Modelos Biomatemáticos

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1 Equações às diferenças de primeira ordem Modelos Biomatemáticos Alessandro Margheri Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Modelos Biomatemáticos p. f : R R infinitamente diferenciável em R x = f(x ) x n+ = f(x n ) n N x 2 = f(x ) = f(f(x )) = f f(x ) = f 2 (x ) x 3 = f(x 2 ) = f(f(x )) = f(f(f(x ))) = f f f(x ) = f 3 (x ).. x n+ = f(x n ) = f f((x n )) = = f f f(x ) = f n+ (x ) Modelos Biomatemáticos p. 2 Dado x R, ao conjunto {x,x,x 2,,x n, } dá-se o nome de órbita (ou de solução) da equação às diferenças com condição inicial x No caso da E.D.O. escalar x = f(x) x(t) = constante = x R é uma solução da E.D.O. f(x ) = No caso discreto, {x,x,x,x, } (ou x n = x n N) é solução de x n+ = f(x n ) f(x ) = x. Modelos Biomatemáticos p. 3 Modelos Biomatemáticos p. 4 Definição Um ponto x R diz-se um ponto fixo de f se f(x ) = x. Um ponto fixo de f diz-se portanto um equilíbrio da equação x n+ = f(x n ) Proposição Seja {x,x,x 2,,x n, } a órbita da equação às diferencas x n+ = f(x n ) com valor inicial x. Se lim n + x n = l R, então f(l) = l, isto é, l é um ponto fixo de f Modelos Biomatemáticos p. 5 Modelos Biomatemáticos p. 6

2 Definição Um ponto fixo x de f diz-se um poço (ou um atractor ) se existe uma vizinhança U R de x tal que y U = Definição Um ponto fixo x de f diz-se uma fonte (ou um repulsor) se existe uma vizinhança U R de x tal que as iteradas através de f de todos os pontos de U \ {x } saem de U. f n (y ) U n N e lim n + fn (y ) = x. Um atractor é um ponto estável. ( y U \ {x } existe n y N : f n y (y ) / U) Uma fonte é um ponto instável. Um ponto fixo que não seja uma fonte ou um poço diz-se neutralmente estável Modelos Biomatemáticos p. 7 Modelos Biomatemáticos p. 8 Equação Linearizada Seja x R um ponto fixo de f. Chama-se equação linearizada em torno de x à equação às diferenças linear Recordamos que z n+ = f (x )z n = [f (x )] n z z n f (x ) < Teorema Seja x R um ponto fixo de f. Então:. x é um poço se f (x ) < ; 2. x é uma fonte se f (x ) > ; 3. nada podemos concluir acerca das propriedades de estabilidade de x se f (x ) = ±. z n + f (x ) > Modelos Biomatemáticos p. 9 Modelos Biomatemáticos p. O análogo de uma órbita fechada de uma E.D.O. é um ponto periódico de f: Definição Um ponto x R diz-se um ponto periódico de f de período (mínimo) k se x j = f j (x ) x i = f i (x ) i,j =,,k, i j f k (x ) = x Logo, como no caso de uma órbita fechada, uma órbita periódica repete-se: {x,x,,x k,x,x, } Órbitas periódicas de período k são também chamadas k ciclos Observe-se que se x é um ponto k periódico de f o mesmo é verdade para os pontos x, x 2,,x k do k ciclo Modelos Biomatemáticos p. Modelos Biomatemáticos p. 2

3 Notamos que x ponto k periódico de f = x é um ponto fixo de f k (mas não de f j para j k ) (e viceversa!) Logo, também os pontos x,x 2,,x k da órbita k periódica são pontos fixos de f k (mas não de f j para j k ) Portanto, a um k ciclo de f correspondem k pontos fixos de f k (que não são pontos fixos de f j para j k ) Modelos Biomatemáticos p. 3 Em particular: 2 ciclos Seja x um ponto periódico de período 2 de f: Então x = f(x ) x, f(x ) = f 2 (x ) = x. é um 2 ciclo de f e {x,x,x,x, } x é um ponto fixo de f 2. x também é um ponto 2 periódico e um ponto fixo de f 2. Modelos Biomatemáticos p. 4 Há uma bijecção entre os pontos fixos de f 2 que não são pontos fixos de f e os pontos 2 periódicos de f. Definição Seja x um ponto fixo de f 2 mas não de f. O 2 ciclo de f correspondente diz-se atractivo (ou repulsivo) se x for um ponto fixo atractivo (ou repulsivo) de f 2. Seja {x,x,x,x, } um dois ciclo de f. Pela regra da cadeia, [ f 2 (x ) ] = [f(f(x ))] = f (x )f (x ) [ f 2 (x ) ] = [f(f(x ))] = f (x )f (x ). Logo, conclui-se que o 2 ciclo é estável se f (x )f (x ) < e é instável se f (x )f (x ) >. Modelos Biomatemáticos p. 5 Modelos Biomatemáticos p. 6 Bifurcações Quando o segundo membro de uma equação às diferenças depende de um parâmetro, digamos r R, ao variar de r obtém-se uma família de equações às diferencas: = f(x n,r) x n+ = f r (x n ) = Bifurcações A dinâmica discreta da equação x n+ = f r (x n ) depende de r. Se ao variar de r houver uma alteração abrupta na dinâmica da equação às diferenças, diz-se que essa equação sofreu uma bifurcação. onde f : R R R Por exemplo f r (x) = f(x,r) = rx, f r (x) = f(x,r) = rx( x) Modelos Biomatemáticos p. 7 Modelos Biomatemáticos p. 8

4 Em geral, ao variar do parâmetro r pode verificar-se uma das seguintes ocorrências:. uma variação no numero e na estabilidade dos equilíbrios da equação; 2. uma variação no número e na estabilidade dos ciclos Os valores do parâmetro ultrapassando os quais se dá uma das ocorrências anteriores chamam-se valores de bifurcação Modelos Biomatemáticos p. 9 Um equilíbrio x da equação x n+ = f r (x n ) vai depender de r e será denotado por x (r). Pode-se provar que: uma condição necessária para ter uma variação do número de equilíbrios é que exista um r tal que o correspondente equilíbrio x (r ) da equação x n+ = f r (x n ) satisfaça f r (x (r )) =. uma condição necessária para ter variação do número de ciclos é que exista um r tal que o correspondente equilíbrio x (r ) da equação x n+ = f r (x n ) satisfaça f r (x (r )) =. Modelos Biomatemáticos p. 2 Nós veremos os seguintes exemplos de bifurcações simples de um ponto de equilíbrio.. um equilíbrio que bifurca em dois equilíbrios e muda as suas propriedades de estabilidade; 2. um equilíbrio que muda de estabilidade gerando-se um 2 ciclo em torno desse ponto Equação logística discreta x n+ = rx n ( x n ), r > Modelos Biomatemáticos p. 2 Modelos Biomatemáticos p. 22 r=.. r=

5 . r=2.8 r= equaçao logistica com r= r= equaçao logistica com r=.8 equaçao logistica com r=

6 . equaçao logistica com r=3.2 a segunda iterada da funçao logistica para r= a segunda iterada da funçao logistica para r=2.8 a segunda iterada da funçao logistica para r= a segunda iterada da funçao logistica para r=3.2 2 ciclo para o valor r=

7 . 4 ciclo para o valor r= ciclo para o valor r= Diagrama de bifurcação 6 ciclo para o valor r= Para cada < r < 4 representa-se num diagrama o átractor da dinâmica contra r < r < r := 3 um poço x (r) = r Modelos Biomatemáticos p. 23 Diagrama de bifurcação Para cada < r < 4 representa-se num diagrama o átractor da dinâmica contra r < r < r := 3 um poço x (r) = r 3 = r < r < r 2 := + 6 = um 2 ciclo estável {x 2 (r),x 2 2(r),, } r n r = n + r n+ r n r n+2 r n n = r 2 < r < r 3 := um 2 2 ciclo estável = r 3 < r < r 4 := um 2 3 ciclo estável r n < r < r n+ um 2 n ciclo estável Modelos Biomatemáticos p. 23 Modelos Biomatemáticos p. 24

8 Diagrama de bifurcacao da equacao logistica. r 24-