Aula trinta e dois: Teorema da função inversa

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1 Aula trinta e dois: Teorema da função inversa Definição 0.1. Seja Ω aberto de R n, uma função f : Ω R n R q diz-se C 1 (Ω) quando todas as derivadas parciais de f existem contínuas em Ω. Temos visto que, se toda derivada parcial de uma função existem contínuas num ponto, então f é diferenciável naquel ponto. Assim, se f C 1 (Ω) então f é diferenciável em Ω. Teorema 0.2. Se f C 1 (Ω), então o diferencial Df : Ω L(R n,r q ) é continua coa norma uniforme x Df(x) Df(x) = sup Df(x)(u) q u R n, u n=1 Demonstração. Queremos demonstrar que, se f C 1 (Ω), então para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que Lembramos o seguinte Lemma 0.3. x c < δ Df(x) Df(c) < ǫ. Sendo que Df(x) Df(c) : Ω R n R q é uma função linear entre espaços de dimensão finita, temos que, para u Ω: (Df(x) Df(c))(u) qnm u, onde M = supd f(x) D f(c) Demonstração. Sendo Df(x) : R n R q função linear cuja matriz B é formada pelos b = D f(x), e Df(c) : R n R q função linear cuja matriz C é formada pelos c = D f(c), também a diferença Df(x) Df(c) : R n R q, é função linear que podemos então representar por meio da matriz A formada pelos a = b c = D f(x) D f(c): a 1,1 a 1,2 a 1,3... a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,3... a 2,n A = a q,1 a q,2 a q,3... a q,n 1

2 Assim, se u = (u 1,..,u n ) R n temos (Df(x) Df(c))(u) = Au = q n ( u i a )e j. j=1 i=1 Seja então, sendo j [1,q] M = sup [(Df(x) Df(c))(u)] j = y j = Finalmente, de obtemos, para u Ω: a = supd f(x) D f(c), n u i a u 1 a 1,j +..+ u n a n,j nm u. i=1 y = q y j 2, j=1 (Df(x) Df(c))(u) qnm u Agora, sendo que para u Ω: em particular (Df(x) Df(c))(u) qnm u, Df(x) Df(c) = sup Df(x)(u) Df(c)(u) qnm u = qnm. u R n, u =1 Sendo f C 1 (Ω), para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que assim em particular Juntando obtemos x c < δ, D f(x) D f(c) < ǫ, x c < δ M = supd f(x) D f(c) < ǫ. x c < δ Df(x) Df(c) qnm qnǫ. 2

3 Lemma 0.4. Seja f : Ω R n R q diferenciável em Ω aberto de R n, a,b Ω e suponha que o segmento S unendo a com b também pertença a Ω. Então, por x 0 Ω temos f(b) f(a) Df(x 0 )(b a) b a sup Df(x) Df(x 0 ) Demonstração. Define então g : Ω R q x f(x) Df(x 0 )(x), g(b) g(a) = f(b) Df(x 0 )(b) F(a)+Df(x 0 )(a) = f(b) f(a) Df(x 0 )(b a). Sendo Df(x 0 ) : R n R q linear, Df(x 0 ) = Df(x 0 ), então por x Ω temos Dg(x) : R n R q u (Df(x) Df(x 0 ))(u) = Df(x)(u) Df(x 0 )(u). Pelo Teorema do valor médio, existe c S tal que g(b) g(a) Dg(c)(b a), assim: f(b) f(a) Df(x 0 )(b a) = g(b) g(a) Dg(c)(b a) = (Df(c) Df(x 0 ))(b a) Df(c) Df(x 0 ) b a sup Df(x) Df(x 0 ) b a. Este Lemma é bem útil para chegar ao próximo Lemma de aproximação: Lemma 0.5. Lemma de aproximação Seja Ω aberto de R n, e f : Ω R n R q com f C 1 (Ω). Se x 0 Ω então para ǫ > 0 existe δ > 0 tal que, se x 1, x 2 B(x 0,δ), então x 1,x 2 Ω e f(x 2 ) f(x 1 ) Df(x 0 )(x 1 x 2 ) ǫ x 1 x 2. Demonstração. Sendo Ω aberto e f C 1 (Ω), pelo Teorema 0.2 a derivada Df : Ω L(R n R q ) é contínua, então para ǫ > 0 existe δ > 0 tal que x x 0 < δ Df(x) Df(x 0 ) < ǫ. 3

4 Se x 1,x 2 pertencem à bola fechada B(x 0,δ) de centro x 0 e raio δ, sendo as bolas convexas o segmento S unendo x 1 e x 2 também pertence à bola, assim para todo x S temos x x 0 < δ e então Assim, pelo lema anterior: Df(x) Df(x 0 ) < ǫ. f(x 2 ) f(x 1 ) Df(x 0 )(x 1 x 2 ) sup Df(x) Df(x 0 ) x 2 x 1 < ǫ x 2 x O Teorema da função Inversa Vamos primero demonstrar que, se f : Ω R n R q é f C 1 (Ω) e para c Ω temos Df(c) : R n R q injetiva, entãoexisteumavizinhançadecemωondef éumhomeomorphismo. Antes de chegar nisso, a próxima Proposição é bem útil: Proposição 0.6. A função linear L : R n R q é injetiva sse existe C > 0 tal que, para todo u R n temos L(u) C u. Demonstração. Perceba primero que, se L é uma função linear pela qual existe C > 0 tal que, para todo u R n temos então se L(x 1 ) = L(x 2 ) temos L(u) C u, 0 = L(x 2 ) L(x 1 ) = L(x 2 x 1 ) C x 2 x 1, assim x 2 x 1 = 0 que implica x 2 = x 1. Por outro lado, uma função linear entre espaços de dimensão finita é contínua, pois possui M > 0 tal que, para todo u R n temos L(u) M u. Se L é injetiva, então é bijetiva na sua imagem, então a função L : R n L(R n ) 4

5 é bijeção linear entre espaços de dimensão finita, então é invertível e sua inversa L 1 : L(R n ) R n é função (bijeção) linear entre espaços de dimensão finita, então é contínua, então existe K > 0 tal que, para todo w 1 = L(x 1 ) L(R n ) temos L 1 (w 1 ) K w 1 x 1 K L(x 1 ) 1/K x 1 L(x 1 ). Teorema 0.7. Teorema da função injetiva Seja Ω aberto de R n, f : Ω R q é f C 1 (Ω), c Ω e Df(c) : R n R q injetiva. Então existe δ > 0 tal que, a restrição é um homeomorphismo. f B(c,δ) : B(c,δ) f(b(c,δ)) Demonstração. Sendo Df(c) : R n R q injetiva, existe C > 0 tal que, para todo u R n temos Df(c)(u) C u. Seja ǫ = C/2, então pelo Lema de aproximação existe δ > 0 tal que, se x 1, x 2 B(c,δ), então f(x 2 ) f(x 1 ) Df(x 0 )(x 1 x 2 ) ǫ x 1 x 2 = C/2 x 1 x 2. Utilizando a desigualdade triangular ( a b a b ) temos f(x 2 ) f(x 1 ) Df(x 0 )(x 1 x 2 ) f(x 2 ) f(x 1 ) Df(x 0 )(x 1 x 2 ) C/2 x 1 x 2, e sendo Df(c)(x 1 x 2 ) C (x 1 x 2 ), obtemos f(x 2 ) f(x 1 ) C/2 x 1 x 2, assim que f é injetiva, pois se f(x 1 ) = f(x 2 ) temos 0 = f(x 2 ) f(x 1 ) C/2 x 2 x 1 assim x 2 x 1 = 0 que implica x 2 = x 1. Finalmente, observe que f : Ω R q é uma função contínua injetiva no compacto B(c,δ), então B(c,δ) : B(c,δ) f(b(c,δ)) éhomeomorphismo. Observação: Se n < q, temos que f(c) podaría não ser ponto interior de f(b(c,δ)) (de fato, f(b(c,δ)) podaría ter interior vazío em R q ). 5