Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Mestrado em Matemática. Exame de Qualificação

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1 Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Mestrado em Matemática Nome: Exame de Qualificação Banca Examinadora: Romildo (Pres.), Mário e Ronaldo. Observação: Das 7 questões propostas (para cada dia de prova) resolva apenas 5. Cada questão vale 20 pontos. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Total: Avaliador 1 Avaliador 2 Avaliador 3 1

2 Goiânia, 18 de Dezembro de 2009 Exame de Qualificação (IME/UFG), 2009, Parte 1: Álgebra Questão 1: Para cada um dos itens a seguir dê um exemplo de (...) ou prove que nenhum exemplo é possível. a) Um grupo não abeliano. b) Um grupo abeliano finito que não é cíclico. c) Um grupo finito com um subgrupo de índice 5. d) Dois grupos finitos que tem a mesma ordem mas não são isomorfos. e) Um grupo G com um subgrupo H que não é normal. f) Um grupo não abeliano simples. g) Um grupo G com um subgrupo normal H tal que o grupo quociente G/H não é isomorfo a qualquer subgrupo de G. h) Um grupo G com um subgrupo H que tem índice 2 mas não é normal. Questão 2: Seja A = R[x,y,z] o anel de polinômios nas variáveis x, y e z. Um automorfismo de A é uma função F : A A que é bijetora, linear e preserva a multiplicação do anel, isto é, F(ap) = af(p), F(p + q) = F(p) + F(q) e F(pq) = F(p)F(q) para todo a R e p,q A. i) Mostre que se p A então F(p)(x,y,z) = p(f(x),f(y),f(z)). ii) Sejam f x, f y e f z : R 3 R as funções induzidas pelos polinômios F(x), F(y) e F(z) respectivamente. Mostre que F induz uma função polinomial Γ : R 3 R 3 definida por Γ = (f x,f y,f z ) que é invertível, isto é, mostre que Γ herda a propriedade de F. iii) Seja F : A A definido por F(x) = x zw 2 2yw, F(y) = y + zw, F(z) = z onde w = xz + y 2. Verifique que Γ 1 (x,y,z) = (x zw 2 + 2yw,y zw,z). F é um automorfismo de A? Justifique. Questão 3: Seja A = (Q,+) o grupo dos números racionais sob a adição e seja M = (Q +, ) o grupo dos números racionais positivos sob a multiplicação. Determine todos os homomorfismos ϕ : A M. 2

3 Questão 4: Seja Z p = {0,1,2,...,p 1} o anel de inteiros mod p, 3 p N. Seja ϕ : Z p Z p definida por ϕ(x) = ax onde (a,p) = 1. i) Descreva as propriedades algébricas de ϕ. ii) Mostre que ϕ possui um ponto periódico de período k > 1, isto é, mostre que existe Z p tal que ϕ k ( ) =. Aqui ϕ 2 = ϕ ϕ e ϕ k = ϕ ϕ é a composição de ϕ k vezes. iii) Defina Γ(p) = {b : (b,p) = 1}. Mostre que ϕ(γ(p)) = Γ(p). iv) Mostre que a p a(modp) quando p é primo. v) Calcule ϕ para p = 6 e a = 2 e determine todos os seus pontos periódicos. Questão 5: a) Defina o conceito de grupo solúvel. b) Determine a decomposição do grupo de permutações S 4 de cardinalidade igual a 24. c) Relacione o conceito de grupo de solúvel com a resolução de equações algébricas por radicais. Questão 6: Classifique cada um dos itens a seguir como verdadeiro ou falso, justificando sua resposta. a) O polinômio x 4 + 2x 2 + 2x + 2 é irredutível sobre Z 7. b) é algébrico sobre Q. c) A extensão Q( 3, 2) de Q tem dimensão 6. d) 2θ 2 + 2θ é o inverso de θ+1 2 na extensão Q(θ), onde θ 3 θ + 1 = 0. e) Um polígono regular de 9 lados pode ser construído com régua e compasso. Questão 7: Demonstre que não existe grupo simples de ordem 148. Lembramos que um grupo finito G é chamado simples quando os únicos subgrupos normais de G são: o próprio G e o grupo unitário formado pelo elemento neutro. 3

4 Goiânia, 21 de Dezembro de 2009 Exame de Qualificação (IME/UFG), 2009, Parte 2: Análise Questão 1: Seja M n o espaço vetorial normado das matrizes reais de ordem n. Seja F k : M n M n a função definida por F k (A) = A k, k N. i) Mostre que F k é diferenciável e calcule F 3 (A) no ponto A = I onde I é a matriz identidade de ordem n. ii) Resolva a equação F 2 (A) = I no espaço M 2. iii) Seja M o subconjunto das matrizes invertíveis de ordem n. Seja G : M M n M n definida por G(A) = A 1. Calcule G (A). Sugestão: Use o Teorema da Função Implícita ou a identidade A 1 B 1 = A 1 (B A)B 1. Questão 2: Seja F : R 3 R 3 a função definida por F(x,y,z) = (x zw 2 2yw,y + zw,z) onde w = xz + y 2. i) Mostre que F é um difeomorfismo global de R 3 e verifique que a inversa de F é G(x,y,z) = (x zw 2 + 2yw,y zw,z). ii) Seja B r = {p R 3 : p r}. Calcule o volume da região definida por F(B r ). iii) Mostre que (y,z) G(1,y,z) é uma superfície regular regrada, isto é, é uma superfície regular que contém uma família de retas. Questão 3: Considere a equação diferencial polinomial Denote a solução da equação diferencial (0.1) por x(t,a). i) Encontre todas as suas soluções constantes. ii) Mostre que lim t x(t, 1 2 ) existe e calcule-o. iii) Calcule x a x = dx dt = x3 x, x(0) = a. (0.1) nos pontos (t,a) = (0,1) e (t,a) = (1,1). iv) A função x(t,a) está definida em todo o R 2? Justifique. Questão 4: Calcule R (x 3 3xy 2 )dxdy onde R = {(x,y) R 2 (x + 1) 2 + y 2 9,(x 1) 2 + y 2 1}. 4

5 Questão 5: Sejam f e g as funções características dos intervalos A = [a, b] = [1, 4] e B = [c,d] = [2,5] respectivamente. As funções f e g são diferenciáveis, exceto nos pontos extremos dos intervalos. Lembramos que f(x) = 1, se x A e f(x) = 0, se x / A. Análogo para g. Pela fórmula de integração por partes temos: x1 f(x)g (x)dx = f(x 1 )g(x 1 ) f( )g( ) x1 f (x)g(x)dx. (0.2) i) Sejam = 0 e x 1 = 3. Mostre que as integrais na equação (0.2) existem e que x1 f(x)g (x)dx = x 1 f (x)g(x)dx = 0. ii) Mostre que f(x 1 )g(x 1 ) f( )g( ) = f(3)g(3) f(0)g(0) = 1. iii) Os resultados afirmados nos itens i) e ii) estão corretos? Justifique. Questão 6: Seja f : U R n R m diferenciável e [a,b] U o caminho retilíneo ligando a a b. O Teorema do Valor Médio generaliza-se imediatamente a dimensões superiores, isto é, é sempre verdade que f(b) f(a) = Df(θ)(b a), θ [a,b]? a) Tome n = 1, m = 2, f(t) = (cos(t),sen(t)) e [a,b] = [π,2π]. Mostre que não existe nenhum θ [a, b] tal que a equação f(b) f(a) = Df(θ)(b a) seja satisfeita. b) Em relação ao item a) calcule o conjunto e mostre que o mesmo não é convexo. {Df(t) L(R, R 2 ) : t [π,2π]} c) Proposição: Suponha que o conjunto de derivadas {Df(x) L(R n, R m ) : x [a,b]} é convexo. Então a seguinte equação f(b) f(a) Df(θ)(b a) = 0 tem solução θ [a,b]. Enuncie a versão unidimensional do Teorema do Valor Médio e faça uso da proposição acima para demonstrá-lo. Questão 7: Defina h(u,v) = 1 ( ) 2 sech2 u v 2 = 1 2 sech(x) = 2/(e x + e x ). [ ( sech u v )] 2. 2 Lembre que i) Mostre que h : R 2 R é solução da equação diferencial θ v + 6θθ u + θ uuu = 0. ii) Determine os pontos críticos de h e analise o comportamento de h na vizinhança do infinito. iii) Calcule h(r 2 ) e esboce os gráficos de sech(x) e h. 5

6 Goiânia, 22 de Dezembro de 2009 Exame de Qualificação (IME/UFG), 2009, Parte 3: Geometria Questão 1: Responda (V) ou (F) justificando sua resposta. ( ) Não existe superfície regular mínima e compacta. ( ) A esfera e o cilindro são localmente isométricos. ( ) Todos os paralelos de uma superfície de revolução são geodésicas. ( ) Os meridianos de uma superfície de revolução são linhas de curvatura. ( ) Se as curvas coordenadas de uma superfície parametrizada X(u, v) são linhas assintóticas,então f = F. Questão 2: Considere uma superfície de revolução S, parametrizada por X(u, v) = (ϕ(u)cosv, ϕ(u)senv, ψ(u)), onde ϕ(u) > 0, [ϕ (u)] 2 + [ψ (u)] 2 = 1 com a < u < b e v R. a) Calcule a curvatura gaussiana de S. b) Dê um exemplo de uma superfície de revolução que é mínima. Questão 3: Mostre que todas as superfícies de revolução com curvatura gaussiana constante K = 1 que intersectam o plano xy ortogonalmente são dadas por ψ(v) = onde c é uma constante (c = ϕ(0)). ϕ(v) = ccos v v 0 1 c 2 sen 2 vdv Questão 4: Considere a curva γ : R R 3 parametrizada por γ(t) = (2t, 3t 2,t 3 ). a) Determine o seu vetor tangente. Qual é a velocidade de γ no instante t? b) A curva γ está parametrizada por comprimento de arco? Em caso negativo, reparametrize-a por comprimento de arco. c) Determine a curvatura de γ. 6

7 Questão 5: O gradiente de uma função diferenciável f : S R é uma aplicação gradf : S R 3 que associa a cada ponto p S um vetor gradf(p) T p S R 3 tal que gradf(p),v p = df p (v), v T p S. Considere X : U R 2 S uma parametrização em uma vizinhança de p. Escreva o vetor gradf como uma combinação linear de X u e X v. Questão 6: a) Considerando S uma superfície com curvatura gaussiana K < 0 e homeomorfa ao cilindro, prove que S tem no máximo uma geodésica fechada simples. b) Seja S o elipsóide de revolução dado por x2 a + y2 2 a + z2 2 b = 1. Calcule 2 S Kdσ, onde K é curvatura gaussiana de S e dσ é o elemento de área de S. Questão 7: Seja α : (0,π) R 2 dada por α(t) = (sent,cost + log tan t 2 ), onde t é o ângulo que o vetor α (t) faz com o eixo Oy. O traço de α é chamado de tractriz. Mostre que: a) α é uma curva diferenciável, parametrizada, regular exceto em t = π 2. b) O comprimento do segmento da tangente da tractriz entre o ponto de tangência e o eixo Oy é constante e igual 1. 7