Os números naturais. Capítulo Operações em N

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1 Capítulo 1 Os números naturais O conjunto dos números naturais, denotado por N, é aquele composto pelos números usados para contar. Na verdade, o mais correto seria dizer que é o conjunto dos números usados para enumerar, de determinar quantidades de objetos. Geralmente, diz-se que este conjunto é dado por N = {1, 2,...}. É natural perguntar o motivo de ter escrito "geralmente". E a resposta é bem simples: em alguns momentos, a existência do elemento zero é importante, em alguns outros momentos, não. Por exemplo, o 0 poderia ser tomado como elemento neutro da adição; em outros momentos, como no estudo das sequências, é mais simples dizer que o primeiro elemento é o a 1, o segundo é a 2 e assim por diante, ou seja, é mais conveniente que N comece a partir do 1. Sempre que necessário, será reforçado quando uma ou outra definição será tomada. (...) o símbolo 0 (sob diferentes formas gráficas) foi empregado inicialmente pelos maias, posteriormente pelos hindus, difundido pelos árabes e adotado no ocidente, não como um número e sim como um algarismo, com o utilíssimo objetivo de preencher uma casa decimal vazia. De resto, a opção do número natural para iniciar a sequência não se limita a escolher entre 0 e 1. Frequentemente esquecemos que, do mesmo modo que conhecemos e usamos o zero mas começamos os números naturais no 1, a Matemática grega, segundo apresentada por Euclides, não considerava 1 como um número. Nos "Elementos", encontramos as seguintes definições: "Unidade é aquilo pelo qual cada objeto é um. Número é uma multitude de unidades". (LIMA, Elon Lages. A Matemática do Ensino Médio, v. 1, p ) Uma propriedade fundamental que o conjunto dos números naturais tem está relacionada ao problema de contagem: sempre haverá um conjunto composto de números naturais com um elemento a mais, ou seja, quando uma pessoa escolhe um número natural x, existe um número que é maior 1 que esse (por exemplo, x + 1). Como consequência disto, o conjunto N é infinito. Resta agora definir como que funcionam as operações entre números naturais, no sentido de como que essas operações são feitas, mas principalmente no que elas significam e alguns detalhes nas propriedades que geralmente passam despercebidos. 1.1 Operações em N Apesar de intuitiva, devemos formalizar um pouco o que é uma operação. Considere, para começar, um conjunto não vazio C. 1 Em breve, faremos mais comentários sobre o que significa ser "maior que". 1

2 Definição 1. Uma operação binária * em C é uma função do produto cartesiano C C em C tal que : C C C (x, y) x y Traduzindo o que isso significa: dados dois elementos x e y de C, a eles corresponderá um número x y, resultado da operação entre esses dois elementos. Imagine que a operação binária (ou, num caso mais geral, uma função qualquer) é uma máquina que transforma dois números em um único resultado. Quando esta máquina recebe o par de números, ela sempre deve retornar algum resultado (ou seja, não pode "engasgar") e nem pode retornar mais de um resultado. Estas são as propriedades básicas que definem uma função. Do nosso cotidiano, lembramos das duas operações que são tomadas como as mais importantes. São elas a adição e a multiplicação: + : N N N (x, y) x + y : N N N (x, y) x y Uma primeira observação importante é observar que, ao descrever essas operações desse jeito, as respostas devem ser obrigatoriamente elementos do mesmo conjunto. Isto é, formalmente, uma propriedade muito importante da adição e multiplicação de números naturais: a soma e a multiplicação de números naturais é sempre um número natural. Chamamos essa propriedade de fechamento de N com relação à adição e multiplicação ou que N é fechado com relação à adição e multiplicação. Exercício 1.1. Algum dos conjuntos numéricos que iremos estudar não possui essa propriedade de fechamento (nem com respeito à adição nem à multiplicação). Qual é ele? Dê um contraexemplo para mostrar que a sua hipótese é verdadeira. Proposição 1. Para todos a, b, c naturais, tem-se b = c = a + b = a + c. Prova: A adição, como foi definida, é uma função que aplica o conjunto N N no conjunto N. Portanto, um elemento de N N não pode ter duas imagens distintas em N. Como b = c, os pares ordenados (a, b) e (a, c) são idênticos, qualquer que seja a N. Portanto, esses pares ordenados (a, b) e (a, c) tem mesma imagem, pela função adição, em N. A imagem de (a, b) é a + b e a imagem de (a, c) é a + c. Então a + b = a + c. Exercício 1.2. Mostre, usando uma argumentação semelhante ao da proposição anterior, que, para todos naturais a, b, c, tem-se a = b = ac = bc. Outras propriedades da adição de números naturais são: (A1 - Associatividade) x + (y + z) = (x + y) + z x, y, z N. (A2 - Comutatividade) x + y = y + x x, y, z N. Também existem propriedades da multiplicação: (M1 - Associatividade) x (y z) = (x y) z x, y, z N. 2

3 (M2 - Comutatividade) x y = y x x, y N. (M3 - Existência de elemento neutro) x 1 = 1 x = x x N. Para fins de simplificação da notação, escreveremos xy ao invés de x y. Exercício 1.3. Considere dois conjuntos A e B com m e n elementos, respectivamente. Considere também o produto cartesiano A B = {(a, b) a A, b B}. Construa uma matriz para ilustrar que A B possui m n elementos. Mais ainda: use a matriz construída para explicar a veracidade da propriedade comutativa da multiplicação. Exemplo 1. O elemento neutro da multiplicação é único. Prova: Suponha que existam dois elementos neutros 1 e 1. Como 1 é elemento neutro, então 1 1 = 1. Por outro lado, como 1 também é elemento neutro, então 1 1 = 1. Da comutatividade da multiplicação, temos que 1 = 1 1 = 1 1 = 1, ou seja, 1 = 1. Portanto, se existe um elemento neutro da multiplicação, ele deve ser igual ao número 1. Além dessas propriedades já citadas, existe uma outra que relaciona as duas operações: (D1 - Distributividade 2 ) x (y + z) = x y + x z x, y, z N. Exercício 1.4. Usando as propriedades listadas acima (e, em cada passo da demonstração, apenas elas), mostre que a distributividade é válida à direita, ou seja, que (x + y) z = x z + y z, para quaisquer números naturais x, y e z. 1.2 Ordem em N Agora formalizaremos um pouco sobre o que significa um número ser maior que outro. Intuitivamente, basta olhar para a semirreta dos números naturais e notar que um número natural m é menor que o natural n se aquele está à esquerda deste no eixo orientado para a direita. De modo um pouco mais formal, tem-se: Definição 2. Dados dois números naturais m e n, tem-se que m é menor que n se existe um número natural p tal que n = m + p. Neste caso, escreve-se m < n. Por exemplo, o número 2 é menor que o 5 pois existe um número natural (que é o 3) tal que 5 = A ordem menor que possui algumas propriedades: (Transitividade) m < n, n < p = m < p, m, n, p N. (Compatibilidade com adição e multiplicação) mp < np, m, n, p N. m < n = m + p < n + p e Exercício 1.5. Mostre utilizando a definição da ordem, que as primeiras propriedades são, de fato, válidas. 2 Mais correto seria escrever "distributividade da multiplicação em relação à adição". 3

4 1.3 Axiomas de Peano Tudo o que fizemos até aqui teve um pouco mais de formalidade matemática do que estamos acostumados, mas ainda assim é necessário revisitar o tema mais uma vez, inspirando-se no modo que a Teoria dos Conjuntos (que pouco se parece com as nossas ideias intuitivas do que significa "Teoria dos Conjuntos") lida com o tema. O nome axioma significa "verdade evidente por si mesma", segundo o dicionário Aurélio. Na matemática, são consideradas como verdades iniciais e bases para a teoria a ser desenvolvida. Outras verdades, mas que podem ser demonstradas a partir dos axiomas, são chamadas de teoremas, proposições ou corolários, dependendo do uso. Deve-se ao matemático italiano Giuseppe Peano ( ) a elaboração dos axiomas que caracterizam completamente o conjunto N dos números naturais: Definição 3 (Axiomática de Peano). Existe um par (N, s) consistindo de um conjunto N (cujos elementos são chamados números naturais) e uma aplicação s : N N (chamada "função sucessor") nas condições abaixo: (P1) A função s : N N é injetiva, ou seja, para quaisquer valores naturais m, n, tem-se s(m) = s(n) = m = n. (P2) Existe em N um elemento denotado 1 tal que, para todo elemento n N, 1 s(n), ou seja, existe um número, o um, que não é sucessor de nenhum número e é considerado o elemento inicial da ação de s. (P3) Se M é um subconjunto de N tal que 1 M e tal que s(n) M sempre que n M, então M = N, ou seja, 1 M e s(m) (M) = M = N. Por trás desta construção, está a ideia recursiva de construir o conjunto dos naturais a partir do um e sempre tomando o sucessor, consequentemente construindo uma ordem dentro de N. A axiomática de Peano permite que a construção das operações de adição e multiplicação possam ser formalmente definidas a partir da ideia de sucessor. Para isto, fixemos um natural m e considere outro n N: { m + 1 = s(m) m + s(n) = s(m + n) { 1 m = m m s(n) = m + m n Indutivamente, é possível chegar às propriedades da adição e da multiplicação da forma como apresentamos antes. Além disso, o axioma (P3) é fundamental para construir um método de demonstração para afirmações envolvendo os números naturais conhecido como Princípio de Indução Finita. Teorema 1 (Princípio de Indução Finita). Suponhamos que, para cada número natural n, P(n) é uma afirmação a respeito de n. Se P(1) é verdadeira e se P(s(n)) é verdadeira quando P(n) é verdadeira, então P(n) é verdadeira para qualquer número natural n. Prova: Suponha, por contradição, que P(n) é falsa para algum número natural. Considere k 1 como sendo o menor número natural tal que P(k 1 ) é falsa. Por hipótese, k 1 1, ou seja, k 1 é o sucessor de outro número natural, que chamaremos de k 0. Da escolha do elemento k 1, segue que P(k 0 ) é verdadeira. Novamente observando a hipótese, tem-se que P(s(k 0 )) é verdadeira, ou seja, P(k 1 ) é verdadeira. Mas observe que começamos dizendo que P(k 1 ) é falsa! Como pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo? Isto é uma contradição causada pela suposição de que exista tal k 1. Logo, a afirmação P(n) deve ser verdadeira para todo n N. 4

5 É importante ressaltar que não necessariamente a demonstração deve começar no número natural 1, basta existir um marco inicial e que todos sucessores a partir desse número tenham suas afirmações associadas como verdadeiras. Exemplo 2. Mostre que n 3 + 2n é divisível por 3 para todo natural n. Primeiramente, verificamos que é verdadeira para n = 1. De fato, = 3 é divisível por 3. Agora, supomos que a afirmação é verdadeira para certo valor k e devemos mostrar que é consequência disso o fato de que a afirmação também é válida para k + 1. Ou seja, usando a hipótese de que n 3 + 2n é múltiplo de 3 deve-se chegar à conclusão de que (n + 1) 3 + 2(n + 1) é múltiplo de 3 também. Note que (n + 1) 3 + 2(n + 1) = n 3 + 3n 2 + 3n n + 2 = (n 3 + 2n) + 3(n 2 + n + 1). Agora usamos as hipóteses necessárias para concluir o desejado: (n 3 + 2n) é múltiplo de 3 por hipótese de indução, enquanto 3(n 2 + n + 1) é claramente múltiplo de três. Como a soma de múltiplos de três é também múltiplo de três, então tem-se que (n + 1) 3 + 2(n + 1) é divisível por 3. Pelo Princípio de Indução Finita, segue que n 3 +2n é divisível por 3 para todo natural n. ATENÇÃO! Neste exercício, decompusemos uma expressão para P(n + 1) para usar, em algum momento, a hipótese de que P(n) era verdadeira. Isto está correto. Outra possibilidade teria sido manipular a expressão de P(n), que supomos verdadeira, até chegar em P(n + 1). Cuidado para não fazer errado: não está correto supor que P(n + 1) é correta, afinal queremos mostrar que ela é verdade! Além disso, não está correto verificar que vale para os primeiros elementos e se dar por satisfeito com isso. Também não é correto verificar apenas que P(n) verdade implica P(n + 1) verdade, é necessário ver que vale para o ponto inicial! Por exemplo, há uma história clássica que deve despertar a atenção de todos: na busca por uma fórmula única que determinasse apenas números primos, cogitou-se a função f(n) = n 2 n E tudo parece perfeito: f(0) = = 41 f(1) = = 41 f(2) = = 43 f(3) = = 47 f(4) = = 53. E a sequência continua apenas com números primos. Mas... isso só dá certo até n = 40. No caso seguinte, temos um número que não só é composto, mas é um quadrado perfeito! f(41) = = Se tivéssemos tentado usar indução para mostrar que f(n) daria apenas números primos como resposta, teríamos falhado (já que não é uma verdade). Por outro lado, sem investigar utilizando indução, ficaríamos achando que seria correto algo completamente errado! Então tome cuidado e, na dúvida, siga o passo a passo das demonstrações utilizando o Princípio de Indução Finita. Exercício 1.6. Mostre que n 5 + 4n é divisível por 5. Exercício 1.7. Verifique que nem sempre n 4 + 3n é divisível por 4. 5

6 Exercício 1.8. Prove por indução 3 que, para quaisquer x R, n N tem-se Exercício 1.9. Prove, por indução, que Exercício Prove, por indução, que 1 x n+1 = (1 x)(1 + x + x x n ) n(n + 1) = n n (2n 1)(2n + 1) = n 2n + 1. Existe um modo bastante semelhante ao Princípio de Indução tradicional que pode ser usado em demonstrações. A grande diferença entre os dois métodos é quanto à ligação entre o n envolvido na demonstração e os termos anteriores: na Indução tradicional, deve-se mostrar que P(n + 1) é verdadeira a partir de P(n); no "novo método", deve-se demonstrar que P(n + 1) é verdadeira a partir de todos os números anteriores. Teorema 2 (Princípio de Indução Finita - 2 o tipo). Suponhamos que, para cada número natural n, P(n) é uma afirmação a respeito de n. Se P(0) é verdadeira e se P(n+1) é verdadeira quando P(0), P(1),..., P(n) é verdadeira, então P(n) é verdadeira para qualquer número natural n. Exercício A demonstração é muito parecida com a versão anterior. Reveja a demonstração anterior e busque pelas diferenças na argumentação. Em seguida, apresente um argumento que valha para a conclusão da demonstração do Princípio de Indução Finita de 2 o tipo. Apesar de semelhante, o uso destá forma da Indução ocorre com maior frequência nas demonstrações em que não sabemos a qual dos passos anteriores precisaremos recorrer. Expliquemos melhor através de um exemplo: Exemplo 3. Mostre que todo número natural n 2 pode ser escrito como produto de números primos. Prova: Primeiramente mostramos o caso inicial: 2 é um número primo; assim, exibimos uma fatoração cujos termos são números primos. Suponhamos que seja válido para todo número até n, ou seja, que 2, 3,..., n 1, n, admitem decomposição como produto de números primos. Devemos mostrar que n + 1 também admite tal decomposição. E agora? Nos lembramos que um número (exceto o número 1) ou é primo ou é composto, ou seja, admite decomposição a b, sendo a, b 1. Para n + 1 há apenas duas possibilidades: n + 1 é primo. Então, assim como o caso inicial, temos uma decomposição em primos que só tem o elemento n + 1. n + 1 é composto. Então n + 1 = a b, sendo a, b < n + 1. Pela hipótese do Princípio de Indução, a e b admitem fatoração como produtos de números primos. Aglutinando esses fatores para recompor o valor de n + 1, temos que n + 1 admite também uma fatoração em primos. Não importa o caso, n + 1 admite fatoração em termos primos. Pelo Princípio de Indução Finita de 2 o tipo, conclui-se que todo número natural maior que ou igual a 2 pode ser decomposto como produto de fatores primos. Mais exemplos e exercícios deste tema devem ser feitos na disciplina de Elementos de Lógica Matemática. O que vimos até aqui é suficiente para continuarmos nossos estudos. 3 Não esqueça que o princípio de indução é válido apenas sobre números naturais. 6