Zero de Funções ou Raízes de Equações

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1 Zero de Funções ou Raízes de Equações Um número ξ é um zero de uma função f() ou raiz da equação se f(ξ). Graficamente os zeros pertencentes ao conjunto dos reais, IR, são representados pelas abscissas dos pontos onde uma curva intercepta o eio-. y a ξ b Come obter raízes reais de uma função qualquer? Achar a raiz de uma função f() significa achar um número ξ tal que f(ξ). Algumas funções podem ter suas raízes calculadas analiticamente, porém outras são de difícil solução (funções transcendentais, por eemplo) ou de solução desconhecida (polinômios de ordem maior que 4, por eemplo), sendo necessária a solução por métodos numéricos. Fases para a solução numérica Achar um intervalo fechado [a,b] que contenha somente uma solução Refinar a raiz até o grau de eatidão requerido. Isolamento da Raiz Feita através da análise teórica e/ou gráfica da função f(). Teorema: Se f() é continua em [a, b] e se f(a).f(b) <, então eiste pelo menos om ponto ξ entre a e b que é zero de f(). Isolamento de raízes por esboço do gráfico Dada a função f(), o ponto f(ξ) é eatamente o ponto onde a função cruza o eio y a b Caso a função f() seja complea, podemos tentar escrevê-la na forma Supondo f(ξ) teremos g ( ξ ) h( ξ ) g( ξ ) h( ξ )

2 Dessa forma, podemos traçar os gráficos das funções g() e h() e o ponto de interseção destes irá nos fornecer a raiz da função f() y h() Critérios de parada ξ g() Eiste vários tipo de critérios de parada: Analise do valor da função: f () < δ Erro absoluto: Erro relativo: i i i < δ i i i i < δ Limites do intervalo: Método da bisseção b a < δ Seja f() uma função contínua no intervalo [a, b] e f(a) f(b) <, dividindo o intervalo ao meio, obtém-se. Caso f( ), ξ. Caso contrário, Se f(a) f( ) < então a raiz está no intervalo [a, ] Se f( ) f(b)< então a raiz está no intervalo [,b] Dividi-se novamente o intervalo obtendo e assim sucessivamente até a precisão desejada.

3 y Graficamente a b Convergência Chamando os intervalos de a, b, a, b,...,a n, b n então: b a n n b a n + Se então b n a n b a + n ε ε Eemplo: Achar a raiz da equação f ( ) 3 no intervalo [, 3] com o erro absoluto δ <. f() -, f(3) 7 ξ [; 3] logo f ( ) f (3) 7 < ( + 3) /,5 f (,5) 5,6 ξ [;,5] ( +,5) /,5 f (,5),39 Erro -,5,5,5 ξ [;,5] ( +,5) /, f (,5),4 Erro,,5,3 ξ [;,5] (, +,5) /,8 f (,8) Erro 3,8,,6 3 Tabela Bisseção i i f( i ) Erro,5 5,6 -,5,39,5, -,4,3 3,8,46,6,46

4 Método da Regula Falsi No método da bisseção o valor aproimado da raiz em cada iteração é a média aritmética entre os pontos a e b. O método da Regula Falsi (Posição Falsa) considera a média aritmética ponderada entre os pontos a e b com pesos f(a) e f(b), respectivamente. a f ( b) + b f ( a) f ( b) + f ( a) Como f(a) e f(b) têm sinais opostos, a f ( b) b f ( a) f ( b) f ( a) Graficamente, o ponto (aproimação da raiz) é a interseção entre o eio- e a reta que passa por (a, f(a)) e (b, f(b)) f() a b Eemplo: Achar a raiz da equação f ( ) 3 no intervalo [, 3] com o erro absoluto δ <. f() -, f(3) 7 ξ [; 3] f (3) 3 f () 7 3 ( ) f (3) f () 7 ( ) f(,) -,6 ξ [,; 3],

5 , f (3) 3 f (,)., 7 3 (,6) f (3) f (,) 7 (,6) f(.4) -, Erro,4,,3 ξ [,4; 3],4 f (3) 3 f (,4),4 7 3 (,) f (3) f (,4) 7 (,) 3 f(,5) -,6 Erro 3,5,4, ξ [,5; 3],5 f (3) 3 f (,5),5 7 3 (.6) f (3) f (,5) 7 (.6) 4 Erro 4 3,5,5, <,,4,5,5 Tabela Regula Falsi i i f( i ) Erro, -.6 -,4 -,,3 3,5 -,6, <, Método de Newton Supondo uma aproimação para a raiz de f(), no ponto (, f( )) passa apenas uma única reta tangente, que é a derivada de f() em. Esta reta tangente corta o eio na coordenada,definindo por sua vez, o ponto (, f( )) Por este novo ponto também passa uma única reta tangente que corta o eio em. Esta nova coordenada define outro ponto (, f( )) que repete todo o processo,,... são aproimações cada vez melhores para a raiz da função. Pela figura temos que Já que f ( ) tan( θ ) f ( i ) tan( θ ) i+ i podemos concluir i f ( i ) tan( ) i+ θ

6 i+ i f ( i ) f ( ) i Eemplo: Se f ( ) + ln( ) Então,5 f ( ) + (valor inicial próimo a raiz) Satisfaz também a condição f (,5) f (,5),44 3,5,54 > f (,5),44,5,5,65 f (,5) 3 f (,65),65,65 f (,65)

7 Erro,65,65 <, Tabela Newton i i f( i ) Erro,5 -,443 -, ,5,65 - <, Integração Numérica Em determinadas situações, integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente. Eemplo: o valor de f() é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não se conhece a epressão analítica de f(), não é possível calcular Forma de obtenção de uma aproimação para a integral de f() num intervalo [a, b] Métodos Numéricos. Regra dos Trapézios b a f ( ) d Intervalo [a, b] de grande amplitude. Soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo. Fórmula: m h f ( ) d [ f ( ) + f ( )] + [ f ( ) + f ( )] h [ f ( ) + f ( )] N Só os termos f() e f(n) não se repetem, assim, esta fórmula pode ser simplificada em: h N

8 N h f ( ) d + { f ( ) + [ f ( ) + f ( ) f ( )] f ( )} N N Eemplo: Estimar o valor de 4 ( + ) / d Regra dos Trapézios - pontos (. e 4.) I(h/).(y +y )(.+.454).4858 Regra dos Trapézios - 3 pontos (.,., 4.) I(h/).(y +y +y )( ).369 Regra dos Trapézios 9 pontos I(h/).(y +y +y +y 3 +y 4 +y 5 +y 6 +y 7 +y 8 ).936 y(+²) -/ Fórmula de Simpson Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. Em Cálculo Numérico, a Fórmula de Simpson (em nome de Thomas Simpson, um matemático inglês) é uma forma de se obter uma aproimação da integral: Epressão da Fórmula de Simpson A Fórmula de Simpson faz uma aproimação de f() pelo polinômio quadrático P() que admite o mesmo valor de f() em a, b, e no ponto central. Pode-se utilizar interpolação por polinômios de Lagrange para encontrar uma epressão para essa função polinomial.

9 A função f() é aproimada pela função quadrática P() (em vermelho). Segue, através de um cálculo simples, que: O erro na aproimação da integral por meio da fórmula de Simpson é dado pela seguinte epressão: Com h (b a) / e ξ um número entre a e b. Fórmula de Simpson Vemos que a fórmula de Simpson fornece uma boa aproimação se o intervalo de integração [a,b] for pequeno, o que não acontece na maior parte do tempo. A solução óbvia é dividir o intervalo de integração em intervalos menores, aplicar a fórmula de Simpson para cada um destes e somar os resultados. Deste modo obtemos a fórmula de Simpson: onde n é o número de partes em que o intervalo [a,b] foi dividido com n par, h (b a) / n igual ao comprimento de cada sub-intervalo e i a + ih para i,,...,n,n, em particular, a e n b. Alternativamente, pode-se reescrever a epressão da seguinte forma:

10 O erro máimo associado à fórmula de Simpson pode ser calculado através de: Onde h é o comprimento do "passo", dado por h (b a) / n. Eemplo: Estimar o valor de 4 ( + ) / d Regra de Simpson ( subintervalos 3 pontos) (.,., 4.) I(h/3).(y +4y +y )(/3).( ). Regra de Simpson (8 subintervalos 9 pontos) I(h/3).(y +4y +y +4y 3 +y 4 +4y 5 +y 6 +4y 7 +y 8 ).94.5 ( ).94 3 y(+²) -/ Regra de Simpson (4 subintervalos 5 pontos) (.,.,., 3 3., 4 4.) I(h/3).(y +4y +y +4y 3 +y 4 ).77 ( ).77 3