha ue os scores das categoras de um tem estão dsostos em ordem crescente denotamos or k = 0,1, K, m onde ( m + 1 é o número de categoras do -ésmo tem. A robabldade de um ndvíduo escolher uma artcular categora ou outra mas alta do tem é reresentada or: P, k ( θ = Da ( θ b, 1+ e 1 k um modelo logístco de dos arâmetros, com = 1, K, I ; = 1, K, n ; b, k é o arâmetro de dfculdade da k-ésma categora do tem.

13 40 Por defnção do modelo temos: b, 1 b,2 b, m K ordenação entre os níves de dfculdade das categoras de um dado tem. A robabldade de um ndvíduo receber um score k no tem é dada ela exressão: P ( θ = P ( θ P + ( θ, k, k, k 1 E amema também admte ue ( 1 P θ e, P ( θ 0. Temse então:, 0 =, m + 1 = P P = P ( θ P ( θ = 1 P ( θ, 0,0,1,1 P = P ( θ P ( θ, 1,1,2 = P ( θ P + ( θ = P ( θ,, m, m, m 1, m em geral tem-se: P P ( θ P ( θ 0., k =, k, k + 1 Na forma logístca o modelo de resostas graduadas é dado or: P, k ( θ = 1 + e 1 Da ( θ b, k 1 + e 1 Da ( θ b, k + 1 O modelo na fgura 5 abaxo fo o encontrado ara a uestão ue erguntava sobre o número de banheros ue a famíla ossuía (as ossbldades de resostas foram as seguntes: nenhum, tem 1, tem 2, tem 3, tem 4 ou mas. Para esse to de tem, a robabldade de escolha de cada resosta ode ser modelada através do modelo de resostas graduadas. Fo obtdo o segunte modelo: (a = 1.511, b 0.592, b, 0 =, b, 1 = 3.81, b, 2 = 0.191, b, 3 = 1.183, b,4 =1.807, a robabldade de cada resosta está reresentada no gráfco abaxo:

14 41 Fgura 5 - Modelo de Resostas Graduadas ara o tem banhero Podemos extrar, com base na fgura acma, nformações valosas sobre o tem do uestonáro ossur (um ou mas banheros ou não, como: Pessoas com score estmado entre -4 e -3, a robabldade de não ossur banhero é sueror a 60 %; A medda ue aumenta o valor do score, também aumenta a chance do resondente ossur elo menos um banhero. Pessoas com score estmado entre -3 e -2, começam a aresentar um aumento na robabldade de ossur um banhero; Já entre o score -2 e 0 odemos afrmar sem erda de generaldade ue tal score é caracterzado or àueles ue ossuem elo menos um banhero. A construção da nterretabldade ara letura dos scores estmados, ara cada tem, segue como descrto acma. Faz-se necessáro chamar a atenção ue o valor da robabldade de uma curva ualuer (ara um score dado é 1 menos o valor da robabldade de outra curva abaxo da rmera, Por exemlo, exatamente no score 3, temos 80 % de ossur uatro banheros mas, aroxmadamente 15 % de ossur 3 banheros mas, 5 % (aroxmadamente de ossur 2 banheros.

15 Estmação dos arâmetros O rmero e mas mortante asso na alcação da TRI a dados de testes é a estmação dos arâmetros ue caracterzam o modelo de resosta ao tem. Nos modelos da TRI, a robabldade de uma resosta deende, da habldade do examnando, θ, e os arâmetros ue caracterzam o tem. Ambos, habldade e arâmetros do tem, na maora das vezes, são desconhecdos; o ue é conhecdo são as resostas dos examnados aos tens do teste. O roblema da estmação é determnar o valor de θ ara cada examnado e os arâmetros ue comõe cada tem do teste. Fazendo um aralelo com modelos clásscos de regressão, onde os arâmetros ue caracterzam o modelo de regressão (os coefcentes de regressão devem ser estmados, nota-se, no entanto, duas grandes dferenças entre os modelos de regressão e os modelos da TRI. Prmero, o modelo de regressão é usualmente lnear, enuanto os modelos de resosta ao tem são não lneares. egundo, e mas mortante, o regressor (varável ndeendente na análse de regressão é observável. Na TRI a varável regressora θ é não observável. Esse asecto dfculta substancalmente o roblema de estmação dos arâmetros do modelo. Na regressão lnear o melhor auste do modelo é defndo elo crtéro dos mínmos uadrados. Nos modelos da TRI tal crtéro não é usado orue sera dfícl determnar as roredades reuerdas ara seu uso em modelos não lneares. Alternatvamente, os arâmetros odem ser estmados usando o método da máxma verossmlhança através da alcação de algum rocesso teratvo, como o algortmo de Newton-Rahson ou corng de Fsher. Alguns rocedmentos Bayesanos também são alcados com alguma freüênca (ver Mslev (1986ª. Na stuação em ue se desea estmar tanto os arâmetros dos tens, uanto as habldades, há duas formas de se abordar o roblema de estmação: estmação conunta ou em duas artes (máxma verossmlhança margnal rmero a estmação dos tens e, osterormente, das habldades. Utlzou-se no resente trabalho a estmação em duas artes.

16 43 Não é a fnaldade do resente trabalho rolongar-se sobre o assunto de estmação, haa vsto a exstênca de números trabalhos exostos na lteratura corrente. Entendemos ue, se decdíssemos aresentar de manera formal o assunto de estmação, nos desvaríamos de nosso real obetvo. Recomenda-se ara arofundamento em estmação de arâmetros dos modelos de resosta ao tem: Hambleton [3] e/ou Lnden [4], Andrade et al, Métodos Clásscos ara Dscrmnação dos Itens e Análse da Dmensonaldade Correlação Bsseral e Correlação Ponto Bsseral Consdere o caso de testes consttuídos or tens bnáros ou dcotômcos, sto é, tens ara os uas se admte duas resostas ossíves. A correlação bsseral e a correlação onto bsseral são meddas estatístcas ue medem a correlação do resultado de um tem em artcular do teste com o resultado do teste (sto é, o escore bruto total, sendo, ortanto, uma medda da caacdade de dscrmnação do tem em relação ao resultado do teste. Elas são muto usadas dentro da teora clássca de testes scométrcos. A correlação onto bsseral ode ser dervada dretamente da correlação de Pearson. Para tanto, admta ue reresente o escore bruto obtdo no teste. Admta ue Y reresente o resultado da resosta atrbuída a um tem, uma varável dcotômca (no caso de testes educaconas, or exemlo, atrbu-se o valor Y = 0, se a resosta for errada, e Y = 1, ara uma resosta correta; e, no caso de um tem ue avala a condção sócoeconômca Y = 1 reresenta a osse de um bem, or exemlo. O índce de correlação de Pearson é defndo or: ρ Y = E( Y E( E( Y σ σ Y e é a robabldade de se acertar o tem, então E ( Y = e σ, onde Y = = 1. Assm, tendo em vsta ue Y é uma varável dscreta, tem-se:

17 44 ρ Y = E( Y \ Y = 0 P( Y = 0 + E( Y \ Y = 1 P( Y = 1 E( σ ρ tal ue ρ Y E( \ Y = 1 = 0 + σ E( Uma estmatva natural obtda sobre o resultado do teste é a segunte: ρ ρ b = σ onde é o escore médo no teste ara os ue acertaram o tem e é o escore médo no teste ara todos. Au σ é o desvo adrão dos escores obtdos nos testes elos resondentes e, a estmatva ρ b é o ue se freüentemente se denomna na lteratura de correlação onto bsseral. é a roorção dos ue acertaram o tem no teste. Um desenvolvmento ara a correlação bsseral ode ser o segunte. ea Z uma varável aleatóra artfcal (e, ortanto, não observada, assocada ao constructo latente do resondente, tal ue Z ~ N(0,1. Admta anda ue o escore bruto do resondente no teste se assoca lnearmente a essa varável da segunte forma: = AZ + B+ ε, onde E ( ε = 0 e E( ε Z = 0. Note-se ue E( = A E( Z + B e, então a correlação de Pearson ara e Z é dada or: ρ Z 2 E( AZ + BZ E( E( Z A = = σ σ σ Z σ Z eam dos conuntos de ossíves resondentes, os ue acertam o tem e os ue erram o tem. Assm: E( \Y = 0 = A E( Z \Y = 0 + B

18 45 e, E(\Y = 1 = A E(Z\Y = 1 + B tal ue: E( \Y = 0 E( \Y = 1 A = E( Z \Y = 0 E( Z \Y = 1 (1 É fácl obter estmatvas ara os termos no numerador da euação (1. Basta tomar a méda dos escores em todo o teste dos ue acertam e dos ue erram o tem. O mesmo não ocorre em relação ao denomnador or se tratarem de varáves latentes. Admte-se, então, ue os resondentes ue acertam o tem são os ue aresentam valores ara Z suerores à Z, onde Z é tal ue ZP e z2 2 2π dz =. Logo, sob essa hótese: E( Z \ Y = 1 = h( Z = Z e Z 2 2 2π e, h( z E( Z \Y = 0 = Assm, de (1: A = E( \Y = 0 E( \Y = 1 h( z h( z Uma estmatva ara a correlação de Pearson é dada, então, or: ρ bs = ρ sz = h( Z h( Z 1 σ onde é o escore bruto médo ara os ue erram o tem, é o escore bruto médo ara os ue acertam o tem, h( z é o valor da função de densdade normal adrão em z, é a roorção dos ue acertaram o tem no teste.

19 Fnalmente, σ é o desvo adrão dos escores brutos obtdos no teste. Note-se ue: 46 ρ bs 1 1 = = = h( z h( z σ σ h( z + 1 =. σ h( z 1 mas, = +, de tal forma ue = e, ortanto: ρ bs 1 h( z σ h( z = = σ = ρ b. h( z (2 A fórmula (2 exressa a relação entre a correlação bsseral e correlação onto bsseral. Maores detalhes em Machado [20] Correlação Polsseral e Ponto Polsseral Os concetos de correlação onto bsseral e bsseral odem ser estenddos ara o caso de tens oltômcos, os uas aresentam mas de duas categoras ordenadas de resostas (T 0,T 1,...,T m,t K 1 T K. A correlação onto + olsseral ( ρ é defnda, smlesmente, como sendo a correlação de Pearson ol entre o escore bruto do teste ( e o escore do tem, meddo segundo uma escala ordenada de nteros cuas dferenças entre dos valores sucessvos sea semre a mesma ( or exemlo, (0, 1, 2,..., m. A correlação olsseral é defnda com base na relação (2 da segunte forma:

20 47 ρ = ρ ol ol m 1 k= 0 h( z (T T k+ 1 k k+ 1 σ (3 onde é a roorção dos ue alcançaram o k-ésmo escore e σ é o desvo k+ 1 adrão dos escores alcançados no tem.