Física Computacional 8

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Diana Ferretti Prado
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1 Física Computacional 8 Eqs. Difs. Ders. Parciais 1. Introdução às Eqs Dif. Ders. Parciais a. O que é uma Equação Diferencial às Derivadas Parciais b. Exemplo de diferenças finitas: o operador Laplaciano c. Alguns casos simples de EDDP d. O nosso caso de estudo: equação de Poisson e. A respectiva equação numérica f. As condições fronteira g. Solução analítica i: campo electroestático de Coulomb h. Solução analítica ii: potencial de Coulomb bicudo@tecnico.ulisboa.pt Física Computacional - MEFT 2009/10 P. Bicudo & P. Martins 1

2 Introdução às Eqs Dif. Ders. Parciais O que é uma Equação Diferencial às Derivadas Parciais Uma EDDP é uma equção que envolve derivadas parciais de uma função de várias variáveis. Uma função de várias variáves, designa-se em física como campo, f = f ( x 1, x 2,... x n) Na aula anterior vimos discretização de uma função. Quando discretizarmos um campo num espaço a n dimensões, ele fica com n índices (como um tensor) x 1 h.i 1, x 2 h.i 2,... f f i1, i2,... in O que é uma EDDP Física Computacional - MEFT 2009/10 P. Bicudo & P. Martins 2

3 O conceito de campo em física é análogo a um campo de cereais, ou flores, onde em cada ponto temos uma planta que ilustra bem um vector ou um escalar, Van Gogh, campo de trigo e casa em Auvers Conceito de campo Física Computacional - MEFT 2009/10 P. Bicudo & P. Martins 3

4 A derivada parcial em relação à variável xi é calculada mantendo as outras variáveis constantes f = f ( x 1, x 2,... x n) f ( x 1,... x i+h,... x n) f ( x 1,... x i,... x n ) f x x j constant if j i = i h onde se considerou o exemplo da derivada avançada. Quando trabalhamos com diferenças finitas, o passo h da derivação, é tomado finito, mas pequeno, e a derivada passa a ser uma diferença de campos, x i f 1 ( f i1,i2,... ii+1,... in f i1, i2,... ii 1,... in) 2h Derivada parcial Física Computacional - MEFT 2009/10 P. Bicudo & P. Martins 4

5 Exemplo de diferenças finitas: o operador Laplaceano O operador Laplaceano é um exemplo de segunda derivada construída com derivadas parciais. No caso a 2 dimensões da série 4 temos, Δ f =. f = ( 2 x y 2 ) f Usando as diferenças finitas, obtemos, Δ f 1 ( f i+1, j+ f i 1, j+ f i, j+1+ f i, j 1 4f i, j ) 2 h Ex. de diferenças finitas Física Computacional - MEFT 2009/10 P. Bicudo & P. Martins 5

6 As EDDP a dimensões D=2, de 2 a ordem, A Uxx + 2 B Uxy + C Uyy +( termos ordem mais baixa)=0 Podem dividir-se nas seguintes famílias de EDDPs, Elíptica quando B 2 < A C, exemplo: eq. de Laplace, Uxx+Uyy=0 Parabólica quando B 2 = A C, exemplo: eq. do calor/difusão Ut= k Uxx Hiperbólica quando B 2 > A C, exemplo: eq. das ondas unidimensionais, Utt-v 2 Uxx=0 Classificação de EDDPs no caso simples a D=2 e 2 a ordem Física Computacional - MEFT 2009/10 P. Bicudo & P. Martins 6

7 O nosso caso de estudo: a equação de Poisson A equação de Poisson é uma EDDP que nos permite calcular o potencial eléctostático V, ou tensão, em função da densidade de cargas eléctricas,.e = ρ ε 0 V =E ΔV = ρ ε 0 onde partimos da 1ª eq. de Maxwell para o Campo Eléctrico e da equação do potencial eléctrico, para chegar a uma equação para V que envolve o Laplaceano. Eq. de Poisson, ex. EDDP Física Computacional - MEFT 2009/10 P. Bicudo & P. Martins 7

8 A respectiva equação numérica, caso de D=2 Utilizando o Laplaceano com diferenças finitas, obtemos uma equação que podemos iterar, com a técnica do ponto fixo para resolver a eq. de Poisson, f i, j= onde notamos que o Laplaceano iguala o V i,j à média dos potenciais nos primeiros vértices vizinhos. Temos ainda a densidade de carga i,j, que para uma carga total de q a ocupar o elemento de volume quadrado centrado no ponto (i1,j1), nos dá uma densidade de carga, ρ i 1, j 1= 1 h 2 q f i+1, j+f i 1, j+f i, j+1+f i, j 1 + h2 ρ i, j 4 4 ϵ 0 Sendo a densidade nula, i,j =0, nos pontos sem cargas (nota: no limite de h 0, é um de Dirac). Eq. de Poisson, ex. EDDP Física Computacional - MEFT 2009/10 P. Bicudo & P. Martins 8

9 As condições fronteira Recordamos que, para uma EDO de 2ª ordem, precisamos de duas condições fronteira (pelo menos num caso linear) para fixar a solução. Agora, na nossa EDDP de 2ª ordem, vemos que cada ponto é determinado se conhecermos os primeiros vizinhos. Assim uma condição fronteira, a duas dimensões, consiste em conhecermos os valores da função numa linha fechada que encerre a superfície onde pretendemos determinar o potencial V i,j, neste caso trata-se realmente de uma fronteira! Eq. de Poisson, ex. EDDP Física Computacional - MEFT 2009/10 P. Bicudo & P. Martins 9

10 Solução analítica i: o campo electrostático A equação da divergência pode resolver-se com o teorema de Gauss:.E = ρ ε 0 dl E. n = q int ε 0 q onde estudamos o campo criado por uma carga q, que assumimos com simetria circular, e aplicamos o teorema de Gauss a um círculo imaginário de raio r, E = 1 2π ε 0 q r r Eq. de Poisson, ex. EDDP Física Computacional - MEFT 2009/10 P. Bicudo & P. Martins 10

11 Solução analítica ii: o potencial electrostático Podemos agora primitivar o campo electrostático para calcular o potencial, r V ( r) V ( r 0)= = r 0 front. r dl E.n dr 1 2π ε0 V ( r)=v ( r0)+ q [ log( r0) log(r )] 2π ε0 q r onde vemos que, a 2 dimensões, o potencial criado por uma carga é logarítmico e não em (1/r) como a 3 dimensões. Obviamente este é o resultado apenas para uma carga e uma fronteira circular. Mas mesmo para várias cargas, na vizinhança de cada carga devemos ainda ter um campo logarítmico. Eq. de Poisson, ex. EDDP Física Computacional - MEFT 2009/10 P. Bicudo & P. Martins 11

12 Para conhecer mais métodos numéricos: Elementos finitos Diferenças finitas: para diminuir o erro Volumes finitos: para melhorar a física Técnicas sem rêde: para sistemas não uniformes Nota: relembramos que as informações tiradas da internet devem ser tomadas com espírito crítico pois podem conter erros Mais métodos numéricos Física Computacional - MEFT 2009/10 P. Bicudo & P. Martins 12

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