2 - Generalidades sobre funções reais de variável real

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1 Análise Matemática - 009/010 - Generalidades sobre unções reais de variável real.1-deinição e Propriedades De..1 Sejam A e B conjuntos, e uma correspondência de A para B, isto é um processo de associar a cada elemento de A um único elemento de B. Diz-se então que é uma aplicação ou unção de A em B. : A B Y=() B A C Ao conjunto A chama-se domínio e ao conjunto B conjunto de chegada. Nota: O domínio de uma unção deinida por ramos é a reunião dos domínios de todos os ramos. Ao subconjunto C de B ormado por todos os elementos (), com A, é o contradomínio de. Uma unção real de variável real é uma unção cujo domínio e cujo contradomínio são subconjuntos do conjunto dos reais. ª aula teórica pág. 11

2 Análise Matemática - 009/010 De.. Injectividade e Sobrejectividade de unções. Dada uma unção : A B, diz-se que é unção: Injectiva se dados 1, quaisquer se tiver sempre ( 1 ) ( ) isto é, A, ( ) ( ) Eemplo: Estude, utilizando o gráico, a injectividade de = e =. Sobrejectiva se para qualquer B eistir A tal que ()=, ou seja, B A : ( ) = Eemplo: Estude, utilizando o gráico, a sobrejectividade de 1 = Bijectiva se simultaneamente injectiva e sobrejectiva. De.. Paridade de unções Dada uma unção : A B, diz-se que é uma unção: Par se ( ) = ( ), A Nota: Temos então nas unções pares uma simetria em relação ao eio dos. Impar se ( ) = ( ), A Nota: Temos então nas unções impares uma simetria em relação a um ponto (a origem). Eemplos: (1) ( ) = e w()=cos() são unções pares () g() = e h()=sen() são unções impares ª aula teórica pág. 1

3 Análise Matemática - 009/010 De..4 Monotonia de unções Seja : A B uma unção e I A um intervalo. Diz-se que é: Crescente em sentido lato em I se para < ( ) ( ) 1 1 Crescente em sentido estrito em I se para < ( ) < ( ) 1 1 Decrescente em sentido lato em I se para < ( ) ( ) 1 1 Decrescente em sentido estrito em I se < ( ) > ( ) 1 1 Eemplos: (1) A unção identidade, ( ) = é estritamente crescente emr. () A unção ) = ( é estritamente decrescente em ],0[ estritamente crescente em ] 0,+ [. () A unção constante, ( ) = k, é simultaneamente crescente e decrescente (em sentido lato) emr. e Nota: ( ) = tem: D = R C =[ 0,+ [ Conjunto de chegada ( B ) é R tem um zero em =0 é positiva em R \{ 0} tem um mínimo absoluto 0 em =0 não é injectiva não é sobrejectiva ª aula teórica pág. 1

4 Análise Matemática - 009/010 De..5 Periodicidade de unções Seja : A B uma unção, diz-se que é periódica de período t>0 se ( + t) = ( ), A. Mostre que: ( ) sen( ) =, é periódica de período π = tg, é periódica de período π ( ) ( ) Nota: sen(a± b)=sen(a)cos(b) ± cos(a)sen(b) cos(a± b)=cos(a)cos(b) sen(a)sen(b).- Funções elementares e composição de unções De..6 Funções elementares principais Designa-se unções elementares principais as unções deinidas pelas seguintes epressões analíticas: (1) α ( ) =,α (constante) R unção potência + () ( ) a, a \ { 1} = R unção eponencial + () ( ) log, a \ { 1} = R unção logarítmica a (4) () = sen() () = cos() () = tg() () = cotg() () = sec() = 1/cos() () = cosec() = 1/sen() unções trigonométricas (5) () = arcsen() () = arccos() () = arctg() () = arccotg() () = arcsec() unções trigonométricas inversas ª aula teórica pág. 14

5 Análise Matemática - 009/010 De..7 Funções elementares Chama-se unção elementar toda a unção que possa ser obtida como combinação em número inito de unções elementares principais e de constantes com as operações de adição, subtracção, multiplicação, divisão e composição de unções. Nota: = não é uma unção elementar.. Função Composta. Função Inversa. Função Implícita. De..8 Função Composta Seja : A B uma unção, e g : C D outra unção, designa-se por unção composta de com g, a unção h = og que a cada Dh se tem: h ( ) = ( g( ) ). O domínio de h será D h = { C : g( ) A} Eemplo: Seja ( ) = ln e g ( ) = + 4 Determine ( og )( ) = ( g( ) ) ( g ( )) = ln ( + 4), D = { D : g( ) D } og D = ] 0,+ [ e D = [,] D og { D g( D } = ) g g : = [,] : + 4 ] 0, + [ [,] : + 4 > 0 = { ],[ } g = De..9 Função Inversa Seja : A B uma unção injectiva, chama-se unção inversa de a 1 1 e. 1 : A B tal que o = o = Eemplo: Veriique se as unções seguintes são inversas: ( ) = + 1, g( ) = 1 ª aula teórica pág. 15

6 Análise Matemática - 009/010 De..10 Funções implícitas Sejam, R duas variáveis relacionadas por uma condição que designaremos simbolicamente por ψ (, ) = 0. Se eistir uma unção =() deinida num intervalo ] a, b[ tal que ψ (, ( ) ) é uma identidade em relação a, então () designa-se unção implícita deinida pela equação ψ (, ) = 0. Obs.: A condição ψ (, ) = 0 pode deinir várias unções implícitas. Eemplo: + 4 = 0 = + 4 e = 4 Obs.: nem sempre é possível encontrar a orma eplícita de uma unção implícita, isto é nem sempre é possível eprimir = () com () unção elementar. Eemplo: + = 0 Breves noções sobre unções trigonométricas As unções sen() e cos() estão deinidas e são contínuas emr. Têm como contradomínio o intervalo [ 1,1 ], são periódicas de período π. π \ + k k A unção tg() tem por domínio R π, contradomínio R. Z e por Eercício: desenhe o gráico de sen(), cos() e tg(). ª aula teórica pág. 16

7 Análise Matemática - 009/010 = sin() (-Pi,0) 1 (Pi/,1) = cos() 1 (0,1) (Pi,-1) =tg() 4 (Pi,0) ª aula teórica pág. 17

8 Análise Matemática - 009/010 Devido ao acto da unção sen(), cos() e tg() não serem invertíveis nos respectivos domínios há que considerar restrições destas unções a intervalos nos quais sejam injectivas. Assim: A unção arcsen() tem como domínio [ 1,1 ] π contradomínio, π. e como =arcsen() (1,pi/) (-1,-pi/) -1 A unção arccos() tem como domínio [ 1,1 ] [ 0,π ]. e como contradomínio =arccos() 4 (-1,pi) ª aula teórica pág. 18

9 Análise Matemática - 009/010 A unção arctg() tem como domínio R e como contradomínio π π. =arctg() 4 =pi/ =-pi/ - -4 Eercício: Estude as uções: =cotg() e =arccotg() ª aula teórica pág. 19