Capítulo 15 Oscilações

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1 Capítulo 15 Oscilações Neste capítulo vaos abordar os seguintes tópicos: Velocidade de deslocaento e aceleração de u oscilador harônico siples Energia de u oscilador harônico siples Exeplos de osciladores harônicos siples: sistea ola-assa, pêndulo siples, pêndulo físico, pêndulo de torção Oscilador harônico aortecido Oscilações forçadas / Ressonância (15-1)

2 (15-) x( t) x cost Moviento Harônico Siples (MHS) Na fig a ostraos instantâneos de u sisteas oscilante siples. O oviento é periódico ou seja, ela se repete no tepo. O tepo necessário para copletar ua repetição é conhecido coo o período (Síbolo T, unidade: S). O núero de repetições por unidade de tepo é chaado o frequencia (Síbolo f, A unidade de hertz) O deslocaento da partícula é dada pela equação: x( t) x cos t Na Fig.b é graficado x( t) versus t. A quantidade x é chaada de aplitude do oviento. Dai o deslocaento áxio possível de u objecto oscilante é x. A quantidade é chaada frequencia angular do oscilador. E dada pela a equaçã o: f T f 1 T

3 x( t) x cost A quantidade é chaado o angulo de fase do oscilador. O valor é deterinado a partir do deslocaento x(0) e a velocidade v(0) e t=0. Na fig ao lado x(t) é tracada contra t para 0. x( t) x cost Velocidade do deslocaent no MHS dx() t d v( t) xcos t xsin t dt dt A quantidade x é chaada aplitude de velocidade v E expressa o valor áxio possível de vt ( ) Na fig.b a velocidade vt ( ) é graficada e teos de t para 0. v( t) x sint dv() t d A aceleração no MHS: a( t) xsin t xcost x dt dt A quantidade xé chaado aplitude de aceleração a. Ela expressa o áxio de a( t). Na fig.c the aceleração a( t) é graficada e teros de t para 0. a t x t ( ) cos (15-3)

4 A lei da força para u oviento harônico siples Vios que a aceleração de u objeto passando MHS é: Se aplicaros a segunda lei de Newton, teos: F a x x O oviento harônico siples MHS ocorre quando a força que age sobre u a x objeto é paroportional ao deslocaento as de sinal oposto. A força pode ser escrita coo: F Cx onde C é ua a constante. Se copararos as duas expressões para F teos: C e A força líquida F e é dada pela lei de Hooke: kx. Se copararos esta equa co a expressao F=-Cx identificaos a constante C co k constante de ola. Podeos entao calcular a frequencia angular para o periodo T. C k and T C k T C F (15-4) Considere o oviento de ua assa ligado a ua ola de constante de ola k que se ove e u atrito no chão horizontal, coo ostrado na figura ao lado. k T k

5 Energia e oviento harônico siples A energia ecânica Ede u MHS é a soa de suas energias potencial e cinética U e K. 1 1 Energia potencial U kx kx cos t k Energia cinética K v xsin t xsin t 1 1 A energia ecânica E U K kxcos t sin t kx Na figura nos plotaos a energia potencial U (linha verde), a energia cinética K (15-5) (linha verelha) e a energia ecânica ou total E (linha preta) versus tepo t. Enquanto U e K varia co o tepo, a energia total E é ua constante. A energia do objetos oscilantes converte entre só a energia potencial e cinética, enquanto a soa a duas peranece constante.

6 U oscilador harônico angular siples (pêndulo de torção) Na figura ostra u outro tipo de sistea oscilante É constituída por u disco co u oento de inércia I suspensa a partir de u fio que torce coo gira e u angulo. O fio exerce no disco u torque de restauracao Esta e a fora angular da lei de Hooke. A constante é chaada de constante de torção do fio. Se copararos a expressão para o torque co a equação da força F Cx percebeos que a constante C co a constante de torção. Podeos assi deterinar prontaente a frequência angula e o periodo T. C I I T I I C Note-se que I é a inercia de rotação do disco sobre u eixo que coincide co o fio. O angulo é dado pela equacao: ( t) cost (15-6)

7 O Pêndulo Siples U pêndulo siples consiste de ua partícula de assa suspenso por ua corda de copriento L a partir de u ponto de articulação. Se a assa é perturbado da sua posição de equilíbrio, a força resultante atuando e é tal que o sistea executa u MHS. Existe duas forças que atua sobre : A força gravitacional e a tensão da corda. O torque líquido destas forças é: r F Lg sin Onde é o ângulo que o segento g faz co a vertical. Se 1 (enor que 5 ) Então podeos fazer a seguinte aproxiação: sin onde é expresso e radianos. Co esta aproxiação o torque é: Lg Se copararos a expressão para co a equação da força F Cx percebeos que a constante C coo sendo igual a Lg. Podeos, assi, deterinar prontaente a frequência angular C gl I I e o período T de oscilação. ; T I I C gl (15-7)

8 Nua aproxiação para pequeno ângulos assuios que << 1 e usou a aproxiação: o sen Estaos agora decidindo o que é u angulo pequeno" ou seja, até ponto o ângulo é a aproxiação razoavelente precisa? (degrees) (radians) sin (1% erro) (% erro) Conclusão: Se continuaros <10 fazeos enos que o erro de 1% (15-8)

9 O oento de inércia I e torno de u pivô é igual para L T L g T I gh I L Assi T gl gl Pêndulo físico U pêndulo físico é u órgão extened rígida que está suspensa a partir de u ponto fixo ó e oscila sob a influência da gravidade O torque líquido ghsin Aqui he a distancia entre ponto O e do centro de assa C do corpo suspenso. Se fizeros a aproxiacao pequeno angulo gh equação da força F. Se copararos os torques co o 1, teos: Cx percebeos que nós identificaos a constante C co o tero gh. Podeos, portanto, facilente deterinar o período T de oscilação. I I T Aquí I é o oento de inércia C gh co relação ao eixo O. I I h co (15-9)

10 Moviento haronico siples e oviento circular unifore Considere u objeto e oviento nua trajetoria circular de raio x co ua velocidade unifore v. Se projetar a posição da particula que se ove no ponto P` no eixo x teos ponto P. A coordenada de P' e: x( t) x cos t. Enquanto o ponto P' executa u oviento circular sua ovientos de projecao P' ao longo do eixo x co siples oviento haronico. A velocidade v do ponto P' é igual a x. A direção vetor velocidade aponta ao longo da tangente do cainho circular. Se projetaros a velocidade v no eixo x teos: v( t) x sin t A aceleração a aponta para o centro O. Se projetaros a ao longo do eixo x nos teos: a( t) x cos t Conclusão: Se olharos para o deslocaento, a velocidade ou a aceleração, a projeção de unifore oviento circular co o diâetro do eixo x é MHS (15-10)

11 O sinal negativo indica que F d se opõe ao oviento da assa oscilante. O pareter b é chaada constante de aorteciento. A força resultante sobre é: F kx bv res Moviento harônico aortecido siples Quando a aplitude de u objeto oscilante é reduzida devido à presença de ua força externa, o oviento é dito ser aortecido. U exeplo é dado na figura ao lado. A assa presa a ua ola de constante k oscila verticalente. A assa oscilante está ligado a ua pá subersa nu líquido. O líquido exerce ua força aortecedora F d cuja agnitude é dada pela equação: F d =-bv De segunda lei de Newton, teos: dx d x kx bv a Nós substituíos v por e a por e, assi, teos dt dt d x dx a seguinte equação diferencial: b kx 0 dt dt (15-11)

12 (15-1) A segunda lei de Newton para o oscilador harônico aortecido: d x dx b kx 0 solução te a fora: dt dt bt/ x( t) x e cos t Na foto acia, graficaos x(t) versus t. Podeos considerar a solução acia bt/ coo ua função de coseno co ua aplitude -dependente do tepo xe. A frequencia angular ' do oscilador aortecido haronica e dada pela equacao: k b 1 E 4 = Para u oscilador harônico se aorteciento da energia Se o oscilador é aortecido a sua energia não é constante, as diinui co o tepo. bt/ Se o aorteciento é pequeno que pode substituir x co x e Ao fazê-lo, descobrios que: E t 1 bt/ ( ) kxe A energia ecânica diinui exponencialente co o tepo. kx

13 Movendo apoio (15-13) Oscilacoes Forcadas e Ressonância Se u sistea oscilante é perturbada e depois deixado a oscilar livreente a frequencia angular correspondente é chaado de frequencia natural de oscilação. O eso sistea pode tabé pode ser conduzido coo ostrado na figura acia por u suporte ovel que oscila e ua frequencia arbitraria angular Tal suporte força o sistea a oscila oscilador na frequência angular acionado por força otriz. O deslocaento é dada por: x( t) x cos t aplitude de oscilação x varia co o frequancy condução, coo ostrado na figura inferior. A aplitude é aior quando approxiatetly Esta condição é chaada ressonância. Todas as estruturas ecânicas te ua ou ais frequências naturais e se esta estrutura é subetido a ua força otriz externa forte, cuja frequência d corresponde a ua das freqüências naturais, as oscilações resultantes pode danificar a estrutura. d. d