Capítulo 2 Método de Cross

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1 UNIERSIDDE NDRNTE DE SÃO PUO - Escola de Engenhara vl Notas de aula do curso Teora das Estruturas Prof. Dr. Rcardo de. lvm.. Introdução aítulo étodo de ross O étodo de ross é um método que ermte calcular estruturas herestátcas. om sso, é ossível determnar os momentos fletores em vgas contínuas e órtcos. Este método fo desenvolvdo em 9 or Hardy ross, ermtndo o cálculo de estruturas herestátcas de forma manual. om o surgmento dos com u- tadores, o método cau em desuso, contudo anda é emregado em dsclnas de graduação or todo mundo, devdo a sua facldade e ddátca. Desse modo, é ossível resolver uma sére de equenos roblemas da engenhara, sem grandes esforços comutaconas necessáros mutas vezes em outros métodos. O método é teratvo, sto é, se reetem algumas rotnas até a convergênca, que é obtda quando os resíduos decorrentes do equlíbro dos momentos nos nós da estrutura são muto equenos, o sufcente ara serem desrezados... Rgdez de uma lgação rgdez de uma lgação entre barras, sto é, a rgdez de uma barra em um nó qualquer da estrutura, é gual ao valor do momento fletor que, alcado neste nó, suosto lvre ara grar, rovoca uma rotação untára da barra no nó. om sso, a extremdade aoada de uma vga smles assoca-se um coefcente de rgdez,, que é a rgdez à rotação que a vga aresenta aos momentos alcados nos nós. Este coefcente ossu a mesma dmensão de momento fletor alcado, uma vez que a rotação é untára. esta condção de vínculo chamase mola rotaconal, fgura.. j Para os casos usuas da engenhara, fgura., é ossível mostrar que o valor do coefcente de rgdez é dado or: ara vga bengastada (.) e vga aoada-engastada (.) Fgura. oefcentes de rgdez Nas exressões () e (), é o roduto de rgdez de uma vga. Quanto maor, menores serão os efetos dos momentos fletores na vga, sto é, menores serão as suas deformações... oefcente de transmssão omo conseqüênca do momento / na extremdade da vga bengastada, surge um momento gual a metade de seu valor na outra extremdade da vga. Dzemos, então, que o coefcente de transmssão α na barra bengastada é: α (.) e ara a barra engastada-aoada é gual a: α (.) (a) (b) Fgura. ola rotaconal Quanto maor a rgdez à rotação da mola, maor terá que ser o momento fletor alcado ao nó ara roduzr um gro : (.) se, então é o coefcente de rgdez da lgação.

2 UNIERSIDDE NDRNTE DE SÃO PUO - Escola de Engenhara vl Notas de aula do curso Teora das Estruturas Prof. Dr. Rcardo de. lvm.. onvenção de Grnter Os momentos exercdos elas barras sobre os nós serão consderados ostvos no sentdo horáro. Isto equvale a dzer que devem ser consderados ostvos os momentos ant-horáros exercdos elos nós sobre as extremdades das barras. (.) Então: ( ) (.9) e - Fgura. omento que a barra alca no nó.. Problema fundamental de ross Sabe-se ela exressão (.6) e (.) que: (.) Na fgura. encontra-se lustrado um nó de órtco tíco onde está alcado um momento fletor. Sendo ossível determnar em que arcelas o momento rá se subdvdr entre as barras concorrentes no nó, obtém-se:,, (.) De uma manera geral, ode-se dzer que uma barra genérca rá receber uma fração do momento alcado no nó, ou seja: (a) (.) Desta exressão, ode-se dzer que um mo mento alcado num nó de uma estrutura totalmente ndeslocável rá se dstrbur, entre as dversas barras concorrentes neste nó, segundo arcelas roorconas à rgdez, neste nó, de cada uma destas barras. (b) Fgura. Estrutura submetda à ação de uma carga momento ada barra resstrá a uma arcela do momento, que será roorconal a sua rgdez a rotação. (.6) Tem-se or equlíbro do esquema da fgura -(a) com o da fgura -(b): Denomna-se coefcente de dstrbução de momentos ara a barra : (.) Que reresenta a fração do momento atuante no nó que rá ara a barra. Isto mlca que a de modo a recomor o momento. Exemlo. ) Determnar a arcela do momento alcado no nó da estrutura na fgura. o que será dstrbuído ara a barra. (.7) Por comatbldade de deslocamentos tem-se: 9

3 UNIERSIDDE NDRNTE DE SÃO PUO - Escola de Engenhara vl Notas de aula do curso Teora das Estruturas Prof. Dr. Rcardo de. lvm kn.m m -,7 kn.m - Fgura. Estrutura submetda à ação de uma carga momento Os coefcentes de rgdez são calculados ela alcação dreta das exressões (.) e (.): ( ) ( ) 6 No caso das barras e, deve-se levar em conta no cálculo de que a rgdez da barra é e, resectvamente. Os coefcentes de dstrbução são dados or:,7, 7,,, 7, erfca-se ela soma dos seus valores que e sto deve ser emregado na aroxmação dos valores de cada coefcente de dstrbução. arcela do momento que rá ara a barra será: m,7 kn m 9, kn m O snal negatvo decorre do fato do momento de reequlíbro ser gual e contráro ao momento alcado ao nó. arcela do momento que chega no aoo é dada or: 9, α,,7 kn m m Fgura.6 Dagrama de momento da barra.6. Procedmentos ara alcação do étodo de ross Dada uma vga genérca herestátca, fgura.7. É ossível dzer que: Fgura.7 ga contínua tíca -9, D t c forma deformada c t a) nos aoos ntermedáros ocorre tração na fbra sueror e comressão na fbra nferor e, or sso, surgem momentos negatvos nestes ontos; b) nos trechos ntermedáros dos vãos o oosto ocorre e, ortanto, surgem momentos ostvos ; c) na extremdade engastada da vga, aoo, deve surgr um momento fletor. d) na extremdade D (aoo º to) não aarece momento. Então, o dagrama de momentos aroxmado deve ter a forma geral aresentada na fgura.. D Fgura. Forma geral do dagrama de mo mentos de uma vga contínua Onde a carga é dstrbuída, os momentos têm dagrama arabólco. E onde a carga é concentrada, os momentos têm dagrama lnear. s ncógntas do roblema no étodo de ross consttuem-se nos momentos fletores, e. sua determnação é feta de forma aroxmada e teratva. P D

4 UNIERSIDDE NDRNTE DE SÃO PUO - Escola de Engenhara vl Notas de aula do curso Teora das Estruturas Prof. Dr. Rcardo de. lvm Incalmente os aoos ntermedáros são travados e lberados um a um. cada aoo lberado ocorre um desequlíbro nos momentos daquele nó. ós o reequlíbro (dstrbução em função da rgdez das barras), os momentos são roagados ara os aoos vznhos. Em cada teração o valor dos momentos resduas va dmnundo até se tornar desrezível, fgura.9. dmnução dos resíduos α/ se se Fgura.9 archa de oeração do étodo de ross Exemlo.) ga contínua de tr amos lcar o étodo de ross e determnar os dagramas de estudo da vga da fgura.: Fgura. ga contínua com dos tramos Etaa ) loqueo dos nós nternos. Imedmento à rotação de todos os nós nternos da estrutura, no caso do nó. Não há necessdade de bloquear os nós de extremdade com aoos artculados. Os balanços são substtuídos or esforços que são alcados ao nó extremo. Etaa ) omentos de engastamento erfeto. São os momentos reatvos nas extremdades (engastamentos) de cada tramo, mantdos os bloqueos. Tramo ) Trecho, consderando o aoo engastado, fgura.. kn/m m Fgura. Esquema de carregamento - tramo Emregando a tabela.. α/ T T T T T kn/m kn cte m m m m α, kn m, kn m Tramo ) Trecho da vga, consderando o aoo engastado, fgura.. Fgura. Esquema de carregamento - tramo ( b) ( 7) ( ) 6 7 kn m Etaa ) álculo dos coefcentes de rgdez, dstrbução e transmssão. oefcentes de Rgdez: oefcentes de Dstrbução: oefcentes de Transmssão: α, α kn m m Etaa ) Procedmento teratvo de ross: ) Esquema da estrutura ) O nó é bloqueado e aós sua lberação, há um desequlíbro que recsa ser comensado. Por sso, são ntroduzdos momentos com snas contráros. Para sso, são usados os coefcentes de dstrbução.

5 UNIERSIDDE NDRNTE DE SÃO PUO - Escola de Engenhara vl Notas de aula do curso Teora das Estruturas Prof. Dr. Rcardo de. lvm ) Proagação dos resíduos (momentos) ara os nós oostos. D) Reetção do rocedmento até que o momento roagado tenha valor desrezível. E) Faz-se a soma algébrca de cada coluna ara obterem-se os momentos fnas. alcação dessas etaas ode ser vsta na fgura.. O rocesso se nca elo nó central. erfcase neste nó o desequlíbro dos momentos, sto é, a dreta comarece um momento de knm, enquanto à esquerda um momento de -, knm. Portanto, ara encontrar o momento que re-equlbra o nó basta fazer a subtração (-,,7 knm). Este valor será dstrbuído elas barras e de acordo com os coefcentes de dstrbução em. Em seguda, são roagados ara os nós adjacentes em função dos coefcentes de transmssão. kn/m kn m m m m / /, α, -, α -,9-7,9 -,, -,, -,,7 -,7 /-, -,7 /7,9 Fgura. lcação do étodo de ross Etaa ) Traçado dos dagramas: Os dagramas devem ser traçados consderando-se o valor do momento fletor que é obtdo ela alcação do étodo de ross. O snal ostvo obtdo ara o momento de, no nó a dreta está reresentado or um gro horáro. Este é o momento que a barra solcta o nó. Por sua vez, o momento que o nó alca na barra é gual com sentdo contráro, or equlíbro. Desse modo, de osse dos valores dos momentos fletores é ossível determnar as forças cortantes em cada barra. Para sso, basta consderar as vgas sostátcas e com momentos fletores alcados nas extremdades, de acordo com o exosto no caítulo. No cálculo das reações de aoo odem ser emregadas as exressões deduzdas no caítulo, e que se encontram resumdas na tabela... (, ),, kn 6,7 6,7 kn Tramo ) Para o caso do segundo tramo a vga sostátca está aresentada na fgura.. Fgura. Esquema do tramo s reações de aoo são dadas or: b a 6, 6, 6,, (,) (,) De osse das reações de aoo ara os tramos e, é ossível traçar os dagramas de esforços cortantes e momentos fletores da vga contínua, fgura.6.,, kn.m m,, - - kn m m 6, Fgura.6 Dagramas de momentos fletores e forças cortantes - - 6,7, Tramo ) Para o caso do rmero tramo a vga sostátca está aresentada na fgura.., kn.m kn/m m, kn.m Fgura. Esquema do tramo

6 UNIERSIDDE NDRNTE DE SÃO PUO - Escola de Engenhara vl Notas de aula do curso Teora das Estruturas Prof. Dr. Rcardo de. lvm nexo. Tabela.. - omentos de Engastamento Perfeto onvenção de Grnter asos de carregamento a c b c ( b c) c ( a c) b b b b b ( b b ) ( a b a ) a a a a a' [( ) ( )] [( ) ( )] a P / P / b δ ( b) ( a) P 6 P 6 Pa b P 6 δ δ δ