Gabarito da Lista 6 de Microeconomia I

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1 Professor: Carlos E.E.L. da Costa Monitor: Vitor Farinha Luz Gabarito da Lista 6 de Microeconomia I Eercício Seja Y um conjunto de ossibilidades de rodução. Dizemos que uma tecnologia é aditiva quando y; y 0 Y ) y + y 0 Y. Uma tecnologia é dita divisível se y Y ) ty Y; 8t [0; ]. Mostre que se uma tecnologia é aditiva e divisível, então Y é conveo e aresenta retornos constantes de escala. R: Conveidade: Sejam y; y 0 Y: Da divisibilidade, temos que y; ( ) y 0 Y ara todo [0; ] : Portanto, ela aditividade temos que y + ( ) y 0 Y ara todo [0; ]. Logo, Y é conveo. Retornos Constantes de Escala: Tome y Y, < +. Pela roriedade Arquimediana, eiste n natural tal que n < n. Segue que (n ) + [ (n )], onde 0 (n ) <. Alicando o rincíio da indução nita na roriedade de aditividade, temos que (n ) y Y. Além disso, or divisibilidade, segue que [ (n )] y Y. Então, or aditividade, obtemos y Y. Eercício Uma função de rodução dita homotética se f() f( 0 ) imlica em f(t) f(t 0 ), ara todo t 0.. (a) Mostre que se f é uma transformação monotônica de uma função homogênea de grau (ie., f g h, onde h é homogênea de grau e g é uma função monotônicacrescente), então f é homotética. (b) Mostre que se f ode ser reresentada como g h, onde h é homogênea de grau e g é uma função monotônica crescente (de nição alternativa de homoteticidade), então a taa marginal de substituição técnica em é igual à taa marginal de substituição técnica em t. R: a) Seja f g h e tome ; 0 tais que g (h ()) g (h ( 0 )). Como g é crescente (logo injetiva), temos que h () h ( 0 ) : Mas como h é homogênea de grau, segue que h(t) th() th( 0 ) h(t 0 ), ara todo t < +. Portanto, h (t) h (t 0 ) e, logo g (h (t)) g (h (t 0 )). b) É ossível mostrar que se f é homotética, então f g h onde h é homogênea de grau e g é monotônica (De fato, Varian (.48) de ne homoteticidade desta forma). Como h(:) é homogênea de grau, h 0 (:) é homogênea de grau 0. Logo, h 0 () h 0 (t) 8t < +. g 0 (h ()) (). T MST () T j (t) g0 (h (t) g 0 (h (t)) g0 (h ()) () g 0 (h () T MST (t) : () (t) Eercício 3 Mostre que se uma tecnologia aresenta retornos crescentes de escala e eiste algum onto onde o lucro é estritamente ositivo, então o roblema de maimização do lucro não ossui solução. R: Sabemos (or hiótese) que 9z Y tal que z > 0. Suonha, or contradição, que é solução so roblema de maimização da rma. Então, 8 Y ) z > 0: Mas, como a tecnologia tem retornos crescentes de escala, temos que Y, e ( ) ( ) >, uma contradição ois seria o ótimo. Eercício 4 Calcule as funções oferta e lucro ara as funções de rodução abaio ( 0):. (a) f() (b) f() 0

2 (c) f() (d) f() minf ; g R: (a) O roblema de maimização de lucro é dado or: ma 0 Caso (): < Calculando a condição necessária de rimeira ordem do roblema, obtemos: A condição su ciente de segunda ordem ara máimo é garantida se 0. Logo, a demanda elo fator é: (; ) Segue que as funções oferta e lucro são dadas or: y (; ) (; ) Caso (): Temos que, nesse caso, o lucro da rma é: Então a função lucro é: ( ) : 0, se (), se > (não de nido). E a função oferta será: 8 < (0,0), se < [y(; ); (; )] inde nido, se : (; ) (inde nido), se > : Caso (3): > Nesse caso, a rma aresenta retornos constantes de escala. Então não há solução ois a rma semre ode ter o lucro que quiser roduzindo mais: lim! lim! : Então o lucro e as funções oferta não estão de nidas. b. Escrevendo o roblema de maimização de lucro, obtemos: Caso (): 0 > 0 A condição de rimeira ordem é dada or: ma 0 ma [ (0 ) ]

3 Suondo 0, a condição acima é necessária e su cente (ois a CSO é 0). Portanto, temos: y (; ) 0 (; ) 0 ; ; (; ) : 0 + Caso (): 0 0 Nesse caso temos que Então temos [(; ); (; )] (0; 0): < 0, se > 0 [ (0 ) ] 0, se 0 c. Note que esta tecnologia aresenta retornos constantes de escala (ver questão 5). Portanto, a resolução deste ítem é análoga à do ítem abaio. d. O roblema de maimização de lucro é dado or: ma [minf ; g ] 0 Se 6 então é ossível aumentar o lucro reduzindo algum dos insumos. Segue que. Substituindo na função objetivo, obtemos: ma 0 Se > 0 (ie., > ), então é ossível obter lucro tão grande quanto se queira tomando arbitrariamente grande. Segue que o roblema não tem solução neste caso. Se < 0 (ie., < ), então (; ) 0. Neste caso, y (; ) (; ) 0 Caso lucro zero. Segue que (; ) < +. Logo, y (; ) < + e (; ) 0: 0 (ie., ), então eistem in nitas soluções ois todo ositivo fornece Eercício 5 Encontre as funções demanda condicional or fator e custo ara as funções de rodução abaio:. (a) f() (b) f() minf ; g (c) f() ( + ) (d) f() + R: (a) ver Varian.54. (b) ver Varian.56. (c) ver Varian.55. (d) ver Varian.57. 3

4 Eercício 6 (Prova -005) Considere uma rma rodutora de utilidade com função de rodução u () crescente, duas vezes continuamente diferenciável e estritamente quase-côncava em R n. De na sua função custo como e (, u) min s.t. U () u a)moste que e (, u) é côncava em. Denote h a demanda comensada da rma. b) Dada a função custo acima, suonha que a rma do item anterior ossa vender seu roduto a um reço constante, Resolva o roblema de maimização de lucro encontrando o vetor de demandas (nãocondicional) f da rma. Mostre f y)@y ara argumentar que a demanda frisch é mais negativamente inclinada que a demanda hicksiana. R: a)sejam h ( ; u); h ( ; u); t t + ( t) e t h ( t ; u): Temos que, or ser h argmin do roblema acima, t e t :Daí, t + ( t) [t + ( t) ] t : Ou seja, te( ; u) + ( t)e( ; u) e( t ; u); sendo côncava a função e(; u). b)tome o roblema de maimização da rma: ma u u e(; u) Que de ne a "rodução" de utilidade ótima através da CPO dada or: e u (; u) A condição de segunda ordem ara a minimização é: e uu (; u) > 0 De nindo f como a demanda incondicional temos, também, que f ( ; ) h (; u( ; )): f @u :Como estamos mantendo constante, odemos usar o Teor. da Função Imlícita na CPO ara e u i (; u) e uu (; u) e iu(; u) e uu (; e uu (última desigualdade utilizando teorema do enveloe). ) e uu (; u) i Eercício 7 Seja (,y) a demanda condicional or fatores de alguma função de rodução quase-côncava. Mostre que D (; y) é simétrica e negativa semi-de nida. R: Seja o roblema EMP dado or: min s.a. f() y : Então temos que a função custo c(; y) arg min EMP é côncava (rova no eercício acima). E temos que D c(; y) (; y) elo teorema do enveloe, então D (; y) Dc(; y) que é simétrica e negativa semi-de nida ois é a hessiana de uma função côncava. Eercício 8 Mostre que se a função de rodução f(:) é quase-côncava, estritamente crescente e homogênea de grau, então ela é côncava. (também f(0) 0) 4

5 R: Tome [0; ] e ; y 0. Então temos que, como f(:) é crescente, f(); f(y) > 0. Além disso, temos a artir da homegeneidade de grau de f(:) que f f() f() f () y f(y) f (y) f : f(y) E, ela quase-concavidade de f(:), f f() + ( ) y f(y) minf; g : f() Em esecial, isso vale ara f()+( )f(y) e ( ) ( )f(y) f()+( )f(y). Então f() ( )f(y) y + ( f + f f() + ( )f(y) f() f() + ( )f(y) f(y) f() + ( )y : )f(y) Logo, usando novamente homogeneidade de grau, f ( + ( )y) f() + ( )f(y): Então rovamos que f(:) é côncava em R n ++, a etensão ara R n + segue ela continuidade de f(:). 5