Homero Ghioti da Silva. 23 de Maio de 2016 FACIP/UFU. Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 23 de Maio de / 16

Transcrição

1 Homero Ghioti da Silva FACIP/UFU 23 de Maio de 2016 Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 23 de Maio de / 16

2 Interpolação Polinomial por Diferençãs Divididas Finitas (DDF) ou interpolação de Newton Considere uma função f, contínua em [a, b] diferenciavel em (a, b). Seja x 0 [a, b] então x [a, b]; x x 0, temos: Denição: A Diferença Dividida Finita (DDF) de primeira ordem de f, em relação aos argumentos x e x 0, denotado por f [x, x 0 ] é denido por: f [x, x 0 ] = f (x) f (x 0) x x 0. Denição de DDFs de ordens superiores são apresentadas na tabela abaixo. Ordem DDF Valor 0 f [x 0 ] f (x 0 ) f (x1) f (x0) 1 f [x 1, x 0 ] x1 x0 f [x2,x1] f [x1,x0] 2 f [x 2, x 1, x 0 ] x2 x0... n f [x n, x n 1,..., x 1, x 0 ] f [xn,xn 1,...,x1] f [xn 1,xn 2,...,x0] xn x0 Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 23 de Maio de / 16

3 Exercício: Calcular DDfs de ordens 0 a 4 a partir dos dados apresentados na tabela abaixo (dados obitdos da função sen(x)): i x i f (x i ) f 1 [ ] f 2 [ ] f 3 [ ] f 4 [ ] 0 0 0, ,1 0, ,2 0, ,3 0, ,4 0,38941 Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 23 de Maio de / 16

4 Exercício: Calcular DDfs de ordens 0 a 4 a partir dos dados apresentados na tabela abaixo (dados obitdos da função sen(x)): i x i f (x i ) f 1 [ ] f 2 [ ] f 3 [ ] f 4 [ ] 0 0 0, , ,1 0, , , ,2 0, , ,3 0, ,4 0,38941 Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 23 de Maio de / 16

5 Exercício: Calcular DDfs de ordens 0 a 4 a partir dos dados apresentados na tabela abaixo (dados obitdos da função sen(x)): i x i f (x i ) f 1 [ ] f 2 [ ] f 3 [ ] f 4 [ ] 0 0 0, , ,1 0, , , , ,2 0, , , , , ,3 0, , ,4 0,38941 Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 23 de Maio de / 16

6 Propriedades: Irrelevância da ordem dos argumentos da DDF: f [x 1, x 0 ] = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 = f (x 0) f (x 1 ) x 0 x 1 = f [x 1, x 0 ]. Generalizando por indução temos: f [x n, x n 1,..., x 1, x 0 ] = f [xα 0, xα 1, xα 2,..., xα n ], onde α 1, α 2,..., α n é qualquer permutação de n, n 1,..., 2, 1, 0. Simetria das DDFs: f [x 1, x 0 ] = f [x 0, x 1 ] = f (x 1) x1 x0 + f (x 0) ; x0 x1 f (x2) (x2 x0)(x2 x1) + f (x1) (x1 x0)(x1 x2) + f (x0) f [x 2, x 1, x 0 ] = (x0 x1)(x0 x2). Por indução e manipulação algébrica nas diferenças, demonstra-se que: f [x n, x n 1,..., x 1, x 0 ] = n i=0 que é a forma simétrica geral das DDFs. f (x i ) n k=0;k i (x i x k ), Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 23 de Maio de / 16

7 Obtendo o polinômio interpolador com DDFs Interpolação Linear com DDF. Considera-se apenas dois pontos conhecidos do gráco da função f desconhecida, ou seja, (x 0, f (x 0 )) e (x 1, f (x 1 )). Caso 1. f função linear. Note que f [x, x 0 ] = f [x 1, x 0 ], x. Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 23 de Maio de / 16

8 Assim, f (x) f (x 0) = f [x 1, x 0 ], ou seja, x x0 f (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f [x 1, x 0 ] = P 1 (x) Caso 2. f é não linear. Neste caso f [x, x 0 ] = f [x 1, x 0 ] não se verica. Desta forma, para x 0 x x 1 temos P 1 (x) f (x) ou f (x) = P 1 (x) + R 1 (x), onde R 1 (x) é uma função erro que se cometer ao aproximar a função f por um polinômio linear. Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 23 de Maio de / 16

9 Como determinar R 1 (x)? Temos que: R 1 (x) = f (x) P 1 (x) = f (x) f (x 0 ) (x x 0 )f [x 1, x 0 ] = 1 (x x 0 )(f [x, x 0 ] f [x 1, x 0 ]) = (x x 0 )(x x 1 )f [x, x 1, x 0 ]. Supondo conhecido um terceiro ponto (x 2, f(x 2 )) de gráco de f, pode-se estimar R 1 (x), como: R 1 (x) (x x 0 )(x x 1 )f [x 2, x 1, x 0 ]. (1) 1 Colocando em evidência (x x0). Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 23 de Maio de / 16

10 Exercício Calcule uma interpolação de ordem 1 para os dois primeiros pontos apresentados no exemplo anterior de DDFs. Calcule uma estimativa para o erro de interpolação, considerando o terceiro ponto do referido exemplo. Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 23 de Maio de / 16

11 Interpolação de ordem superior Caso n=2 (segunda ordem). Suponhamos conhecidos os pontos (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 ))) do gráco de f e suponhamos que f [x 2, x 1, x 0 ] = f [x, x 1, x 0 ], x (x 0, x 2 ), ou seja, a desconhecida f é um polinômio de grau 2 no intervalo (x 0, x 2 ). Temos, portanto, de (1), que: R 1 (x) = (x x 0 )(x x 1 )f [x 2, x 1, x 0 ]. (2) Com isso, pode-se expressar f. De fato: R1(x) {}}{ f (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f [x 1, x 0 ] + (x x 0 )(x x 1 )f [x 2, x 1, x 0 ] = P 2 (x). (3) Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 23 de Maio de / 16

12 Caso a igualdade f [x, x 1, x 0 ] = f [x 2, x 1, x 0 ] não seja satisfeita. Temos, então: f (x) P 2 (x). A gura abaixo representa tal situação: Para reestabelecer a igualdade, inserimos a função erro (R 2 (x)), isto é: f (x) = P 2 (x) + R 2 (x). Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 23 de Maio de / 16

13 Temos que: R 2 (x) = f (x) P 2 (x) = f (x) f (x 0 ) (x x 0 )f [x 1, x 0 ] (x x 0 )(x x 1 )f [x 2, x 1, x 0 ] = (x x 0 )(f [x, x 0 ] f [x 1, x 0 ]) (x x 0 )(x x 1 )f [x 2, x 1, x 0 ] = (x x 0 )(x x 1 )(f [x, x 1, x 0 ] f [x 2, x 1, x 0 ]) = (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )f [x, x 2, x 1, x 0 ]. (4) Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 23 de Maio de / 16

14 Este mesmo procedimento pode ser assumido para uma aproximação de ordem n, onde: f (x) = P n (x) + R n (x). Conhecendo os pontos (x i, f (x i )); 0 i n, temos: P n (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f [x 1, x 0 ] + (x x 0 )(x x 1 )f [x 2, x 1, x 0 ] (5) +(x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )f [x 3, x 2, x 1, x 0 ] (x x 0 )(x x 1 )... (x x n 1)f [x n, x n 1,..., x 1, x 0 ], onde n R n (x) = (x x i )f [x, x n, x n 1,..., x 1, x 0 ]. (6) i=0 Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 23 de Maio de / 16

15 Exercício: Calcular DDfs de ordens 0 a 4 apresentados na tabela abaixo (dados obtidos da função sen(x)): interpole sen(0, 0625) por meio de uma polinomial interpoladora de quarta ordem; interpole sen(0, 0625) por meio de uma polinomial interpoladora quadrática. i x i f (x i ) f 1 [ ] f 2 [ ] f 3 [ ] f 4 [ ] 0 0 0, , ,1 0, , , , ,2 0, , , , , ,3 0, , ,4 0,38941 Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 23 de Maio de / 16

16 Estimativa do erro Temos que R n (x) = n i=0;i k (x i x n )f [x n, x n 1,..., x 0 ]. Teorema: Sejam f uma função contínua de ordem n + 1 (diferenciável até a ordem n) em [a, b] e P n a polinomial interpoladora de ordem n usando DDF nos pontos a = x 0 < x 1 < < x n = b. Então para cada x [a, b], existe η (a, b), tal que: R n (x) = n (x x i ) f (n+1) (η) ; η (a, b). (n + 1)! i=0 Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 23 de Maio de / 16