Teoria Escalar da Difração

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1 Teoria Escalar da Difração Em óptica geométrica, o comprimento de onda da luz é desprezível e os raios de luz não contornam obstáculos, mas propagam-se sempre em linha reta. A difração acontece quando o comprimento de onda da luz, perante obstáculos, não pode mais ser considerado completamente desprezível. Aqui vamos considerar a teoria de difração para um campo escalar, pois a teoria vetorial é mais complicada e será tratada posteriormente. eja ψ (r, t) um campo conhecido em uma região 1 do espaço, como mostra a figura abaixo. Portanto, seja o espaço separado em duas regiões: 1 e 2, com 1 sendo a superfície de separação entre as duas regiões. uponhamos, também, que a outra parte da fronteira da região 2, que denotaremos por, esteja muito distante da superfície 1 (que também é parte da fronteira de 2 ), isto é, seja uma superfície infinitamente distante da região 1, que não, necessariamente, deva ser considerada limitada. amos considerar também que a dependência temporal de ψ (r, t) seja harmônica, com frequência ω, isto é, exp ( iωt). Além disso, suponhamos que ψ (r, t) satisfaça a equação de onda na região 2, ou seja, 2 ψ (r, t) 1 c 2 2 ψ (r, t) t 2 = 0, que, com o ansatz temporal que adotamos, resulta na equação de Helmholtz: onde, como usualmente, definimos 2 ψ (r, t) + k 2 ψ (r, t) = 0, k = ω c. No espaço vazio, a função de Green, G vazio (r, r ), para a equação de Helmholtz, que satisfaz 2 G vazio (r, r ) + k 2 G vazio (r, r ) = δ (3) (r r ), 1

2 é dada por G vazio (r, r ) = exp (ik r r ) 4π r r. No entanto, não podemos utilizar essa função de Green para obter o propagador do campo ψ (r, t), pois não estamos considerando o espaço vazio, mas uma região do espaço com uma fronteira em 1 e outra em, embora seja infinitamente distante. oltaremos a considerar a função de Green adequada para nosso problema depois que formularmos a teoria de difração; no momento apenas consideremos conhecida a função de Green adequada, G (r, r ). Derivemos agora o Teorema de Green no contexto formulado acima. eja o campo vetorial auxiliar: F (r, r ) = G (r, r ) ψ (r, t). Pelo Teorema da Divergência de Gauss, d 3 r F (r, r ) = da n ext F (r, r ), onde é uma região arbitrária do espaço e ( ) é a fronteira de. Aqui, n ext é a normal externa à região. Notemos que opera em r e não em r ; no presente contexto, r é um vetor fixo que, por hipótese, tomaremos sempre dentro da região. Obtemos, portanto, F (r, r ) = [G (r, r ) ψ (r, t)] = G (r, r ) [ ψ (r, t)] + [ G (r, r )] [ ψ (r, t)] = G (r, r ) 2 ψ (r, t) + [ G (r, r )] [ ψ (r, t)]. Então, d 3 r G (r, r ) 2 ψ (r, t) + d 3 r [ G (r, r )] [ ψ (r, t)] = da G (r, r ) n ext ψ (r, t). eguindo um procedimento análogo, é fácil deduzir também que d 3 r ψ (r, t) 2 G (r, r ) + d 3 r [ ψ (r, t)] [ G (r, r )] = da ψ (r, t) n ext G (r, r ). A subtração membro a membro dessas duas equações resulta no Teorema de Green no presente contexto: d 3 r G (r, r ) 2 ψ (r, t) d 3 r ψ (r, t) 2 G (r, r ) = da G (r, r ) n ext ψ (r, t) da ψ (r, t) n ext G (r, r ). 2

3 Como 2 ψ (r, t) + k 2 ψ (r, t) = 0, por hipótese, e 2 G (r, r ) + k 2 G (r, r ) = δ (3) (r r ), pois G (r, r ) é uma função de Green para a equação de Helmholtz, segue, do Teorema de Green, que d 3 r ψ (r, t) δ (3) (r r ) = da G (r, r ) n ext ψ (r, t) da ψ (r, t) n ext G (r, r ), isto é, ψ (r, t) = da G (r, r ) n ext ψ (r, t) da ψ (r, t) n ext G (r, r ), se r for um ponto da região que, por hipótese, é. Trocando a notação, podemos também escrever ψ (r, t) = da G (r, r) n ext ψ (r, t) da ψ (r, t) n ext G (r, r), para r em. 3

4 Essa expressão é interessante porque com ela podemos mostrar que ψ (r, t) = 0 em todo lugar se, sobre alguma região a da superfície fechada ( ), tivermos, simultaneamente, e G (r, r) = 0 n ext G (r, r) = 0. Para apreendermos isso, vejamos uma situação simples. uponhamos que a superfície fechada seja a união de duas superfícies abertas, a e b, com as quantidades G (r, r) e n ext G (r, r) ambas nulas sobre a. Usando o Teorema de Green, no interior de temos ψ (r, t) = da n ext [G = da n a [G a + da n b [G b onde n a é a normal sobre a, e n b é a normal sobre b. obre a, as quantidades G (r, r) e n ext G (r, r) são nulas. Logo, ψ (r, t) = da n b [G. b eja C a fronteira entre a e b. Conforme observado por Tiago Batalhão, sobre a superfície b e sua vizinhança, exceto sobre o ponto r, temos isto é, Como também temos que segue que, exceto sobre r, 2 G (r, r ) + k 2 G (r, r ) = δ (3) (r r ) = 0, 2 G (r, r ) = k 2 G (r, r ). 2 ψ (r, t) = k 2 ψ (r, t), [G = [ G (r, r) ] [ ψ (r, t) ] + G (r, r) 2 ψ (r, t) [ ψ (r, t) ] [ G (r, r) ] ψ (r, t) 2 G (r, r) = k 2 G (r, r) ψ (r, t) + k 2 ψ (r, t) G (r, r) = 0 4

5 e, portanto, existe um campo vetorial F (r, r, t) tal que Logo, G (r, r) ψ (r, t) ψ (r, t) G (r, r) = F (r, r, t). ψ (r, t) = Usando o Teorema de tokes, obtemos ψ (r, t) = b da n b [ F (r, r, t) ]. C dr F (r, r, t), onde dr é o elemento de caminho da curva fechada C. Escolhamos outra superfície, c, que também tem a fronteira C com a superfície a, tal que a c seja fechada. Mas, seja c tal que o ponto r agora fique fora da região cuja superfície é a c. Podemos usar novamente o Teorema de Green e escrever 0 = da n ext [G a c = da n a [G a 5

6 + c da n c [G, onde n c é a normal sobre c. Como o integrando é nulo sobre a superfície a, por hipótese, segue que da n c [ F (r, r, t) ] = da n c [G c c = 0. Usando o Teorema de tokes, obtemos dr F (r, r, t) = da n c [ F (r, r, t) ] C c = 0. Como já obtivemos, usando a superfície b ao invés de c, que ψ (r, t) = dr F (r, r, t), segue, finalmente, que C ψ (r, t) = 0 para todo r. Dessa análise concluímos que, para um campo não ser nulo em todo espaço, não podemos impor condições de contorno em que, simultaneamente, a função de Green tenha seu valor e sua derivada normal nulos em nenhuma parte da superfície fechada da região de interesse. Podemos, no entanto, obter solução não trivial para o campo escalar se impusermos condições de contorno de Dirichlet ou de Neumann. A seguir, apenas o caso de condição de contorno de Dirichlet será apresentado; o caso de Neumann é análogo. Condição de contorno de Dirichlet No caso de termos a condição de contorno de Dirichlet, tomamos a função de Green de Dirichlet, G D (r, r ), satisfazendo G D (r, r ) = 0, para r sobre. Nesse caso, escrevemos ψ (r, t) = da ψ (r, t) n G D (r, r) = da ψ (r, t) n G D (r, r) 1 da ψ (r, t) n G D (r, r). 6

7 Como estamos supondo que seja uma superfície infinitamente distante, vamos também supor que o campo satisfaça uma condição de radiação, isto é, para r muito grande, e que, em virtude disso, ψ (r, t) f (θ, ϕ) exp (ikr) r da ψ (r, t) n G D (r, r) = 0. Logo, queremos encontrar uma solução que seja dada por ψ (r, t) = da ψ (r, t) n G D (r, r). 1 Depois de encontrarmos explicitamente a função de Green de Dirichlet, deveremos verificar se, de fato, teremos, de forma consistente, da ψ (r, t) n G D (r, r) = 0. Até agora ainda não explicitamos qual é a forma da superfície 1. Isso depende especificamente do problema que queiramos resolver. Há, porém, um caso importante, em que 1 possa ser aproximada por um plano infinito, com aberturas através das quais o campo penetra a região de fronteira = 1. Nesse caso, tomando 1 como o plano xy e como um plano paralelo ao plano xy localizado infinitamente distante da origem, mas no lado positivo do eixo z, através do método das imagens, é fácil ver que a função de Green de Dirichlet é dada por onde G D (r, r ) = exp (ik r r ) 4π r r r = r 2z ẑ = x x + y ŷ z ẑ. exp (ik r r ) 4π r r, Portanto, na região de interesse, isto é, quando z > 0 e z > 0, 2 G D (r, r ) = 2 { exp (ik r r ) 4π r r } 2 { exp (ik r r ) 4π r r = k 2 exp (ik r r ) 4π r r δ (3) (r r ) + k 2 exp (ik r r ) 4π r r + δ (3) (r r ) } 7

8 e, como z > 0 e z > 0, segue que Portanto, e δ (3) (r r ) = 0. 2 G D (r, r ) + k 2 G D (r, r ) = δ (3) (r r ) G D (r, r ) = 0 se r estiver sobre o plano xy. Logo, essa é a forma da função de Green para a condição de Dirichlet. Incidentalmente, também vemos que G D (r, r ) se anula sobre, como deveria ser. Falta agora verificarmos a consistência de nossa hipótese acerca da igualdade da ψ (r, t) n G D (r, r) = 0. Para isso, sobre, temos da ψ (r, t) n G D (r, r) = [ exp (ik r r da ψ (r, t) ẑ ] ) 4π r r [ exp (ik r r da ψ (r, t) ẑ ] ) 4π r r. Mas, e ẑ [ exp (ik r r ) 4π r r ] = [ exp (ik r r ] ) z 4π r r [ ] 1 exp (ik r r ) = ik r r 4π r r r r z = z (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 (z z ) =. (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 r r z Analogamente, ẑ [ exp (ik r r ) 4π r r ] = [ exp (ik r r ] ) z 4π r r [ ] 1 exp (ik r r ) = ik r r 4π r r r r z 8

9 e r r z = z (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z + z ) 2 = (z + z ) (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z + z ) 2. No limite em que z torna-se infinitamente grande, da ψ (r, t) n G D (r, r) = 1 z dx 1 z dx = 0, dy ψ (r, t) ik exp (ik r r ) 4π dy ψ (r, t) ik exp (ik r r ) 4π como esperado. A teoria escalar da difração com condição de contorno de Dirichlet é dada em termos da equação ψ (r, t) = da ψ (r, t) n G D (r, r). 1 Logo acima, como exemplo concreto, tomamos um caso especial com a função de Green de uma superfície plana infinita, mas, qualquer outro problema, a prescrição é usar a equação acima com a função de Green de Dirichlet adequada. Além de escolher a função de Green adequada, a aproximação que normalmente é feita consiste em supor que o campo é nulo em todo ponto da superfície 1, exceto nas aberturas, onde o valor do campo é tomado como aquele da onda incidente na região da abertura. 9