AXIOMAS DE PEANO E OS NÚMEROS NATURAIS

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1 AXIOMAS DE PEANO E OS NÚMEROS NATURAIS Hugo Felipe Gequelim [Bolsista PICME/CNPq], Ronie Peterson Dario [Orientador] 1 1 Departamento Acadêmico de Matemática Campus Sede Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Avenida Sete de Setembro, Curitiba-PR, Brasil - CEP hugogequelim@hotmail.com, ronie@utfpr.edu.br Resumo - Por meio da Teoria Axiomática dos Conjuntos apresentamos uma construção do conjunto dos números naturais como modelo para a axiomática de Peano. Depois de apresentarmos os axiomas de Peano, desenvolvemos a parte inicial da teoria elementar dos números naturais. O texto é apresentado de maneira elementar, visando sua utilização pelo aluno de graduação. Palavras-chave: Números Naturais, Axiomas de Peano, Indução Matemática. Abstract - In this note we present the set of the natural numbers as a model to the Peano Axioms, by means of the Axiomatic Set Theory. Using the Peano Axioms we present the first part of the elementary number theory. Our approach is more elementary than usual. Keywords: Natural Numbers, Peano Axioms, Induction. INTRODUÇÃO Invariavelmente, um estudante de matemática se depara com a teoria elementar dos números. Muitas vezes, consiste de uma disciplina na qual ele tem a oportunidade de aprender a aritmética básica do conjunto dos números naturais e dos números inteiros. Necessariamente, tudo começa com a teoria elementar dos conjuntos e com uma mínima introdução da lógica matemática. É usual admitir a existência do conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2,...}, já munido das duas operações de adição e multiplicação. A partir disto, admitem-se as propriedades das operações e a teoria prossegue abordando a divisibilidade e culminando nas aplicações das congruências. Já o conjunto dos números inteiros algumas vezes é apresentado formalmente, ou seja, é obtido via uma construção teórica. Isto é feito introduzindo uma relação de equivalência no conjunto dos pares ordenados de números naturais. Sendo assim, um número inteiro é definido como um conjunto, a saber, uma classe de equivalência (para mais detalhes veja [1]). O mesmo ocorre com o conjunto dos números racionais, em que um número é novamente definido como um conjunto. Mais precisamente, um número racional é também uma classe de equivalência, desta vez obtida por uma relação de equivalência introduzida no conjunto dos pares ordenados de números inteiros, tendo a segunda entrada não nula.

2 Contudo, como descrito no primeiro parágrafo, a construção do conjunto dos números naturais muitas vezes não é abordada. O que se faz,quando se faz, é admitir alguns conceitos primitivos (número natural, por exemplo) e listar alguns axiomas: afirmações admitidas como verdadeiras, sem demonstrações. No caso dos números naturais, um conjunto mínimo de axiomas é dado pelos conhecidos Axiomas de Peano. A partir destes, demonstram-se as propriedades dos números naturais, incluindo as propriedades da adição e da multiplicação. Uma construção do conjunto dos números naturais, hoje considerada a padrão (no entanto raramente abordada na graduação), é devida a Neumann 1. Um número natural é definido como um conjunto, em analogia à outras construções de conjuntos numéricos. Neste trabalho, apresentamos essa construção de maneira breve, utilizando uma linguagem elementar. Objetivamos assim mostar que a construção dos números naturais também pode ser apresentada ao aluno de graduação sem maiores percalços, definindo número natural também como conjunto. Depois de apresentada a construção, verificamos que o conjunto obtido serve de modelo para a axiomática de Peano. A partir dos axiomas, demonstramos as primeiras propriedades dos números naturais. METODOLOGIA O início deste trabalho consistiu do estudo da teoria elementar (e um pouco da axiomática) dos conjuntos, juntamente com alguma lógica matemática. Feito isso, foi possível abordar diretamente o foco principal do trabalho, que consiste da construção do conjunto dos números naturais e no seu entendimento como modelo para a axiomática de Peano. OS NÚMEROS NATURAIS E OS AXIOMAS DE PEANO A axiomatização definitiva do conjunto dos números naturais foi feita em 1889, quando o matemático italiano Giuseppe Peano ( ) publicou seu livro "Arithmetices Principia: Nova Methodo Exposita". Neste livro, ele enunciou alguns axiomas sobre números naturais, que ficaram posteriormente conhecidos como os Axiomas de Peano. Para estudá-los, precisamos inicialmente admitir três conceitos primitivos"(sem definição). São eles: zero (denotado por 0), número natural e a noção de sucessor de um número natural. Sendo n um número natural, vamos denotar por s(n) o seu sucessor. Assim, os Axiomas de Peano podem ser listados da maneira seguinte. (A 1 ) 0 (zero) é um número natural e não é sucessor de um número natural 2. (A 2 ) Todo número natural tem um único sucessor, que também é um número natural. (A 3 ) Se dois números naturais tem o mesmo sucessor, então eles são iguais entre si. (A 4 ) Se um subconjunto X dos números naturais possui o elemento zero e também o sucessor de todos os elementos de X, então X é igual ao conjunto dos números naturais. Tendo os axiomas e os conceitos primitivos, faz sentido falar no conjunto dos números naturais como é usual. Pode causar estranheza o axioma A 4, que é denomianado Axioma da Indução. Simbolicamente, ele estabelece que se X N e se valem as duas condições: (i) 0 X; (ii) Para todo n, se n X, então s(n) X; então X = N. 1 John von Neumann, A axiomatização original começa com 1 no lugar de 0.

3 O axioma A 4 torna-se mais aceitável após a construção explícita dos naturais, como veremos. A patir desse axioma, demonstra-se o Princípio da Indução Matemática, que enunciaremos no Teorema 1, a frente. Com este teorema desenvolveremos a parte inicial da teoria dos números naturais. A CONSTRUÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS Assumir um número natural como um conceito primitivo, ou como uma simples noção vaga de grandeza, é um tanto incômodo. Deve ser possível definir explicitamente um número natural por meio de um conjunto, obtendo um análogo às outras construções de conjuntos numéricos como em [1]. Para isso foram construídos os modelos da axiomática de Peano. Neste contexto, um modelo consiste de uma tripla (A, 0, s), onde A é um conjunto infinito, 0 é um elemento de A e s é uma definição designada ao sucessor de um elemento de A. Desta forma, construir um conjunto dos números naturais significa obter um modelo para os axiomas de Peano, isto é, via teoria dos conjuntos, obter uma definição de zero, de número natural e de sucessor, que satisfaça os axiomas. Existe uma noção de equivalência entre dois modelos, que não abordaremos aqui. Uma discussão mais aprofundada neste ponto pode ser vista no livro de Halmos [2]. Neste trabalho, ficaremos satisfeitos obtendo apenas um modelo, segundo o qual o conjunto A será chamado de conjunto dos números naturais. A primeira definição a ser feita é de um elemento 0 (zero). Neste contexto, faz sentido definir zero como o conjunto vazio, isto é, 0 =. O próximo passo é definir o sucessor do conjunto x como s(x) = x {x}. Veja como obter número 1, definido então como o sucessor do zero: 1 = s(0) = s( ) = { } = { } = {0}. Na sequência, obtêm-se o 2, como sucessor do 1. Desta forma: 2 = s(1) = 1 {1} = {0} {1} = {0, 1}. Seguindo este processo, informalmente podemos dizer que um número natural n é definido como o conjunto dos números naturais menores que n. Temos assim uma noção para 0 e uma definição de sucessor que parece funcionar. Os números naturais são obtidos via aplicação da função sucessor. Contudo, falta formalizar o conjunto dos números naturais. Para isso, existe uma dificuldade que reside justamente na teoria dos conjuntos. Apenas com a teoria elementar dos conjuntos, que é a teoria padrão ensinada na graduação, não é possível completar a construção formal dos números naturais. Isto ocorre, essencialmente, pela impossibilidade em admitir a existência de um conjunto infinito na teoria elementar. Numa tentativa de corrigir este problema e paradoxos como o de Russel, surgiu a Teoria Axiomática dos Conjuntos, hoje a mais aceita pela matemática moderna. Constrói-se toda uma teoria dos conjuntos a partir de uma lista de Axiomas, conhecida como Axiomas de Zermelo-Fraenkel. O mais conhecido certamente é o Axioma da Escolha. Contudo, nos interessa diretamente o Axioma da Infinitude, com o qual podemos obter o conjunto dos números naturais. Antes de enunciá-lo, precisamos da noção de conjunto sucessor: um conjunto A é um conjunto sucessor quando: 0 A e vale a condição: n A s(n) A.

4 Assim, um conjunto sucessor A deve conter o sucessor de qualquer elemento de A. Axioma da Infinitude Existe um conjunto que contem 0 e o sucessor de cada um de seus elementos. Em essência, o Axioma da Infinitude afirma que existe um conjunto sucessor. Define-se então o conjunto dos números naturais N como a interseção de todos os conjuntos sucessores. Pelo Axioma da Infinitude, o conjunto dos números naturais não é vazio. Por definição, 0 N. Justifica-se assim a notação conhecida N = {0, 1, 2,...}. Resta observar que realmente trata-se de um modelo para a axiomática de Peano. Mas isto é imediato. Por definição, 0 N. O sucessor de cada número natural é também um número natural, também por definição. Ainda, se s(x) = s(y), então x {x} = y {y}. Isto implica diretamente que x y e y x. Segue que x = y. Finalmente, basta lembrar que N está contido em todo conjunto sucessor para justificar a validade do axioma A 4, da indução. Agora que apresentamos a construção teórica dos números naturais, retomaremos a teoria geral. A partir do axioma da indução podemos demonstrar o Princípio da Indução Matemática. Teorema 1 (Princípio de Indução Matemática) Seja P (n) uma sentença aberta 3 sobre o número natural n. Se valem as duas condições: (i) P (0) é verdadeira; (ii) Para todo n, se P (n) é verdadeira, então P (s(n)) é verdadeira; então P (n) é verdadeira para todo n N. Demonstração Seja S = {n N : P (n) é verdadeira}. Vamos mostrar que S = N. Da hipótese (i) temos que 0 S. Supondo que n S, temos que P (n) é verdadeira. Por (ii), P (s(n)) é verdadeira. Logo, s(n) S. Assim, n S implica s(n) S. Pelo Axioma A 4, S = N. Logo, P (n) é verdadeira, para todo n N. É importante ressaltar que podemos estender o princípio da indução para afirmações que são verdadeiras somente a partir de outro número natural que não o zero. A demonstração deste teorema mais geral pode ser consultada em [[3], Teorema 1.3.1, p. 8]. Por exemplo, podemos provar por indução que 2 n > n 2, para todo n 5. Para tal, basta demonstrarmos que a afirmação é verdadeira para n = 5 e, supondo P (n) verdadeira, mostrarmos que P (s(n)) também é verdadeira, para todo n 5. O Teorema 1 será utilizado na demonstração de todos os resultados na sequência. O primeiro fato a ser demonstrado é que qualquer número natural difere de seu sucessor. Teorema 2 Para todo n N, s(n) n. Demonstração Seja S = {a N : s(a) a}. Basta mostrarmos que S = N. O axioma A 1 garante que 0 S. Se a S, então s(a) a. Pelo axioma A 3 temos que s(s(a)) s(a). Logo, s(a) S, sempre que a S. Pelo Teorema 1, podemos garantir que qualquer número natural será diferente de seu sucessor. Nas duas próximas seções estudaremos as operações de adição e de multiplicação. 3 Trata-se de uma afirmação que, a priori, não sabemos se é verdadeira ou falsa.

5 ADIÇÃO Para definirmos a adição de dois números naturais começamos definindo a adição de qualquer natural com 0 (zero), a adição de qualquer natural com 1 (um) e a adição de um natural com o sucessor de outro natural. Essas definições representam um ponto de partida, como os axiomas, a partir dos quais podemos estender a definição e demonstrar as propriedades da operação. Definiremos, para quaisquer números naturais a e b, as somas elementares abaixo, utilizando o símbolo +" para representar a operação de adição. (i) a + 0 = a (ii) a + 1 = s(a) (iii) a + s(b) = s(a + b). Trata-se de uma definição recursiva. No primeiro item, estamos admitindo a existência de um elemento neutro para a adição, isto é, um número que pode ser somado a qualquer número natural n resultando no próprio n. Teorema 3 (Propriedadades da Adição) Para todos a, b, c N, tem-se: (1) (Associatividade) a + (b + c) = (a + b) + c. (2) (Comutatividade) a + b = b + a. (3) (Cancelamento) a + b = a + c b = c. (4) (Integridade) a + b = 0 a = b = 0. Demonstração (1) Fixaremos a e b e utilizaremos indução sobre c. Se c = 0, então a+(b+0) = a+b = (a+b)+0, pela definição (i) da adição. Supondo (a+b)+c = a+(b+c) e utilizando a definição (iii) da adição, temos (a+b)+s(c) = s([(a+b)+c]) = s([a+(b+c)]) = a+s(b+c), que por sua vez é igual a a + (b + s(c)). Pelo Princípio da Indução Matemática (Teorema 1), temos que a + (b + c) = (a + b) + c. (2) Indução sobre a. Se a = 0, então 0 + b = b = b + 0. Supondo a + b = b + a, temos, pelo axioma A 2, que s(a + b) = s(b + a), o que implica em s(a) + b = b + s(a). Pelo Princípio da Indução Matemática (Teorema 1), tem-se a + b = b + a. (3) Novamente indução sobre a. Se a = 0, então 0 + b = 0 + c, implicando em b = c. Suponha que a + b = a + c implique em b = c. Assumindo s(a) + b = s(a) + c, temos que s(a+b) = s(a+c). Pelo axioma A 3, a+b = a+c. Assim, novamente Teorema 1, a+b = a+c implica em b = c. (4) Supondo b 0, concluímos que b = s(x), para algum x N, ou seja, 0 = a + b = a + s(x) = s(a + x). Mas isto é impossível, pois pelo axioma A 1, zero não é sucessor de um número natural. Logo, b = 0. Note que isto implica diretamente que a = 0, concluindo a demonstração. MULTIPLICAÇÃO A multiplicação também é definida de maneira recursiva. Utilizaremos o símbolo " para representar a operação de multiplicação. (i) a 0 = 0 (ii) a 1 = a a s(b) = a b + a. A multiplicação a b também pode ser representada simplesmente por ab.

6 Teorema 4 (Propriedadades da Multiplicação) Para todos a, b, c N, tem-se: (1) (Associatividade) a(bc) = (ab)c. (2) (Comutatividade) ab = ba. (3) (Distributividade) a(b + c) = ab + ac. (4) (Integridade) Se ab = 0, então a ou b = 0. Demonstração (1) Usando agora indução em c. Se c = 0, então a(b 0) = 0 = (ab) 0. Supondo a(bc) = (ab)c, temos, pela terceira definição da multiplicação, que a(b s(c)) = a(bc + b). Pela propriedade distributiva, isto é igual a abc + ab. Também temos pela definição (iii) da multiplicação que (ab) s(c) = abc + ab. Logo, a(b s(c)) = (ab) s(c). Por Indução Matemática (Teorema 1), a(bc) = (ab)c para todo a, b, c N. (2) Por indução sobre a. Se a = 0, constatamos que 0 b = 0 = b 0. Supondo que ab = ba, temos que s(a) b = ab+a = ba+a. Pela lei do cancelamento da adição, ab = ba. Por Indução Matemática (Teorema 1), ab = ba para todo a, b N. (3) Novamente indução sobre a. Se a = 0, temos que 0 (b + c) = 0 = 0 b + 0 c. Supondo a(b + c) = ab + ac e utilizando a terceira definição da multiplicação temos que s(a) (b + c) = a(b + c) + (b + c), que é igual a ab + ac + b + c. Por sua vez, isto é igual a (ab + b) + (ac + c), o que nos leva a b s(a) + c s(a). Pelo Teorema 1, a(b + c) = ab + ac. (4) Supondo que a seja diferente de 0, temos que a será o sucessor de algum x N. Podemos então escrever 0 = ab, que por sua vez é s(x) b = bx + b. Assim bx + b = 0. Pelo item 4 do teorema anterior, bx = b = 0. Repetindo o processo para b, chegamos que ax = a = 0. Logo, ab = 0 implica em a ou b = 0. CONCLUSÕES A construção dos números naturais, do ponto de vista da teoria dos conjuntos, é compreenssível a um aluno em início de graduação. Contudo, a construção depende da teoria axiomática dos conjuntos, que é um (grande) curso a parte. Isto dificulta um pouco, mas não impede, a exposição completa da construção formal. Entender ao menos as ideias principais da maneira exposta neste trabalho, é de fundamental importância na estruturação do conhecimento matemático de um aluno de graduação. Conhecer a construção, além da axiomática de Peano, torna mais consistente o conhecimento do conjunto dos números naturais e por consequência, confere mais segurança aos estudos posteriores. AGRADECIMENTOS Agradeço ao CNPq pela viabilização da bolsa de estudos e ao professor Ronie Peterson Dario, pela orientação neste trabalho. REFERÊNCIAS [1] FERREIRA, J.A Construção dos Números. Coleção Textos Universitários, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro, [2] HALMOS, P. R.Teoria Ingênua dos Conjuntos, Ciência Moderna, Rio de Janeiro, [3] HEFEZ, A. Elementos de Aritmética, SBM, Rio de Janeiro, [4] SCHEINERMAN, E. R. Matemática Discreta: uma introdução, Cengage Learning, São Paulo, 2011.