Notas de Aula 2: MAXIMIZAÇÃO DE LUCROS

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Suzana Pacheco Maranhão
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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL UFRGS DEPARTAMENTO DE ECONOMIA CURSO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS DISCIPLINA: TEORIA MICROECONÔMICA II Primeiro Semestre/2001 Professor: Sabino da Silva Porto Júnior Estaio Docência: Rafael Tiecher Cusinato. Notas de Aula 2: MAXIMIZAÇÃO DE LUCROS 1. Definições (a) Receita total = Preço X uantidade - RT = P x Q (b) Receita média = RM e = RT (b) Receita marinal (RM): Receita adicional auferida ela firma através da venda de uma unidade a mais da rodução. RT RM = Q Economia: ostula comortamento maximizador firmas maximizam lucros; consumidores maximizam utilidade. O cálculo matemático ermite uma descrição detalhada de tais ontos extremos. Y A C f(x) B D F x Pontos de Extremo relativo: A, B, C, D, E e F. Em alumas vizinhanças eles reresentam Máximos ou Mínimos de f(x). O adjetivo relativo indica ue estes são extremos locais aenas, e não o Maximo ou Mínimo lobal sobre todo o conjunto de valores ossíveis de x. Todos estes ontos tem uma coisa em comum: a inclinação da função naueles ontos é zero, isto é, a função é horizontal em todos estes extremos. Portanto, uma condição ara ue f(x) tenha máximo ou mínimo local é ue dy dx = f ( x) = 0. Considere o onto C: Imediatamente a esuerda de C a função f(x) está crescendo, isto é, f (x)>0, enuanto a direita de C, f (x)<0. É or esta razão ue nós sabemos ue f ( x) = 0no onto C. Alem do mais, nós sabemos ue a inclinação, f (x), está continuamente caindo (indo de + ara -) à medida ue assamos or C. Portanto, f ( x) 0 em C.

2 Nós não odemos ter certeza de ue f ( x) < 0 em C; f ( x) = 0 e uma ossibilidade. Contudo, se f ( x) = 0 em x=x e se f ( x ) 0 0 < 0 em C, então f(x) tem um máximo relativo em x=x 0. Generalizando: Se f ( x0) = 0 e f ( x0) < 0 f( x) tem um maximo relativo. Se f ( x0) = 0 e f ( x0) > 0 f( x) tem um minimo relativo. Se f ( x0) = 0 e f ( x0) = 0 f( x) ode ter ou um max imo ou um minimo ou nenhum dos dois. f ( x) 0 Concavidade. Para uma função diferenciável: f ( x) 0 Convexidade. Exercícios: 1. Encontre os extremos relativos, máximo ou mínimo, das seuintes funções: 2 a) y = x ; 4 y = x ; 3 y = x ; 2. Suonha ue a demanda do consumidor é dada or = 150. E ue a função de custo total da firma é dada or CT = x 2 2. Encontre o reço e uantidade ue maximizam o lucro desta firma. Analise o comortamento da condição de seunda ordem. Em concorrência erfeita: RM = constante = reço= RMe (c) Lucro total = Receita total (RT) - Custo total (CT) Funcao objetivo max π ( ) = P CT( ) Condicao de Maximo: π ( ) = 0 condicao de rimeira ordem: RT CT ( ) = 0 RM = CM Condição de Ótimo: π ( x) = RT ( x) CT ( x) = RM CM < 0 Ou seja, a curva de RM deve ter uma inclinacao menor do ue a curva de CM no onto de maximo. 2 RT RM CM < 0 < 2 Comare a inclinação da curva de receita marinal com a inclinação da curva de custo marinal nos ontos (A e B) no ráfico abaixo. Qual deles é o onto de ótimo?

3 Questões: 1. Por ue o onto onde RM CM não ode ser um onto de Lucro máximo? Variando o nivel de roducao (d) e da definicao de RM e CM temos: drt=rm. d dct = CM. d De onde imlica ue: d π =RM d CM d Se RM Se RM > CM ''e ossivel aumentar lucro roduzindo-se mais; < CM '' e ossivel aumentar o lucro reduzindo-se a roducao. 2. Lucro econômico X lucro contábil Custos de oortunidade = é o número de um determinado bem ue oderiam ter sido roduzido com os recursos usados na rodução de um outro determinado bem. Lucro econômico < lucro contábil Lucro econômico= a diferença entre as receitas e as desesas de uma emresa, incluindo uaisuer custos de oortunidade. A noção de lucro econômico zero 3. Objetivo da firma Maximizar lucros através da escolha de P e Q ótimos 4. Informações necessárias A curva de demanda da firma - ara obter RT e RM ara vários valores de Q A função de custos - ara obter CT e CM ara vários valores de Q Questão-chave: Em ue nível de rodução o lucro é maximizado? Resosta: No nível de rodução em ue: RT - CT é maior, ou Lucro marinal = 0, ou RM = CM

4 5. Análise Gráfica Gráfico CM CM A B P=RM =CM Q Q* Q Gráfico 1: Análise Marinal da Maximização de Lucros 6. Elasticidade Elasticidade: Indica o rau de sensibilidade da DEMANDA em relação a uma variação dos reços ou da demanda. Elasticidade-reço da Demanda: variação ercentual da uantidade dividida ela variação ercentual do reço. = ou =. Notacao de calculo: =. Usando a função demanda:

5 ( ) = a b = b, = a b.( b) Ou seja, uma mudança ercentual na variável deendente devido a uma mudança ercentual na variável indeendente, define, a ELASTICIDADE da curva. Suonha ue x= f( ) é a curva de demanda (ou oferta), onde = reço e x = uantidade demandada. A elasticidade é, então, definida como: x x x dx = lim = lim = 0 0 x xd Se > 1 a curva e chamada Elastica Se 0< < 1 a curva e chamada Inelastica Note ue as curvas de OFERTA e DEMANDA são normalmente lotadas com a variável deendente x no eixo horizontal. Assim, a inclinação dx/d é, ortanto, a recíroca da inclinação usual. Exercícios: b 1. Dada a função x= a, mostre ue esta função exibe elasticidade constante. 2. Considere a curva de demanda linear x= a b. Onde o reço varia entre 0 e a/b. Estime a elasticidade: em ualuer onto; uando =0; uando a ; a elasticidade no onto médio da curva de demanda, b = a. 2b Quanto maior a, lembrando ue 0, mais elástica a função e, ortanto, mais sensível a demanda dauele roduto a uma variação de reços e vice-versa. De acordo com o nível de reços ue esta viorando no mercado obtém-se um determinado nível de sensibilidade dos consumidores a variação de reços. Preços baixos: 0 < < 1 Demanda inelastica Preços altos: > 1 Demanda Elastica reço = > 1 ramo Elastico = 1 < 1 R a m o i n e l a s t i c o a/2 6.1 Elasticidade e Receita: O aumento de reços imlica uma ueda na uantidade vendida o ue ode manter a receita inalterada ou levar ou a uma ueda ou a um aumento na receita. O comortamento da receita

6 vai deender da Elasticidade-reço do roduto, ou seja, há uma relação entre variação da receita e o nível de elasticidade-reço do roduto. Suondo uma variação do reço do roduto: Novo reço: + Nova uantidade: + R1 =. R1 = ( + ).( + ) R1 = Fazendo-se: R=R1 R0 R =. ( ), R = + + Para valores euenos de e ode-se considerar o último termo nulo. Então: R = + Dividindo-se or : R = + Fica R = + ou R = + Colocando-se em evidencia: R = 1+. R, = 1 Comentários: Se > 1 RM < 0 a receita diminui com o aumento do reço. Se < 1 RM > 0 a receita aumenta uando o reço sobe. Ou Se < 1 RM > 0. Portanto, ara curvas de demanda elástica, receita total aumenta uando uantidade aumenta, isto é, uando reços caem. Se 1< < 0 RM < 0. Portanto, uando demanda é inelástica a receita total cai uando a uantidade aumenta, isto é, uando reços sobem. Efeito rático: Para rodutos com demanda muito elástica um aumento do reço acaba reduzindo a receita da emresa, ois haverá uma ueda nas vendas mais ue roorcional ao aumento de reços. Assim, rodutos ue ossuem muitos concorrentes similares na raça não ermitem uma olítica de alteração de reços lucrativa.

7 7. Elasticidade e Receita marinal P = 1 Demanda R =. + (1) Dividindo-se (1) or : R = RM = + fica : RM = 1 + Lembrando ue: 1 1 = = 1, RM = 1 (2) Receita Marinal Resultados: = 1 RM = 0; Se < 1 RM < 0; > 1 RM > 0.

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