Teoria da Medida e Integração (MAT505)

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1 Transporte de medidas Teoria da Medida e Integração (MAT505) Transporte de medidas e medidas invariantes. Teorema de Recorrência de Poincaré V. Araújo Instituto de Matemática, Universidade Federal da Bahia Mestrado em Matemática, UFBA, 2014

2 Outra forma de construir medidas Dados (X, A, μ) espaço de medida e X um conjunto com T : X X uma aplicação qualquer, podemos usar T para criar um espaço de medida (X, A, μ ) naturalmente associado a T e a (X, A, μ). Dizemos que (X, A ) é espaço mensurável se X é qualquer conjunto não vazio e A uma σ-álgebra de subconjuntos de X. Dados dois espaços mensuráveis (X, A), (X, A ) uma aplicação T : X X é A A -mensurável (ou apenas mensurável se as σ-álgebras estiverem subentendidas) se, para todo A A vale T 1 (A ) A.

3 Outra forma de construir medidas Dados (X, A, μ) espaço de medida e X um conjunto com T : X X uma aplicação qualquer, podemos usar T para criar um espaço de medida (X, A, μ ) naturalmente associado a T e a (X, A, μ). Dizemos que (X, A ) é espaço mensurável se X é qualquer conjunto não vazio e A uma σ-álgebra de subconjuntos de X. Dados dois espaços mensuráveis (X, A), (X, A ) uma aplicação T : X X é A A -mensurável (ou apenas mensurável se as σ-álgebras estiverem subentendidas) se, para todo A A vale T 1 (A ) A.

4 Exemplo padrão de medida transportada Dados (X, A, μ) espaço de medida e X um conjunto com T : X X uma aplicação qualquer, seja A = {A X : T 1 (A ) A}. Como a pré-imagem respeita as operações entre conjuntos (a pré-imagem da interseção, união, diferenças etc é a interseção, união, diferença das pré-imagens), é fácil verificar que A é uma σ-álgebra. Dados (X, A, μ) espaço de medida, (X, A ) um espaço mensurável e T : X X uma aplicação mensurável, definimos a medida transportada (ou medida imagem ) de μ por T como a função T μ = μt 1 = μ : A [0, + ], μ (A ) = μ(t 1 A ).

5 Exemplo padrão de medida transportada Dados (X, A, μ) espaço de medida e X um conjunto com T : X X uma aplicação qualquer, seja A = {A X : T 1 (A ) A}. Como a pré-imagem respeita as operações entre conjuntos (a pré-imagem da interseção, união, diferenças etc é a interseção, união, diferença das pré-imagens), é fácil verificar que A é uma σ-álgebra. Dados (X, A, μ) espaço de medida, (X, A ) um espaço mensurável e T : X X uma aplicação mensurável, definimos a medida transportada (ou medida imagem ) de μ por T como a função T μ = μt 1 = μ : A [0, + ], μ (A ) = μ(t 1 A ).

6 Verificação de que medida transportada é medida De fato, μ ( ) = μ(t 1 ) = μ( ) = 0 e é claro que μ 0. Se A n, A A satisfazem A = n A n, então μ (A ) = μ T 1 A n = μ T 1 (A n ) n = μ(t 1 A n ) = μ (A n ). n n o que prova a σ-aditividade de μ. n

7 Mudança de variáveis Medidas imagens estão naturalmente relacionadas com mundança de variáveis em integrais, como segue. Proposição Sejam (X, A, μ) espaço de medida, (X, A ) um espaço mensurável e T : X X uma aplicação mensurável. Para μ = T μ vale 1 se g : X [0, + ] é A -mensurável, então g T é A-mensurável e X g dμ = X g T dμ; 2 g : X R(C) é μ -integrável se, e só se, g T é μ-integrável e, nesse caso, X g dμ = X g T dμ.

8 Prova da proposição sobre mudança de variáveis Se g : X [, + ] é A -mensurável e T é A A -mensurável, então para um dado intervalo I em [, + ] sua pré-imagem por g T é T 1 (g 1 I), mas g 1 I A, logo T 1 (g 1 I) A. Isto significa que g T é A-mensurável. Caso a: Começamos com g = 1 A, A A. Então 1A dμ = μ (A ) = μ(t 1 A ) = 1 T 1 A dμ = 1 A T dμ. Por linearidade do integral, esta relação vale para toda função A -simples g = r n=1 a n1 A, onde a 1,..., a n r R e A 1,..., A n A. No caso geral, seja g = n 1 a n1 A n com a n 0, A n A uma função A -mensurável não negativa e aplicamos o Teorema da Convergência Monótona.

9 Prova da proposição sobre mudança de variáveis Se g : X [, + ] é A -mensurável e T é A A -mensurável, então para um dado intervalo I em [, + ] sua pré-imagem por g T é T 1 (g 1 I), mas g 1 I A, logo T 1 (g 1 I) A. Isto significa que g T é A-mensurável. Caso a: Começamos com g = 1 A, A A. Então 1A dμ = μ (A ) = μ(t 1 A ) = 1 T 1 A dμ = 1 A T dμ. Por linearidade do integral, esta relação vale para toda função A -simples g = r n=1 a n1 A, onde a 1,..., a n r R e A 1,..., A n A. No caso geral, seja g = n 1 a n1 A n com a n 0, A n A uma função A -mensurável não negativa e aplicamos o Teorema da Convergência Monótona.

10 De fato, basta começar com uma soma parcial para a qual vale m n=1 n=1 a n 1 A n dμ = m n=1 a n 1 A n T dμ e fazer m obtendo pelo Teorema da Convergência Monótona g dμ = a n 1 A dμ = a n n 1 A T dμ = g T dμ. n n=1 Caso b: g : X R é μ -integrável. Temos então g = g + g com g ± não negativas e A -mensuráveis. Portanto, pelo caso anterior, g ± é μ -integrável se, e só se, g ± T é μ-integrável.

11 De fato, basta começar com uma soma parcial para a qual vale m n=1 n=1 a n 1 A n dμ = m n=1 a n 1 A n T dμ e fazer m obtendo pelo Teorema da Convergência Monótona g dμ = a n 1 A dμ = a n n 1 A T dμ = g T dμ. n n=1 Caso b: g : X R é μ -integrável. Temos então g = g + g com g ± não negativas e A -mensuráveis. Portanto, pelo caso anterior, g ± é μ -integrável se, e só se, g ± T é μ-integrável.

12 Segue que g é μ -integrável se, e só se, g T é μ-integrável e, neste caso, temos, também pelo caso anterior g dμ = g + dμ g dμ = g + T dμ g T dμ = g T dμ. Finalmente, o caso g : X C decorre do caso real de maneira análoga escrevendo g = g 1 + ig 2 com g 1, g 2 : X R funções A -mensuráveis e argumentando com g 1 e g 2 separadamente.

13 Segue que g é μ -integrável se, e só se, g T é μ-integrável e, neste caso, temos, também pelo caso anterior g dμ = g + dμ g dμ = g + T dμ g T dμ = g T dμ. Finalmente, o caso g : X C decorre do caso real de maneira análoga escrevendo g = g 1 + ig 2 com g 1, g 2 : X R funções A -mensuráveis e argumentando com g 1 e g 2 separadamente.

14 Medida transportada para os toros Podemos pensar em S 1 = {z C : z = 1} como a imagem de Γ : R S 1 definida como t R e i 2πt = (cos(2πt), sin(2πt)). Como Γ é contínua, então é Borel-mensurável. Seja ˆΓ = Γ [0, 1) e λ a medida de Lebesgue em [0, 1) nos borelianos. Definimos uma medida boreliana μ em S 1 por ˆΓ (λ), isto é, μ(b) = λ(ˆγ 1 B) para todo boreliano B em S 1. Analogamente, Υ : [0, 1) n T n = (S 1 ) n dada por (t 1,..., t n ) (e i 2πt 1,..., e i 2πt n ) induz no n-toro T n uma medida boreliana ν = Υ (m) onde m é a medida de Lebesgue em [0, 1) n definida nos borelianos.

15 Medida transportada para os toros Podemos pensar em S 1 = {z C : z = 1} como a imagem de Γ : R S 1 definida como t R e i 2πt = (cos(2πt), sin(2πt)). Como Γ é contínua, então é Borel-mensurável. Seja ˆΓ = Γ [0, 1) e λ a medida de Lebesgue em [0, 1) nos borelianos. Definimos uma medida boreliana μ em S 1 por ˆΓ (λ), isto é, μ(b) = λ(ˆγ 1 B) para todo boreliano B em S 1. Analogamente, Υ : [0, 1) n T n = (S 1 ) n dada por (t 1,..., t n ) (e i 2πt 1,..., e i 2πt n ) induz no n-toro T n uma medida boreliana ν = Υ (m) onde m é a medida de Lebesgue em [0, 1) n definida nos borelianos.

16 Medidas borelianas em superfícies diferenciáveis Para definir medidas em superfícies se usa também medida transportada por parametrizações, como no exemplo anterior do toro, embora em geral as superfícies diferenciáveis não admitam parametrização sobrejetiva (os toros são casos particulares). Usamos então o que se chama de partição da unidade associada a uma cobertura da superfície por parametrizações, para decompor qualquer função em soma cujos termos são não nulos apenas na imagem de uma parametrização. E a integração se processa somando a integral de cada termo via mudança de variáveis.

17 Medidas invariantes Seja (X, A, μ) espaço de medida e T : X uma aplicação mensurável. A medida μ diz-se invariante, ou T-invariante, ou que T preserva μ, se T μ = μ, ou seja, se μ(t 1 A) = μ(a) para todo A A. Esta relação estreita entre μ e T permite estudar os iterados de T usando μ de maneiras não triviais cujo estudo originou toda uma área da Matemática, a Teoria Ergódica, com muitas interseções com Probabilidade e Processos Estocásticos. O teorema que inaugurou esta área foi o Teorema de Recorrência de Poincaré.

18 Teorema de Recorrência de Poincaré Teorema (Poincaré, final do século XIX) Seja (X, A, μ) espaço de medida finita e seja T : X aplicação mensurável que preserva μ. Para qualquer A A, o conjunto A 0 dos pontos de A tais que T n (x) = (T. n.. T)(x) A para infinitos n 0 satisfaz μ(a) = μ(a 0 ). Notemos que a conclusão do teorema significa que μ(a \ A 0 ) = 0 e, por isso, também se diz que quase todos os pontos de A retornam infinitas vezes a A por ação de T.

19 Necessidade de medida finita A conclusão do Teorema de Poincaré não é verdadeira, em geral, se a medida μ não for finita. Um exemplo simples: seja T : Z a translação de 1 unidade, isto é, T(x) = x + 1, x Z. É fácil verificar que f deixa invariante a medida de contagem em Z (que é infinita). Por outro lado nenhum subconjunto admite pontos que retornam para ele. Em particular, esta transformação T não admite medidas invariantes finitas! É possível obter conclusões semelhantes em certos casos de medidas invariantes infinitas.

20 Exemplo de aplicação Vamos ver que: a maior parte dos números entre 0, 7 e 0, 8 tem expansões decimais em que o número 7 aparece infinitas vezes! Um número x [0, 1) se exprime na forma decimal 0, a 1 a 2 a 3... com a i {0, 1,..., 9} com infinitas vezes o número 7 se existem infinitos i tais que a i = 7. Outra maneira é multiplicar por 10 e esquecer a parte inteira, obtendo sucessivamente 0,a 2 a ,a 3 a 4... e assim x tem infinitas vezes o número 7 na sua expressão decimal se os números obtidos por este processo estão no intervalo [0, 7; 0, 8) infinitas vezes.

23 Para formalizar a ideia de multiplicar por 10 e esquecer a parte inteira consideramos a função T : [0, 1), x {10x} = 10x [10x], onde [x] é a parte inteira de x R, definida como [x] = sup{k Z : k x} e {x} = x [x] é a parte fracionária de x. Se provarmos que T preserva a medida de Lebesgue λ em [0, 1), então sabemos que λ-qtp. de J = [0, 7; 0, 8) têm órbitas que voltam infinitas vezes a J, tal como queríamos mostrar. Note que λ([0, 1)) = 1 logo λ é probabilidade e que λ(j) > 0, portanto λ-quase todo ponto em J tem um significado não trivial.

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27 T preserva a medida de Lebesgue no intervalo Queremos mostrar que λ(t 1 B) = λ(b) para todo boreliano B [0, 1). Comecemos por supor que B é um intervalo. Tal como ilustrado na figura, T 1 B é formada por dez intervalos, cada um deles dez vezes mais curto do que B. Portanto, λ(t 1 B) = λ(b) e a relação que procuramos vale no caso de intervalos. Segue que esta relação vale no caso de uniões finitas de intervalos disjuntos. A família obtida por todas as uniões finitas de intervalos de [0, 1) é uma álgebra que gera a σ-álgebra de Borel de [0, 1). Vamos ver que verificar a invariância de uma medida numa álgebra que gera a σ-álgebra onde a medida está definida é suficiente para concluir que a medida é invariante.

28 Lema Seja (X, A, μ) espaço de medida finita e seja T : X aplicação mensurável. Se existe uma álgebra A 0 A tal que σ(a 0 ) = A e todo B A 0 satisfaz μ(t 1 B) = μ(b), então a relação μ(t 1 B) = μ(b) vale também para todo B A, e μ é T-invariante. A prova se resume a mostrar que C = {B A : μ(t 1 B) = μ(b)} é um clase monótona. Como C A 0 e σ(a 0 ) = A, então pelo Lema da Classe Monótona, C = A. Se B 1 B 2... é sequência crescente em C, então μ(t 1 ( n B n )) = μ( n T 1 B n ) = lim n μ(t 1 B n ) e portanto n B n C. = lim n μ(b n ) = μ( n B n )

29 Como a medida μ é finita, podemos aplicar o mesmo argumento a uma sequência descrescente B 1 B 2... em C para concluir que n B n C. Portanto C é classe monótona e a prova do lema termina aqui. Segue então que a transformação Tx = {10x} do exemplo preserva a medida de Lebesgue λ em [0, 1), como queríamos mostrar.

30 Versão topológica do Teorema de Recorrência Vamos agora assumir que X é um espaço topológico que admite uma base enumerável de abertos, ou que é separável (tem subconjunto enumerável denso). Esta hipótese é satisfeita em muitos exemplos interessantes. Dizemos que um ponto x X é recorrente para uma transformação T : X se, para toda vizinhança U de x, existe n Z + tal que T n (x) U. Teorema Suponhamos que X é espaço topológico que admite base enumerável de abertos. Seja T : X uma transformação Borel mensurável e μ uma medida invariante boreliana finita que é T-invariante. Então μ-qtp. x M é recorrente para T.

31 Exemplo de aplicação da versão topológica Seja T : S 1 dada por e 2πit e 2πi(t+α) para α > 0 fixado: é uma rotação de S 1 de ângulo α radianos. Se α 2π R \ Q então não existem órbitas periódicas, pois se e 2πit fosse um ponto de tal órbita, existiria n 1 tal que T n (e 2πit ) = e 2πit, ou seja, e 2πi(t+nα) = e 2πit. Portanto existe k Z tal que 2π(t + nα) = 2πt + 2kπ, ou seja, α = k/n o que contraria a suposição de que α é irracional. A medida μ em S 1 correspondente ao comprimento (induzida por λ via Γ) é uma probabilidade invariante por T (os intervalos/arcos em S 1 têm medida invariante e formam uma álgebra que gera os Borelianos de S 1 ). Aplicando o Teorema de Recorrência vemos que quase todo ponto retorna infinitamente perto de si mesmo, apesar de não existirem pontos periódicos.

34 Prova do Teorema de Recorrência: versão mensurável É suficiente provar a seguinte Proposição Seja T : (X, A) mensurável, μ medida invariante finita e E A com μ(e) > 0. Então, μ-qtp. x E tem algum iterado n 1 tal que T n (x) E. De fato, se E k for o conjunto dos pontos x E que voltam a E exatamente k vezes, para k 1, então o conjunto dos pontos que voltam a E apenas um número finito de vezes é k=1 E k. Portanto, para provar o Teorema de Recorrência, basta mostrar que μ(e k ) = 0 para todo k 1, pois então μ( k=1 E k) = 0, ou seja, o conjunto dos pontos que não retorna infinitas vezes a E tem μ-medida nula.

35 Prova do Teorema de Recorrência: versão mensurável É suficiente provar a seguinte Proposição Seja T : (X, A) mensurável, μ medida invariante finita e E A com μ(e) > 0. Então, μ-qtp. x E tem algum iterado n 1 tal que T n (x) E. De fato, se E k for o conjunto dos pontos x E que voltam a E exatamente k vezes, para k 1, então o conjunto dos pontos que voltam a E apenas um número finito de vezes é k=1 E k. Portanto, para provar o Teorema de Recorrência, basta mostrar que μ(e k ) = 0 para todo k 1, pois então μ( k=1 E k) = 0, ou seja, o conjunto dos pontos que não retorna infinitas vezes a E tem μ-medida nula.

36 A prova de que μ(e k ) = 0 pode ser feita por contradição: suponhamos que μ(e k ) > 0 para algum k 1. Então, aplicando a proposição com E k no lugar de E, vemos que qtp. x E k tem algum iterado T n (x) E k. Fixemos um tal x e denotemos y = T n (x). Por construção, y tem exatamente k iterados futuros que estão em E. Como y é um iterado de x, isso implica que x tem k + 1 iterados futuros em E. Mas isso contradiz o fato de que x E k! Esta contradição prova que E k tem μ-medida nula, e portanto o Teorema de Recorrência está demonstrado a partir da proposição.

39 Prova da proposição Seja E 0 o conjunto dos pontos x E que nunca regressam a E. Queremos provar que μ(e 0 ) = 0. Vamos começar por notar que as pré-imagens {T n (E 0 )} n 0 formam uma família disjunta: se existissem m > n 1 e x X tais que x T m (E 0 ) T n (E 0 ) Então y = T n (x) E 0 e T m n (y) = T m (x) E 0 e E 0 E. Portanto y retorna pelo menos uma vez a E, contradizendo a definição de E 0. Como μ é finita e T-invariante, segue que μ T n (E 0 ) = n=0 μ(t n (E 0 )) = n=0 μ(e 0 ) <. n=0 Isto só é possível se μ(e 0 ) = 0, tal como foi afirmado.

42 Prova do Teorema de Recorrência: versão topológica Supomos que o espaço X é espaço topológico que admite uma base enumerável de abertos, ou seja, uma família enumerável {U k : k Z + } de abertos tal que todo aberto de X pode ser escrito como união de elementos U k dessa família. Para cada k, seja U 0 k o conjunto dos pontos x U k que nunca regressam a U k. De acordo com a primeira versão do Teorema de Recorrência, μ(u 0 ) = 0. Logo k Ũ = k 1 U 0 tem medida nula. Portanto, para terminar a k prova é suficiente mostrar que x X \ Ũ é recorrente.

43 Prova do Teorema de Recorrência: versão topológica Supomos que o espaço X é espaço topológico que admite uma base enumerável de abertos, ou seja, uma família enumerável {U k : k Z + } de abertos tal que todo aberto de X pode ser escrito como união de elementos U k dessa família. Para cada k, seja U 0 k o conjunto dos pontos x U k que nunca regressam a U k. De acordo com a primeira versão do Teorema de Recorrência, μ(u 0 ) = 0. Logo k Ũ = k 1 U 0 tem medida nula. Portanto, para terminar a k prova é suficiente mostrar que x X \ Ũ é recorrente.

44 Seja U vizinhança de x. Por definição de base de abertos, existe k 1 tal que x U k U. Como x / Ũ, então x / U0, e portanto x tem algum k iterado T n (x) U k U para algum n 1. Como a vizinhança U é arbitrária, isto prova que x é um ponto recorrente e termina a demonstração da versão topológica do Teorema de Recorrência.