O Teorema da Curva de Jordan

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática Trabalho de Conclusão de Curso A Relatório Final O Teorema da Curva de Jordan Aluna: Laís Alegria dos Santos. Orientador: Prof. Dr. João Nivaldo Tomazella. São Carlos 2010

2 Identificação Local de desenvolvimento: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática Aluna: Laís Alegria dos Santos - RA: Aluna do Curso Bacharelado e Licenciatura em Matemática Orientador: Prof. Dr. João Nivaldo Tomazella Professor Associado do Departamento de Matemática Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso A Professores responsáveis: Liane Bordignon Ivo Machado da Costa Vera Lúcia Carbone Título do Projeto: O Teorema da Curva de Jordan Período do projeto: Março/2010 a Julho/2010 São Carlos, 21 de Junho de Laís Alegria dos Santos. Prof. Dr. João Nivaldo Tomazella.

3 Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam seriamente esta ciência acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma. Em verdade, o que proporciona o máximo de prazer não é o conhecimento e sim a aprendizagem, não é a posse mas a aquisição, não é a presença mas o ato de atingir a meta. Carl Friedrich Gauss

4 Agradecimentos A todos que, direta ou indiretamente, me ajudaram a desenvolver este trabalho e a alcançar mais essa etapa.

5 Resumo O presente trabalho tem por objetivo provar o Teorema da Curva de Jordan, o qual diz, de maneira geral e simplificada, que uma curva fechada simples no plano divide-o em duas partes. Todavia, a demonstração de tal teorema não é tão simples e facilmente compreensível quanto seu enunciado. Palavras-chave: Conexidade, Simplexos e Curvas de Jordan.

6 Sumário Introdução 8 1 Pré-requisitos 9 2 Conexidade 15 3 Simplexos 19 4 Propriedades de separação de polígonos em R Homeomorfismo entre polígonos em R O Teorema da Curva de Jordan 32 Conclusões 39 Bibliografia 40

7 Lista de Figuras

8 Introdução O Teorema da Curva de Jordan foi enunciado e demonstrado, primeiramente, em 1887, por Marie Ennemond Camille Jordan ( ), porém, posteriormente, descobriu-se que sua prova estava errada, e foi apenas quase vinte anos depois que se chegou a uma demonstração rigorosamente correta. A maneira de se enunciar tal teorema, bem como a sua demonstração, pode variar dependendo do contexto em que será empregado e da necessidade de cada autor que irá utilizá-lo. De modo geral, e bem resumidamente, a idéia central do teorema é: Uma curva de Jordan separa o plano em duas regiões, uma limitada e outra ilimitada, sendo o traço da curva a fronteira comum das duas regiões. Nesse contexto, uma curva de Jordan pode ser entendida como uma curva fechada simples (fechada - início coincide com o fim; simples - não cruza a si mesma) ou uma curva homeomorfa a S 1. Apesar de possuir um enunciado simplório e de fácil compreensão, a demonstração do Teorema da Curva de Jordan é um tanto quanto complicada e bem elaborada, exigindo certo conhecimento e rigor matemáticos. Sendo assim, antes de apresentarmos o enunciado e a demonstração do teorema, aqui empregados em um conceito mais topológico e escritos em outros termos, forneceremos alguns pré-requisitos básicos, como definições e teoremas, a fim de que possamos atingir o objetivo central deste trabalho: compreender o Teorema da Curva de Jordan. 8

9 Capítulo 1 Pré-requisitos Inicialmente, forneceremos uma idéia geral de topologia, incluindo definições e resultados básicos, além de algumas noções de espaços métricos e funções, que nos acompanharão no decorrer deste trabalho. Entretanto, nem todas as demonstrações serão feitas, detalhadamente, pois fogem do nosso objetivo central. As informações que serão oferecidas aqui foram baseadas, principalmente, em [2] e [3]. Definição 1.1. Um Espaço Métrico é um par (X, d), onde X é um conjunto não vazio e d é uma função d : X X R, chamada função distância, satisfazendo: (D1) d(x, y) 0 sempre; (D2) d(x, y) = 0 x = y; (D3) d(x, y) = d(y, x) sempre; (D4) d(x, y) + d(y, z) d(x, z) sempre (Desigualdade Triangular). Exemplo 1.1. R n com a métrica d(x, y) = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2, onde x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ), é um espaço métrico. Definição 1.2. Seja a um ponto de um espaço métrico X e r > 0 um número real. Definimos a bola aberta, B(a, r), e a bola fechada, B(a, r), de centro em a e de raio r, como sendo, respectivamente, os conjuntos B(a, r) = {x X d(x, a) < r} e B(a, r) = {x X d(x, a) r}. Uma N-bola padrão é dada pelo conjunto B n = {x R n d(x 0, x) 1}, onde x 0 é a origem de R n. Definição 1.3. Seja a um ponto de um espaço métrico X e r > 0 um número real. Definimos a esfera, S(a, r), de centro em a e de raio r, como o conjunto S(a, r) = {x X d(x, a) = r}. 9

10 CAPÍTULO 1. PRÉ-REQUISITOS Uma N-esfera padrão é dada pelo conjunto S n 1 = {x R n d(x 0, x) = 1}, onde x 0 é a origem de R n. Definição 1.4. Dado um espaço métrico X, dizemos que um conjunto M X é aberto em X se, para cada a M, existe r > 0 tal que B(a, r) M. (Tal propriedade do ponto a caracteriza que x é ponto interior de M. Assim, M X é aberto em X quando todo ponto de M é ponto interior de M). Exemplo 1.2. Toda bola aberta é um conjunto aberto. De fato, seja B(a, r) uma bola aberta de centro em a e de raio r > 0. Devemos mostrar que, para todo x B(a, r), existe uma bola B(x, s) de centro em x e de raio s > 0 contida em B(a, r). Assim, tome x B(a, r); logo, d(x, a) < r. Tome s = r d(x, a) > 0. Se y B(x, s), então d(y, a) d(y, x) + d(x, a) < s + d(x, a) < r; logo, y B(a, r) e, com isso, concluímos que x é ponto interior de B(a, r) e, como x é qualquer, temos que B(a, r) é um conjunto aberto. Definição 1.5. (i) Seja M um subconjunto de um espaço métrico X e a M. Dizemos que a é um ponto aderente de M se, para todo r > 0, tem-se que B(a, r) M. O conjunto de todos os pontos aderentes de M é denominado fecho de M e representado por M. (ii) Seja M um subconjunto de um espaço métrico X e a X. Dizemos que a é um ponto de acumulação (ou ponto limite) de M quando toda bola de centro em a contém algum ponto de M, diferente do ponto a; isto é, (B(a, r) {a}) M, r > 0. O conjunto de todos os pontos de acumulação de M em X é chamado derivado de M e representado por M. Definição 1.6. Dado um espaço métrico X, dizemos que um conjunto M X é fechado em X se ele contém todos os seus pontos aderentes. Isto é, dizemos que M é fechado em X quando M = M. Exemplo 1.3. Toda bola fechada é um conjunto fechado. De fato, seja B(a, r) a bola fechada de centro em a e raio r > 0. Considere M = B(a, r) e escolha x M c = X M (complementar de M). Assim, temos que d(x, a) > r. Tome s = d(x, a) r > 0 e considere a bola B(x, s) de centro em x e raio s > 0. Se y B(x, s), então d(x, a) d(x, y) + d(y, a) e, como B(x, s) é aberta, temos d(x, a) < s + d(y, a) = d(x, a) r + d(y, a) = d(y, a) > r. Logo, y / M. Como y foi tomado de forma geral em B(x, s), segue que B(x, s) M =. Assim, x não é ponto aderente de M, x M c. Portanto, M é fechado. 10

11 CAPÍTULO 1. PRÉ-REQUISITOS Teorema 1.1. Seja (X, d) um espaço métrico. Então: (1) e X são conjuntos abertos em (X, d). (2) A união arbitrária de conjuntos abertos em (X, d) é aberta em (X, d). (3) A intersecção de uma número finito de conjuntos abertos em (X, d) é aberta em (X, d). Demonstração: (1) Como o conjunto vazio não contém pontos, a exigência de que cada ponto em seja o centro de uma bola aberta contida nele é, automaticamente, satisfeita. Todo o espaço X também é aberto, uma vez que toda bola aberta centrada em qualquer um de seus pontos está contida em X. (2) Sejam {G α α Λ} uma família arbitrária de conjuntos abertos e H = α Λ G α. Se H é vazio, então é aberto por (1). Suponha H não vazio e considere qualquer x H. Então x G α, para algum α Λ. Como G α é aberto, existe r > 0 tal que B(x, r) G α H. Então, para cada x H, existe um r > 0 tal que B(x, r) H. Consequentemente, H é aberto. (3) Sejam {G i 1 i n} uma família finita de conjuntos abertos em X e G = n i=1 G i. Se G é vazio, então é aberto por (1). Suponha G não vazio e seja x G. Então, x G j, j = 1,..., n. Como G j são abertos, existem r j > 0 tais que B(x, r j ) G j, j = 1,..., n. Seja r = min{r 1, r 2,..., r n }. Então, r > 0 e B(x, r) B(x, r j ), j = 1,..., n. Assim, a bola B(x, r) centrada em x satisfaz B(x, r) n j=1 B(x, r j) G. Logo, G é aberto. Corolário 1.1. Seja (X, d) um espaço métrico. Então: (X, d). (1) e X são conjuntos fechados em (X, d). (2) A intersecção arbitrária de conjuntos fechados em (X, d) é fechada em (3) A união finita de conjuntos fechados em (X, d) é fechada em (X, d). A partir das definições de aberto e fechado, somos capazes de estabeler uma relação entre elas através do seguinte teorema: Teorema 1.2. Dado um espaço métrico X, M X é fechado se, e somente se, M c = X M é aberto. Demonstração: ( ) Suponha que M é fechado. Se x M c, tal ponto não pode ser ponto aderente de M; logo, existe r > 0 tal que B(x, r) M =. Assim, B(x, r) M c e, daí, x é ponto interior de M c. Portanto, M c é aberto. ( ) Suponha que M c é aberto. Se x M c, existe r > 0 tal que B(x, r) M c ; logo, B(x, r) M =. Assim, x não é ponto aderente de M e, portanto, M é fechado. 11

12 CAPÍTULO 1. PRÉ-REQUISITOS Definição 1.7. Dados um espaço métrico X e M X, definimos a fronteira de M em X, F rm, como o conjunto formado pelos pontos x X tais que toda bola aberta de centro em x contém, pelo menos, um ponto de M e um ponto do complementar X M. Isto é, F rm = M X M. Definição 1.8. Dado um espaço métrico X, M X é denso em X se M = X, ou seja, se toda bola aberta em X contém algum ponto de M. Definição 1.9. Um espaço métrico X é dito separável se existe um subconjunto enumerável denso em X. Além dessas noções topológicas, temos também a idéia de conjuntos conexos. Todavia, as definições e resultados referentes a conexidade serão apresentados mais adiante, em um capítulo específico, devido a sua importância no Teorema da Curva de Jordan. Para finalizar este capítulo, recordaremos, de modo geral e resumido, algumas noções básicas de funções, muito utilizadas na maioria dos conteúdos matemáticos. Uma função f : A B é uma relação que associa elementos de um conjunto A com elementos de um conjunto B, de modo que, para qualquer elemento a A, exista um único elemento b B associado a a - neste caso, representamos por f(a) = b - e, além disso, todo elemento de A deve se relacionar com algum elemento de B. Isso faz com que a relação fique bem definida. Se f(a 1 ) = f(a 2 ) implica em a 1 = a 2, para a 1, a 2 A, dizemos que a função é injetora. Além disso, quando todos os elementos de B estão relacionados com algum elemento de A, dizemos que a função é sobrejetora. Assim, se uma função é injetora e sobrejetora, então dizemos que é bijetora. Dada uma função f, a inversa de f é uma função f 1 : f(b) A tal que f 1 (b) = a f(a) = b, para a A e b B. Definição Sejam (X, d X ) e (Y, d Y ) dois espaços métricos. Dizemos que a função f : X Y é contínua no ponto a X quando, para todo ɛ > 0 dado, existe δ > 0 tal que d X (x, a) < δ d Y (f(x), f(a)) < ɛ, x X; isto é, x B(a, δ) f(x) B(f(a), ɛ). Dizemos que f é contínua em X se ela for contínua em todos os pontos de X. Definição Sejam X e Y dois espaços métricos. Se f : X Y é uma função bijetora, contínua e com inversa f 1 também contínua, então dizemos que f é um homeomorfismo. 12

13 CAPÍTULO 1. PRÉ-REQUISITOS Quando existe um homeomorfismo entre X e Y, dizemos que X e Y são homeomorfos. Exemplo 1.4. (i) Sejam t 0 R, M = (t 0, t 0 +2π),S 1 = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} e p = (cos(t 0 ), sen(t 0 )) S 1. Então a função exp : M (S 1 p) definida por exp(t) = (cos(t), sen(t)) é um homeomorfismo entre M e S 1 p. (ii) f : [0, 1] [0, 2], definida por f(x) = 2x, é um homeomorfismo. (iii) f : (0, ) R, definida por f(x) = lnx, é um homeomorfismo. O teorema, a seguir, estabelece uma relação entre continuidade e as noções de aberto e fechado. Teorema 1.3. Sejam (X, d X ) e (Y, d Y ) dois espaços métricos e f : (X, d X ) (Y, d Y ). São equivalentes: (1) f é contínua. (2) f 1 (G) é aberta em X para todo aberto G em Y. (3) f 1 (F ) é fechada em X para todo F fechado em Y. Demonstração: Para mostrarmos que (1) (2), utilizaremos o seguinte lema: Lema 1.1. f : (X, d X ) (Y, d Y ) é contínua em a X se, e somente se, para todo ɛ > 0, existe δ > 0 com B(a, δ) f 1 (B(f(a), ɛ)). Demonstração: (Lema) Se f é contínua em a, então, dado ɛ > 0, existe δ > 0 com d Y (f(a), f(x)) < ɛ se d X (a, x) < δ [se x B(a, δ) f(x) B(f(a), ɛ)] f(b(a, δ)) B(f(a), ɛ) B(a, δ) f 1 (B(f(a), ɛ)). (1) (2) Assuma que f é contínua. Seja G Y aberto. Queremos mostrar que todo ponto de f 1 (G) é ponto interior. Seja x f 1 (G); logo, f(x) G e, como G é aberto, B(f(x), ɛ) G, para ɛ > 0. Sendo f contínua, o Lema 1.1 garante que existe δ > 0 com B(x, δ) f 1 (B(f(x), ɛ)) f 1 (G). Daí, x é ponto interior de f 1 (G) e, portanto, f 1 (G) é aberta. (2) (1) Suponha que f 1 (G) é aberta em X, para todo aberto G Y. Queremos concluir que f é contínua e, para isso, usaremos o Lema 1.1. Sejam a X e B(f(a), ɛ), para algum ɛ > 0 dado. Pela hipótese, f 1 (B(f(a), ɛ)) é aberta em X, com a pertencente a tal conjunto. Logo, a é ponto interior e, 13

14 CAPÍTULO 1. PRÉ-REQUISITOS então, existe δ > 0 de forma que B(a, δ) f 1 (B(f(a), ɛ)). Pelo Lema 1.1, f é contínua em a e, portanto, f é contínua. Se H Y, temos que vale f 1 (Y H) = X f 1 (H) e assim, podemos concluir que (2) (3). 14

15 Capítulo 2 Conexidade Neste capítulo, apresentaremos alguns resultados referentes a conjuntos conexos ou que nos permitam classificar um conjunto, ou um espaço, como conexo. Trabalharemos, ainda, com a relação entre conexo e conexo por caminhos. Definição 2.1. Seja X um espaço métrico. Dois conjuntos H, K X são separáveis se H K = H K =. (Nenhum dos conjuntos H e K contém um ponto ou um ponto limite do outro). Evidentemente, se H e K são separáveis e H H, K K, então H e K são separáveis. Teorema 2.1. Dados M X, M = H K. Então, (1) H e K são separáveis se, e somente se, (2) H, K são abertos e H K =. Demonstração: ( ) Suponha H não aberto. Então, existe x H tal que B(x, δ) H, para qualquer δ > 0. Daí, x (M H) = K B(x, δ) K x K, o que leva-nos à contradição desejada, pois, por hipótese, H e K são separáveis. Portanto, H é aberto. Analogamente, mostra-se que K é aberto. Além disso, H K =. ( ) Suponha que existe x H K. Então, x H e x K; daí, existe δ > 0 tal que B(x, δ) H e, para qualquer ɛ > 0, B(x, ɛ) K. Em particular, para ɛ = δ, B(x, δ) H e B(x, δ) K, gerando uma contradição, pois, por hípótese, H K =. Logo, H K =. Analogamente, mostra-se que H K = e, assim, H e K são separáveis. Definição 2.2. Uma cisão de um espaço métrico X é uma decomposição, X = H K, de X como reunião de dois subconjuntos abertos, disjuntos e não vazios H e K. 15

16 CAPÍTULO 2. CONEXIDADE Definição 2.3. Um espaço métrico X é conexo se não admite cisão. Caso contrário, X é dito desconexo. Pelo Teorema 2.1, temos que um conjunto M X é conexo se, e somente se, M não é a união de dois conjuntos separáveis não vazios. A definição de espaço conexo apresentada acima expressa a idéia matemática de conjunto formado por um só pedaço. Contudo, uma outra maneira de exprimirmos a conexidade de um espaço métrico é dizer que podemos ir de um ponto qualquer do espaço para outro, através de um movimento contínuo, sem sair do espaço. Essa idéia leva-nos ao conceito de conexidade por caminhos. Definição 2.4. Um caminho num espaço métrico (X, d) é uma aplicação contínua p : [a, b] X, onde [a, b] é um intervalo fechado em R. Se p(a) = P e p(b) = Q, então p é um caminho de P para Q. Definição 2.5. Um conjunto M X é conexo por caminhos se, para cada dois pontos P, Q de M, existe um caminho p : [a, b] M de P para Q, ou de Q para P. Teorema 2.2. Se H e K são separáveis, então todo subconjunto conexo M de H K encontra-se em H ou em K. Demonstração: Suponha que não. Então, M = (M H) (M K), onde (M H) e (M K) são separáveis e não vazios, pois H e K são separáveis. Assim, M é desconexo, contrariando a hipótese do teorema. Teorema 2.3. Seja G uma coleção de conjuntos conexos com um ponto P comum. Então a união G de elementos de G é conexo. Demonstração: Suponha G não conexo. Então, G = H K, H e K separáveis e não vazios, com P H. Como cada g G é conexo, cada g encontrase em H ou em K. Assim, g H, G H e, portanto, K =, contrariando a hipótese de K não vazio. Teorema 2.4. A imagem de conexo por uma aplicação contínua é conexo. Demonstração: Consideremos, primeiro, o caso particular em que, dados (X, d X ) e (Y, d Y ) dois espaços métricos, f : X Y é contínua, sobrejetora e X conexo. Queremos mostrar que Y é conexo. Suponha Y não conexo. Então, Y = U V, onde U e V abertos, disjuntos e não vazios. Assim, f 1 (Y ) = f 1 (U V ) = f 1 (U) f 1 (V ). Todavia, Y = f(x) e, daí, f 1 (Y ) = f 1 (f(x)) = X. Logo, X = f 1 (Y ) = f 1 (U) f 1 (V ), com 16

17 CAPÍTULO 2. CONEXIDADE f 1 (U) e f 1 (V ) abertos, disjuntos e não vazios, o que é impossível, pois X é conexo. O caso geral é consequência: dada f : X Y contínua e dado M X conexo, então f : M f(m) é uma sobrejeção contínua; logo, f(m) é conexo, pelo que acabamos de provar. Os Teoremas 2.3 e 2.4, apresentados acima, continuam válidos se trocarmos conexo por conexo por caminhos. Teorema 2.5. Todo intervalo fechado em R é conexo. Demonstração: Suponha que [a, b] = H K, H e K separáveis, com a H. Seja M = {x x = a ou [a, x] H}. Então, M é limitado superiormente. Seja c o menor limitante superior de M. Então, c [a, b], c é um ponto limite de H, c / K e, assim, c H. Se c < b, então c é um ponto limite de K, o que contradiz a hipótese de H e K separáveis. Logo, c = b e, assim, H = [a, b] e K =. Portanto, [a, b] não é a união de dois conjuntos separáveis não vazios quaisquer. Apesar de referir-se a intervalos fechados, pois é o que nos interessa no contexto deste trabalho, o teorema acima é válido para qualquer tipo de intervalo. Teorema 2.6. Se M é conexo e M L M, então L é conexo. Demonstração: Suponha que L = H K, H e K separáveis. Seja H = M H e K = M K, e assim M = H K. Então H e K são separáveis. Temos que H contém um ponto P de L e tal P é um ponto ou um ponto limite de M. Assim, P é um ponto ou um ponto limite qualquer de H ou de K. Mas P não é nem um ponto, nem um ponto limite, de K K. Assim, P é um ponto ou um ponto limite de H. Daí, H. Analogamente, K. Assim, M não é conexo, contrariando a hipótese do teorema. Teorema 2.7. Todo conjunto conexo por caminhos é conexo. Demonstração: Suponha que M seja conexo por caminhos, mas não conexo. Então, M = H K, H e K separáveis. Tome P H, Q K e seja p um caminho de P para Q em M. Pelos Teoremas 2.4 e 2.5, a imagem p = p([a, b]) M é conexa. Pelo Teorema 2.2, p encontra-se em H ou em K, o que é falso. A recíproca do teorema acima, no entanto, não é verdadeira, contrariando a idéia de que espaço conexo é aquele formado por um único pedaço. Por exemplo, seja M o gráfico de f(x) = sen(1/x), com 0 < x 1/π, em R 2, junto com os 17

18 CAPÍTULO 2. CONEXIDADE pontos (0, 1) e (0, 1). Através dos Teoremas 2.5, 2.3, 2.4 e 2.6, podemos mostrar que M é conexo; porém, também é possível mostrar que não existe um caminho, em M, de (0, 1) (ou (0, 1)) para um outro ponto qualquer de M e, sendo assim, M não é conexo por caminhos. Teorema 2.8. Um espaço métrico X é desconexo se, e somente se, existe uma função contínua e sobrejetora f : X {0, 1}. Demonstração: ( ) Suponha X desconexo. Então, X = H K, com H e K abertos, disjuntos e não vazios. Seja f : X {0, 1} uma função definida por 0, se x H f(x) = 1, se x K. Então, f 1 ({0}) = H e f 1 ({1}) = K. Como os abertos de {0, 1} são, {0}, {1} e {0, 1}, e H e K são abertos de X, segue, pelo Teorema 1.3, que f é uma função contínua. ( ) Suponha que exista f : X {0, 1} contínua. Sejam f 1 (0) = H e f 1 (1) = K. Assim, H, K e H K =. Como f é contínua e {0} e {1} são abertos em {0, 1}, temos que H e K são abertos, pelo Teorema 1.3. Além disso, H K = f 1 ({0, 1}) = X. Logo, X é desconexo. Definição 2.6. Seja M um conjunto e P M. O componente conexo de M, C(M, P ), que contém P é a união de todos os subconjuntos conexos de M que contêm P ; isto é, é o maior subconjunto conexo de M que contém P. Todo conjunto C(M, P ) é conexo. Teorema 2.9. Cada duas componentes conexas (diferentes) de um mesmo conjunto são disjuntas. Demonstração: Sejam C 1 e C 2 duas componentes conexas distintas de um conjunto M. Suponha que exista x C 1 C 2. Então, x C 1 e x (C 1 C 2 ) C 1, pois C 1 é o maior subconjunto conexo de M que contém x. Assim, C 2 C 1. Analogamente, x C 2 e x (C 1 C 2 ) C 2, pois C 2 é o maior subconjunto conexo de M que contém x. Assim, C 1 C 2. Logo, C 1 = C 2, o que gera uma contradição. 18

19 Capítulo 3 Simplexos Para construirmos e compreendermos a demonstração do Teorema da Curva de Jordan, além das noções topológicas apresentadas nos capítulos anteriores, são necessários outras idéias e conceitos mais específicos, os quais serão abordados neste capítulo, juntamente com alguns de seus resultados mais importantes. Definição 3.1. Sejam x 0, x 1,..., x p (p + 1) pontos em R n. Dizemos que tais pontos estão em posição geral quando x 1 x 0, x 2 x 0,..., x p x 0 são linearmente independentes. Exemplo 3.1. (i) 3 pontos não alinhados estão na posição geral de R 2. (ii) 4 pontos não alinhados e não coplanares estão na posição geral de R 3. Definição 3.2. Um subconjunto X de R n é dito convexo quando, dados dois pontos quaisquer de X, o segmento de reta que os une está contido em X. Isto é, para cada x, y X, o segmento xy = {αx + βy α, β 0, α + β = 1} X. O envoltório convexo de X R n é o menor subconjunto convexo de R n que contém X. Em outras palavras, é a intersecção de todos os subconjuntos convexos de R n que contém X. Definição 3.3. Seja V = {v 0, v 1,..., v n } R m um conjunto com (n + 1) pontos em posição geral, com n m. Então, o n-dimensional simplexo, ou n-simplexo, σ n = v 0 v 1...v n, é o envoltório convexo de V. Os pontos de V são chamados vértices de σ n e o envoltório convexo τ de um subconjunto W de V, W, é chamado face de σ n. Assim, se τ é um k-simplexo, então τ é chamado uma k-face de σ n. 19

20 CAPÍTULO 3. SIMPLEXOS Exemplo 3.2. (i) Os 0-simplexos são os pontos de R n. (ii) Os 1-simplexos são segmentos ligando 2 pontos. (iii) Os 2-simplexos são regiões triangulares. (iv) Os 3-simplexos são tetraedros. Teorema 3.1. Todo simplexo é conexo por caminhos. Demonstração: Dados dois pontos quaisquer P e Q de um simplexo, sempre é possível construir um caminho de P para Q, ou de Q para P, pois todo simplexo é convexo. Definição 3.4. Um complexo é uma coleção K de simplexos em R m tal que: (K1) K contém todas as faces de todos os elementos de K. (K2) Se σ, τ K e σ τ, então σ τ é uma face comum de σ e τ. (K3) Cada σ K encontra-se em um conjunto aberto U que intersepta apenas um número finito de elementos de K. Definição 3.5. Para cada i 0, definimos o i-esqueleto de K, K i, como o conjunto de todos os simplexos de K que têm dimensão menor ou igual que i. Exemplo 3.3. (i) O 0-esqueleto de K, K 0, é o conjunto de todos os vértices de K. (ii) O 1-esqueleto de K, K 1, é o conjunto de todos os vértices e arestas de K. Definição 3.6. Um complexo K é conexo se não é a união de dois complexos disjuntos não vazios. Seja K é um complexo. Então K denota a união dos elementos de K (pontos, arestas e faces). Como conjunto, K é chamado de poliedro. Assim, se K é um complexo finito, então K é um poliedro finito. Definição 3.7. Um polígono é uma 1-esfera poliedral. Teorema 3.2. Seja K um complexo. Se K é conexo, então K é conexo por caminhos. Demonstração: Seja v 0 K 0. Queremos mostrar que, para cada v K 0, existe um caminho em K 1 de v 0 para v. Seja V o conjunto de todos os vértices v de K que têm essa propriedade e seja K 1 o conjunto de todos os simplexos de K cujos vértices estão todos em V. Então, K 1 é um subcomplexo de K e nenhuma aresta de K intercepta K 1 e K 0 V. 20

21 CAPÍTULO 3. SIMPLEXOS Assim, nenhum simplexo de K intercepta K 1 e K 0 V. Seja K 2 = K K 1. Então K 2 é um subcomplexo de K e K 1 K 2 =. Como K é conexo, K 2 =. Assim, K 1 = K e V é todo K 0. Agora, tome v σ K e w τ K. Tome um caminho, em σ, de v para um vértice v 0 de σ; um caminho, em K 1, de v 0 para um vértice v 1 de τ e, finalmente, um caminho, em τ, de v 1 para w. Juntos, eles formarão um caminho de v para w. Teorema 3.3. Seja K um complexo. São equivalentes: (1) K é conexo. (2) K é conexo por caminhos. (3) K é conexo. Demonstração: (1) (2) Pelo Teorema 3.2. (2) (3) Pelo Teorema 2.8. (3) (1) Suponha que (1) é falsa. Então, K = K 1 K 2, onde K 1 e K 2 são complexos disjuntos não vazios. Pela condição (K3) da definição de complexo, segue que nenhum ponto v de K é um ponto limite da união dos simplexos de K que não contêm v. Assim, K 1 e K 2 são separáveis e K é não conexo. Definição 3.8. Uma n-célula é um espaço homeomorfo a um n-simplexo. Exemplo 3.4. (i) Uma 0-célula é homeomorfa a um ponto. (ii) Uma 1-célula é homeomorfa a um arco ou uma reta. (iii) Uma 2-célula é homeomorfa a um disco. Definição 3.9. Um arco é uma 1-célula. Uma linha quebrada é um arco poliedral. Teorema 3.4. Em R n, todo conjunto aberto conexo U é conexo por linha quebrada. Demonstração: Seja P U e seja V a união de {P } e o conjunto de todos os pontos de U que podem ser ligados a P por linhas quebradas em U. Mostremos que V e U V são abertos. Tome Q V U. Como U é aberto, existe δ > 0 tal que B(Q, δ) U. Seja R B(Q, δ). Como B(Q, δ) é convexa, existe um segmento ligando R a Q. Logo, R V, pois basta tomarmos uma composição de linhas quebradas. Portanto, B(Q, δ) V (V é aberto). Agora, tome S U V. Como S U e U é aberto, existe δ > 0 tal que B(S, δ) U. Seja T B(S, δ). Como B(S, δ) é convexa, existe um segmento ligando T a S. Então, S / V, pois, do contrário, teríamos uma linha quebrada ligando S a P, o que não ocorre. 21

22 CAPÍTULO 3. SIMPLEXOS Assim, se U V, então U é a união de dois conjuntos abertos, disjuntos e não vazios, o que é falso, pois, por hipótese, U é conexo. Definição Uma n-variedade é um espaço métrico separável X n, em que cada ponto tem uma vizinhança homeomorfa em R n. Definição Seja K um complexo tal que o espaço M = K é uma n- variedade. Então, K é uma n-variedade triangularizável. Definição Sejam σ n = v 0 v 1...v n um n-simplexo e P um ponto de σ n. Definimos as coordenadas baricêntricas de P como a n-upla (λ 0, λ 1,..., λ n ) tal que P = λ 0 v 0 + λ 1 v λ n v n, t i 0 e n i=0 λ i = 1. Dados dois simplexos σ n e τ n, dizemos que uma função f : σ n τ n é linear se as coordenadas de um ponto f(p ) são funções lineares das coordenadas de P. Assim, dizemos que as coordenadas baricêntricas dos pontos P de σ n são funções lineares de coordenadas cartesianas e vice-versa. Além disso, se pontos, vértices e arestas são levados, respectivamente, em pontos, vértices e arestas, dizemos que f é simplicial. Sejam K e L complexos e φ : K L uma bijeção. Para cada v K, seja v = φ(v). Suponha que se v 0 v 1...v n K, então v 0v 1...v n L, e vice-versa. Então, dizemos que φ é um isomorfismo entre K e L (se existe tal φ, então K e L são isomorfos). 22

23 Capítulo 4 Propriedades de separação de polígonos em R 2 Com base nas definições apresentadas nos capítulos anteriores, discutiremos, agora, alguns resultados referentes à caracterização de polígonos e suas relações com o espaço em que se encontra. Vale lembrar, também, que N é uma vizinhança de um conjunto M se N contém um conjunto aberto que contém M. Além disso, para cada complexo K, K será chamado uma triangularização de K. Teorema 4.1. Seja J um polígono em R 2. Então, R 2 J tem, exatamente, duas componentes. Demonstração: Seja N uma vizinhança de J, formada por pequenas vizinhanças poliedrais convexas das arestas e vértices de J, exemplificada na Figura 4.1. Mais precisamente, queremos dizer as arestas e vértices de uma triangulação de J. Figura 4.1: Para completar a demonstração do teorema, utilizaremos os seguintes resultados: Lema 4.1. R 2 J tem, no máximo, duas componentes. 23

24 CAPÍTULO 4. PROPRIEDADES DE SEPARAÇÃO DE POLÍGONOS EM R 2 Demonstração: A partir de qualquer ponto P de N J, podemos escolher nossa trajetória em torno do polígono, ao longo de um caminho em N J, até chegarmos a qualquer P 1 ou P 2 (veja Figura 4.2). Disto segue o lema, pois todo ponto Q de R 2 J pode ser ligado a algum ponto P de N J por um segmento linear em R 2 J. Figura 4.2: Lema 4.2. R 2 J tem, pelo menos, duas componentes. Demonstração: Tome eixos em posição geral, no sentido de que nenhuma linha horizontal contenha mais do que um vértice de J. Isso pode ser feito, porque existe apenas um número finito de direções que precisamos evitar. Para cada ponto P de R 2, seja L P a linha horizontal através de P. O índice IndP de um ponto P de R 2 J é definido da seguinte maneira: (1) se L P não contém vértice de J, então IndP é o número de pontos de L P J que encontramse à esquerda de P, reduzido módulo 2. Então, IndP é 0 ou 1. (2) Se L P contém um vértice de J, então IndP é o número de pontos de L J que estão à esquerda de P, reduzido módulo 2, onde L é uma linha horizontal situada ligeiramente acima ou ligeiramente abaixo de L P, de modo que nenhum vértice de J encontrase em L ou entre L P e L. As três possibilidades para J, com relação a L, são mostradas na Figura 4.3. Em cada caso, as duas possíveis posições para L geram o mesmo índice para P. Figura 4.3: A função f : R 2 J {0, 1}, definida por f(p ) = IndP é contínua. Se IndP = i, então IndP = i, quando P é suficientemente próximo de P. O 24

25 CAPÍTULO 4. PROPRIEDADES DE SEPARAÇÃO DE POLÍGONOS EM R 2 conjunto f 1 (0) é não vazio, pois cada ponto acima de todo J pertence a f 1 (0). Para mostrar que f 1 (1) é não vazio, seja Q um ponto de J tal que L Q não contém vértice de J. Seja P 1 o ponto mais à esquerda de J em L Q. Seja P um ponto de L Q, ligeiramente à direita de P 1, no sentido de que P / J e nenhum ponto entre P 1 e P pertence a J. Então, IndP = 1. Assim, R 2 J é desconexo, pelo Teorema 2.8. E, com isso, provamos o teorema. Sabendo que R 2 J tem, exatamente, duas componentes, chamaremos de I (interior de J ) a componente limitada de R 2 J e de E (exterior de J ) a componente ilimitada de R 2 J. Teorema 4.2. Seja I o interior de um polígono J em R 2. Então, I é um poliedro finito. Isto é, existe um complexo finito K em R 2 tal que K = I. Demonstração: Sejam L 1, L 2,..., L n linhas que contêm as arestas de J. Estas linhas existem em uma quantidade finita e cada uma intercepta a união das outras em um número finito de pontos. Note que alguns conjuntos L i I podem não ser conexos, mas isso não importa. Cada linha L i decompõe R 2 em dois semi-planos fechados H i e H i e qualquer intersecção finita de semi-planos é fechada e convexa. Assim, n i=1 L i decompõe R 2 em uma coleção finita de regiões convexas fechadas R 1, R 2,..., R n tais que, para cada j, temos F rr j n i=1 L i. Agora, R j J F rr j para cada j. Segue que, para cada j, temos R j I J ou R j I. Então, I é a união dos conjuntos R j que encontram-se em I e, desse modo, é apenas uma questão de notação supor que I = k j=1 R j. Para cada j k, F rr j é a união de um número finito de 1-simplexos. Escolhemos o mínimo de triangularizações dos conjuntos F rr j, no sentido que se duas arestas de R j têm um ponto final em comum, então não são colineares. Para cada j, tomamos um ponto w j de R j F rr j e, para cada 1-simplexo vv de F rr j, formamos o 2-simplexo w j vv, conforme a Figura 4.4. Figura 4.4: 25

26 CAPÍTULO 4. PROPRIEDADES DE SEPARAÇÃO DE POLÍGONOS EM R 2 Esse processo gera triangularizações de R j. A união delas é uma triangularização de I. Teorema 4.3. Uma linha quebrada não separa R 2. Isto é, se B é uma linha quebrada em R 2, então R 2 B é conexo. Demonstração: Tome uma vizinhança N de B, conforme a Figura 4.5. Como na demonstração do Lema 4.2, usado na demonstração do Teorema 4.1, cada ponto P de N B pode ser ligado a qualquer outro ponto P 1 ou P 2 por um caminho em N B. Mas, se P 1 e P 2 estiverem próximos de um dos pontos finais da linha, como na figura, então P 1 pode ser ligado a P 2 por um caminho em N B. Assim, N B é conexo e, como na demonstração do Teorema 4.1, R 2 B é conexo. Figura 4.5: Teorema 4.4. Sejam X um espaço métrico e U um conjunto aberto. Então, F ru = U U. Demonstração: Por definição, F ru = U X U. Assim, F ru U. Como U é aberto, temos que U X U =. Além disso, como F ru X U, segue que F ru U U. Agora, se P U U, então P U e P (X U) X U. Logo, U U F ru, provando o teorema. Teorema 4.5. Seja J um polígono em R 2, com interior I e exterior E. Então, cada ponto de J é um ponto limite tanto de I quanto de E. Demonstração: Seja F = F ri = I I. Então, F separa R 2 : R 2 F = I (R 2 I), onde I e (R 2 I) são conjuntos abertos, disjuntos e não vazios; além disso, (R 2 I) contém E, F J e F é fechado. Se F J, então F encontra-se em uma linha quebrada B J. Assim, R 2 B = I [R 2 (I B)], onde os dois conjuntos à direita da igualdade são abertos, disjuntos e não vazios e, além disso, [R 2 (I B)] E. Assim, R 2 B é não conexo, o que é impossível pelo Teorema

27 CAPÍTULO 4. PROPRIEDADES DE SEPARAÇÃO DE POLÍGONOS EM R 2 Teorema 4.6. Sejam J, I e E como no Teorema 4.5. Então, J = F ri = F re. Demonstração: Pelo Teorema 4.5, temos que J I e J I =. Assim, J I I = F ri. Além disso, I I J, pois E é aberto. Logo, J = F ri. Analogamente, mostramos que J = F re. 27

28 Capítulo 5 Homeomorfismo entre polígonos em R 2 Agora, queremos mostrar que todos os polígonos estão situados, no plano, exatamente da mesma maneira. Isto é, se J e J são polígonos em R 2, então existe um homeomorfismo f : R 2 R 2 tal que f(j) = J. Teorema 5.1. Sejam σ n = v 0 v 1...v n e τ n = w 0 w 1...w n simplexos em R m. Então, existe um homeomorfismo simplicial f : σ n τ n f : v i w i. Demonstração: Para cada v = n i=0 α iv i, com α i 0 e n i=0 α i = 1, defina f(v) = n i=0 α iw i. Tal f é bijetora. Além disso, f e f 1 são lineares em relação às suas coordenadas baricêntricas e cartesianas e, portanto, contínuas. Teorema 5.2. No Teorema 5.1, se m = n, então existe um homeomorfismo g : R n R n tal que g σ n é um homeomorfismo simplicial σ n τ n. Demonstração: A aplicação v v v 0 é um homeomorfismo R n R n e leva, simplicialmente, cada simplexo a outro simplexo. Além disso, a composição de duas destas tais aplicações mantém a mesma propriedade. Assim, podemos assumir, sem perda de generalidade, que v 0 é a origem em R n. analogamente, para w 0. linearmente independentes. Procedemos, Disso, segue que {v 1, v 2,..., v n } e {w 1, w 2,..., w n } são Para cada v = n i=1 α iv i R n, defina g(v) = n i=1 α iw i. Então, g σ n assume a posição da função f no Teorema 5.1 e, portanto, vale o resultado. 28

29 CAPÍTULO 5. HOMEOMORFISMO ENTRE POLÍGONOS EM R 2 Seja J um polígono em R 2 com interior I. Pelo Teorema 4.2, I é um poliedro finito K. Se σ 2 K e σ 2 J consiste de uma ou duas bordas de σ 2, então σ 2 é chamado livre em K. Por exemplo, na figura abaixo, 1, 3, 4, 6 e 7 são livres, mas 2 e 5 não. Figura 5.1: Teorema 5.3. Sejam J um polígono em R 2, I o interior de J e K uma triangularização de I. Se K tem mais que um 2-simplexo, então K tem um 2-simplexo livre. Demonstração: O teorema, na forma como foi apresentado, é difícil de provar. Porém, podemos provar, por indução, a afirmação mais forte de que K tem, pelo menos, dois 2-simplexos livres. Se K tem, exatamente, dois 2-simplexos, então não há nada a provar. Assuma, então, que K tem mais que dois 2-simplexos e, como hipótese de indução, podemos assumir que nossa conclusão vale para cada complexo L que é uma triangularização de uma região do tipo I e tem menos 2-simplexo que K. Existem, pelo menos, dois 2-simplexos σ, τ de K que têm uma aresta em F r K. Se ambos são livres, não há nada a provar. Suponha, então, que σ = v 0 v 1 v 2 K, com v 0 v 1 F r K, e τ não é livre. Então, nem v 0 v 2 nem v 1 v 2 encontra-se em F r K, como mostra a figura abaixo. Figura 5.2: Os pontos v 0 e v 2 decompõem o polígono J = F r K em duas linhas quebradas C 1 e C 2 ; e K = I 1 I 2, onde I 1 e I 2 são os interiores de C 1 v 0 v 2 e C 2 v 0 v 2 respectivamente. Seja L 1 o complexo formado pelos simplexos de K que encontram-se em I 1, juntamente com v 0 v 1 v 2 e suas faces. Seja L 2 o conjunto de todos os simplexos de K que encontram-se em I 2. Pela hipótese de indução, cada 29

30 CAPÍTULO 5. HOMEOMORFISMO ENTRE POLÍGONOS EM R 2 um dos complexos L i tem dois 2-simplexos livres. Assim, cada um deles tem um 2-simplexo livre σ i, diferente de v 0 v 1 v 2. Disso, segue que cada σ i é livre não apenas em L i mas, também, em K, como queríamos provar. Teorema 5.4. Seja J um polígono em R 2. Então existe um homeomorfismo h : R 2 R 2, tal que h(j) é a fronteira de um 2-simplexo. Demonstração: Sejam I o interior de J e K uma triangularização de I. Qualquer 2-simplexo livre de K pode ser removido por um homeomorfismo h : R 2 R 2. Dividiremos nossa demonstração em casos. CASO 1. Suponha que v 0 v 1 v 2 é livre, com v 0 v 1 v 2 F r K = v 0 v 2. Tomamos v 3, v 4 e v 5 como na figura abaixo, de modo que eles e v 1 sejam colineares, com v 3 e v 4 pertos de v 1 e v 5 respectivamente, tal que a figura toda intercepta F r K apenas em v 0 v 2. Figura 5.3: Então, definimos h como a identidade no complemento da figura 5.3, de modo que v 0, v 2, v 3 e v 4 fiquem fixados. Agora, defina h(v 5 ) = v 1 e estenda h simplicialmente para cada um dos simplexos v 0 v 4 v 5, v 2 v 4 v 5, v 0 v 5 v 3 e v 2 v 5 v 3. O efeito de h é reduzir por um o número de 2-simplexos de K. CASO 2. Suponha que v 0 v 1 v 2 é livre em K, com v 0 v 1 v 2 F r K = v 0 v 1 v 1 v 2, e tome a inversa da função h definida no caso 1. Por indução, segue o teorema. Teorema 5.5. Sejam J e J polígonos em R 2. Então, existe um homeomorfismo h : R 2 R 2, J J. Demonstração: homeomorfismos Sejam σ 2 e τ 2 dois 2-simplexos. Pelo Teorema 5.4, existem 30

31 CAPÍTULO 5. HOMEOMORFISMO ENTRE POLÍGONOS EM R 2 f 1 : R 2 R 2, J F rσ 2, f 2 : R 2 R 2, J F rτ 2. Pelo Teorema 5.2, existe um homeomorfismo f 3 : R 2 R 2, σ 2 τ 2. Defina h : f 1 2 f 3 f 1. Dessa composição, segue o resultado do teorema. Teorema 5.6. Todo polígono em R 2 é a fronteira de uma 2-célula em R 2. Demonstração: a um 2-simplexo. Segue do Teorema 5.4, visto que uma 2-célula é homeomorfa Teorema 5.7. Seja J um polígono em R 2, com interior I, e seja U um conjunto aberto contendo I. Então, existe um homeomorfismo h : R 2 R 2 tal que: (1) h(j) é a fronteira de um 2-simplexo e (2) h (R 2 U) é a identidade. Demonstração: Segue da demonstração do Teorema 5.4, pois, nela, podemos escolher nossos homeomorfismos de modo que cada um deles satisfaça a condição (2). 31

32 Capítulo 6 O Teorema da Curva de Jordan Baseados em tudo o que foi apresentado nos capítulos anteriores, finalmente somos capazes de apresentar o Teorema da Curva de Jordan e compreender sua demonstração. Eis o teorema: Teorema 6.1. O Teorema da Curva de Jordan. Seja J uma 1-esfera topológica em R 2. Então, R 2 J é a união de dois conjuntos conexos disjuntos I e E tal que J = F ri = F re. Demonstração: A demonstração do teorema acima será construída; isto é, trata-se de uma junção de outros resultados - cada qual demonstrado separadamente - que, juntos, constituirão a demonstração desejada. Vamos a ela: Teorema 6.2. Seja U um conjunto aberto em R n e sejam P, Q U. Se P e Q estão em componentes diferentes de U, então U é a união de dois conjuntos abertos disjuntos contendo P e Q, respectivamente. Demonstração: Cada componente de U é aberta, pois toda B(P, ɛ) é conexa. Assim, toda união de componentes de U é aberta. Seja C P a componente de U que contém P. Então, U = C P (U C P ), onde U C P é aberto e contém Q. Teorema 6.3. Seja I o interior de um polígono em R 2 e sejam P, Q, R e S pontos de F ri, aparecendo numa ordem cíclica em F ri. Seja A um arco de P para R, encontrando-se em I, tal que A F ri = {P, Q}. Então, I A é a união de dois conjuntos abertos disjuntos U Q e U S, contendo Q e S em suas fronteiras. Demonstração: Pelo Teorema 5.5, podemos supor, sem perda de generalidade, que I é uma região retangular. Além disso, podemos tomar P, Q, R e S como na Figura

33 CAPÍTULO 6. O TEOREMA DA CURVA DE JORDAN Figura 6.1: Sejam Q e S pontos de I, próximos de Q e S respectivamente, como ilustrado na Figura 6.1 acima. Se Q e S estão em uma mesma componente de I A, então existe uma linha quebrada de Q para S em I A. Assim, existe uma linha quebrada B de Q para S, situada em I A e interseccionando F ri apenas em Q e S. Todavia, P e R encontram-se em uma mesma componente de I B, pois A I B e A é conexo, gerando uma contradição. Teorema 6.4. Seja J uma 1-esfera topológica em R 2. conexo. Então, R 2 J não é Demonstração: Seja I uma 2-célula poliedral contendo J tal que J F ri contém, exatamente, dois pontos P e R. Então, J é a união de dois arcos A 1 e A 2 de P para R. Tome uma linha quebrada B, de S para Q, em I, interseccionando F ri apenas em S e Q. Seja T o primeiro ponto de B, na ordem de S para Q, que se encontra em J; sejam A 1 o arco de P para R, em J, que contém T e A 2 o outro arco de P para R em J. Seja X o último ponto de B que se encontra em A 1, conforme a figura abaixo. Figura 6.2: Lema 6.1. A 2 contém um ponto de B, após X, na ordem de S para Q em B. Demonstração: Suponha que não. Seja B 1 = ST o arco de S para T em B; seja B 2 = T X o arco de T para X em A 1 e seja B 3 = XQ o arco de X para Q em B. Então, B 1 B 2 B 3 é um arco de S para Q em I A 2. Assim, S e Q encontram-se na fronteira de uma mesma componente de I A 2, contrariando o teorema anterior. 33

34 CAPÍTULO 6. O TEOREMA DA CURVA DE JORDAN Sejam Y o primeiro ponto de B que se encontra em A 2 e segue X em B, na ordem de S para Q, e Z um ponto qualquer entre X e Y em B. Lema 6.2. Z encontra-se em uma componente limitada de R 2 J. Demonstração: Suponha que não. Então, existe uma linha quebrada B 1 de Z para um ponto W de F ri, com B 1 R 2 J. Podemos supor que B 1 F ri = W, pois, caso contrário, uma linha quebrada menor teria as mesmas propriedades. Considere, primeiro, o caso em que W e S encontram-se em uma mesma componente de F ri {P, R}, ilustrado na figura abaixo. Figura 6.3: Neste caso, B contém um arco B 2, de Z para Q, que não intercepta A 1. Então, segue que W e Q estão na fronteira de uma mesma componente de I A 1, o que contraria o teorema anterior. Suponha, agora, que W e Q encontram-se em uma mesma componente de F ri {P, R}, conforme a figura a seguir. Figura 6.4: Seja T o ponto mais baixo de B (linha quebrada de S para Q) que se encontra em A 1. Faça a união dos arcos B 1, ZX QS, XT A 1 e T S SQ. Daí, segue que W e S encontram-se na fronteira de uma mesma componente de I A 2, contrariando, novamente, o teorema anterior. Desse modo, o Teorema 6.4 está provado. Teorema 6.5. Sejam I, P, Q, R e S como nos teoremas anteriores e sejam A 1 e A 2 arcos disjuntos em I tal que A 1 F ri = {P } e A 2 F ri = {R}. Então, S e Q estão na fronteira de uma mesma componente de I (A 1 A 2 ). 34

35 CAPÍTULO 6. O TEOREMA DA CURVA DE JORDAN Demonstração: Tomamos I como uma região triangular, com P e Q os pontos médios de um par de lados opostos, como na figura a seguir. Figura 6.5: Por uma decomposição em tijolos do plano, entendemos uma coleção G = {g i } de discos poliedrais (ou 2-células) tais que: (1) i=1 g i = R 2, (2) se dois conjuntos g i e g j se interceptam, então sua intersecção é uma linha quebrada situada na fronteira de cada um deles e (3) cada ponto possui uma vizinhança que intercepta, no máximo, três dos conjuntos g i. Uma maneira de obtermos tal coleção é cortar o plano por linhas horizontais e segmentos verticais, de modo a obter uma parede de tijolos infinita, como mostra a Figura 6.6. Figura 6.6: Em geral, dado um conjunto M em um espaço métrico (X, d), o diâmetro δm de M é o menor limitante superior dos números d(p, Q), P, Q M. (Então, δm pode ser infinito). Sendo assim, se G é uma coleção de subconjuntos de X, então a rede de G é o menor limitante superior dos números δg, g G. Evidentemente, podemos construir uma decomposição em tijolos G de R 2 com uma rede tão pequena quanto quisermos. Em todos os casos, a união de subcoleções quaisquer de G é uma 2-variedade com fronteira. Em nosso caso, usaremos tijolos que são regiões retangulares, com lados paralelos às bordas de F ri e diâmetro suficientemente pequeno para que nenhum deles intercepte A 1 e A 2, tais que I é a união de uma subcoleção deles. Seja N a união de todos os tijolos da decomposição que interceptam A 1. Então, N é uma 2-variedade com fronteira, tal como o conjunto N = N I. Seja J a componente de F rn que contém P. Então, J é uma 1-esfera. Seja B 1 a componente de J F ri que contém P. Então, B 1 é uma linha quebrada entre dois pontos T e U, onde T, U F ri, T encontra-se abaixo de P e R e U 35

36 CAPÍTULO 6. O TEOREMA DA CURVA DE JORDAN encontra-se acima de P e R. Seja B 2 outra linha quebrada entre T e U em J. Sejam V o último ponto de B 2 que se encontra em F ri, abaixo de P e R, e W o primeiro ponto de B 2 que segue V e encontra-se em F ri. Então, W está acima de P e R em F ri. Figura 6.7: Seja B a linha quebrada entre V e W em B 2. Então, B F ri = {V, W }. Nestas condições, V e W encontram-se na fronteira de uma mesma componente de I (A 1 A 2 ). Assim, Q e S têm a mesma propriedade. Teorema 6.6. Arco não separa R 2. Demonstração: Seja A um arco em R 2. Como A é limitado, R 2 A tem, exatamente, uma componente ilimitada. Logo, precisamos mostrar que R 2 A não possui componente limitada. Se U é uma componente limitada de R 2 A, então F ru A e F ru é fechada. Em um intervalo [a, b], todo conjunto fechado M encontra-se em um intervalo mínimo [a, b ], com a, b M, pois o menor limitante superior e o maior limitante inferior de M devem pertencer a M; neste caso, b e a respectivamente. Disso, segue que cada imagem homeomorfa de [a, b] tem a mesma propriedade; A possui um sub-arco A que contém F ru e tem seus pontos finais em F ru. Assim, podemos assumir, sem perda de generalidade, que os pontos finais T, T de A encontram-se em F ru. Agora, incluimos A em uma 2-célula I, de modo que A intercepte F ri em, exatamente, dois pontos P, R. Como na Figura 6.8, estes podem não ser os pontos finais T, T de A. Pelo teorema anterior, existe uma linha quebrada B, de S para Q, tal que B F ri = {Q, S}, IntB I, B A 1 = e B A 3 =. Sejam V o primeiro ponto de B, na ordem de S para Q, que se encontra em A 2 ; W o último ponto de B que se encontra em A 2 ; B 1 o arco de S para V em B; B 2 o arco de V para W em A 2 ; B 3 o arco de W para Q em B e B = B 1 B 2 B 3. Pelo Teorema 6.3, P e R encontram-se nas fronteiras de componentes distintas de I B. Assim, T e T estão em componentes distintas de I B. Mas isso é 36

37 CAPÍTULO 6. O TEOREMA DA CURVA DE JORDAN impossível, pois U é conexo, U B = e T e T são pontos limites de U. Tal contradição completa a demonstração do teorema. Figura 6.8: Teorema 6.7. Seja J uma 1-esfera em R 2 e seja U uma componente de R 2 J. Então, J = F ru. Demonstração: Claramente, F ru J. Se F ru não é todo J, então F ru encontra-se em um arco A em J. Como R 2 J tem uma outra componente V, segue que A separa R 2, contrariando o Teorema 6.6. Teorema 6.8. Seja J uma 1-esfera em R 2. componente limitada. Então, R 2 J tem apenas uma Demonstração: Sejam X, Y e Z como na Figura 6.2. Novamente, J = A 1 A 2 ; T é o primeiro ponto de B, na ordem de S para Q, que se encontra em J, T A 1 ; X é o último ponto de B em A 1 ; Y é o primeiro ponto, depois de X, em B que se encontra em A 2 ; Z é um ponto entre X e Y em B e W é o último ponto de B que se encontra em A 2, como ilustrado na figura abaixo. Figura 6.9: Pelo Lema 6.2, temos que Z se encontra em uma componente limitada de R 2 J. Logo, precisamos mostrar que R 2 J não possui outra componente limitada. Sejam B 1 o arco de S para T em B; B 2 o arco de T para X em A 1 (se T e X forem, realmente, diferentes; caso contrário, B 2 = T = X); B 3 o arco de X para Y em B; B 4 o arco de Y para W em A 2 (se Y W ) e B 5 o arco de W para 37

38 CAPÍTULO 6. O TEOREMA DA CURVA DE JORDAN Q em B. Seja B = 5 i=1 B i. Então, P e R são pontos limites de componentes diferentes de I B. Assim, se U é uma componente limitada de R 2 J, diferente da componente que contém Z, segue que U B = e, então, F ru não pode conter P e R. Assim, F ru encontra-se em um arco de J, o que é impossível, pelo Teorema 6.6. Com isso, completamos a demonstração do Teorema da Curva de Jordan. 38

39 Conclusões O projeto encerra-se tendo concluído todos os tópicos previstos e alcançando os objetivos desejados, visto que, para o Trabalho de Conclusão de Curso A, a principal proposta era estudar o Teorema da Curva de Jordan. Para alcançar tal finalidade, estudamos tópicos básicos de topologia e alguns conceitos específicos, como simplexos e complexos, juntamente com suas particularidades. 39

40 Bibliografia [1] MOISE, E. E.; Geometric Topology in Dimensions 2 and 3, Springer- Verlag, New York, [2] LIMA, E. L.: Espaços Métricos, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, Projeto Euclides, [3] SHIRALI, S., VASUDEVA, H. L.; Metric Spaces, Springer-Verlag, [4] Disponível em: < Acessado em: 02 de Junho de