Integração Numérica. Maria Luísa Bambozzi de Oliveira. 27 de Outubro, 2010 e 8 de Novembro, SME0300 Cálculo Numérico

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1 Integração Numérica Maria Luísa Bambozzi de Oliveira SME0300 Cálculo Numérico 27 de Outubro, 2010 e 8 de Novembro, 2010

2 Introdução Nas últimas aulas: MMQ: aproximar função y = f (x) por uma função F(x), combinação linear de funções conhecidas, f (x) a 0 g 0 (x) + a 1 g 1 (x) a m g m (x) = F(x), tal que a distância entre f (x) e F(x), [(f F, f F)] 1/2, seja mínima. Aproximação polinomial, trigonométrica. Interpolação Polinomial: aproximar função y = f (x) por um polinômio de ordem n, P n (x), tal que y k = f (x k ) = P n (x k ), k = 0, 1, 2,..., n. Fórmula de Lagrange, Newton.

3 Integração Numérica Integrar numericamente função y = f (x) em dado intervalo [a, b]: integrar aproximação de f (x), polinômio P n (x), no intervalo [a, b]. Queremos resolver integrais da forma: b a ω(x)f (x) dx, onde ω(x) 0 e contínua em [a, b]. ω(x) é função peso. Aproximar integral com Fórmulas de Quadratura ou Fórmulas de Integração Numérica: b a ω(x)f (x) dx n A k f (x k ) k=0

4 Fórmulas de Quadratura Interpolatória Sejam 1), x 1,..., x n n + 1 pontos distintos em [a, b]; 2) f 0, f 1,..., f n n + 1 valores de função y = f (x); 3) P n (x) polinômio de interpolação de y = f (x) sobre n + 1 pontos considerados, Então, b a P n (x) = n f k l k (x). k=0 ω(x)f (x) dx onde A k = b a ω(x)l k(x) dx. n A k f k k=0

5 Fórmulas de Newton-Cotes Para calcular integral numericamente de f (x) em um intervalo finito [a, b] tal que então b a a = < x 1 < < x n 1 < x n = b, x k+1 x k = h, k = 0, 1,..., n 1; ω(x) = 1, f (x) dx = xn f (x) dx n xn f k l k (x) dx. k=0 l k (x) para argumentos igualmente espaçados torna xn l k (x) dx = h n 0 u(u 1)... (u (k 1))(u (k + 1))... (u n) k(k 1)... (k (k 1))(k (k + 1))... (k n) du

6 Fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado Caso 1: n = 1,, x 1, polinômio do 1o. grau. Regra do Trapézio x1 f (x) dx h 2 [f () + f (x 1 )] Dividindo intervalo [a, b] em N sub-intervalos de amplitude h = b a, aplicar Regra do Trapézio em cada N sub-intervalo [x j, x j+1 ], j = 0, 1,..., N 1 (cada intervalo tem 2 pontos). Regra do Trapézio Generalizada xn f (x) dx h 2 f (x0 ) + 2 [f (x 1 ) + f (x 2 ) f (x N 1 )] + f (x N )

7 Fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado Caso 2: n = 2,, x 1, x 2, polinômio do 2o. grau. Regra 1 de Simpson 3 x2 1 f (x) dx h 3 f () f (x 1) f (x 2) Dividindo intervalo [a, b] em (número par) 2N sub-intervalos de amplitude h = b a 2N, aplicar Regra 1 3 de Simpson em cada sub-intervalo [x 2j, x 2j+2 ], j = 0, 1,..., N 1 (cada intervalo tem 3 pontos). Regra 1 3 x2n de Simpson Generalizada f (x) dx h 3 [f () + 4f (x 1 ) + 2f (x 2 ) f (x 2N 1 ) + f (x 2N )]

8 Fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado Caso 3: n = 3,, x 1, x 2, x 3, polinômio do 3o. grau. Regra 3 de Simpson 8 x3 f (x) dx 3 8 h [f () + 3f (x 1 ) + 3f (x 2 ) + f (x 3 )] Pode-se derivar a Regra 3 de Simpson Generalizada 8 do mesmo modo que os casos anteriores, com quatro pontos por sub-intervalo de amplitude h = b a 3N, com total de sub-divisões sendo múltipla de 3.

9 Erro nas fórmulas de Newton-Cotes Teorema - Erro com n ímpar Se os pontos x j = + jh, j = 0, 1,..., n dividem [a, b] em um número ímpar de intervalos iguais e f (x) tem derivada de ordem (n + 1) contínua em [a, b], então a expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado, com n ímpar, é dada por: R(f ) = hn+2 f (n+1) (ξ) (n + 1)! para algum ponto ξ [a, b]. n u(u 1)... (u n) du, 0 Teorema - Erro com n par Se os pontos x j = + jh, j = 0, 1,..., n dividem [a, b] em um número par de intervalos iguais e f (x) tem derivada de ordem (n + 2) contínua em [a, b], então a expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado, com n par, é dada por: R(f ) = hn+3 f (n+2) (ξ) (n + 2)! para algum ponto ξ [a, b]. n 0 u n u(u 1)... (u n) du, 2

10 Erro nas fórmulas de Newton-Cotes Regra do Trapézio Erro sobre intervalo [, x 1 ], com n = 1: Assim, x1 f (x) dx h 2 [f () + f (x 1 )]

11 Erro nas fórmulas de Newton-Cotes Regra do Trapézio Erro sobre intervalo [, x 1 ], com n = 1: Assim, x1 R(f ) = h3 f (ξ) 2! 1 u(u 1) du = h3 f (ξ) 1 = 0 2! 6 = h3 12 f (ξ), < ξ < x 1 f (x) dx = h 2 [f () + f (x 1 )] h3 12 f (ξ), < ξ < x 1

12 Erro nas fórmulas de Newton-Cotes Regra do Trapézio Generalizada Adicionar N erros da Regra do Trapézio, com N = b a h : x1 f (x) dx h 2 [f () + 2 (f (x 1 ) f (x N 1 )) + f (x N )]

13 Erro nas fórmulas de Newton-Cotes Regra do Trapézio Generalizada Adicionar N erros da Regra do Trapézio, com N = b a h : xn f (x) dx = h 2 [f () + 2 (f (x 1 ) f (x N 1 )) + f (x N )] Nh3 12 f (ξ) = h 2 [f () + 2 (f (x 1 ) f (x N 1 )) + f (x N )] (b a) 12 h2 f (ξ), < ξ < x N

14 Erro nas fórmulas de Newton-Cotes Regra 1 3 de Simpson Erro sobre intervalo [, x 2 ], com n = 2: Assim, x2 f (x) dx h 3 [f () + 4f (x 1 ) + f (x 2 )]

15 Erro nas fórmulas de Newton-Cotes Regra 1 3 de Simpson Erro sobre intervalo [, x 2 ], com n = 2: R(f ) = h5 f (4) (ξ) 4! 2 (u 1)u(u 1)(u 2) du = h5 f (4) (ξ) 0 4! = h5 90 f (4) (ξ), < ξ < x 2 Assim, x2 f (x) dx = h 3 [f () + 4f (x 1 ) + f (x 2 )] h f (4) (ξ), < ξ < x 2 =

16 Erro nas fórmulas de Newton-Cotes Regra 1 3 de Simpson Generalizada Adicionar N erros da Regra 1 3 x2n f (x) dx de Simpson, com N = b a 2h : h 3 [f () + 4f (x 1 ) + 2f (x 2 ) f (x 2N 2 ) + 4f (x 2N 1 ) + f (x 2N )]

17 Erro nas fórmulas de Newton-Cotes Regra 1 3 de Simpson Generalizada Adicionar N erros da Regra 1 3 x2n f (x) dx = de Simpson, com N = b a 2h : = h 3 [f () + 4f (x 1 ) + 2f (x 2 ) f (x 2N 2 ) + 4f (x 2N 1 ) + f (x 2N )] Nh5 90 f (4) (ξ) = h 3 [f () + 4f (x 1 ) + 2f (x 2 ) f (x 2N 2 ) + 4f (x 2N 1 ) + f (x 2N )] (b a) 180 h4 f (4) (ξ), < ξ < x 2N

18 Erro nas fórmulas de Newton-Cotes Regra 3 8 de Simpson (Simples e Generalizada): Simples R(f ) = 3h5 80 f (4) (ξ), < ξ < x 3 Generalizada com N = b a 3h. (b a)h4 R(f ) = f (4) (ξ), < ξ < x 3N, 80

19 Polinômios Ortogonais Para utilizar fórmulas de quadratura de Gauss, precisamos saber mais sobre polinômios ortogonais. Sejam ϕ 0 (x), ϕ 1 (x),... família de polinômios de graus 0, 1,.... Se ϕi (x), ϕ j (x) = 0, para i = j, (ϕ i (x), ϕ i (x)) = 0, para ϕ i (x) = 0, então ϕ 0 (x), ϕ 1 (x),... são ortogonais. Considerando produto escalar (f, g) = b a ω(x)f (x)g(x) dx, com ω(x) 0 e contínua em [a, b]; ω(x) é função peso.

20 Polinômios Ortogonais Polinômios ortogonais mais conhecidos (e tabelados): Legendre Polinômios P 0 (x), P 1 (x),... obtidos usando prod. escalar com ω(x) = 1, a = 1, b = 1. 1 (f, g) = f (x)g(x) dx, 1 Tchebyshev Polinômios T 0 (x), T 1 (x),... obtidos usando prod. escalar (f, g) = 1 1 com ω(x) = 1, a = 1, b = 1. 1 x x 2 f (x)g(x) dx,

21 Polinômios Ortogonais Polinômios ortogonais mais conhecidos (e tabelados): Laguerre Polinômios L 0 (x), L 1 (x),... obtidos usando prod. escalar com ω(x) = e x, a = 0, b =. (f, g) = e x f (x)g(x) dx, 0 Hermite Polinômios H 0 (x), H 1 (x),... obtidos usando prod. escalar com ω(x) = e x2, a =, b =. (f, g) = e x2 f (x)g(x) dx,

22 Fórmulas de Quadratura de Gauss Fórmulas usadas para calcular valor aproximado de através de b a b a ω(x)f (x) dx ω(x)f (x) dx onde A k = b a ω(x)l k(x) dx. n A k f (x k ), k=0

23 Quadratura de Gauss Procedimento 1. Determinar o polinômio ortogonal ϕ n+1 (x), segundo o produto escalar conveniente, com função peso ω(x) e em [a, b]. 2. Calcular as raízes, x 1,..., x n de ϕ n+1 (x). 3. Determinar polinômios de Lagrange l k (x), k = 0, 1,..., n, usando os pontos, x 1,..., x n obtidos. 4. Calcular A k = b a ω(x)l k(x) dx, k = 0, 1,..., n. 5. Calcular valor de f (x) em, x 1,..., x n. 6. Calcular b n ω(x)f (x) dx A k f (x k ). a k=0 Obs.: Vale para qualquer produto escalar. Para produtos escalares dados (Legendre, Tchebyshev, Laguerre, Hermite), itens 1 a 4 já executados e tabelados. Basta calcular os f (x k ) e calcular a soma.

24 Fórmula de Quadratura de Gauss-Legendre Para resolver integrais na forma 1 f (x) dx 1 (para intervalo diferente, fazer mudança de variável). Usando tabela (Tabela 1 do livro-texto): x i N = (1) N = A i

25 Fórmula de Quadratura de Gauss-Tchebyshev Para resolver integrais na forma x 2 f (x) dx (para intervalo diferente, fazer mudança de variável). Usando tabela (Tabela 2 do livro-texto): x i a = 1/2 N = (1) N = (1) (1) A i

26 Fórmula de Quadratura de Gauss-Laguerre Para resolver integrais na forma 0 e x f (x) dx (para intervalo diferente, fazer mudança de variável). Usando tabela (Tabela 3 do livro-texto): x i N = (1) N = (1) (1) ( 1) A i

27 Fórmula de Quadratura de Gauss-Hermite Para resolver integrais na forma e x2 f (x) dx. Usando tabela (Tabela 4 do livro-texto): x i N = N = 3 (1) (1) A i

28 Erro nas Fórmulas de Gauss Todas as fórmulas (Gauss-Legendre, Gauss-Tchebyshev, Gauss-Laguerre, Gauss-Hermite) possuem erro com derivadas de f de ordem 2n + 2, onde n é o índice do último ponto considerado no cálculo da integral.