4 Cargas Dinâmicas 4.1 Introdução

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1 4 Cargas Dinâmicas 4.1 Introdução Carregamentos dinâmicos, or definição, são carregamentos em que a magnitude, a direção e a osição odem variar ao longo do temo. Consequentemente, as resostas da estrutura, em termos de deslocamento, velocidade e aceleração, também variam ao longo do temo. Várias são as fontes geradoras de carregamentos dinâmicos, como or exemlo: a ação dinâmica do vento; a atuação de equiamentos sobre sistemas estruturais; as ações sísmicas; o tráfego de veículos; as ações causadas or atividades humanas como caminhar, dançar e ular; entre outras. Para análise dos efeitos causados or cargas dinâmicas, o rimeiro asso é conhecer e descrever corretamente as cargas que irão atuar no sistema estrutural. Em se tratando de atividades humanas, ode-se tratar esses carregamentos como eriódicos, ou seja, a variação da carga é reetida durante vários ciclos sucessivos. De acordo com Alves [49], as cargas geradas or atividades humanas odem ser classificadas em duas categorias. A rimeira categoria refere-se àquelas atividades sem a erda de contato com a estrutura, como a caminhada e a dança de salão. A outra categoria refere-se àquelas atividades em que existe a erda de contato com a estrutura, como a ginástica aeróbica e a corrida. Neste caítulo, são aresentadas as hióteses de modelagem do carregamento humano utilizados neste trabalho nas quais se consideram modelos de carregamento com e sem a erda de contato da essoa com a estrutura. A metodologia de alicação da carga e a sua modelagem matemática são os rinciais objetivos desta seção da tese.

2 Modelos de carregamento Caminhar humano - modelo de carregamento I O rimeiro modelo de carregamento baseia-se numa ublicação realizada em 1989, no Design Guide on the Vibration of Floors [46], em que se aresenta um registro exerimental tíico da variação no temo da força de contato com uma suerfície rígida roduzida or um asso exresso ela corresondente medição da reação resultante do iso. A reresentação matemática da reação do iso é aroximada or uma série de Fourier com três termos que considera a arcela estática associada ao eso da essoa e três ou quatro comonentes harmônicos da excitação. Esses harmônicos surgem devido à interação entre a carga crescente reresentada or um é e elo simultâneo descarregamento do outro é. A Figura 4.1 demonstra graficamente a função reresentativa do caminhar. Figura 4.1 Força de contato do asso e reação do iso devido à caminhada [46]

3 97 A artir desses estudos que ermitiram registrar a reação total do iso gerada durante uma caminhada sobre lataformas rígidas (Figura 4.1), Varela [51] roôs uma equação matemática que udesse reresentar a magnitude dessa reação. A função de carregamento dinâmico roosta or Varela [51] não foi somente reresentada ela série de Fourier de três termos, como visto na Figura 4.1, mas também foi acomanhada de um fator imortante, e geralmente ignorado, que considera o ico transiente reresentativo do imacto do calcanhar sobre o iso. A aroximação matemática roosta or Varella [51] definiu-se or uma equação determinada segundo 5 (cinco) trechos, que odem ser vistos na Figura 4.2, e reresentados matematicamente, trecho a trecho, segundo as equações (4.1) à (4.5): 1 9 (2) (3) 8 7 (1) (4) 6 (68 N) (5) 4,1,2,3,4,5,6 Temo (s) Figura 4.2 Função de carregamento roosta or Wendell [51] Para o trecho 1, tem-se: = f F - mi m P(t) ( ) t + P se Üt <, 4, 4T P T (4.1) Para o trecho 2 : ( t, 4T ) C1 P(t) = fmi Fm + 1 se, 4T Üt <, 6T, 2T (4.2)

4 98 Para o trecho 3 : P(t) = F se, 6T Üt <, 15T (4.3) m Para o trecho 4 : P(t) = P + nh i= 1 P α sen [ 2 π i f ( t + 1, T ) + φ ] i se 15, T Üt <, 9 T (4.4) Para o trecho 5 : t P (t) = 1( P - C ). ( ) P se, 9T Üt < T T (4.5) Onde: ao caminhar; P (t): reresentação matemática aroximada da força da reação do iso t : instante de temo (s); P : eso da essoa (N); i : número do i-ésimo harmônico da freqüência fundamental da força; nh: números de harmônicos considerados ara reresentar a força, ou seja, números de termos da série de Fourier reresentativa da atividade humana; αi: coeficiente dinâmico do i-ésimo harmônico da série de Fourier (nesse caso foi tomado como,5,,2,,1 e,5, resectivamente, conforme aresentados na Tabela 4.1; Tabela 4.1 Harmônicos do asso [53] Harmônico i Pessoa caminhando f α φ i 1 1,6 a 2,2,5 2 3,2 a 4,4,2 π/2 3 4,8 a 6,6,1 π/2 4 6,4 a 8,8,5 π/2 P α i : amlitude do i-ésimo harmônico da frequência fundamental da força; f : frequência do asso do caminhar humano; φ i : ângulo de fase entre o i-ésimo e o rimeiro harmônico. Os ângulos de fase são φ 3 1 =,φ 2 =π 2,φ = π, e or extraolação φ 4 = 3π 2 ;

5 99 F m : fator máximo da série de Fourier, que é dado ela equação (4.6) : nh m = P ( 1+ αi) i= 1 F (4.6) f mi : fator de majoração do imacto do calcanhar, ou seja, é a relação entre o valor do ico transiente do calcanhar e o valor máximo da série de Fourier ( F m ); Neste caso o fator de majoração do imacto do calcanhar foi tomado igual a 1,12, mas esses valores odem variar consideravelmente de uma essoa ara outra; C 1 e C 2 : coeficientes dados elas equações e (4.7) e (4.8): C 1 = ( -1) fmi 1 (4.7) 2 P = P ( 1- α 2 ) ( 1- α + α ) 2 se nh = 3 C (4.8) 4 se nh = 4 Considera-se nesse modelo de carregamento, a variação da osição da carga com o temo. Para tal, uma descrição esacial e temoral é adotada ermitindo uma reresentação mais realista do carregamento gerado em uma caminhada. A modelagem deste carregamento ode ser vista na Figura 4.3, em que a carga é constantemente alicada na estrutura a certa velocidade. Esta carga P é reresentada elas equações (4.1) à (4.5) aresentadas anteriormente. P(t) P(t) P(t) P(t) P(t) V Figura 4.3 Reresentação da carga durante a caminhada

6 1 Para alicar a carga desta forma, a malha de elementos finitos teria que ser muito refinada. Assim, ara reresentar esta variação esacial sobre o iso, foi adotada a seguinte simlificação: alica-se a carga de,2m em,2m e, deendendo da distância a ser ercorrida, divide-se o intervalo referente ao asso do ser humano or certo número de cargas: P1, P2, P3, P4, etc. Essas cargas ficariam alicadas durante certo intervalo de temo no nó da estrutura. Entretanto, as cargas não seriam alicadas simultaneamente. A rimeira carga alicada seria P1 regida elas equações (4.1) à (4.5) em certo intervalo de temo. Ao final desse temo, a carga P1 assa a ser e a carga P2 entra em ação. Assim, sucessivamente, todas as cargas seriam alicadas, varrendo a estrutura de um lado a outro, como mostra a Figura ,1,2,4,6,8 1, 1,2 1,4 1,6 Temo (s) P1 P2 P3 P4 d d d d =,2m Distância do asso Figura 4.4 Variação esacial da carga O intervalo de temo da alicação da carga no nó da estrutura deende da distância e da frequência do asso que odem ser definidos ela Tabela 4.2, a seguir: Tabela 4.2 Característica do asso humano. Atividade Velocidade (m/s) Distância do asso (m) f (Hz) Caminhada lenta 1,1,6 1,7 Caminhada normal 1,5,75 2, Caminhada ráida 2,2 1, 2,3

7 11 Nota-se que, à medida que a frequência do asso aumenta, a distância das assadas também aumenta. Para valores intermediários de frequência do asso, é necessário realizar uma interolação linear a fim de se descobrir a distância e a velocidade do asso. A solicitação dinâmica deste modelo de carregamento foi modelada conforme rocedimento simlificado recomendado elo AISC [53]. Neste rocedimento, considera-se como força dinâmica uma comonente harmônica, deendente do temo, que se iguala à frequência natural da estrutura, com o objetivo de roduzir o fenômeno físico da ressonância. As transformadas de Fourier F(w) da função associada ao modelo de carregamento I e o resectivo sinal de força no temo ara níveis distintos de fmi (fator de majoração do imacto do calcanhar), odem ser vistos na Figura 4.5 a seguir. Em todos os esectros de freqüência, foi verificada a resença de vários icos reresentativos da atividade, corresondentes aos seus harmônicos. 1,8E+3 1,6E+3 1,4E+3 1,2E+3 1,E+3 8,E+2 6,E+2 4,E+2 2,E+2,E+, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Temo (s) Força (N/Hz) f =2, Hz f =4, Hz, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, Frequência (Hz) f =6, Hz f =8, Hz a) fmi = 1,12 2,5E+3 2,E+3 1,5E+3 1,E+3 5,E+2,E+, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Temo (s) Força (N/Hz) f =2, Hz f =4, Hz, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, Frequência (Hz) f =6, Hz f =8, Hz b) fmi = 1,3

8 12 2,5E+3 2,E+3 1,5E+3 1,E+3 5,E+2,E+, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Temo (s) Força (N/Hz) f =2, Hz f =4, Hz, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, Frequência (Hz) f =6, Hz f =8, Hz c) fmi = 1,45 Figura 4.5 Sinal de força no temo e esectro de frequência referente ao caminhar humano Atividade rítmica - modelo de carregamento II O segundo modelo de carregamento roosto é ainda mais comlexo que o rimeiro, ois rocura descrever o carregamento roduzido or essoas em movimento. Este modelo de carregamento está associado a ações dinâmicas que envolvem a erda de contato do indivíduo com a estrutura. Para tal, o movimento realizado se configura or fases alternadas de contato, ou seja, durante um determinado eríodo, o indivíduo está em contato com a estrutura e, or alguns instantes, ele se mantém no ar. Entre as atividades que envolvem a erda de contato com a estrutura, ode-se citar a ginástica aeróbica e aquelas realizadas or latéias em shows e torcidas. Todas, orém, são caracterizadas ela execução de saltos e são diferenciadas, rincialmente, elo grau de sincronismo em que atuam os articiantes. Em se tratando dos saltos, observam-se quatro fases distintas que caracterizam essa ação (Figura 4.6). Figura 4.6 Movimentos de um indivíduo durante um salto [11]

9 13 A rimeira fase mostra a essoa na osição inicial, em rearação. A segunda fase é a imulsão. Nessa fase, o indivíduo, rimeiramente, flexiona os joelhos com extensão dos membros sueriores; rojeta-se ara frente e ara cima; e eleva os membros sueriores a fim de imor uma velocidade inicial ao coro. A terceira fase é a elevação, ou seja, a fase em que o coro erde o contato com o solo e segue uma trajetória no esaço. A quarta, e última fase, é a aterrissagem, quando o coro retoma o contato com o solo, ocorrendo nova flexão dos joelhos, e retorna à osição inicial ara o início de um novo salto. Os saltos odem ocorrer seguidos de movimentos horizontais, e odem ser executados, estando o indivíduo inicialmente arado ou em movimento. A Figura 4.7 mostra a força alicada em uma estrutura durante a execução de um salto. Figura 4.7 Força alicada em uma estrutura durante um salto [5] Percebe-se através da Figura 4.7, que, quando o indivíduo está no ar, a força alicada sobre a estrutura vale zero. Na medida em que o indivíduo toca o chão, a força vai crescendo até atingir seu ico. Nesse instante, o indivíduo começa a imulsionar ara realizar o róximo salto. Para tal, a função Hanning [72], muito utilizada em rocessamentos de sinais, foi roosta or Faisca [5] ara descrever matematicamente esses carregamentos. Essa modelagem é resaldada or arâmetros exerimentais também realizados or Faisca [5]. Em sua investigação, Faisca [5] observou que ara diferentes atividades, como: saltos à vontade, ginástica aeróbica e show/torcida, os gráficos da força x temo aresentaram características bem semelhantes, ocorrendo variações aenas na amlitude máxima e no eríodo das atividades. Isto ossibilitou o emrego de uma única metodologia ara o rocessamento dos sinais. A artir dos resultados obtidos exerimentalmente, verificou-se que a função semi-seno, usualmente emregada or vários autores, não é tão adequada ara reresentar esse tio de carregamento. Através de um

10 14 estudo com várias funções, foi sugerida a função conhecida como janela Hanning [72]. Essa função foi a que melhor reresentou o sinal da força obtido exerimentalmente. A comaração do sinal exerimental com as funções semiseno e Hanning ode ser vista na Figura 4.8. Figura 4.8 Comaração entre o sinal exerimental e os obtidos com as funções semi-seno e Hanning [5] A reresentação matemática desse carregamento, or meio da função Hanning, é dada ela equação (4.9), a seguir: F(t) 2π = CD K P, 5, 5cos t,ara t Tc T c F(t) =,ara Tc < t T (4.9) Onde: F(t): reresentação matemática do carregamento no temo (N); CD: coeficiente de defasagem; K: coeficiente de imacto; P: eso da essoa (N); T: eríodo da atividade (s); Tc: eríodo de contato da atividade (s); t: temo (s).

11 15 A Figura 4.9 facilita o entendimento da função adotada. Ela mostra os dois intervalos de temo significativos da função. Força T c - Temo Com contato T s - Temo Sem contato Temo T - Período da atividade Figura 4.9 Intervalos de temo da função adotada Dos arâmetros citados anteriormente, o coeficiente de imacto (K) é um coeficiente de majoração da carga, que considera o imacto do salto sobre a estrutura. Já o coeficiente de defasagem (CD), é um coeficiente de onderação da carga, determinado em função da atividade realizada e do número de essoas que atuam. Esse arâmetro leva em consideração os efeitos de multidão, ou seja, o grau de sincronismo entre as essoas que atuam na estrutura. Através dele são consideradas ossíveis defasagens, variações de ritmo etc., que levariam à redução do carregamento. A Figura 4.1 aresenta o gráfico do coeficiente de defasagem (CD) ara três atividades estudadas or Faisca [5] extraoladas ara um grande número de essoas. Isso ermite que as cargas ossam ser usadas ara reresentar multidões. Figura 4.1 Coeficientes de defasagem ara as atividades roostas [5].

12 16 Percebe-se, através da Figura 4.1, que o coeficiente de defasagem não varia muito ara a atividade aeróbica, como varia ara a atividade de saltos à vontade, na medida em que o número de essoas é aumentado. Isto ocorre orque há um maior sincronismo na atividade aeróbica, cujo CD fica entre os valores de,9 a 1,. Na atividade de saltos à vontade, os valores de CD estão aroximadamente situados entre,56 e 1,. A artir das curvas mostradas na Figura 4.1 foi montada a Tabela 4.3, em que são aresentados os valores numéricos de CD relacionados ao número de essoas que será alicado nesta investigação, de acordo com cada atividade (ginástica aeróbica e saltos à vontade). Tabela 4.3 Valores de CD utilizados nas análises [5]. CD Nº Ginástica Saltos à Pessoas aeróbica vontade ,88 6,97,74 9,96,7 12,95,67 A artir das diferentes situações estudadas or Faisca [5], que avaliaram a influência da flexibilidade da estrutura nas resostas, foram obtidos diferentes resultados ara os arâmetros que caracterizam cada atividade. Na Tabela 4.4 são aresentados os valores das médias e desvio-adrão dos arâmetros T, T c e K ara reresentar as atividades mencionadas. Tabela 4.4 Parâmetros utilizados nas análises [9]. Atividade T (s) T c (s) K Saltos à vontade,44 ±,15,32 ±,9 3,17 ±,58 Ginástica aeróbica,44 ±,9,34 ±,9 2,78 ±,6 De forma a ilustrar a modelagem deste tio de carregamento dinâmico e utilizando-se os dados exerimentais roostos or Faisca [5], a Figura 4.11 aresenta exemlos de sinais da força no temo corresondente à ginástica aeróbica e suas resectivas transformadas de Fourier F(w) associadas ao

13 17 modelo de carregamento II ara diferentes arâmetros de T, Tc e K. O eso de cada indivíduo (P) é considerado igual a 8N [6]. Em todos os esectros de freqüência, foi verificada a resença de vários icos reresentativos da atividade, corresondentes aos seus harmônicos f =2,44 Hz 1 1 Força (N/Hz) 3 2 2º Pico f =4,88Hz 1 f =7, Hz,,2,4,6,8 1, 1,2 1,4 1,6 1,8 2, Temo (s) Frequência (Hz) a) T=,44s, Tc=,34s, K= 2,78, CD= 1 - (1essoa) f =2,44 Hz 1 1,,2,4,6,8 1, 1,2 1,4 1,6 1,8 2, Temo (s) Força (N/Hz) º Pico f =4,88Hz Frequência (Hz) f =7, Hz b) T=,44s, Tc=,34s, K= 2,78, CD= 1 - (3 essoas) Figura 4.11 Sinais de força no temo ara atividade aeróbica. A Figura 4.12 aresenta alguns sinais no temo da força corresondente à atividade de saltos à vontade e suas resectivas transformadas de Fourier F(w) associadas ao modelo de carregamento II ara diferentes arâmetros de T, Tc e K. O eso de cada indivíduo (P) é considerado igual a 8N [6]. Em todos os esectros de freqüência, foi verificada a resença de vários icos reresentativos da atividade, corresondentes aos seus harmônicos.

14 18 3 f =2,44 Hz Força (N/Hz) 3 2 2º Pico f =4,88Hz,,2,4,6,8 1, 1,2 1,4 1,6 1,8 2, Temo (s) 1 f =7, Hz Frequência (Hz) c) T=,44s, Tc=,32s, K= 3,17, CD= 1, - (1essoa) f =2,44 Hz 1 1 Força (N/Hz) 3 2 2º Pico f =4,88Hz,,2,4,6,8 1, 1,2 1,4 1,6 1,8 2, 1 f =7, Hz Temo (s) Frequência (Hz) d) T=,44s, Tc=,32s, K= 3,17, CD=,88 - (3 essoas) Figura 4.12 Sinais de força no temo ara atividade de salto à vontade. Para outros valores de T c e de T, mudam a frequência da atividade e seus harmônicos, mas a configuração do esectro é semelhante ao aresentado na Figura No Caítulo 5 descreve-se as características fisicas e geométricas dos modelos estruturais utilizados nesta tese.