Teoria Econômica Avançada I - Lista 04 (GABARITO) Professor: Aloisio Araújo Monitor: Ilton G. Soares Data de Entrega: 15/04/2007 (na secretaria)

Transcrição

1 Teoria Econômica Avançada I - Lista 04 (GABARITO) Professor: Aloisio Araújo Monitor: Ilton G. Soares Data de Entrega: 15/04/2007 (na secretaria) Exercício 1 Se f 2 M + (X; F) e fd < +1 então para todo " > 0 existe um conjunto E 2 F tal que (E) < +1 e fd fd + ". Solução: Tome F n = x 2 X : f (x) 1, n 2 N. Cada conjunto F n n é mensurável (pois f é uma função mensurável). Além disso, E (F n ) < 1. De fato, note que a função 1 f por construção, logo n Fn 1 n d fd < +1. Fn Assim, 1 n (F n) < +1 ) (F n ) < +1 8n. Agora de na f n = f Fn 8n 2 N. Então, f n é mensurável, crescente e f n! f. Podemos então aplicar o TCM: fd = lim n!1 f n d = lim fd n!1 F n logo, para todo " > 0, existe n tal que n n implica em fd < " + fd. F n Tomando E = F n temos o resultado desejado. jj 1

2 Exercício 2 (Prova 2007) Se f 2 L (S; ; ) e " > 0, então existe uma função simples mensurável ' tal que jf 'j d < ". Solução: Como f 2 M + (X; F), então existe uma seqüência de funções simples mensuráveis f' n g tal que 0 ' n (x) ' n+1 (x) f (x) para todo x 2 X e que converge pontualmente para f em X. Assim, jf ' n j d = (f ' n ) d = fd ' n d. O resultado segue diretamente da de nição de integral de Lebesgue: fd = sup 'd '2 f + onde f + = ' 2 M + (X; F) : ' é função simples com 0 ' (x) f (x) 8x 2 X. jj Exercício 3 Mostre que se f 2 M + (X; F) e se está de nido em F por (E) = fd então é uma medida 1. Solução: Note que satisfaz as três condições de uma medida: (i) (?) = R fd = R f?? d = R 0d = 0: (ii) Se E 2 F, então (E) = R fd = R f E E d 0 pois f E 0. 1 Dica: use o Teorema da Convergência Monótona E 2

3 (iii) De na f n como Então, f n d = f n = nx nx f En. f En d = nx (E k ). Como ff n g é uma seqüência crescente em M + convergindo para f En, o TCM implica que 1X (E) = f E d = lim f n d = (E k ). jj n!1 Exercício 4 Considere um trabalhador desempregado à procura de emprego de acordo com a seguinte situação: a cada período o trabalhador recebe uma oferta de trabalho com salário w, onde w é uma retirada aleatória da distribuição F (W ) = Pr fw W g, com F (0) = 0, F (B) = 1 para B < 1. O trabalhador tem a opção de rejeitar a oferta, caso em que receberá um seguro desemprego equivalente a c e esperará até o próximo período, quando receberá uma nova oferta. Nesse mundo não é possível ser demitido nem pedir demissão. Assim, se o trabalhador aceitar a oferta, deve permanecer no emprego pelo resto de sua vida. Seja y t a renda do trabalhador no período t. Assim, y t = w se o trabalhador estiver empregado e y t = c caso contrário. O trabalhador desempregado procura maximizar E P 1 t=0 t y t, onde 2 (0; 1) é o fator de desconto. Seja v (w) o valor esperado de E P 1 t=0 t y t para um trabalhador que tem a oferta de w em mãos e está decidindo se aceita ou não esta oferta. (a) Encontre a equação de Bellman do problema do trabalhador. (b) Encontre o salário de reserva do trabalhador. Solução: (a) A equação de Bellman do trabalhador é dada por w v (w) = max 1 ; c + v (w 0 ) df (w 0 ) ; onde a maximização é feita considerando as duas possíveis ações: (i) aceitar a oferta de trabalho w e trabalhar para sempre ao nível de salário w, ou (ii) 3

4 rejeitar a oferta, receber w neste período e se submeter a uma nova retirada w 0 da distribuição F no próximo período. (b) Ver Ljungqvist & Sargent (2001), pp Exercício 5 (Prova 2007) Um trabalhador desempregado recebe a cada período n ofertas para trabalhar, em que n segue um processo de Markov, com Pr fnum. de ofertas no prox. período = m j num. de ofertas neste período = ng = mn ; m = 1; :::; N; n = 1; :::; N. E NX mn = 1 para n = 1; :::; N. m=1 Aqui [ mn ] é uma matriz estocástica gerando uma cadeia de Markov. Cada oferta é retirada de uma mesma distribuição F (w). Uma vez aceita a oferta, o trabalhador permanece empregado pelos demais períodos. As preferências do trabalhador são representáveis por P 1 t=0 t y t, em que y t é a renda recebida no período t. (a) Formule a equação de Bellman para o problema do trabalhador. (b) Obtenha a política ótima em termos do salário de reserva w (n). (c) Qual a relação entre o valor de w (n) e n? Qual a intuição para isto? Solução: Ver solutions Ljungqvist & Sargent (2001), exercício 5.4. Exercício 6 (Prova 2007) Seja o modelo de Ramsey-Cass-Koopmans em tempo discreto: 1X v (k 0 ) = t u (c t ) max fc 0 ;c 1 ;:::g t=0 s:a: k t+1 = f (k t ) k 0 conhecido em que u () e f () são côncavas e duas vezes diferenciáveis. (a) Escreva a equação de Bellman. Mostre que ela de ne uma contração. c t 4

5 (b) Obtenha as condições de primeira ordem e chegue na equação de Euler. Se você utilizar algum teorema, explicite a validade de suas hipóteses. (c) O que você pode concluir sobre o sinal de v0 (k 0 ) v 0 (k 1 (k 0 )) k 0 k 1 e por quê? (d) Prove que existe k tal que f 0 (k 0 ) > 1=, k 0 < k e diga quais propriedades foram usadas para chegar nessa conclusão. (e) O que é turnpike global determinístico? Vale nesta economia? Solução: (a) Tome V (k t ; k t+1 ) = u (f (k t ) k t+1 ) e A = f(x; y) 2 R 2 ;x 0; 0 y f (x)g. Então, a equação de Bellman pode ser escrita como v (k 0 ) = max fv (k 0 ; k 1 ) + v (k 1 )g. fk t;(k t;k t+1 )2Ag Pelo teorema de Blackwell, segue que o operador T, de nido por T w (k 0 ) = max fv (k 0 ; k 1 ) + w (k 1 )g fk t;(k t;k t+1 )2Ag é uma contração. (b) Uma condição de primeira ordem para que k seja solução do problema é: V 2 (k t 1 ; k t ) + V 1 (k t ; k t+1 ) = 0, t = 1; 2; ::: Como a equação acima é uma equação em diferenças de segunda ordem com apenas uma condição inicial (k 0 ), precisamos de uma condição adicional de transversalidade: lim T!1 T V 2 (k T ; k T +1 ) k T +1 = 0. (c) O sinal de v0 (k 0 ) v 0 (k 1 (k 0 )) k 0 k 1 é negativo em razão da concavidade estrita de v. (d) Pelo teorema de Benveniste-Scheinkman, v 0 (k 0 ) = V 1 k 0 ; e k 1 (k 0 ) = U 0 f (k 0 ) e k1 (k 0 ) f 0 (k 0 ). (1) A CPO do problema escrito na forma da equação de Bellman implica em U f 0 (k 0 ) e k1 (k 0 ) = v 0 ek1 (k 0 ). (2) 5

6 da concavidade estrita de v, temos que h i h i v 0 (k 0 ) v 0 ek1 (k 0 ) k 0 e k1 (k 0 ) 0. (3) Substituindo (1) e (2) em (3), temos f 0 1 h (k 0 ) k 0 e k1 (k 0 )i 0. Como f 0 (k ) = 1 e f 00 < 0, então f 0 (k 0 ) 1, k 0 k. (e) Se k é a solução estacionária da condição de Euler, dizemos que vale a propriedade de Turnpike global, ou que k é globalmente assintoticamente estável se 8k (A) ; lim t!1 e kt (k 0 ) = k. Um importante resultado mostrado em (d) estabelece que a economia de Ramsey-Cass-Koopmans possui um único estado estacionário, o qual apresenta a propriedade de turnpike global. Exercício 7 Enuncie o teorema de Boldrin-Montruchio, explique o que é caos e diga porque esse teorema é chamado de teorema da possibilidade de caos. Solução: Teorema de Boldrin-Montruccio: Seja g : [0; 1]! [0; 1] de classe C 2. Então existe e V 2 C 2, V : [0; 1] [0; 1]! R com D 2 V e negativa de nida e existe 0 2 (0; 1) tal que 2 (0; 0 ) ) g é função política de P ev ;. Podemos entender caos (determinístico) como um sistema dinâmico instável e não linear. A instabilidade está associada à grande sensibilidade da trajetória à condição inicial. Isso signi ca que mesmo condições iniciais muito próximas podem gerar trajetórias completamente diferentes. Essas trajetórias, apesar de determinísticas, apresenam comportamento que visualmente não exibe um padrão, daí serem chamadas de caóticas. O teorema de Boldrin-Montruccio também pode ser chamado de teorema da possibilidade de caos pois qualquer função g que apresente trajetória caótica (ou aparentemente randômica), desde que seja de classe C 2, pode ser solução de um problema de otimização dinâmica com função objetivo côncava (i.e., compatível com racionalidade e concavidade). 6