Capítulo 7 - Wattímetros

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1 Caítulo 7 - Wattímetros 7. Introdução Os wattímetros eletromecânicos ertencem à uma classe de instrumentos denominados instrumentos eletrodinâmicos. Os instrumentos eletrodinâmicos ossuem dois circuitos indeendentes que ermitem que os mesmos sejam utilizados como amerímetros, voltímetros, wattímetros (medidores de otência ativa) e varímetros (medidores de otência reativa). O torque roduzido nestes instrumentos surge de forças magnéticas roduzidas or correntes elétricas que circulam em duas bobinas, sendo que uma bobina é fixa e a outra é móvel. O rincíio de funcionamento ode ser exlicado, qualitativamente, com base no galvanômetro de d Arsonval (galvanômetro de bobina móvel) onde o imã ermanente é substituído ela bobina fixa. Esta bobina é disosta de modo tal que o camo magnético roduzido ela corrente que circula na mesma seja raticamente uniforme. A Figura 7. ilustra uma reresentação esquemática de um instrumento eletrodinâmico. Figura 7.: Esquema de um instrumento eletrodinâmico. Na Figura 7. a bobina fixa C é dividida em duas artes, sendo que o camo magnético que envolve a bobina móvel P é raticamente uniforme. A interação do camo, roduzido na bobina fixa C ela corrente i c, com a corrente i que circula na bobina móvel P, resulta em um torque (de modo semelhante ao observado no galvanômetro de d Arsonval). O onteiro então

2 sofre um deslocamento angular até uma osição tal que o torque resultante seja anulado elo torque roduzido ela mola. A escala ode ser calibrada em volts (V), améres (A), watts (W) ou volt-amére reativo (Var) deendendo da maneira como as bobinas são conectadas. 7. Exressão do orque ara Instrumentos Eletrodinâmicos exressa or: A energia armazenada no camo magnético do sistema mostrado na Figura 7. é W = Lc ic + L i + M ic i (7.) Na equação (7.) L c e L são resectivamente, as indutâncias rórias das bobinas C e P e M é a indutância mútua devido ao acolamento magnético entre estas bobinas. As correntes i c e i são, resectivamente, as correntes nas bobinas C e P. O torque instantâneo, ao qual é submetida a bobina P, é dado or: δw θ = (7.) δθ Na equação (7.) Ɵ é a osição angular do onteiro que está acolado à bobina P. Portanto, a artir de (7.), o torque instantâneo em função de Ɵ será escrito como sendo: δ M θ = ic i (7.3) δθ Observe que a derivada dos dois rimeiros termos de (7.) é nula devido a indutância mútua ser uma função de Ɵ mas as correntes i c e i e as indutâncias rórias L c e L não. Isto orque a indutância mútua deende da ermeância magnética do meio de acolamento magnético das bobinas (neste caso o ar) e esta ermeância varia em função do descolamento do onteiro de um ângulo Ɵ (rotação da bobina P). Sabe-se que o onteiro será deslocado até uma osição angular tal que o torque roduzido elas correntes i c e i seja igual ao torque restaurador R roduzido ela mola. Então teremos: δ M R = θ S θ = ic i δθ δ M θ = i c i S δθ (7.4)

3 O instrumento ode ser construído de modo tal que o termo modo a osição angular do onteiro torna-se: δ M δθ seja constante. Deste θ = ic i (7.5) k A exressão (7.5) mostra a osição angular instantânea do onteiro. Conforme aresentado no caítulo 6, em regime ermanente, o onteiro do galvanômetro de bobina móvel (sendo o sistema eletrodinâmico de funcionamento equivalente) alcança uma osição fixa que corresonde ao valor médio de Ɵ. Deste modo, a osição final Ɵav do onteiro de um instrumento eletrodinâmico será dada or: θ av = θ dt (7.6) Sendo: Ɵav: Posição angular média do onteiro; : Período do movimento angular do onteiro. Substituindo (7.5) em (7.6) teremos: θav = ic i dt k (7.7) Exemlo : Mostre que o instrumento eletrodinâmico mostrado na Figura 7. ode ser utilizado como um amerímetro que mede valor RMS verdadeiro. Figura 7.: Instrumento eletrodinâmico como amerímetro. 3

4 7.3 Wattímetros As Figuras 7.3 e 7.4 ilustram duas configurações básicas que ossibilitam a utilização de um instrumento eletrodinâmico como sendo um medidor de otência ativa (wattímetro). Figura 7.3: Configuração A. Figura 7.4: Configuração B. Nas Figuras 7.3 e 7.4 C e P são as bobinas de corrente e otencial, resectivamente. A bobina de corrente ossui uma resistência que é reresentada elo resistor R c e a bobina de otencial ossui uma resistência R. O resistor R ext é uma resistência externa (de valor elevado) que deve ser conectada em série com a bobina de otencial. 4

5 7.3. Wattímetros na Configuração A A Figura 7.5 mostra um wattímetro na configuração A conectado a uma carga genérica. Figura 7.5 Wattímetro na Configuração A Na Figura 7.5 i c (t) e i (t) são, resectivamente, as correntes nas bobinas de corrente e de otencial. A carga está submetida a uma tensão e(t) e a corrente que circula na mesma é i(t). A osição angular do onteiro do wattímetro é obtida a artir da equação (7.7) considerando um instante de temo t qualquer. Desta forma temos: θav = ic ( t) i( t) dt k (7.8) Do circuito da Figura 7.5 temos ainda que: i ( t) = i ( t) + i( t) (7.9) c Substituindo (7.9) em (7.8) fica: θav = ( i( t) + i( t) ) i( t) dt k θ av = i( t) dt + i( t) i( t) dt k (7.) Desrezando a reatância da bobina P, a corrente i (t) ode ser escrita como sendo: i( t) = e( t) R + R ext Substituindo (7.) em (7.) temos: (7.) 5

6 θ θ av av e( t) e( t) = dt + i( t) dt k ( R Rext ) + R + Rext e( t) = dt + e( t) i( t) dt k ( R + Rext ) ( R + Rext ) Pav PdA (7.) Na equação (7.) P da é a otência média (ativa) dissiada na resistência R da bobina de otencial e na resistência externa R ext enquanto que P av é a otência média (ativa) fornecida ara a carga. Portanto, indeendente da carga ou da forma de onda da tensão alicada no circuito, a osição angular do onteiro do wattímetro da Figura 7.5 é roorcional à soma da otência média fornecida ara a carga com a otência média dissiada no instrumento Wattímetros na Configuração B A Figura 7.6 mostra um wattímetro na configuração B conectado a uma carga genérica. Figura 7.6: Wattímetro na Configuração B A osição angular do onteiro do wattímetro na Figura 7.6 é dada or: θav = ic ( t) i( t) dt k (7.3) Desrezando as reatâncias das bobinas C e P e considerando o somatório de tensões na malha I da Figura 7.6 temos: ( ) v ( t) v ( t) e( t) = R + R i ( t) R i ( t) e( t) = c ext c c 6

7 e( t) + Rc ic ( t) i( t) = R + R ext (7.4) Substituindo (7.4) em (7.3) fica: θ av ( e( t) + R i ( t) ) c c = ic( t) dt k R + Rext θ k ( R + Rext ) Pav PdB av = e( t) ic ( t) dt + Rc ic( t) dt (7.5) A equação (7.5) mostra que o deslocamento angular do onteiro do wattímetro, na configuração B, é roorcional à soma da otência média (ativa) P av fornecida ara a carga com a otência dissiada P db no instrumento Análise das Perdas no Wattímetro Foi mostrado na seção anterior que, na configuração A, o valor da medida fornecida elo wattímetro inclui as erdas na bobina de otencial e que na configuração B a leitura inclui as erdas na bobina de corrente. Na configuração A, conforme a equação (7.) as erdas no instrumento são escritas como sendo: = e t k R + R R + R = k R + R R + R ( ) PdA dt e( t) dt ( ) ext ( ext ) ( ext ) ( ext ) P da E RMS = k ( R + Rext ) ( R + Rext ) (7.6) Analogamente ao desenvolvimento matemático feito ara as erdas na configuração A também é feito ara a configuração B considerando P db na equação (7.5). Assim temos que as erdas na configuração B são escritas como sendo: P = R I k R db c RMS ( + Rext ) (7.7) Nas equações (7.6) e (7.7) os termos E RMS e I RMS são, resectivamente, os valores RMS da tensão e da corrente na carga. A artir das equações (7.6) e (7.7) observa-se que ambas as configurações ossuem vantagens e desvantagens deendendo do rojeto do equiamento e de sua alicação. Na 7

8 configuração A, analisando a equação (7.6), ercebe-se que ara um dado valor nominal de tensão, o valor das erdas é constante e não deende do valor da carga. Na configuração B, analisando a equação (7.7), nota-se que ara um dado valor nominal de tensão, o valor das erdas varia com a corrente do circuito e ortanto com a carga do circuito, ois o valor da corrente é função da carga. A conclusão imediata é a de que a configuração A é mais adequada quando a alicação do instrumento se dá em casos de tensão constante e ortanto a erda ode ser comensada através da calibração da escala fazendo com que o valor mostrado elo wattímetro corresonda somente a otência média (ativa) consumida ela carga. Wattímetros analógicos comerciais aresentam um número de escalas de tensão e de corrente que ditam os níveis de tensão e corrente máximos de utilização do equiamento e que odem ser utilizadas ara comensar as erdas do equiamento em ambas às configurações. Por outro lado, a configuração B também ode ser utilizada ara equiamentos que ossuem a resistência R c da bobina de corrente muito equena de modo que as erdas ossam ser desrezadas ara diferentes valores de carga. De qualquer forma o fabricante deve informar qual a configuração mais adequada ara seu equiamento. 7.4 Conexão de um Wattímetro em Circuitos Monofásicos A Figura 7.7 ilustra um wattímetro conectado na configuração A ara medir a otência ativa da carga. (a) (b) Figura 7.7: (a) Conexão do wattímetro na configuração A; (b) sentido das correntes nas bobinas. Na Figura 7.7 os terminais e corresondem aos terminais da bobina de corrente enquanto os terminais 3 e 4 são os terminais da bobina de otencial. Na Figura 7.8 é ilustrada a conexão do wattímetro na configuração B. 8

9 (a) (b) Figura 7.8: (a) Conexão do wattímetro na configuração B; (b) sentido das correntes nas bobinas. Comarando as conexões ara as configurações A e B observa-se que, indeendente da conexão das bobinas, as correntes i c e i semre entram elos terminais e 3, resectivamente. Esta é uma convenção utilizada elos fabricantes de wattímetros analógicos ara a conexão das bobinas do equiamento. O valor mostrado elo instrumento, nas conexões A ou B, desrezando as erdas do equiamento, será o valor médio da otência ou otência ativa em Watts fornecida ara a carga, ou seja: P = e( t) i( t) dt (7.8) Exemlo : Considere o circuito mostrado a seguir: ( ω ) v( t) = Vo sen t a) Insira um wattímetro na configuração A no circuito e determine a exressão ara o deslocamento angular do onteiro do instrumento. Desreze as reatâncias e as erdas das bobinas C e P; b) Calcule a otência média fornecida ara a carga e a otência média dissiada em R ext. Comare estes valores com o deslocamento angular do onteiro encontrado no item a). 9

10 Exemlo 3: Considere o circuito mostrado a seguir: ( ω ) v( t) = Vo sen t Insira um wattímetro na saída do retificador (ontos C e D) e determine a exressão ara o deslocamento angular do onteiro do wattímetro. Desreze as reatâncias e as erdas das bobinas C e P. Exemlo 4: Considere um wattímetro conectado na configuração A como o aresentado na Figura 7.7. Considere ainda que as formas de onda de v(t) e i(t) da Figura 7.7 são dadas or: V o o o 3 o 4 o V o

11 I o o α o α 3 o α 4 o α I o a) Determine uma exressão ara o deslocamento angular do wattímetro. Desreze as reatâncias e as erdas das bobinas C e P. b) Calcule a otência média fornecida ara a carga e a otência média dissiada em R ext. Comare estes resultados com a osição angular do onteiro encontrada no item a).

12 Revisão do Caítulo Instrumento Eletrodinâmico θ = i i dt k av c δ M = (constante) k S δθ i c (t) i(t) v(t) A V Wattímetro i (t) e(t) Carga + i c (t) - C + i (t) - P R ext 3 4 θav = ic( t) i( t) dt k i ( t) = i ( t) + i( t) c i ( ) t = R e( t) + R ext e( t) θav = dt + e( t) i( t) dt k ( R + Rext ) ( R + Rext ) Pav PdA P da E RMS = k ( R + Rext ) ( R + Rext )

13 θav = ic( t) i( t) dt k e( t) + Rc ic( t) i( t) = (Malha I) R + R ext θav = e( t) ic( t) dt + Rc ic( t) dt k ( R + R ext ) Pav PdB PdB = Rc I RMS k R + R ( ext ) 3