Interpolação Polinomial

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1 Cálculo Numérico Interpolação Polinomial Parte I Pro. Jorge Cavalcanti [email protected] MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG

2 Interpolação Polinomial A necessidade de obter um valor intermediário que não consta de uma tabela ocorre comumente. Dados eperimentais tabelas estatísticas e de unções compleas são eemplos desta situação. Solução: uso de métodos numéricos Interpolação.

3 Interpolação Polinomial Dado um conjunto de dados { i i } tal como na tabela abaio: i i Como obter o valor de para um valor de que não tenha sido medido como por eemplo.? Quando se deseja saber o valor de para um intermediário entre duas medidas isto é i << i+ podese usar as técnicas da interpolação.

4 Interpolação Polinomial A interpolação consiste em determinar uma unção que assume valores conhecidos em certos pontos nós de interpolação. A classe de unções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária e deve ser adequada às características que pretendemos que a unção possua. Função a ser considerada: Polinômios Interpolação Polinomial 4

5 Interpolação Polinomial Métodos de interpolação polinomial são utilizados para aproimar uma unção principalmente nas seguintes situações: conhecese apenas valores de em apenas pontos discretos... é etremamente complicada e de diícil manejo não é conhecida eplicitamente. 5

6 Interpolação Polinomial O problema geral da interpolação por meio de polinômios consiste em: Interpolar um ponto a um conjunto de n+ dados { i i } signiica calcular o valor de sem conhecer a orma analítica de ou ajustar uma unção analítica aos dados. 6

7 Interpolação Polinomial Interpolação polinomial consiste em se obter um polinômio p que passe por todos os pontos do conjunto de n+ dados { i i } isto é: p p p n n Obs: contagem começa em zero portanto temse n+ pontos na epressão. 7

8 Interpolação Polinomial Polinômio p polinômio interpolador. Podese demonstrar que eiste um único polinômio p de grau menor ou igual a n que passa por todos os n+ pontos do conjunto { i i }. Portanto podese escrever: n p a a a a n... n n p a a a a n... n... n p a + a + a + + a n n n n n n n O conjunto de equações corresponde a um sistema linear de n+ equações e n+ variáveis. 8

9 Obtenção do Polinômio P n Interpolação linear O polinômio que interpola em... n é único. Eistem diversas ormas de se obter o polinômio. Uma delas é resolvendo o sistema linear obtido anteriormente P n n n. Teoricamente todas as ormas conduzem ao mesmo polinômio. A escolha depende da estabilidade do sistema do tempo computacional etc. 9

10 Obtenção do Polinômio P n Interpolação linear E. Encontrar o polinômio que interpola os pontos da tabela abaio: 4. Grau do polinômio como se conhecem os valores da unção em três pontos n+ n podese usar um polinômio de º Grau. pa +a +a. Construção do sistema linear: a +a +a a +a +a a +a +a

11 Obtenção do Polinômio P n Interpolação linear 4. Substituindo os valores da tabela dada: a +a +a a +a +a 4 a +a +a a +a + a a +a +a a +a +a a a + a 4 a a + a + 4a a a 7/ a / pa +a +a

12 Obtenção do Polinômio P n Interpolação linear 4. Então: p 7/+/ É o polinômio que interpola em e A determinação dos coeicientes do polinômio interpolador por meio da resolução de um sistema de equações lineares apesar de ser conceitualmente simples requer um certo esorço computacional. Não podemos esperar que essa seja a orma para qualquer sistema. Devese procurar metodologia alternativa ao modo da solução de sistemas de equações lineares. Outras ormas: a orma de Lagrange a orma de Newton

13 Obtenção do Polinômio P n E. Seja a seguinte tabela de valores da unção e. Encontre uma aproimação para o ponto. pa +a +a a +a +a a +a +a a +a +a 4 5 e

14 Interpolação Polinomial Forma de Lagrange L i Seja um conjunto de n+ dados { i i }. Encontrar um polinômio interpolador p de grau n que passe por todos os pontos distintos {... n }. A Forma de Lagrange representa o polinômio interpolador diretamente a partir dos pontos originais. Seja um polinômio de grau n dado pela orma genérica: p L + L L Onde: p L. i n i i... i i+... n i i i i k i + i n n n 4

15 5 Forma de Lagrange Para ilustrar e acilitar a compreensão do método considere a seguinte tabela: Os polinômios L i são dados por: Interpolação Polinomial y y y y L L L L

16 6 Obtenção do Polinômio P n Forma de Lagrange E. Encontrar o polinômio que interpola os pontos da tabela abaio: P L + L + L 4 L + L 6 L + + +

17 7 Obtenção do Polinômio P n Forma de Lagrange Continuação Eemplo. P L + L + L P P

18 Obtenção do Polinômio P n Forma de Lagrange E. Encontrar o polinômio que interpola os pontos da tabela abaio: 5 8 P L + L + L 8

19 9 Interpolação Polinomial Forma de Newton A Forma de Newton usa o Operador Dierenças Divididas na deinição do seu polinômio interpolador. Operador Dierenças Divididas Seja uma unção tabelada em n+ pontos distintos:... n. O Operador Dierenças Divididas é deinido por: Ordem Ordem Ordem Ordem Zero

20 Interpolação Polinomial

21 Interpolação Polinomial Forma de Newton Operador Dierenças Divididas... n... n... n Ordem n Podemos tabelar de orma conveniente as dierenças divididas para acilitar seu cálculo e recuperação. n Ordem Ordem Ordem Ordem

22 Forma de Newton Operador Dierenças Divididas E. Determine a tabela dos operadores de dierenças para os dados abaio: X Ord Ord Ord 4 /

23 Interpolação Polinomial Forma de Newton A Forma de Newton geral para o polinômio interpolador considerando os operadores de dierenças divididas é dada por: P n a + a + a + + a n n Para n: P a + a + a P / P / 7/ +

24 Obtenção do Polinômio P n Eercícios Seja a seguinte tabela de valores da unção e a partir da qual se deseja obter a aproimação para o ponto Encontre o polinômio interpolador nas ormas linear Lagrange e Newton e encontre a respectiva aproimação do ponto dado. 4