13 de novembro de 2007

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1 13 de novembro de 2007

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3 Objetivos - Definição Subgrupos Axiomas de Separação Bases e Sistema fundamental de vizinhanças para a identidade Euclidianos e o Quinto Problema de Hilbert

4 Objetivos - Medida de Existência e Unicidade de um funcional com propriedades razoáveis em um grupo topológico localmente compacto. Idéia da demonstração original para grupos topológicos localmente compactos e separáveis segundo Alfred. Resultado devido à Resultado devido à

5 Definição (Grupo Topológico) Um Grupo Topológico é uma trinca (G,, τ), onde (G, ) é um grupo algébrico e (G, τ) um espaço topológico, no qual as operações: (i) (x, y) G G x y G (ii) x G x 1 G são contínuas.

6 Axiomas de Separação Proposição Para um grupo topológico G, as seguintes afirmações são equivalentes: (i) G é um espaço T 0 (ii) G é um espaço T 1 (iii) G é um espaço T 2 (iv) U = {e}, onde U é um sistema fundamental de vizinhanças da identidade.

7 Homogeneidade de Sejam G um grupo topológico e a G. As aplicações L a : x G ax G R a : x G xa G I v : x x 1 são homeomorfismos de G em G.

8 Base de Abertos Proposição Sejam G um grupo topológico e B uma base de abertos para a identidade, e G. Então as famílias {Ux : x G} U B e {xu : x G} U B formam uma base de abertos para G.

9 Definição Dizemos que um Grupo Topológico G é localmente compacto se este possui um sistema fundamental de vizinhanças compactas para o elemento neutro e G.

10 Considere (G,τ) um grupo topológico e H um subgrupo de G. Considere a aplicação canônica π : G G H, que associa a cada elemento de G a sua classe de equivalência. Vamos definir uma topologia em G H da seguinte maneira: τ G H = {Y G H : π 1 (Y ) τ}

11 Euclidianos Definição Um Espaço Topológico X é dito localmente euclidiano se existe um (único) inteiro positivo n tal que para todo x X existe uma vizinhança aberta U homeomorfa a um subconjunto aberto do R n.

12 O Quinto Problema de Hilbert Who among us would not be happy to lift the veil behind which is hidden the future; to gaze at the coming developments of our science and at the secrets of its development in the centuries to come? What will be the ends toward which the spirit of future generations of mathematicians will tend? What methods, what new facts will the new century reveal in the vast and rich field of mathematical thought? - David Hilbert, durante a palestra The Problems of Mathematics, proferida no Segundo Congresso Internacional de Matemáticos (Paris 1900).

13 O Quinto Problema de Hilbert Proposição Toda variedade é localmente Euclidiana e, portanto, localmente compacta. E a recíproca desse problema? Quando um espaço localmente Euclidiano torna-se uma variedade? Para grupos topológicos esse problema foi modificado e transformado no quinto problema de Hilbert. Proposição (Gleason,-Montogomery-Zippin) Um Grupo Euclidiano não tem subgrupos pequenos (small subgroups) e é isoformo a um Grupo de Lie.

14 (Motivação) Para fixar idéias, considere o grupo dos números reais aditivos (sabemos que é um grupo topológico localmente compacto). Queremos investigar a existência de uma função m : B R { }, onde B é σ-anel gerado pelos subconjuntos compactos que, para subconjuntos X,Y da reta, os quais chamaremos de mensuráveis, valham as seguintes propriedades: (i) 0 m(x ) se X R for mensurável. (ii) m( X i ) = m(x i ) para toda família X i enumerável de partes mensuráveis, dois a dois disjuntos. (iii) m(y + X ) = m(x ), y R, onde X é mensurável e y + X também deverá ser. (iv) A medida é finita sobre os subconjuntos compactos.

15 Teorema (Weil) Seja G um grupo topológico localmente compacto e Hausdorff. Então existe um funcional I C + o (G), o qual é não trivial (não é identicamente nulo), não-negativo, invariante à esquerda, positivamente homogêneo e aditivo.

16 Unicidade da Medida de (Weil) Teorema Seja G um grupo topológico localmente compacto e Hausdorff. Então o funcional I, determinado no teorema anterior, é único a menos de uma constante. Mais precisamente, se J é um outro funcional em C + o (G) não-trivial, não-negativo, positivamente homogêneo, invariante à esquerda e aditivo, então existe uma constante c R, c > 0 tal que: J(f ) = ci (f ), f C + 0 (G)

17 Definição O funcional linear I é chamado de Integral de. A medida de está definida no σ-anel gerado pelo subconjuntos compactos e para cada subconjunto compacto A de G definimos: µ(a) = inf{i (f ) f 1 em, f C + 0 (G)}

18 Teorema (Aproximação) Considere G um grupo topológico e f C + o (G). Sejam ɛ > 0 e V uma vizinhança da identidade e G tal que (y 1 x V f (x) f (y) ɛ x, y G). Fixe h C + o (G), h 0, tal que h[g V ] = 0. Então para cada ɛ > ɛ podemos obter uma família {s i } G e números reais c i > 0 ta que para todo x G: f (x) n i=1 c i h(s 1 i x) < ɛ

19 Weil Seja G um grupo topológico. Sejam f, g : G R funções tais que g 0, g 0. Consideremos todas as sequências finitas de números reais positivos {c i } e todos os conjuntos finitos {x i } G tais que: Definimos (f : g) = f (x) n i=1 c i g(x 1 i x) x G inf { n i=1 c i f (x) n caso não existam {c i } e {x i } nas condições acima. i=1 c ig(x 1 x)} i

20 O que não tem medida nem nunca terá, (...) o que não tem conserto nem nunca terá (...) o que não tem tamanho. - O que será?, Chico Buarque de Holanda. Sobre a existência de subconjuntos não mensuráveis na reta real.

21 Definição Dado uma classe de conjuntos X, um σ-anel é um conjunto não-vazio tal que: (a) A X e B X = A B X (b) A i X, i N = i=1 A i X

22 Proposição Dado uma classe de conjuntos X, existe um único σ-anel R 0 tal que X R 0 e tal que se R é um outro σ-anel contendo X então R 0 R. O σ-anel R 0 é chamado de σ-anel gerado por X, e será denotado por R(E). Uma medida µ é uma função, definida num σ-anel,tomando valores na reta extendida, que é não negativa, enumeravelmente aditiva.

23 Definição (Grupo de Lie) Uma variedade G, que é também um grupo topológico, é chamada Grupo de Lie se as aplicações (i) (x, y) G G x y G (ii) x G x 1 G são C.

24 (a) Seja f uma função à valores reais definidas em um subconjunto aberto Ω R n. Dizemos que f é de classe C se esta função admite derivadas parciais mistas de todas as ordens e se estas são contínuas em Ω. (b) Seja X um espaço topológico. Dizemos que um conjunto A é um atlas de classe C em X se os elementos de A são pares (U α, ψ α ), α Λ, Λ conjunto de índices, satisfazendo as seguintes condições: (i) Cada U α é um subconjunto aberto de X, e X α Λ U α (ii) Cada ψ α é um homeomorfismo de U α em um subconjunto aberto ψ α [U α ] R n para algum n N fixado. (iii) Se U α U β então ψ α ψ 1 β : ψ β[u α U β ] ψ α [U α U β ] é de classe C.

25 (iv) Seja (U, ψ) um par consistindo em um subconjunto aberto U de X e um homeomorfismo ψ : U ψ[u]. Se para cada par (U α, ψ α ) A no qual U α U, a aplicação ψ α ψ 1 : ψ[u α U] ψ α [U α U] é de classe C. (c) Sejam X um espaço topológico Hausdorff e A um atlas de classe C. Dizemos que o par (X, A), é uma variedade n-dimensional C, ou simplesmente, uma variedade. Os elementos do atlas são chamados de sistemas de coordenadas da variedade.