Sistemas Dinâmicos. Ferramentas e Aplicações

Transcrição

1 Sistemas Dinâmicos Ferramentas e Aplicações

2

3 y()= 3

4 Discreto 4

5 Discreto 5

6 Contínuo 6

7 Contínuo 7

8 8

9 9

10 Campos: modelos espaço-temporais 0

11

12

13 Sistemas Lineares Este sistema é linear? u(t) S y(t)=s(u) 3

14 4 Sistemas Lineares Definição: um sistema é linear se ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( u S u S u u S t y u S u S t y Principio de superposição S u(t) y(t)=s(u)

15 5

16 Sistemas Lineares Representação de equações diferenciais ordinárias (EDO) 6

17 Sistemas Lineares Eemplos de equações diferenciais ordinárias (EDO) Considere o crescimento populacional População no tempo inicial t0 é N0 7

18 Sistemas Lineares Considere o crescimento populacional a) População no inicial t0 é N0 b) No instante seguinte a população cresce de sorte que cada indivíduo gera r outros indivíduos. Qual foi a variação da população? 8

19 Sistemas Lineares Qual foi a variação da população? = N N 0 N = N 0 + rn 0 N = N 0 ( + r) = N 0 + r N 0 = rn 0 9

20 Sistemas Lineares Este processo é dinâmico e continua... Se a população agora é N então = rn Se a população é N = rn De forma geral, para uma população d tamanho N, então = rn 0

21 Sistemas Lineares Podemos propor a seguinte equações diferenciais ordinárias (EDO) dn dt = rn População no tempo inicial N(t0) é N0

22 Sistemas Lineares Representação por equações diferenciais ordinárias (EDO) E. equação de da ordem y( t) b y ( t) a y( t) u( t)

23 3 Representação por Variáveis de estado A 0 ; 0 u b a A onde Sistemas Lineares Representação por Variáveis de estado y y Definindo u b a

24 Sistemas Lineares Noção de Equilíbrio Derivadas iguais a zero d 0 dt A A 0 Sistemas Lineares único equilíbrio global estável ou instável Não Eiste outro comportamento dinâmico 4

25 Análise de Sistemas Lineares Conceito de autovalores (a-valores) da matriz A a-valores de A definem a estabilidade do sistema Eemplo: Determinação dos a-valores de A A 0 a b I A 0 b a 0 I A 0 onde a Det.( A) b T r ( A) 5

26 Análise de Sistemas Lineares a-valores de A b b 4a Tr ( A) ( T r ( A)) 4 Det.( A) I A 0 ( ) 0 e i Sistema estável I A 0 ( ) 0 e i Sistema instável I A 0 ( ) 0 e i Caso especial a ser estudado 6

27 7 7 Sistemas Lineares 0 ) ( 0 ) ( e e R R 0 0 a-valores compleos conjugados a-valores reais - mesmo sinal 0 ) ( 0 ) ( e e R R 0 0 Nó estável Nó instável Foco estável Foco instável

28 Sistemas Lineares a-valores reais - sinais opostos a-valores imaginários puros Ponto de sela (instável) Observação: Sistemas lineares não podem apresentar oscilações isoladas, comportamentos periódicos assintoticamente estáveis Centro 8

29 Sistemas Não-Lineares Sistema não linear Condição inicial ( t 0) 0 d dt f () n,, 3,, n Sistema Autônomo f() não depende de t eplicitamente Eemplo: ( t) 0 0 t t e e Solução: (t) que satisfaz à Equação diferencial e à condição inicial 0 Ideal: obter epressões analíticas da solução - informação quantitativa Realidade: na maioria dos casos não é possível conformarmos com obter uma informação qualitativa 9

30 . Sistemas Não-Lineares Sistemas Lineares único Equilíbrio (estável ou instável) Sistemas Não Lineares - Múltiplos Equilíbrios - Oscilações periódicas (ciclos limites) - Atratores estranhos ( caóticos ) 30

31 Sistemas Não-Lineares Pendulo simples b a sen( ) 0 ; a sen( ) b Diagrama de Espaço de Estados θ L b 0 b 0 equilíbrios 3

32 Sistemas Não-Lineares Oscilador de Van der Pol ; d dt d dt 0 Equilíbrio (foco instável) ( t) ( t) t[seg] Ciclo Estável limite 3

33 . Análise qualitativa de sistemas dinâmicos Linearização: se df()/d 0 então as soluções do sistema não linear nas proimidades (LOCALMENTE) do equilíbrio, comportam-se como as do sistema Linear Desenvolvimento serie de Taylor f ( ) f ( ) df ( ) d df ( ) d Aproimação linear Desprezar termos de ordem superior df ( ) d 0 Aproimação linear válida 33

34 34 Eemplo ,, 0,, 0,0, 3 ), ( Df Matriz da linearização (Jacobiano) Equilíbrios 0 ) (0, 0 0 (0,) (0,0) Df Df Df Não posso concluir nada Nó assintoticamente estável Ponto de sela (instável) Análise qualitativa de sistemas dinâmicos

35 35 Caso Geral Jacobiano Df Df f f n ) ( ) ( ) ( ; ) ( n n n n n n f f f f f f f f f Df ) ( Sistema linearizado Análise qualitativa de sistemas dinâmicos

36 DINÂMICA DE POPULAÇÕES 36

37 MODELO MALTHUSIANO 37

38 38

39 MODELO DISCRETO 39

40 EXEMPLOS The history of human population growth 40

41 The age structure of a population is the proportion of individuals in different age-groups RAPID GROWTH Kenya SLOW GROWTH United States ZERO GROWTH/DECREASE Italy Male Female Male Female Male Female Ages 45+ Ages 45+ Ages 5 44 Ages 5 44 Under 5 Under 5 Percent of population Percent of population Percent of population Also reveals social conditions, status of women Figure 35.9B 4

42 MODELO LOGISTICO 4

43 MODELO LOGISTICO 43

44 MODELO LOGISTICO 44

45 45

46 46

47 DUAS FACES DO MODELO LOGISTICO 47

48 48

49 49

50 50

51 5

52 5

53 53

54 54

55 55

56 56

57 57

58 ANALISE QUALITATIVA 58

59 59

60 60

61 6

62 6

63 63

64 64

65 65

66 MODELO DE COMPETIÇÃO 66

67 67

68 68

69 69

70 70

71 7

72 7

73 73

74 74

75 75

76 76

77 77

78 78

79 79

80 80

81 PRINCIPIO DA EXCLUSAO COMPETITIVA Princípio de Gause ou Princípio da Eclusão Competitiva A competição entre duas espécies que eploram o mesmo nicho ecológico pode levar a três diferentes situações: A) uma das espécies se etinguir; B) uma ou ambas espécies ser epulsa do território; C) uma ou ambas espécies adaptarem seus nichos ecológicos em função da competição 8

82 8

83 SISTEMAS COMPLEXOS 83