Homero Ghioti da Silva. 9 de Junho de 2016 FACIP/UFU. Homero Ghioti da Silva (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

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1 Homero Ghioti d Silv FACIP/UFU 9 de Junho de 216 Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

2 Integrção Numéric Motivção Estudr métodos numéricos pr se resolver integris denids do tipo I = b onde f é um função contínu em [, b]. Justictivs f (x)dx Qundo não se conhece expressão nlític d função f integrndo somente um número nito de pontos do gráco de f ; Qundo expressão nlític de um integrl nit é muito difícil de se clculr nliticmente. Exemplo: b x 2 e x 2 dx; Integrção numéric é importnte ferrment pr estudos teóricos. Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

3 Observção: Dentre os métodos de integrção numéric existem queles que ssumem um proximção polinomil e ssume função integrnte, e portnto, integrl do polinômio como representnte d integrl d função originl. Dentre os tis métodos numéricos, existem queles que ssumem somente um número nito de pontos conhecidos, com discretizção de pontos equidistntes, do gráco d função integrnte. Estes são chmdos de fórmuls de Newton Cotes e serão presentdos nest ul. Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

4 Regr Trpezoidl Simples Considere integrl I = b f (x)dx. Suponh que f sej proximd por um polinômio interpoldor P 1 (x) de ordem 1 usndo DDF como segue: f (x) = P 1 (x) + R 1 (x) em um discretizção com pontos igulmente espçdos (equiespçdos) onde = x < x 1 < x 2 < < x n = b onde x k = x + kh; k =,..., n; h = x 1 x = x 2 x 1 = = x n x n 1. Assim P 1 (x) = f (x ) + (x x )f [x 1, x ] e b I = f (x)dx = h f (x + αh)dα h P 1 (x + αh)dα = I T. Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

5 Dest form: I T = h = h = h = h = h[αf (x ) + α2 f (x ) + (x + αh x )f [x 1, x ]dα f (x ) + αhf [x 1, x ]dα f (x ) + (αh)( f (x 1) f (x ) )dα x 1 x f (x ) + α(f (x 1 ) f (x ))dα 2 (f (x 1) f (x ))] 1 = h[f (x ) + f (x 1) f (x ) ] 2 = h 2 [f (x 1) + f (x )]. Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

6 Cso f sej liner então I = I T e proximção cim será excelente. Cso f sej não liner então I I T, ou sej, I = I T + E T onde E T = b pr lgum η (x, x 1 ). R 1 (x)dx = h R 1 (x + αh)dα = h (x + αh x )(x + αh x 1 ) f (η) dα 2! = h (αh)(x + αh (x + h)) f (η) dα 2! = h (αh)((α 1)h)) f (η) dα; 2! = h 3 α(α 1) f (η) 2! dα; (1) Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

7 Teorem do vlor médio pr integris Sejm f, g : [, b] R; f, g são contínus em [, b]. Então existe c (, b) tl que b f (x)g(x)dx = f (c) b g(x)dx. Com isto temos de (1) que existe η (x, x 1 ) tl que: E T = h3 f ( η) 2 = h3 f ( η) 2 α(α 1)dα α 2 αdα = h3 f ( η) [ α3 α ]1 = = h3 12 f ( η). Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

8 Portnto, I = h 2 [f (x 1) + f (x )] h3 12 f ( η); η (x, x 1 ). Figur bixo represent geometricmente tl proximção pr integrl I. Estimtiv dos erros. Observe que os números η e η são desconhecidos, no entnto pode-se estimr um limitnte superior pr R 1 (x) ssumindo M = mx(f (η)); η (, b). Assim: R 1 (x) h3 12 (b )3 M = M. 12 Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

9 Exercício. Clcule e x dx usndo regr do Trpézio simples e estime o erro. Solução. Temos que considerr prtição = x 1 < x 2 = b. Logo, h = b = 1 = 1. Assim: I = e x dx 1 2 (e1 e ) = e , Estimndo o erro. Temos que f (x) = e x M = mx(f (x)) = mx(e x ) = e 1 pr x (, 1). Logo, R 1 (x) h3 12 e1 = e1 12 e, Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

10 Exercício. Clcule e x dx usndo regr do Trpézio simples e estime o erro. Solução. Temos que considerr prtição = x 1 < x 2 = b. Logo, h = b = 1 = 1. Assim: I = e x dx 1 2 (e1 e ) = e , Estimndo o erro. Temos que f (x) = e x M = mx(f (x)) = mx(e x ) = e 1 pr x (, 1). Logo, R 1 (x) h3 12 e1 = e1 12 e, Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

11 Regr Trpezoidl Compost Supondo que se conhece um terceiro ponto do gráco de f, isto é, {x 2, f (x 2 )}, de modo que se tenh um discretizção do intervlo (, b) do tipo = x < x 1 < x 2 < b onde h = x 2 x 1 = x 1 x. Assim: I = = h Dest form: b h f (x)dx = x 1 f (x + αh)dα + h P 1 (x + αh)dα + h x 2 f (x)dx + x1 f (x)dx f (x 1 + αh)dα P 1 (x 1 + αh)dα = I T. Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

12 I T = h = h h = h h P 1 (x + αh)dα + h P 1 (x 1 + αh)dα f (x ) + (x + αh x )f [x 1, x ]dα + f (x 1 ) + (x 1 + αh x 1 )f [x 2, x 1 ]dα f (x ) + αh( f (x 1) f (x ) x 1 x )dα + f (x 1 ) + αh( f (x 2) f (x 1 ) )dα x 2 x 1 = h[f (x )α + ( f (x 1) f (x ) ) α2 x 1 x = (f (x ) + f (x 1) f (x ) 2 = h 2 (f (x ) + 2f (x 1 ) + f (x 2 )). 2 ]1 + h[f (x 1 )α + ( f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 + f (x 1 ) + f (x 2) f (x 1 ) ) 2 ) α2 2 ]1 Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

13 Análise do Erro Supondo f liner então I = I T. Supondo f não liner então I = I T + E T, onde: E T = b R 1 (x)dx = x 1 x 2 R 1 (x)dx + x1 R 1 (x)dx = = h3 12 (f ( η) + f ( η)); η (x, x 1 ) e η (x 1, x 2 ). Generlizndo, tém-se que conhecidos n pontos pertencentes um gráco de um dd função f, igulmente espçdos ({(x i, f (x i )), i = 1,..., n}) temos: I = b f (x)dx = x 1 x 2 f (x)dx + x1 xn f (x)dx + + xn 1 f (x)dx Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

14 ou sej, e I h n 1 2 [f (x ) + f (x n ) + 2 f (x k )] E T = n j=1 k=1 h 3 12 f (η j ), x j 1 < η j < x j. Teorem Se f C 2 [, b] então existe η (, b) tl que nf (η) = n j=1 f (η j ); x j 1 < η j < x j. Do teorem cim, e considerndo que h = b n temos: E T = n h3 12 f (η) = n h 2 b n 12 f (η) = h2 (b ) f (η). 12 Com isso: Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

15 I = h n 1 2 [f (x ) + f (x n ) + 2 f (x k )] h2 (b ) f (η); η (, b). 12 k=1 Figur bixo represent tl proximção: Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16

16 Exercício. Clcule e x dx usndo regr trpezoidl compost com 3 pontos e estime o erro. Homero Ghioti d Silv (FACIP/UFU) 9 de Junho de / 16