APOSTILA DE MÉTODOS QUANTITATIVOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ ASSESSORIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS ESPECIALIZAÇÃO EM GESTÃO EMPRESARIAL NA MODALIDADE SEMIPRESENCIAL APOSTILA DE MÉTODOS QUANTITATIVOS Prof. JOÃO FURTADO

2 2 Caítulo I Correlação e Regressão 1. Introdução Nos caítulos anteriores, nossa reocuação era descrever a distribuição de valores de uma única variável. Com esse objetivo, arendemos a calcular medidas de tendência central e variabilidade. Quando, orém, consideramos observações de duas ou mais variáveis, surge um novo roblema: as relações que odem existir entre as variáveis estudadas. Nesse caso, as medidas estudadas não são suficientes. Assim, quando consideramos variáveis como eso e altura de um gruo de essoas, uso de cigarro e incidência do câncer, vocabulário e comreensão da leitura, dominância e submissão, rocuramos verificar se existe alguma relação entre as variáveis de casa um dos ares e qual o grau dessa relação. Para isso, é necessário o conhecimento de novas medidas. Sendo a relação entre as variáveis de natureza quantitativa, a correlação é o instrumento adequado ara descobrir e medir essa relação. Uma vez caracterizada a relação, rocuramos descrevê-la através de uma função matemática. A regressão é o instrumento adequado ara a determinação dos arâmetros dessa função. NOTA: Ficaremos restritos às relações entre duas variáveis (correlação simles). 2. Correlação 2.1. Relação funcional e Relação estatística Como sabemos, o erímetro e o lado de um quadrado estão relacionados. A relação que os liga é erfeitamente definida e ode ser exressa or meio de uma sentença matemática: onde 2 é o erímetro e l é o lado. 2 4l Atribuindo-se, então, um valor qualquer a l, é ossível determinar exatamente o valor de 2. Consideremos, agora, a relação que existe entre o eso e a estatura de um gruo de essoas. É evidente que essa relação não é do mesmo tio da anterior; ela é bem menos recisa. Assim, ode acontecer que as estaturas diferentes corresondam a esos iguais,

3 3 ou que as estaturas iguais corresondam a esos diferentes. Porém, em média, quanto maior a estatura, maior o eso. As relações do tio erímetro lado são conhecidas como relações funcionais e as do tio eso estatura, como relações estatísticas. Quando duas variáveis estão ligadas or uma relação estatística, dizemos que existe correlação entre elas. NOTA: As relações funcionais são um caso limite das relações estatísticas Diagrama de disersão Consideremos uma amostra aleatória, formada or dez dos 98 alunos de uma classe da faculdade A e elas notas obtidas or eles em Matemática e Estatística: TABELA 1.1 Nº NOTAS MATEMÁTICA (x i ) ESTATÍSTICA (y i ) 01 5,0 6,0 08 8,0 9,0 24 7,0 8, ,0 10,0 44 6,0 5,0 58 7,0 7,0 59 9,0 8,0 72 3,0 4,0 80 8,0 6,0 92 2,0 2,0 Reresentando, em um sistema coordenado cartesiano ortogonal, os ares ordenados (x i, y i ), obtemos uma nuvem de ontos que denominados diagrama de disersão. Esse diagrama nos fornece uma idéia grosseira, orém útil, da correlação existente: y i x i

4 Correlação Linear Os ontos obtidos, vistos em conjunto, formam uma elise em diagonal. Podemos imaginar que, quanto mais fina for a elise, mais ela se aroximará de uma reta. Dizemos, então, que a correlação de forma elítica tem como imagem uma reta, sendo, or isso, denominada correlação linear. É ossível verificar que a cada correlação está associada como imagem uma relação funcional. Por esse motivo, as relações funcionais são chamadas relações erfeitas. y i 10 Reta imagem x i Como a correlação em estudo tem como imagem uma reta ascendente, ela é chamada correlação linear ositiva. Assim, uma correlação é: a. Linear ositiva se os ontos do diagrama têm como imagem uma reta ascendente; b. Linear negativa se os ontos do diagrama têm como imagem uma reta descendente; c. Não linear se os ontos têm como imagem uma curva. Se os ontos aresentam-se disersos, não oferecendo uma imagem definida, concluímos que não há relação alguma entre as variáveis em estudo. Temos, então:

5 5 Correlação linear Correlação linear Correlação não linear Não há Correlação 2.4. Coeficiente de Correlação linear O instrumento emregado ara a medida da correlação linear é o coeficiente de correlação. Esse coeficiente deve indicar o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis e, ainda, o sentido dessa correlação (ositivo ou negativo). Faremos uso do coeficiente de correlação de Pearson, que é dado or: onde n é o número de observações. Os valores limites de r são -1 e +1, isto é, o valor de r ertence ao intervalo [-1,+1]. Assim: r n xi yi xi yi 2 2 i i i i 2 2 n x y n y y Se a correlação entre duas variáveis é erfeita e ositiva, então r = +1;

6 6 Logicamente: Se a correlação é erfeita e negativa, então r = -1; Se não há correlação entre as variáveis, então r = 0. Se r = +1, há correlação erfeita e ositiva entre as variáveis; Se r = -1, há correlação erfeita e negativa entre as variáveis; Se r = 0, não há correlação entre as variáveis ou a relação que, orventura, exista não é linear. NOTA: Para que uma relação ossa ser descrita or meio do coeficiente de correlação de Pearson é imrescindível que ela se aroxime de uma função linear. Uma maneira ratica de verificarmos a linearidade da relação é a inseção do diagrama de disersão: se a elise aresenta saliências ou reentrâncias muito acentuadas, rovavelmente, trata-se de correlação curvilínea. Para odermos tirar algumas conclusões significativas sobre o comortamento simultâneo das variáveis analisadas, é necessário que: 0,6 r 1 Se 0,3 r < 0,6, há uma correlação relativamente fraca entre as variáveis. Se 0 < r < 0,3, a correlação é muito fraca e, raticamente, nada odemos concluir sobre a relação entre as variáveis em estudo. Vamos, então, calcular o coeficiente de correlação relativo à Tabela 1.1. O modo mais rático ara obtermos r é abrir, na tabela, colunas corresondentes aos valores de x i y i, x i 2 e y i 2. Assim: n = 10 TABELA 1.2 MATEMÁTICA ESTATÍSTICA x i y i 2 x i 2 y i (x i ) (y i ) = 65 = 65 = 473 = 481 = 475

7 7 Logo: r (10 473) (6565) 2 2 ( ) ( ) r 4,730 4,225 (4,810 4, 225) (4, 750 4, 225) 505 r r 0, ,18 Daí, r 0,91 resultado que indica uma correlação linear ositiva altamente significativa entre as duas variáveis. 3. Regressão 3.1. Ajustamento da reta Semre que desejamos estudar determinada variável em função de outra*, fazemos uma análise de regressão. Podemos dizer que a análise de regressão tem or objetivo descrever, através de um modelo matemático, a relação entre duas variáveis, artindo de n observações das mesmas. A variável sobre a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de variável deendente e a outra recebe o nome de variável indeendente. Assim, suondo X a variável indeendente e Y a deendente, vamos rocurar determinar o ajustamento de uma reta à relação entre essas variáveis, ou seja, vamos obter uma função definida or: onde a e b são os arâmetros. Y ax b Sejam duas variáveis X e Y, entre as quais exista uma correlação acentuada, embora não erfeita, como, or exemlo, as que formam a tabela 1.2. Daí, temos:

8 8 TABELA 1.3 x i y i * Lembre-se de que estamos restritos à regressão linear simles. cujo diagrama de disersão é dado or: y i x i Podemos concluir, ela forma do diagrama, que se trata de uma correlação retilínea, de modo a ermitir o ajustamento de uma reta, imagem da função definida or: Y ax b Vamos, então, calcular os valores dos arâmetros a e b com a ajuda das fórmulas: e onde: n é o número de observações; 2 ny 2 i yi n xi yi xi yi a b y ax x é a média dos valores x i y é a mediados valores yi x y x i ; n x i. n

9 9 NOTA: Como estamos fazendo uso de uma amostra ara obtermos os valores dos arâmetros, o resultado, na realidade, é uma estimativa da verdadeira equação de regressão. Sendo assim, escrevemos: onde ˆ Y é o Y estimado. Formemos, então, a tabela de valores: Ŷ ax b, n = 10 Temos, assim: TABELA 1.4 x i y i x i y i 2 x i = 65 = 65 = 473 = a 0, (65) Como: 65 x 6,5 10 e 65 y 6,5 10 vem: b 6,5 0,8632 6,5 6,5 5,6108 0,8892 donde: a 0,86 e b 0,89 Logo: Yˆ 0,86 X 0,89

10 10 Para traçarmos a reta no gráfico, basta determinar dois de seus ontos: X X 0 Yˆ 0,89 5 Yˆ 0,86 5 0,89 5,19 Assim, temos: y i ^ Y = 0,86 X + 0,89 x i 3.2. Interolação e Extraolação Voltando à tabela 1.1, vemos que 4,0 não figura entre as notas de Matemática. Entretanto, odemos estimar a nota corresondente em Estatística fazendo X = 4,0 na equação: Assim: Yˆ 0,86 X 0,89 X 4,0 Yˆ 0,86 4,0 0,89 4,33 O mesmo acontece com a nota 1,0. Reetindo o rocedimento, temos: X 1,0 Yˆ 0,86 1,0 0,89 1,75 Como 4 [2,10], dizemos que foi feita uma interolação; e como 1 [2,10], dizemos que foi feita uma extraolação.

11 11 NOTA: Uma norma fundamental no uso de equações de regressão é a de nunca extraolar, exceto quando considerações teóricas ou exerimentais demonstrem a ossibilidade de extraolação. Caítulo II Números-índices 1. Introdução Um jornal, or ocasião de um leito eleitoral, ublicou uma tabela com os resultados da auração na região: TABELA 2.1 Cidades Candidato X Candidato Votos Votos TOTAL Y Brancos Nulos A B C D E F Para um estudo comarativo das variações dos votos brancos, essa tabela, com números absolutos, em nada nos ajuda. Porém, confeccionando uma nova tabela, com números relativos, obtemos: TABELA 2.2 Cidades Votos Brancos (%) A 1,19 B 1,72 C 1,22 D 1,63 E 2,36 F 1,35 o que nos leva a concluir, de imediato, que a cidade E foi a que aresentou maior índice de votos brancos. Não são oucas, as situações em que, ara a descrição ou análise de um fenômeno quantitativo, o emrego dos números relativos revela-se mais ertinente do que o dos números absolutos. Isso acontece, naturalmente, quando retendemos efetuar comarações dos valores tomados or uma mesma variável em éocas ou regiões diferentes.

12 12 Essas comarações reresentam o caso mais simles das medidas estatísticas, que denominamos números índices, usados, rincialmente, nos negócios e na economia. 2. Números - índices Consideremos a tabela abaixo, relativa às matriculas efetivadas em certo estabelecimento de ensino durante o eríodo de 1989 a 1994: TABELA 2.3 ANOS MATRÍCULA NÚMERO - ÍNDICE 100,0 109,5 114,3 133,3 148,6 161,9 A vantagem dos números-índices é ermitir uma ráida avaliação da variação relativa (ercentual) sofrida elo numero de matriculas, e que se traduz, em relação a 1989, or um aumento de 9,5% em 1990, de 14,3% em 1991, de 33,3% em 1992, de 48,6% em 1993 e de 61,9% em Assim, odemos dizer que: Número-índice ou, simlesmente, índice é a relação entre dois estados de uma variável ou de um gruo de variáveis, suscetível de variar no temo ou no esaço (ou de gruo de indivíduos ara gruo de O índice reresenta, ortanto, o nível de um fenômeno em relação ao nível que ele tinha num dado eríodo (ou numa dada região) tomado como base, e é geralmente exresso em orcentagem. Os índices mais utilizados relacionam, em geral, variações de reço, de quantidade ou de valor (reço x quantidade) ao longo do temo. NOTA: Os índices não estão associados aenas aos negócios e a economia, mas são largamente utilizados em todos os ramos das ciências físicas, químicas, naturais e sociais. A Psicologia, or exemlo, emrega os índices ara medir a inteligência (quociente de inteligência - QI). 3. Relativos de reços Quando queremos analisar a variação no reço (ou na quantidade ou no valor) de um só bem, basta exressar tal variação em termos ercentuais, obtendo o que denominamos relativo de reço (de quantidade ou de valor). Assim, reresentado or o a éoca base ou base or t a éoca atual, temos:

13 13 0 : reço na éoca base; t : reço na éoca atual. Atribuindo ao reço na éoca base o valor 100, or meio de uma regra de três simles calculamos o relativo corresondente ao reço atual: t 0, t 100 t 0, t 0 ( 0,t é o relativo de reço) Do mesmo modo, obtemos: q 0, t qt 100 (relativo de quantidade) q 0 v 0, t vt v (relativo de valor) 4. Elos de relativos Vários relativos foram elos quando cada um deles é calculado tomando como base o ano anterior; são os relativos de base móvel. Assim, se um bem aresentou, no eríodo de 1991 a 1994, resectivamente os reços de R$ 240, R$300, R$360 e de R$540*, os elos relativos são: 91,92 92,93 93, , , , Com esses resultados, odemos formar a tabelo de elos: TABELA 2.4 ANOS RELATIVOS Fazemos uso dos elos de relativos quando queremos acomanhar os crescimentos (ositivos ou negativos) anuais (ou mensais, ou diários).

14 14 * No eríodo de 1991 a 1994, a moeda circulante no Brasil não era o real. Por questões didáticas, estamos deixando de considerar esse detalhe. 5. Relativos em cadeia O relativo em cadeia é o índice de base fixa: todos os relativos são calculados tomando-se uma determinada éoca como base. Utilizando como exemlo os dados do item anterior e considerando 1991 como ano base, obtemos: 91,92 91,93 91, , , , Esses resultados dão origem a tabela de relativos em cadeia: TABELA 2.5 ANOS RELATIVOS Fazemos uso dos relativos em cadeia quando desejamos comarar um determinado ano, considerado significado, com os anos anteriores e os consecutivos. O gráfico abaixo mostra a evolução do reço do bem em questão:

15 15 6. Índices agregativos Os índices que estudamos até agora servem aenas ara caracterizar a marcha do reço de um só bem. No entanto, a variação de reços exige um índice que sintetize a variação dos reços de um conjunto de bens (agregado). Para atingir esse objetivo, laçamos Mao de um novo tio de índice: o índice negativo. Existem inúmeras maneiras de calcularmos os índices agregativos, embora os fundamentos básicos sejam constantes, variando aenas asectos relacionados com o camo esecífico de alicação do índice Índice agregativo simles Um modo de determinar o índice agregativo simles é calcular a média aritmética dos relativos, obtendo o índice médio de relativos. Assim, dada a tabela abaixo: TABELA 2.6 BENS RELATIVOS DE PREÇOS A (m) B (kg) C (l) = 300 = 435 temos, lembrando que n = 3: I 435 I 145% Índice agregativo onderado No cálculo do índice simles, todos os itens do agregado são colocados em um mesmo nível. Sabemos, orém, que na rática isso não acontece; há bens de imortância muito maior que outros, razão ela qual devemos considerar coeficientes de onderação, atribuindo, a cada item, a imortância que lhe cabe. Para cálculo do índice agregativo onderado, há varias fórmulas: de Laseyres, de Paasche, de Fisher etc. Tomando como referencia os relativos de reço, alicaremos um dos métodos de onderação ara obtermos os índices mais usuais na investigação econômica.

16 Fórmula de Laseyres ou método da éoca - base Ponderando os relativos de reço t, onde 0 t é o reço na éoca atual e 0 é o reço na éoca base, elos valores (reços x quantidades) do ano base q 0 0, obtemos a fórmula de Laseyres: L 0, t t 0 q q que, simlificada, nos dá: L 0, t q q t Índices de reços Para construir um índice de reços, qualquer que seja a sua finalidade, devemos inicialmente considerar os seguintes ontos: a. Qual o objetivo do índice? b. Que rodutos devem ser incluídos no seu cálculo? c. Quais os reços a serem incluídos no seu cálculo? d. Qual o eso a ser atribuído a cada bem em articular? e. Qual a fórmula adequada? Embora não tendo uma resosta imediata ara as questões acima, alguns ontos básicos devem ser observados semre que retendemos construir qualquer índice. a. Objetivo do índice É fundamental qualificar, com toda a recisão, o objetivo do índice; determinar o que ele está medindo e a quem se refere. Dessa determinação deenderá a seleção dos rodutos que comorão o índice. b. Produtos a serem incluídos Devem ser incluídos os rodutos julgados mais imortantes e que sejam reresentativos do conjunto de bens que integram o setor ara o qual se vai calcular o índice.

17 17 c. Preços a serem incluídos Deve-se identificar o setor ara o qual vão ser determinados os reços (varejo, atacado etc.). Também é necessário decidir a forma de cotação e como deverão ser coletados os reços. d. Pesos a serem atribuídos O sistema de esos a ser atribuído deve deender essencialmente da finalidade ou da utilidade do índice. Os esos, or isso mesmo, devem refletir a imortância relativa de cada bem no conjunto tomado ara a determinação do índice. e. Fórmula Em geral, quando se trata de índices de reços, é usada a fórmula de Laseyres, que emrega esos fixos, ermitindo a revisão eriódica de seus valores. Resulta daí a ossibilidade de termos semre as mesmas comarações, feitas diretamente ou através de elos de relativos Índices de custo de vida O índice de custo de vida ou índice de reços ao consumidor é um número índice que rocura medir a variação de reços de um conjunto de bens e serviços necessários a vida do consumidor final adrão (família adrão). É evidente que devem ser considerados os reços dos bens consumidos em alimentação, vestuário, mobiliário, habitação, saúde, higiene etc., além, é claro, dos gastos com água, luz, transorte, educação e outros. Sua metodologia esta firmada em esquisas, junto as famílias, que determinam a lista de bens e serviços consumidos or elas e a ercentagem dos gastos com cada gruo de bens e serviços. A artir desses dados, fixamos um índice de reços (Laseyres) ara cada gruo. Finalmente, calculamos a média aritmética onderada dos índices de reços dos gruos, tomando ara esos os valores ercentuais dos gastos com cada gruo na desesa total da família adrão Índice de Preços ao Consumidor - IPC Esse índice reflete os gastos de famílias com renda entre um e oito salários mínimos, sendo o chefe da família assalariado em sua ocuação rincial.

18 18 A coleta de reços é feita elo IBGE, em dez regiões metroolitanas. O eríodo esquisado é o dia 16 de um mês ao 15 do mês seguinte Índice da Cesta Básica - ICB Esse indice é emregado ara corrigir o salário mínimo a cada bimestre. Sua metodologia é semelhante a do IPC, orém reresenta os gastos de famílias com renda de até dois salários mínimos Índice Geral de Preços - IGP O IGP, calculado ela Fundação Getúlio Vargas, é a média onderada dos seguintes índices: Índice de Preços or Atacado (60%), Índice de Custo de Vida (30%) e Índice de Custo da Construção Civil na cidade do Rio de Janeiro (10%). O eríodo de coleta de reços é de 1º a 30 do mês de referência IPC da FIPE FIPE é a fundação Instituto de Pesquisas Econômicas da USP, que esquisa o custo de vida em São Paulo ara famílias que ganham de dois a três salários mínimos. A FIPE comara os reços médios de quatro semanas com os da quatro semanas imediatamente anteriores. 7. Deflacionamento de dados Sabemos que os aumentos de reços imlicam baixas no oder de comra ou no valor da moeda. Por isso mesmo, a manutenção do oder de comra dos salários é um roblema que muito reocua os assalariados de aíses onde o valor da moeda está continuamente se deteriorando. Assim, embora os salários nominais estejam freqüentemente aumentando, os salários reais odem estar diminuindo, devido ao aumento do custo de vida (inflação), e, conseqüentemente, tendo o seu oder aquisitivo reduzido. Daí a imortância dos índices de reços, ois a eles recorremos ara resonder a questões como esta: Sabendo-se que um assalariado, em 1º de maio de 1993, ganhava x cruzeiros or mês, qual deveria ser o seu salário mensal, em 1º de janeiro de 1994, ara que ele se encontrasse em situação equivalente a anterior?

19 19 Esse roblema trata da conversão de salários nominais em salários reais, de imortância fundamental na éoca das negociações salariais, rincialmente quando há inflação. Para determinarmos os salários reais ( SR ), também denominamos salários deflacionados, dividimos os salários nominais das varias éocas ( S t ) elo índice de reços das éocas corresondentes ( IP t ) e multilicamos o resultado or 100: St SR 100, IP t (1) Assim, se o salário de um rofessor, em dezembro de 1995, era de R$ e o IP de dezembro de 1995, com base em novembro, era de 101,24%, o valor aquisitivo desse rofessor é dado or: isto é, R $ St SR ,88 IP t Esse rocedimento é denominado deflacionamento de salários e o índice de reços usado na determinação do salário real é chamado deflator. Processo semelhante ode ser emregado ara deflacionar outras séries temorais. Assim, substituindo em (1), salário or valor, obtemos: Vt VR 100 IP Tomando como exemlo o faturamento de uma emresa no eríodo de 1991 a 1994, dado ela tabela 2.7, vamos determinar o seu faturamento real, relativamente: a. Ao eríodo de 1990; b. Ao eríodo de TABELA 2.7 ANOS FATURAMENTO (R$) IP 1990 = , , , ,3 a. Para obtermos o faturamento da emresa relativamente ao ano de 1990, basta dividir cada valor constante na coluna referente ao faturamento elo índice geral de reços do resectivo ano. Com isso, estamos deflacionando a série. Assim: t

20 , , , ,3 Logo, TABELA 2.8 ANOS FATURAMENTO A PREÇOS DE 1990 (R$) b. A fim de obtermos o faturamento da emresa, em temos de reços de 1991, devemos, inicialmente, mudar a base do ano de 1990 ara o ano de 1991 e, em seguida, oerarmos como em a. Assim: IP IP IP 91,92 91,93 91,94 291, ,7 140,8 362, ,5 140,8 410, ,4 140, ,7 donde: , ,4 Logo: ANOS FATURAMENTO A PREÇOS DE 1990 (R$) TABELA 2.9 IP 1991 = 100 FATURAMENTO A PREÇOS DE 1990 (R$) , , , , Pelo exame da tabela, vemos que o faturamento, no ano de 1994, foi, em termos reais, inferior ao de 1991, embora, em termos normais, tenha aumentado.