Integração Numérica. Cálculo Numérico

Transcrição

1 Cálculo Nuérico Integração Nuérica Pro. Jorge Cavalcanti MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG -

2 Integração Nuérica E deterinadas situações, integrais são diíceis, ou eso ipossíveis de se resolver analiticaente. Eeplo: o valor de é conecido apenas e alguns pontos, nu intervalo [a, b]. Coo não se conece a epressão analítica de, não é b possível calcular a d Fora de obtenção de ua aproiação para a integral de nu intervalo [a, b] Métodos Nuéricos.

3 Integração Nuérica Idéia básica da integração nuérica substituição da unção por u polinôio que a aproie razoavelente no intervalo [a, b]. Integração nuérica de ua unção nu intervalo [a,b] cálculo da área deliitada por essa unção, recorrendo à interpolação polinoial, coo, ora de obtenção de u polinôio p n. 3

4 Integração Nuérica Fórulas de Newton-Cotes São órulas de integração do tipo: b a i d [a,b],i A,,...,n Fórulas de integração órulas de quadratura: I n n i A,..., n - pontos conecidos, pertencentes ao intervalo [a, b] nós de integração. A,..., A n - coeicientes a deterinar, independentes da unção pesos. i A i... A n n,

5 Integração Nuérica O uso desta técnica decorre do ato de: por vezes, ser ua unção uito diícil de integrar, contrariaente a u polinôio; conecer-se o resultado analítico do integral, as, seu cálculo é soente aproiado; a única inoração sobre ser u conjunto de pares ordenados. 5

6 Integração Nuérica Métodos de integração nuérica ais utilizados Fórulas de Newton-Cotes Fecadas Regra dos Trapézios, a e n b. Regra /3 de Sipson Fórulas de Newton-Cotes Abertas os i tê de pertencer ao intervalo aberto de a até b 6

7 Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios Siples - consiste e considerar u polinôio de prieiro grau que aproia ua unção, ou seja, n. Este polinôio terá a ora ya a e trata-se da equação que une dois pontos: a e b. 7

8 Regra dos Trapézios Siples Área do trapézio: A. Tt / - altura do trapézio t - base enor T - base aior p De acordo co a igura: b a t b T a P a b-a b Logo, d [ ] 8

9 Regra dos Trapézios Eercício: Estiar o valor de: Pela regra dos trapézios siples e depois veriicar o valor eato da integral. a Pela Regra dos Trapézios Siples: I / [ ] - 3,6 3,,6 /, /3 e /3,6 I,6/ /3 /3, b Pelo Cálculo Integral: 3,6 I 3,6 d 3, d I ln ln 3,6 ln 3,,83 3, 3,6 3, 9

10 Regra dos Trapézios Siples Intervalo [a, b] relativaente pequeno aproiação do valor do integral é aceitável. Intervalo [a, b] de grande aplitude aproiação deasada. pode-se subdividi-lo e n sub-intervalos, e e cada u a unção é aproiada por ua unção linear. A aplitude dos sub-intervalos será b-a/n. A integral no intervalo é dado pela soa dos integrais deinidos pelos sub-intervalos. Regra dos trapézios siples aplicada aos sub-intervalos. Uso da Regra dos Trapézios Coposta Repetida: soa da área de n trapézios, cada qual deinido pelo seu sub-intervalo.

11 Regra dos Trapézios Coposta Repetida Intervalo [a, b] de grande aplitude. Soa da área de n trapézios, cada qual deinido pelo seu sub-intervalo.

12 A Regra aproia pequenos trecos da curva y ƒ por segentos de reta. Para azer ua aproiação para a integral de de a até b, soaos as áreas assinaladas dos trapézios obtidos pela união do inal de cada segento co o eio. É interessante observar que aproiar a área sob a unção pela soa de áreas de trapézios é o equivalente a: realizar interpolação linear de, ou seja, ligar os pontos n, y n co retas.

13 3 Fórula: Só os teros e n não se repete, assi, esta órula pode ser sipliicada e: [ ] [ ] [ ]... N N d [ ] { } N N N d... Regra dos Trapézios Coposta Repetida

14 Regra dos Trapézios Coposta Repetida Eercício: Estiar o valor de: Pela regra dos trapézios repetida, subdividindo o intervalo e 6 subintervalos. I 3,6 d 3, / 3., ,35 3., ,33 a3,; b3,6; / b-a/n 3,6 3,/6,6/6. I TR / [ [ 3 5 ] 6 ] I TR,835 3.,9 3.5, ,778

15 Regra dos Trapézios Eeplo: Estiar o valor de para pontos Trapézio Siples, 3 e 9 pontos Repetida / d Regra dos Trapézios Siples - pontos. e., I/yy Regra dos Trapézios Coposta - 3 pontos A aproiação.,., para 9 pontos., é elor, ba/n que o valor real é.97. dado I/y y y. y² -/

16 Regra de /3 de Sipson b d Seja I. Para este caso vaos considerar a novaente ua subdivisão do intervalo [a,b] e u núero de subintervalos n par. A Regra de Sipson az aproiações para pequenos trecos de curvas usando arcos parabólicos. 6

17 Regra de /3 de Sipson Novaente, podeos usar a órula de Lagrange para estabelecer a órula de integração resultante da aproiação de por u polinôio interpolador de grau. Seja p que interpola nos pontos: a b 7

18 8 O Polinôio de Lagrange de grau que estabelece a unção de interpolação de nos pontos [ i, i ] será: Regra de /3 de Sipson P L L L L L L a; ; b - a a - a a - a - a a a - a-a a-a

19 9 O Polinôio será: Regra de /3 de Sipson P S b a I d d d d p d Então se p :

20 Regra de /3 de Sipson As integrais pode ser resolvidas, por eeplo, usando a udança das variáveis z. Assi, d dz, z, então z z z z e, para, z ;, z ;, z ; Após essas udanças: I S z z dz z z dz z z dz

21 Regra de /3 de Sipson Resolvendo as integrais, obteos a Regra de /3 de Sipson: d [ ] 3 I s [ ] 3

22 Regra de /3 de Sipson Eercício: Estiar o valor de: Pela Regra de /3 de Sipson co dois intervalos e coparar co o valor eato da integral. a Pela Regra de /3 de Sipson: I S /3 [ ] - / 3,6 3,,6/,3 /; /3,; /3,3 e /3,6; I S,3/3 /3 */3,3 /3,6.83 b Pelo Cálculo Integral: 3,6 I 3,6 d 3, d I ln ln 3,6 ln 3,,83 3, 3,6 3,

23 Regra de /3 de Sipson Repetida Pela Regra de Sipson, ora necessários 3 pontos para a interpolação de Lagrange, o que signiicou a divisão do intervalo de integração e subintervalos. A Regra de Sipson Repetida consiste e subdividiros o intervalo [a, b] e n subintervalos de aplitude, onde é u núero par de subintervalos, pois cada parábola utilizará 3 pontos consecutivos. 3

24 Regra de /3 de Sipson Repetida Aplica-se então a regra para cada 3 pontos, isto é, a cada subintervalos obtendo: k b a k k d d d {[ ] [ ] [ ]} 3 3 K [ ] { [ ] [ ]} SR I d 3 3 K K

25 5 Eeplo Calcular usando a regra de Sipson, usando sub-intervalos. 5 lnd 6,,56,6,76,38 3, 5,3,335 3,8,87,35,,39,986 3,,69,69 5,,9,9555,6 3,538,7885,,756,5878,8,359,3365,,,, A A 3,35 A 5,,7 3,35 3 A 3 d, {[ ] [ ] [ ]} 3 3 d K K

26 Eercício Calcular 3 e d Sipson, para, e 6 sub-intervalos. usando a regra de 6