ESTABILIDADE DE CONJUNTOS INVARIANTES POR UMA CLASSE DE PERTURBAÇÕES DESCONTÍNUAS DA IDENTIDADE

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1 ESTABILIDADE DE CONJUNTOS INVARIANTES POR UMA CLASSE DE PERTURBAÇÕES DESCONTÍNUAS DA IDENTIDADE Marcos Luiz CRISPINO 1 RESUMO: Deduziremos neste trabalho condições suficientes para a estabilidade de conjuntos (positivamente) invariantes por uma classe de perturbações descontínuas F A :I m I m da identidade, onde I m é o cubo n-dimensional fechado [0,1] m e A é um parâmetro que pertence a R mn. PALAVRAS CHAVE: Sistemas dinâmicos discretos, equações de diferenças finitas. 1 Introdução Sejam I m o cubo m-dimensional fechado [0,1] m, D = {M 1,...,M N ] uma decomposição de I m, onde os M são convexos e mensuráveis segundo Jordan. Seja A = (a 1,...,a N ) R mn tal que: a 0, = 1,...,N a + M I m, = 1,...,N onde, como usual: a + M = {a + x; x M } Para cada A que cumpre as conições acima, seja F(A,D):I m I m definida do seguinte modo: F( A,D; x + a x ) = x, +, x Int (M x M, ), = 1...,N = 1...,N 1 Departamento de Energia Nuclear Universidade Federal de Pernambuco UFPE Recife PE. Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: ,

2 Considerando o caso particular no qual os M são blocos m dimensionados de uma partição de I m, foram deduzidas em Crispino (1999a) algumas propriedades relevantes das órbitas periódicas das funções F(A,D), como também condições suficientes para a estabilidade de conjuntos (positivamente) invariantes por F(A,D). No presente trabalho, obteremos condições suficientes para a estabilidade de conjuntos positivamente invariantes por F(A,D), onde, agora, os conjuntos M da decomposição D são conjuntos convexos quaisquer. De agora em diante, escreveremos, para simplificar, F A em lugar de F(A,D). Indicaremos por D A o conjunto dos pontos de descontinuidade de F A. Por conseguinte, D A é a reunião = 1 M das fron- N teiras dos conjuntos M. 2 Conceitos e notações X\A é o complementar do conjunto A relativo ao conjunto X. Int(A), A, Der(A) e A são respectivamente o interior, o fecho, o conjunto dos pontos de acumulação e a fronteira do conjuntoa. B(x;r) e B (x;r) são a bola aberta e a bola fechada de centro x e raio r. B(X;r) é a bola aberta de raio r em torno do conjunto X. d(x,y) é a distância de X a Y. d(x,y) é d({x},y}. O + (f;x) e O (f; X) são respectivamente as órbitas positiva e negativa da função f pelo conjunto X. O+(f;x) e O (f;x) são respectivamente O+(f;{x}) e O (f;{x}). Quando F = F A, escreveremos O + (A;X), etc., em lugar de O + (F A ;X), etc. Dois subconjuntos A, B de um espaço topológico X dizem-se separados quando A B = e A B =. Um conjunto X diz-se positivamente invariante por uma função f quando f(x) X. Usaremos, por brevidade, a expressão invariante em lugar de positivamente invariante. Seja X um subconjunto de um espaço métrico M, invariante por uma função f:m M. Diz-se que X é estável quando, para todo ε > Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 2001

3 dado arbitrariamente, existe δ > 0 tal que O + (f;b(x,δ)) B(X; ε). Dizse que X é instável quando não é estável. 3 Resultados Auxiliares 3.1 Lema: Seja (M, d) um espaço métrico. Dados X, Y Í M não-vazios, temse: d(x, Y) = inf{d(x, Y); x X{ = inf{d(y, X); y Y} Demonstração: Seja x X dado abitrariamente. Para qualquer y Y, vale: d(x,y) d(x, y) logo d(x,y) é uma cota inferior de {d(x, y); y Y}. Por conseguinte: d(x,y) d(x, y) Sendo x X arbitrário, decorre da expressão acima de d(x,y) é uma cota inferior de d(x,y); x X}. Por esta razão: d(x,y) inf{d(x,y); x X} (3.1.1) Dado arbitrariamente ε > 0, sejam x o X, y o Y (os quais existem) tais que d(x o, y o ) < d(x,y) + ε. Tem-se: d(x o, Y) d(x o, y o ) < d(x, Y) + ε da qual resulta: inf{d(x,y); x X} d(x o, Y) < d(x, Y) + ε Como ε é arbitrário, da expressão acima decorre: inf{d(x,y); x X} d (X, Y) (3.1.2) De e tira-se: d (X, Y) = inf{d(x,y); x X} procedendo de modo análogo, obtem-se: d (X, Y) = inf{d(y,y); x Y} e o enunciado segue. Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: ,

4 3.2 Lema: Sejam X, Y subconjuntos limitados de R m, com X Y. Dado r > 0, vale: B(X; r) Int(Y) r d(x, Y) Demonstração: Do fato de ser B(X; r) = {B(x; r); x X}, segue: B(X; r) Int(Y) (( x X) (B(X; r) Int(Y)) (3.2.1) Como X Y, de e do Lema 3.3 de Crispino (1996, p.283) decorre: B(X; r) Int(Y) (( x X) (d(x; Y) r) Pelo Lema 3.1: d(x; Y) = inf{d(x; Y); x X} Daí e de tira-se: B(X; r) Int(Y) inf{d(x; Y); x X} r d(x; Y); r e que prova o lema. 3.3 Observação: Seja E um espa;o vetorial normado. Dado X E ocnvexo, suponhamos Int(X) não-vazio. Pela Observação 3.2.a de Crispino (1996, p.282) valem as seguintes afirmações: X = Int( X ) X = ( Int( X )) Tem-se também que Int(X) é convexo. Dados X, Y E convexos, admitamos Int(X) e Int(Y) não-vazios e disjuntos. Então: Int(X) Y = X Int(Y) = Com efeito: se fosse Int(X) Y, existiria x o Int(X) Y. Para este x o, ter-se-ia x o Int ( Y). Sendo Int(X) uma vizinhança de x o (pois x o Int(X)), segue Int(X) Int(Y). De modo análogo, obtem-se X Int(Y) =. 288 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 2001

5 3.4 Lema: Seja E um espaço vetorial normado. Dado K 2, seja {X 1,...,X }, uma classe de subconjuntos convexos e fechados de E, cujos interiores são não-vazios e disjuntos dois a dois. Sejam X = X e Y X. Dados A E convexo e r > 0, suponhamos: K K = 1 = = 1 1) B(A; r) Int(X). 2) B(A; r) X = B(A X ; r) X, = 1,...,K. Nestas condições, para todo y B(A; r) Y existe, em correspondência, x A Y tal que y B (x;r). Demonstração: i) Dado y B(A; r) Y arbitrário, seja {1,...,K} (o qual existe, pela definição de Y) tal que y X. Sendo X convexo, y Int(X )), conforme a Observação 3.3. Seja ρ > 0 (o qual existe, pois B(A; r) é um conjunto aberto) tal que: donde: B(y; ρ) B(A; r) Valem as seguintes afirmações: B(y; ρ) Int(X ) (3.4.1) B(y; ρ) (E\X ) (3.4.2) Da condição (1) do enunciado, vem: B(y; ρ) Int(X) B(y; ρ) (E\X ) B(y; ρ) Int(X) Portanto: B(y; ρ) (E\X ) = (B(y; ρ) (E\X )) Int(X) = = B(y; ρ) (Int(X) (E\X )) = B(y; ρ) (Int(X)\ X ) De e das igualdades acima decorre a existência de um outro índice l {1,...,K} para o qual B(y; ρ) X l. Para este l, tem-se: X l Int(X ) = (3.4.3) Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: ,

6 conforme a Observação 3.3. Sendo B(y; ρ) X l, de e obtem-se B(y; ρ) X l e B(y; ρ) (E\ X l ), donde: y X l Em conseqüência: Para todo y B(A;r) Y existem índices distintos, l {1,...,K} tais que y X X l. ii) Dado arbitrariamente y B(A;r) Y, sejam, l {1,...,K} (pelo ítem (i), estes índices existem) com l, tais que y X X l. Sendo X e X l fechados, tem-se y X l. Logo, valem ambas as afirmações seguintes: y B(A;r) X y B(A;r) X l Destas e da propriedade (2) do enunciado decorre: y B(A X ;r) y B(A X l ;r) Portanto existem x A X, x l A X l de modo que: y B(x ;r) (3.4.4) y B(x l ;r) (3.4.5) Se x X ou x l X l, nada mais há para demonstrar. Admitamos então x Int(X ) e x l Int(X l ). Ora, de e resulta: x, x l B(y;r) Daí e da convexidade de B(y;r) decorre: [x ;x l ] = {(1-t)x + tx l ; 0 t 1} B(y;r) Como x,x l A e A é convexo, tem-se [x ;x l ] A. Por conseguinte: [x ;x l ] A B(y;r) Em virtude de ser Int(X ) Int(X l ) =, da conexidade de [x ;x l ] e do Teorema da Alfândega segue a existência de x [x ;x l ] (Int(X )). Pela convexidade de X, x X, portanto x Y. Visto que x B(y;r), tem-se: y B(y;r) o que encerra a demonstração. 290 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 2001

7 3.5 Lema: Sejam E um espaço vetorial normado, r > 0 e X, Y subconjuntos convexos de E, sendo Int(Y) não-vazio. Suponhamos X Int(Y) nãovazio. Então, para todo y B(X Y;r) existe, em correspondência, x X Int(Y) tal que y B(x;r). Demonstração: Dado arbitrariamente y B(X Y;r), seja x 1 X Y (o qual existe) tal que y B(x 1 ;r). Tem-se então x 1 - y < r. Seja ε > 0 (o qual existe) de modo que: x 1 - y < r - ε (3.5.1) Seja x o X Int(Y). Como x 1 Y, x 1 Y. Sendo Y convexo e x o Int(Y), do teorema (T.2,XIX,2;4) de Schwarz (1970, p.260-1) segue: [x o ;x 1 ) = {(1-t)x o + tx 1 ; 0 t < 1} Int(Y) (3.5.2) Como x o X, x 1 X e X é convexo, tem-se: [x o ;x 1 ) = {(1-t)x o + tx 1 ; 0 t 1} X (3.5.3) De e tira-se: [x o ;x 1 ) X Int(Y) (3.5.4) A função t (1-t)x o + tx 1 de [0;1] em E sendo contínua, existe δ (0;1) para o qual vale: 1 - δ < t 1 x 1 - ((1-t) x o + tx 1 ) < ε (3.5.5) Tomando qualquer t (1- δ,1) e fazendo x = x(t) = (1-t)x o + tx 1, vem: x [x o ;x 1 ) x-x 1 < ε Por 3.5.4, x X Int(Y), e de resulta: x-y x-x 1 + x 1 -y < r - ε + ε = r Portanto: y B(x;r) O enunciado acima está demonstrado. Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: ,

8 4 Resultados Principais Sejam I m = [0;1] m, D = (M 1,..., M N } uma decomposição de I m onde os M, = 1,...,N, são convexos mensuráveis segundo Jordan, A R mn, F A = F(A, D) e D A como no parágrafo 1. Obteremos agora os resultados que constituem o objetivo principal do texto. 4.1 Teorema: Dado o conjunto convexo A I m, seja U(A) = { X 1,..., X K } a subclasse da decomposição D formada pelos M D tais que A Int(M) é não-vazio. Seja = K X. Suponhamos U(A) não-vazia. Suponhamos também: 1) d(a, X) > 0. X = 1 2) B(A;r) X = B(A X ;r) X, r > 0, = 1,...,K. Nestas condições, tem-se: 0 < r d(a, X) F A (B(A;r)) B(F A (A);r) Demonstração: i) Sendo d(a, X) > 0, A X. De fato: Se fosse A (I m \ X) nãovazio, A X seria não-vazio, conforme o Teorema da Alfândega. Pelo Lema 3.2, tem-se: 0 < r d(a, X) B(A;r) Int(X) Seja então r (0, d(a, X)]. Dado arbitrariamente y F A (B(A;r) D A ), seja x o B(A;r) D A (o qual existe) tal que y = F A (x o ). Pela definição de F A e pela Observação 3.2.b de Crispino (1996, p.283) os pontos de D A são pontos fixos de F A Logo, x o = F A (x o ) = y, donde: y B(A;r) D A Seja Y = X D A. Como B(A;r) X, tem-se: B(A;r) D A = B(A;r) Y Também pela Observação 3.2.b de Crispino (1996), p.283, = X. Os interiores Int(X ) dos X sendo disjuntos dois a dois Y K = 1 (pois X 1,..., X D e D é uma decomposição de I m ), do Lema 3.4 e da 292 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 2001

9 condição (2) do enunciado segue a existência de x A Y de modo que: y B(x;r) Ora, x Y = X D A, logo F A (x) = x. Como x também pertence a A, vem: x F A (A) Por conseguinte: y B(F A (A);r) Como y B(A;r) D A é arbitrário, tem-se: F A (B(A;r) D A ) B(F A (A);r) ii) Seja agora y F A (B(A;r) (X\D A )). Existe x B(A;r) (X\D A ) para o qual y = F A (x). Uma vez que: X\ D = 1 Int ( X ) A K = existe, para este x, um único índice {1,...,K} tal que x Int(X ). Para este, tem-se: x B(A;r) Int(X ). Pela propriedade (2) do enunciado e pelo Lema 3.5, existe x o A Int(X ) tal que x B(x o ;r). Para este x o, vale: x-x o < r Do fato de ser x o A decorre: y o = F A (x o ) F A (A) Mas x,x o Int(X ) e F A Int(X ) é, conforme a definição de F A, a restrição a Int(X ) de uma translação. Por isto: y-y o = F A (x)-f A (x o ) = x-x o < r donde y B(y o ;r). Mas y o F A (A), portanto y B(F A (A);r). Sendo y arbitrário, vem: F A (B(A;r)\D A ) = F A (B(A;r) (X\D A )) B(F A (A);r) Desta expressão e do ítem (i) resulta: F A (B(A;r)) B(F A (A);r) como queríamos. Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: ,

10 4.2 Observações: a) Sejam A, U(A) = {X 1,..., X K} e X como no Teorema 4.1. Como A Int(X ) é não-vazio, A e X são, para todo {1,...,K}, não-separados. Pelo Corolário V de Knaster & Kuratowsi (1921, p.210), X é conexo. b) Seja Y I m invariante por F A. Decorre do Teorema 3.2 de Crispino (1999b, p.658) que Y é também invariante por F A. Pode-se portanto supor, sem perda de generalidade, que os conjuntos invariantes por F A são fechados, e portanto compactos. 4.3 Teorema: Seja A I m compacto e invariante por F A. Sejam A 1,...,A L as componentes conexas de A. Para cada l = 1,...,L, seja U(A L ) = {X L1,...,X LK(l) } D a classe formada pelos M D tais que A L Int(M). Suponhamos U(A L ) não-vazia para cada l = 1,...,L. Seja X l = K = ( 1 l) Xl. Suponhamos também que as componentes conexas A 1,...,A L de A são convexas e que, para cada l = 1,...,L, valem as seguintes propriedades: 1) d(a l, X l ) > 0. 2) B(A l ;r) X l = B(A l X l ;r) X l, r > 0, = 1,...,K(l). Nestas condições, A é estável. Demonstração: Seja: ρ = Min{d(A l, X l ) ; l = 1,...,L} Então, ρ é um número real positivo. Do Teorema 4.1 segue: 0 < r ρ F A (B(A l ;r)) B(F A (A l );r) (4.3.1) a afirmação acima sendo verdadeira para cada l = 1,...,L. Sendo A invariante por F A, tem-se F A (A l ) F A (A) A, e portanto: B(F A (A l );r) B(F A (A);r) B(F A (A;r), r > 0, l = 1,...,L Destas expressões e de tira-se: 294 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 2001

11 0 < r ρ F A (B(A l ;r)) B(A;r), l = 1,...,L (4.3.2) Do Lema 4.2 de Crispino (1999a, p.676) decorre: B A; r) = L l 1 B( Al ; r) ( = seja qual for r > 0. Portanto, de e da igualdade acima obtem-se: 0 < r ρ F A (B(A;r)) B(A;r) do que resulta: 0 < r ρ O + (A;B(A;r)) B(A;r) o que prova o teorema. CRISPINO, M. L. Stability of Invarfiant Sets for a Class of Discontinuous Pertubations of the Identity Map. Rev. Mat. Estat. (São Paulo), v.19, p , ABSTRACT: In this wor, we obtain sufficient conditions for stability of invariant sets for a class of discontinuous perturbations F A :I m I m of the identity map. Here, I m = [0,1] m, and A is a parameter belonging to R mn. KEYWORDS: Discrete dynamical systems, finite difference equations. 5 Referências bibliográficas 1 BERGE. C. Espaces Topologiques, Paris: Dunod, 1959 (272p.) 2 CRISPINO, M. L. Dinâmica de Uma Classe de Perturbações Descontínuas da Identidade, In: SEMINÁRIO BRASILEIRO DE ANÁ- LISE, 44, 1996, Ribeirão Preto. p CRISPINO, M. L. Propriedades dos Pontos de Periodicidade e Estabilidade de Conjuntos Invariantes por Uma Classe de Funções Descontínuas, In: SEMINÁRIO BRASILEIRO DE ANÁLISE, 49, 1999, Campinas. p CRISPINO, M. L. Propriedades de Órbitas Aperiódicas de Uma Classe de Funções Descontínuas, In: SEMINÁRIO BRASILEIRO DE ANÁLISE, 50, 1999, São Paulo. p Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: ,

12 5 LIMA, E. L. Espaços Métricos, Rio de Janeiro: IMPA, CNPq, p. 6 LIMA, E. L. Curso de Análise, Rio de Janeiro: IMPA, CNPq, p. 7 KNASTER, B., KURATOVSKI, C. Sur les Ensembles Connexes, Varsóvia: Fund. Math. T2, 1921, p SCHWARZ, L. Topologie Générale et Analyse Fonctionelle, Paris: Hermann, p. 296 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 19: , 2001