a = q b + r, com0 r b 1.

Transcrição

1 Mateática e Estatística Lic. Adinistração Pública Departaento de Mateática da Universidade de Coibra Ano lectivo 2006/200 1 Teoria dos Núeros O resultado da divisão de dois núeros inteiros, dividendo e divisor, ne sepre é u núero inteiro. Ao aior núero inteiro enor do que a divisão chaa-se quociente e à diferença entre o dividendo e o produto do divisor pelo quociente chaa-se resto. Se a for o dividendo, b o divisor, q o quociente e r o resto te-se que a = q b + r, co0 r b 1. Por exeplo, se dividiros 31 por obteos o resultado é , e por isso o quociente desta divisão é 4. O resto é igual a 31 4 = Algorito de Euclides O Algorito de Euclides serve para deterinar o áxio divisor cou de dois núeros inteiros. Exeplo. Deterinar o áxio divisor cou de 1154 e 35, dc(1154,35). dividendo divisor resto quociente O áxio divisor cou é o últio resto diferente de zero, que é igualente o últio dividendo, ou seja dc(1154,35)= Núeros Prios Definição. U núero inteiro p > 1 é prio se só é divisível por 1 e por ele próprio. Os prieiros núeros prios são: Teorea. Todo o núero natural (diferente de 1) escreve-se de fora única coo u produto de núeros prios. Este Teorea é conhecido por Teorea Fundaental da Aritética. Exeplos: 108 = 2 2 3; 225 = ; 3260 = Definição Dois núeros naturais a e b são prios entre si se dc(a, b)=1. Quaisquer dois núeros prios são prios entre si, as o recíproco não é verdadeiro. 1

2 1.3 Congruências Definição. Seja u núero natural. Dois núeros a e b são congruentes ódulo se a b é divisível por. Escreve-se a b (od ). Proposição. a b (od ) se e só se a e b tê o eso resto na divisão por. Exeplos: (od 2); (od 10); 5 19 (od ). Soas, produtos e potências ódulo. a b = r se r é o resto da divisão de a + b por. (Lê-se a ais b ódulo.) a b = s se s é o resto da divisão de a b por. (Lê-se a vezes b ódulo.) a b = t se t é o resto da divisão de a b por. (Lê-se a elevado a b ódulo.) Exeplos: 3 = 2; 59 3 = 32; = 53; 11 = 2; Exercícios = 1; 63 3 = Calcule o áxio divisor cou e diga quais dos pares são prios entre si. (a) dc(12, 2); (b) dc(1112, 144); (a) dc(5552, 341); (b) dc(1239, 14544). 2. Decoponha e factores prios os seguintes núeros: 10, 55, 98, 308, 115, 26569, (a) Deterine os prieiros 10 núeros naturais congruentes co ódulo 9. (b) Deterine os dois prieiros núeros naturais congruentes co 13 ódulo 11. (c) Calcule u núero natural n tal que n 3 (od 6) e n 5 (od 8). 4. Calcule o resultado das seguintes operações: (a) ; (b) 1 164; (c) ; (d) ; (e) 16 53; (f) 85 55; (g) 15 3 ; (h) ; (i) ; 2 11 (j) 2 19 ; (k) ; (l) Calcule o valor das seguintes expressões ódulo 11, 12 e 23, respectivaente. (a) ; (od 11) (b) ; (od 12) (c) ; (od 23) 123 2

3 Mateática e Estatística Lic. Adinistração Pública Departaento de Mateática da Universidade de Coibra Ano lectivo 2006/ Siétrico ódulo Definição. Seja u núero natural. Dois núeros naturais 0 a, b < são siétricos ódulo se a b 0. Exeplos. 2 e 3 são siétricos ódulo 5 (2 3 1). 5 0 é siétrico de si próprio ódulo (0 0 0). 5 é siétrico de si próprio ódulo 10 (5 5 0). 13 é o inverso ódulo 3 de 24 ( ). 3 O siétrico ódulo de u núero natural enor do que existe e é único. Se a 0, então o seu siétrico ódulo é igual a a. 1.6 Inverso ódulo Definição. Seja u núero natural. Dois núeros naturais 0 < a, b < dize-se inversos ódulo se a b 1. Exeplos. 2 e 3 são inversos ódulo 5 (2 3 1). 5 1 é inverso de si próprio ódulo (1 1 1). 4 não te inverso ódulo 8. Para a = 1, 2,..., ; 4 a é o inverso ódulo 101 de 51 (2 51 1) é o inverso ódulo 19 de 8 (10 8 1) é inverso de si próprio ódulo (6 6 1). Se o inverso ódulo existe, então ele é único. O núero a te inverso ódulo se e só se dc(a,)=1. Se p é prio, então todos os núeros naturais enores do que p tê inverso ódulo p. 1. Exercícios 1. Escreva os siétricos ódulo 13 de todos os núeros naturais inferiores a (a) Deterine, caso exista, o inverso ódulo 11 de todos os núeros naturais inferiores a 11. (b) Deterine, caso exista, o inverso ódulo 14 de todos os núeros naturais inferiores a 14. (c) Calcule x < 41 tal que x 5 1 (od 41). 3. (a) Deterine a < 11 de odo que a (od 11). (b) Deterine b < 11 de odo que b (od 11). (c) Deterine c < 22 de odo que c (od 22). 3

4 2 Códigos de identificação detectores de erros Ua Mensage é ua sequência de dígitos (algarisos ou não) que pretendeos transitir. (Enviar por eail, escrever nu forulário, dizer ao telefone.) U código detector de erros é u conjunto de regras a que ua ensage te que obedecer para estar correcta. Se a ensage recebida não obedecer a essas regras, então houve u erro na counicação. Nesse caso diz-se que o código detectou o erro. Exeplos: 1. Códigos de barras (leitura óptica pequena possibilidade de erro). 2. Núero de cheque (escrito pelo bancário ou lido opticaente). 3. Código ISBN: usado para encoendas de livros,... (para uso huano aior possibilidade de erro). 4. Núero do Bilhete de Identidade (para uso huano aior possibilidade de erro). 5. Núero de série de notas. (a) Actualente é usado para controlo de reessas e outras operações de transferência de notas. O código das notas de Euro é deasiado eleentar. (b) Anteriorente os códigos fora usados para evitar falsificações e feitos de aneira a não sere decifrados. Co a evolução tecnológica, isso deixou de ser necessário. Por exeplo, o código das notas de Marco Aleão era bastante evoluído. 6. Núero de cartão crédito (2 dígitos de controlo).. Coandos à distância: televisão, leitor de DVD, portão da garage,... O coando eite ua ensage (nuérica) e o receptor transfora essa ensage nua acção (udar de canal, abrir a garage,...). Neste caso a possibilidade de erro é bastante elevada. Nos exeplos anteriores o código perite detectar erros as não os corrige. E certos casos, existe a necessidade de corrigir os erros. O exeplo ais usual de ua situação onde são usados códigos de identificação correctores de erros é o da transissão de dados (iage, so ou texto). Neste tipo de sisteas são usados aplificadores de sinal que perite corrigir u certo núero de erros. A possibilidade de corrigir erros é ua das vantagens dos sisteas digitais: internet, TV digital, gravação de CD s. 2.1 Código de barras EAN - European Article Nuber. O código EAN consiste nu núero de 13 dígitos. Os dois prieiros dígitos identifica o país onde o artigo foi produzido, os cinco seguintes o fabricante, os próxios cinco identifica o produto e o últio dígito é u dígito de controlo. x 1 x }{{} 2 x 3x 4 x 5 x 6 x } {{ } x 8x 9 x 10 x 11 x } {{ 12 } x 13 }{{} país fabricante produto dígito controlo Exeplos. Copal Pêra: Copal Lião Light: Lipton Yellow Label Black Tea: Alguns exeplos de identificação do país produtor: França-30, Japão-49, Reino Unido-50, Portugal-56, Itália-80, Espanha-84, livros-9. 4

5 Mateática e Estatística Lic. Adinistração Pública Departaento de Mateática da Universidade de Coibra Ano lectivo 2006/200 U código de barras EAN verifica a seguinte regra: x x 2 + x x 4 + x x 6 + x + 3 x 8 + x x 10 + x x 12 + x 13 0(od10) Copal Pêra = 80 0(od10) O núero 80 é divisível por 10. Lipton (od10) 2.2 Exercícios 1. Verifique se os seguintes núeros EAN estão correctos. (a) (b) (c) (d) Deterine os dígitos de controlo dos seguintes códigos de barras. (a) (b) (c) Núero ISBN ISBN - International Standard Nook Nuber O código ISBN de u livro é u núero de 10 dígitos. Os prieiros dígitos identifica a língua e que foi escrito ou o país onde foi publicado, confore os casos, os núeros seguintes a editora e o livro e o últio é u dígito de controlo, tal coo nos caso dos códigos de barras. O livro Nubers and Beyond de Stephen Barnett é identificado co o seguinte núero }{{} 0 }{{} }{{} 8 inglês Prentice dígito Hall controlo U núero x 10 x 9 x 8 x x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 é u núero ISBN se verifica a seguinte regra: x x x x x x 6 + x + 8 x x x 10 0(od11) Nota: Os códigos que usa núeros prios, coo neste caso o 11, perite detectar u aior núero de erros. O dígito de controlo é adicionado ao ISBN de tal odo que o núero resultante verifique o teste de controlo. Coo se calcula o dígito de controlo x 1? 1. Calcula-se o resto R da divisão inteira de 2 x x x x x 6 + x + 8 x x x 10 por 11, ou seja R = 2 x x x x x 6 + x + 8 x x x 10 = 0 (od11). 2. Se R = 0, então x 1 = 0. Se R 0, então x 1 = 11 R. E se R = 1? Neste caso x 1 = 10. Por conveniência usa-se o dígito X (dez roano) para substituir o núero dez, que é usualente representado por dois dígitos. Exeplo. O livro As Aranhas Douradas de Rex Stout te o ISBN X 5

6 O código do núero ISBN detecta: erros singulares e trocas de dois algarisos. Proposição. Se na leitura de u núero ISBN ocorre apenas u erro nu dígito ou apenas ua troca de algarisos, então o núero resultante da leitura não verifica o teste de controlo. 2.4 Bilhete de Identidade O núero é u núero de BI. Podeos reparar que = 0 (od11). Podeos verificar para outros núeros e chegar á esa conclusão. A verdade é que o código do BI é idêntico ao código ISBN, co ua diferença. Já algué viu o dígito de controlo do BI igual a 10 ou a outro dígito que o identifique? Não, porque o 10 foi substituído por 0!!! Assi o núero é u núero de BI existente e Portugal cujo a soa de controlo é 166 = 1(od11) O núero tabé é u núero de BI e difere do núero anterior e apenas u dígito. Conclusão Devido à substituição do núero 10 por 0, o código do BI não detecta erros singulares. 2.5 Exercícios 1. Deterine os dígitos de controlo dos seguintes núeros ISBN incopletos. (a) (b) (c) (d) ua biblioteca encoendou vários livros enviando os respectivos núeros ISBN. O fornecedor recebeu a encoenda, as dois dos núeros estava incopletos: 92-3? e ?30-0. Quais são os núeros copletos? 3. Deterine duas alternativas correctas para os seguintes núeros incorrectos: (a) (b) (c) (d) X 4. Coplete os seguintes núeros de Bilhete de Identidade. (a) ? (b) 1023?219-9 (c) 1531?000-0 (d) ? (e) ?-1 6

7 Mateática e Estatística Lic. Adinistração Pública Departaento de Mateática da Universidade de Coibra Ano lectivo 2006/ O caso geral Os sisteas de detecção de erros que estudáos, EAN e ISBN, são dois códigos que pertence a ua classe aior: os códigos odulares. Definição U código odular de copriento n e ódulo k é constituído por n núeros naturais, (p 1, p 2,..., p n ), inferiores a k. U núero x 1 x 2 x 3...x n 1 x n pertence a este código se verifica a seguinte regra: p 1 x 1 + p 2 x p n 1 x n 1 + p n x n 0(od k) Nota: Os dígitos x 1,..., x n pode não ser algarisos. Apenas é necessário que identifique u valor nuérico. No código ISBN X representa o núero 10. Exeplos. O código ISBN é u código odular de copriento 10 e ódulo 11. O código de barras te copriento 10 e é u código ódulo 10. Proposição. U código odular (p 1, p 2,..., p n ) de ódulo k detecta: (a) erros singulares na posição i se e só se dc(p i, k)=1; (b) a troca dos dígitos nas posições i e j se e só se dc(p i p j, k)=1. Deste resultado, conclui-se facilente que se k é u núero prio, então u código ódulo k detecta todos os erros singulares. Esse é o caso do código ISBN, ua vez que 11 é prio. 2. Exercícios 1. Para se transitir palavras através de u canal foi construído u código detector de erros, para se ter a certeza que a palavra recebida foi a enviada. Nesse código cada letra corresponde a u núero A-0, B-1,..., Z-22. A cada palavra junta-se u dígito de controlo. Ua palavra x n...x 2 x 1 (x 1 é o dígito de controlo) pertence ao código se x x x n x n 0 (od 23). (a) Deterine o dígito de controlo da palavra PORTUGAL. (b) Fora recebidas as palavras ANOJ e PAULOC. Será que estão correctas. 2. Nua biblioteca foi ipleentado u sistea de leitura óptica dos cartões de leitor dos utentes. Para evitar erros, ao núero de leitor foi acrescentado u dígito de control. Assi, o núero x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 é u núero de leitor se x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 0 (od 10). Por exeplo é u núero deste código, ua vez que = 20 0 (od 10). (a) Verifique se os núeros e pertence a este código. (b) Deterine o algariso de controlo do núero 130?. 3. Verifique que o código de barras não detecta todas as trocas de dois algarisos consecutivos. Dê u exeplo. 4. Verifique que o código ISBN detecta todas as trocas de dois algarisos. 5. Os núeros do cartão de cliente de ua gasolineira tê u código detector de erros. Ao núero do cartão fora acrescentado dois dígitos de control, f e g Assi, o núero abcde fg é u núero de clientes se a + b + c + d + e + f + g 0 (od 9) e a b + c d + e f + g 0 (od 9). (a) Verifique se os núeros e pertence a este código. (b) Deterine os algarisos de controlo do núero 2025 xy.