Teoria Ergódica (9 a aula)

Transcrição

1 Outubro 2012

2 Espaços de Sequências Seja (X, d 0 ) um espaço métrico compacto. B Z (X ) = X Z = { x = (x j ) j Z : x j X, j Z } B N (X ) = X N = { x = (x j ) j N : x j X, j N } B(X ) designa indiferentemente qualquer destes espaços Proposição B(X ) é um espaço métrico compacto quando munido da métrica d(x, y) = d 0 (x j, y j ) 2 j. j A convergência associada a esta métrica é a convergência pontual, i.e. lim n + x (n) = x lim n + x (n) j = x j, j.

3 Espaços de Símbolos Um espaço de símbolos finito X = {1,..., n}, munido da métrica discreta { 0 se i = j d 0 (i, j) =, 1 se i j é o exemplo mais simples dum espaço métrico compacto. Os espaços de sequências de símbolos no conjunto {1,..., n} designam-se respectivamente por B Z (n) e B N (n), ou simplesmente B(n).

4 Os Shifts Chama-se shift (bilateral) ao homeomorfismo σ : B Z (X ) B Z (X ) definido por σ(x) = (x n+1 ) n Z. Chama-se shift (unilateral) ao mapa contínuo σ : B N (X ) B N (X ) definido por σ(x) = (x n+1 ) n N.

5 Cilindros num Espaço de Sequências Dados borelianos A 0,..., A n num espaço métrico compacto X, o conjunto C[k, A 0,..., A n ] = { x B(X ) : x k A 0,..., x k+n A n } diz-se um cilindro de B(X ). Cada cilindro é um produto cartesiano infinito com um número finito de factores não triviais.

6 A Topologia Produto Chama-se cilindro aberto de B(X ) a um cilindro C[k, A 0,..., A n ] em que os conjuntos A 0,..., A n sejam abertos de X. Os cilindros abertos formam uma base de abertos do espaço B(X ), i.e., qualquer aberto de B(X ) é uma união de cilindros abertos.

7 Teorema de Extensão de Caratheodory Chama-se semi-álgebra de partes de X a uma classe A P(X ) que contem e X, é fechada para intersecções, e tal que a diferença de quaisquer dois elementos de A se escreve como união disjunta finita de elementos de A. Chama-se pre-medida a uma função µ : A [0, + ] que seja σ-aditiva e tal que µ( ) = 0. A pre-medida µ diz-se σ-finita se existirem A 1, A 2,... A tais que X = n 1 A n e µ(a n ) < + para cada n 1. Teorema Dada uma pre-medida σ-finita µ : A [0, + ] sobre uma semi-álgebra A, existe uma única medida µ : σ(a) [0, + ] que é uma extensão de µ.

8 A Álgebra dos Cilindros Os cilindros de B(X ) formam uma semi-álgebra de partes de B(X ). 1. e B(X ) são cilindros, 2. A e B são cilindros A B é um cilindro, 3. A e B são cilindros A B é uma união disjunta dum número finito de cilindros. Chama-se álgebra dos cilindros à álgebra formada pelas uniões finitas de cilindros (disjuntos dois a dois) de B(X ).

9 σ-álgebra dos Borelianos de B(X ) Proposição São iguais as σ-álgebras geradas por: 1. todos os abertos de B(X ), 2. todos os cilindros abertos de B(X ), 3. todos os cilindros de B(X ). Esta σ-álgebra diz-se a σ-álgebra dos borelianos de B(X ).

10 Construção de Medidas Produto Dada uma medida de probabilidade de Borel regular µ sobre os borelianos de X, define-se para cada cilindro µ (C[k, A 0,..., A n ]) = µ(a 0 ) µ(a 1 )... µ(a n ). Proposição Assim definida, µ é uma pré-medida na semi-álgebra dos cilindros de B(X ).

11 Medidas de Bernoulli Pelo teorema de extensão de Caratheodory a medida µ estende-se a uma medida de probabilidade µ na σ-álgebra dos borelianos de B(X ). No espaço produto B Z (X ), resp. B N (X ), a medida µ é o que se chama uma medida produto, sendo denotada por µ Z, resp. µ N. A medida µ diz-se também uma medida de Bernoulli. Proposição Partindo duma probabilidade de Borel regular µ sobre os borelianos de X, as medidas de Bernoulli associadas em B Z (X ) e B N (X ) são também medidas de Borel regulares.

12 O Shift Preserva as Medidas de Bernoulli Proposição Os shifts σ : B Z (X ) B Z (X ) e σ : B N (X ) B N (X ) são transformações que preservam todas as medidas de Bernoulli nos espaços B Z (X ) e B N (X ). Chama-se Shift de Bernoulli a qualquer um destes shifts visto como transformação que preserva uma medida de Bernoulli.

13 Variáveis Aleatórias Sejam (Ω, A, P) um espaço de probabilidade, (X, d) um espaço métrico compacto, e B a σ-álgebra dos borelianos de X. Chama-se variável aleatória a qualquer função mensurável ξ : Ω X. Chama-se evento de ξ a qualquer conjunto A-mensurável da forma [ ξ B ] = ξ 1 (B), onde B B é um boreliano. Chama-se distribuição de probabilidade induzida por ξ à medida µ em (X, B) definida por: µ(b) = P[ ξ B ].

14 Processos Estocásticos Chama-se processo estocástico a uma sucessão de variáveis aleatórias ξ n : Ω X indexada no tempo T = N ou T = Z. Um processo estocástico determina uma função ξ : Ω B T (X ), definida por ξ (ω) = {ξ n (ω)} n T, que é mensurável relativamente à σ-álgebra dos borelianos de B T (X ). O cilindro C[k, A 0,..., A n ] de B T (X ) determina o evento em A, [ ξ k A 0,..., ξ k+n A n ] = ξ 1 ( C[k, A 0,..., A n ] ). Chama-se distribuição conjunta induzida pelo processo ξ n à medida µ sobre os borelianos de B T (X ) definida por: µ(b) = P[ ξ 1 (B) ].

15 Processos Estocásticos I. I. D. Um processo estocástico diz-se independente e idênticamente distribuído, i.e., i.i.d., sse k, n T, A 0,..., A n B, 1. P[ ξ k A 0,..., ξ k+n A n ] = P[ ξ k A 0 ]... P[ ξ k+n A n ], 2. P[ ξ 0 A ] = P[ ξ n A ]. Teorema Seja {ξ n } n T um processo estocástico i.i.d. Seja µ a distribuição conjunta por ele induzida e µ a distribuição de probabilidade induzida por qualquer das variáveis ξ n. Então µ = µ T é uma medida de Bernoulli, i.e., uma medida produto.

16 Shifts de Bernoulli: Interpretação Probabiĺıstica O shift de Bernoulli σ : B T (X ) B T (X ) que preserva uma medida µ T determina um processo estocástico i.i.d. com valores em X, e distribuição comum µ. Definindo ϕ 0 : B T (X ) X, ϕ 0 (x) = x 0, e para cada n T, ϕ n : B T (X ) X, ϕ n (x) = (ϕ 0 σ n )(x) = x n. {ϕ n : B T (X ) X } n T é um processo i.i.d. rel. µ T. Qualquer processo i.i.d é equivalente a um processo i.i.d. determinado por um shift de Bernoulli (Ω, A, P) ξ ξ n (X, B, µ) ( BT (X ), B, µ T ) ϕn (X, B, µ)