Capı tulo 5: Integrac a o Nume rica

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1 Capı tulo 5: Integrac a o Nume rica Capı tulo 5: Integrac a o Nume rica

2 Sumário Quadratura de Fórmula para dois pontos Fórmula geral Mudança de intervalo Polinômios de Legendre Fórmula de Interpretação gráfica da quadratura Algoritmo para cálculo das abscissas e pesos Algoritmo para cálculo da integral Erro da integração de

3 Quadraturas de Gauss Intervalo b Integral Quadratura [a, b] f(x) dx a b 1 [a, b] f(x) dx Gauss-Tchebychev a (b x)(x a) de primeira espécie b [a, b] (b x)(x a)f(x) dx Gauss-Tchebychev [a, b] a de segunda espécie b [(b x)(x a)] µ 1 f(x) dx, µ > 1 a, µ 0 Gauss-Gegenbauer b [a, b] (b x) α (x a) β f(x) dx, α, β > 1 Gauss-Jacobi [a, ) a e x f(x) dx Gauss-Laguerre [0, ) a x α e x f(x) dx, α > 1 Gauss-Laguerre 0 generalizada (, ) e α x f(x) dx Gauss-Hermite

4 Quadratura de Nas fórmulas de Newton-Cotes, as abscissas são escolhidas de modo serem igualmente espaçadas. Simplifica os cálculos. Se as abscissas não tiverem esta imposição de espaçamento constante, então podem ser obtidas fórmulas que forneçam uma maior exatidão. Usando o mesmo número de pontos.

5 y y Fórmula para dois pontos Fórmula para dois pontos Integração de uma função f(x) pela regra do trapézio baseada em um polinômio interpolador de grau 1 passando pelos pontos A e B. Os pontos C e D da curva podem ser escolhidos de tal maneira que a área do trapézio seja a mais próxima possível da área sob a curva. Abscissas da fórmula de Newton Cotes com polinômio de grau 1 Abscissas da quadratura de Gauss Legendre com pontos 0,7 0,7 0,6 B 0,6 D[t,f(t )] C[t 1,f(t 1 )] 0,5 A 0,5 0,4 0,4 0,3 0,3 0, 0, 0,1 0, a b a t 1 t b 1 0,75 0,5 0,5 0 0,5 0,5 0,75 1 x (a) Newton-Cotes. 1 0,75 0,5 0,5 0 0,5 0,5 0,75 1 t (b).

6 Fórmula para dois pontos Considere a função y = f(t), tal que os pontos C e D tenham coordenadas C[t 1, f(t 1 )] e D[t, f(t )]. A integral de f(t) é aproximada por 1 1 Expressão análoga à regra do trapézio, f(t) dt I = ω 1 f(t 1 ) + ω f(t ). (1) b a f(x) dx h f(a) + h f(b). Trapézio fornece resultado exato se f(x) for um polinômio de grau 1. Parâmetros t 1, t, ω 1 e ω escolhidos de modo que I seja igual ao valor exato da integral quando f(t) for um polinômio de grau até 3. Regra do 1/3 de Simpson consegue essa exatidão avaliando três pontos da função em vez dos dois pontos de I : f(t 1 ) e f(t ).

7 Fórmula para dois pontos Sejam quatro polinômios F k (t) de grau k, na forma F k (t) = t k, k = 0, 1,, 3. Impondo que a expressão (1) seja igual à integral anaĺıtica de F k (t), ω 1 F k (t 1 ) + ω F k (t ) = para k = 0: F 0 (t) = para k = 1: F 1 (t) = t 1 t dt = t 1 1 F k (t) dt, 1 dt = 1 ( 1) = ω ω 1 =, 1 1 = 1 1 = 0 ω 1t 1 + ω t = 0,

8 Fórmula para dois pontos para k = : F (t) = t 1 1 ω 1 F k (t 1 ) + ω F k (t ) = t dt = t3 3 para k = 3: F 3 (t) = t t 3 dt = t F k (t) dt, = 1 ( 3 1 ) = 3 3 ω 1t 1 + ω t = 3 e 1 1 = = 0 ω 1t ω t 3 = 0.

9 Fórmula para dois pontos Expressões constituem um sistema de equações não lineares de ordem 4 ω 1 + ω =, ω 1 t 1 + ω t = 0, ω 1 t 1 + ω t = 3 e ω 1 t ω t 3 = 0. Solução fornece os valores dos parâmetros 3 3 t 1 = 3 0,57735, t = 3 0,57735, ω 1 = 1 e ω = 1. Se a função integrando for um polinômio de grau até três, então I, dado por (1) com t 1, t, ω 1 e ω iguais aos valores acima, fornecerá o valor exato da integral.

10 Fórmula para dois pontos Exemplo: f(t) é um polinômio de grau 3 Exemplo Calcular 1 1 4t 3 + 3t + t + 1 dt.

11 Fórmula para dois pontos Exemplo: f(t) é um polinômio de grau 3 Exemplo Calcular 1 1 4t 3 + 3t + t + 1 dt. I = ω 1 f(t 1 ) + ω f(t ), ( ) 3 ) ( ) 3 ( ) I = ( , A integral anaĺıtica é 1 1 4t 3 + 3t + t + 1 dt = I = 4. [ t 4 + t ] 1 t + t = 4. 1

12 Fórmula geral Fórmula geral Exemplo 1 mostrou que a fórmula de dois pontos fornece resultado exato da integral se a função a ser integrada for um polinômio de grau até três. Problema: determinar os valores das n abscissas t i e dos n pesos ω i, para utilizá-los na fórmula I n = ω 1 f(t 1 ) + ω f(t ) ω n f(t n ). () Ela deve ser exata para integração de polinômios de grau menor ou igual a n 1. Ter-se-á n equações construídas a partir de n polinômios e n incógnitas t i, ω i, i = 1,, 3,..., n.

13 Fórmula geral Fazendo F k (t) = t k, k = 0, 1,..., n , se k for ímpar, Sabendo que t k dt = 1 k+1, se k for par. Impondo que () seja exata para a integração de F k (t). Sistema de equações não lineares de ordem n ω 1 + ω + ω ω n =, ω 1 t 1 + ω t + ω 3 t ω n t n = 0, ω 1 t 1 + ω t + ω 3t ω nt n = 3, ω 1 t n ω t n 1 + ω 3 t n ω n t n 1 n = 0. Solução fornece as n abscissas t i e os n pesos ω i desejados.

14 Fórmula geral Abscissas t i e pesos ω i para a quadratura de n i t i ω i ; 1 ±0, , ; 1 ±0, , ; ±0, , ; 1 ±0, , , ; ±0, , , 1 ±0, , n i t i ω i 6 4; 3 ±0, , ; ±0, , ; 1 ±0, , , ; 3 ±0, , ; ±0, , ; 1 ±0, , ; 4 ±0, , ; 3 ±0, , ; ±0, , ; 1 ±0, ,

15 Fórmula geral Exemplo: fórmula de n = 3 pontos Exemplo Calcular 1 1 (t 5 + t 1) dt, usando a fórmula de três pontos.

16 Fórmula geral Exemplo: fórmula de n = 3 pontos Exemplo Calcular 1 1 (t 5 + t 1) dt, usando a fórmula de três pontos. Dispositivo prático: i t i f(t i ) ω i 1 0, , , , , , ,1113 0, Por (): I 3 = ω i f(t i ) = 1, i=1.

17 Fórmula geral Exemplo: fórmula de n = 3 pontos Exemplo Calcular 1 1 (t 5 + t 1) dt, usando a fórmula de três pontos. Dispositivo prático: i t i f(t i ) ω i 1 0, , , , , , ,1113 0, Por (): I 3 = ω i f(t i ) = 1, Analiticamente: 1 1 i=1 (t 5 + t 1) dt = [ 1 6 t6 + 1 ] 1 3 t3 t = ,

18 Mudança de intervalo Mudança de intervalo Usualmente, deseja-se calcular uma integral sobre um intervalo [a, b]. Expressão () permite calcular 1 1 f(t) dt n ω i f(t i ). i=1 É restrita ao intevalo [ 1, 1]. Fazendo mudança de variável de t [ 1, 1] para x [a, b] por meio de tem-se que 1 1 x = a + b a f(t) dt = b a x a b (t + 1) t =, (3) b a f(x(t)) dx, sendo dt = b a b a dx.

19 Mudança de intervalo Fórmula de Assim, b a f(x) dx = b a 1 1 f(t) dt. Quadratura de calcula a integral por I n = b a n ω i f(x i ), i=1 x i = a + b a (t i + 1). (4)

20 Mudança de intervalo Exemplo: intervalo [a, b] Exemplo Calcular 1 x dx, usando (4) com n = pontos.

21 Mudança de intervalo Exemplo: intervalo [a, b] Exemplo Calcular 1 x dx, usando (4) com n = pontos. Fazendo mudança de variável, x i = a + b a (t i + 1) = (t i + 1) x i = 3 t i 1. ( x 1 = 3 ) x 1 = e ( ) x = x =.

22 Mudança de intervalo Valores da função f(x) = x ( ) f(x 1 ) = + 1 f(x 1 ) = , 4 ( ) f(x ) = + 1 f(x ) = Por (4): I = b a ( I = 1 + ω i f(x i ), i= ) I =

23 Mudança de intervalo Valores da função f(x) = x ( ) f(x 1 ) = + 1 f(x 1 ) = , 4 ( ) f(x ) = + 1 f(x ) = Por (4): I = b a ( I = 1 + ω i f(x i ), i= ) I = Integral exata: 1 x dx = ( ) x4 + x = 3 4.

24 Mudança de intervalo Exemplo Calcular π 0 (e x + sen(x) + ) dx, usando (4), com n = pontos.

25 Mudança de intervalo Exemplo Calcular π 0 (e x + sen(x) + ) dx, usando (4), com n = pontos. Fazendo mudança de variável x i = a + b a (t i + 1) = 0 + π 0 (t i + 1) x i = π (t i + 1).

26 Mudança de intervalo Exemplo Calcular π 0 (e x + sen(x) + ) dx, usando (4), com n = pontos. Fazendo mudança de variável x i = a + b a (t i + 1) = 0 + π 0 (t i + 1) x i = π (t i + 1). Dispositivo prático (para n = ) i t i x i f(x i ) ω i 1 0, , , ,57735, , I = b a (ω 1f(x 1 ) + ω f(x )) = π (1 4, , 5300) I = 9,9846.

27 Mudança de intervalo Valor exato da integral π 0 (e x + sen(x) + ) dx = π + e π , Erro cometido pela quadratura de com pontos 30,4388 9,9846 = 0,4396. É mais exato que aquele obtido pela regra do trapézio com m = 6 subintervalos, equivalente a 7 pontos 30,439 30,8816 = 0,4577.

28 Mudança de intervalo Exemplo Verificar que π = dx usando (4) com n = 4 pontos. 1 + x

29 Mudança de intervalo Exemplo Verificar que π = dx usando (4) com n = 4 pontos. 1 + x Mudança de intervalo: x i = a + b a (t i + 1) = (t i + 1) x i = 1 (t i + 1).

30 Mudança de intervalo Exemplo Verificar que π = dx usando (4) com n = 4 pontos. 1 + x Mudança de intervalo: x i = a + b a (t i + 1) = (t i + 1) x i = 1 (t i + 1). Dispositivo prático (para n = 4) i t i x i f(x i ) ω i 1 0, , ,9950 0, , , , , , , , , , , ,5359 0,34785 Por (4) com n = 4, I 4 = b a 4 ω i f(x i ) I 4 = 0, I 4 = 3,14160 π. i=1.

31 Polinômios de Legendre Polinômios de Legendre Forma fechada do polinômio de Legendre P n (x) = 1 n/ n ( 1) i [(n i)]! i! (n i)! (n i)! xn i, i=0 onde n/ significa truncar a parte fracionária de n/.

32 Polinômios de Legendre Polinômios de Legendre Forma fechada do polinômio de Legendre P n (x) = 1 n/ n ( 1) i [(n i)]! i! (n i)! (n i)! xn i, i=0 onde n/ significa truncar a parte fracionária de n/. Polinômios podem ser obtidos pela fórmula de recorrência np n (x) = (n 1)xP n 1 (x) (n 1)P n (x), n, (5) P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, P (x) = 3x 1, P 3 (x) = 5x3 3x, P 4 (x) = 35x4 30x +3, P 5 (x) = 63x5 70x 3 +15x. 8 8 Segundo Szegö, a derivada P n(x) do polinômio de Legendre de grau n é P n(x) = n[p n 1(x) xp n (x)] 1 x. (6)

33 Polinômios de Legendre Propriedades básicas dos polinômio de Legendre a) Os polinômios são ortogonais à outros polinômios 1 1 P n (x)q k (x) dx = 0, n > k, (7) sendo Q k (x) um polinômio qualquer de grau k < n. Integral (7) denominada produto escalar das funções P n (x) e Q k (x). Duas funções são ditas ortogonais se seu produto escalar for nulo, portanto, P n (x) e Q k (x) são ortogonais. b) Os polinômios são ortogonais entre si 1 1 P n (x)p k (x) dx = 0, se n k, c) Se os polinômios forem iguais, então 1 1 [P n (x)] dx = n + 1.

34 Polinômios de Legendre d) P n (1) = 1 e P n ( 1) = ( 1) n, n = 0, 1,,... e) O polinômio P n (x) de grau n 1 possui n zeros reais, distintos, pertencentes ao intervalo ( 1, 1) e simétricos em relação à origem. Polinômios de Legendre 1 0,8 P 0 (x) P 1 (x) 0,6 0,4 0, P 3 (x) P 4 (x) P 5 (x) P n (x) 0 0, 0,4 0,6 P (x) 0, ,75 0,5 0,5 0 0,5 0,5 0,75 1 x

35 Polinômios de Legendre Exemplo Verificar a ortogonalidade entre os polinômios P 4 (x) e Q 3 (x) = x 3. P 4 (x)q 3 (x) = 35x4 30x x 3 = 35x7 30x 5 + 3x 3. 8 Integral x 7 30x 5 + 3x 3 dx = 8 ( x8 5 8 x6 + 3 ) 1 3 x4 = 0. 1

36 Polinômios de Legendre Exemplo Verificar a ortogonalidade entre os polinômios P (x) e P 3 (x) de Legendre. P (x)p 3 (x) = 3x 1 5x3 3x = 1 ( 15x 5 14x 3 + 3x ) 4 1 P (x)p 3 (x)dx = 1 ( x6 7 x4 + 3 ) 1 x = 0. 1

37 Fórmula de Fórmula de Sejam os n polinômios F n+k (t) de grau n + k F n+k (t) = t k P n (t), k = 0, 1,,..., n 1, onde P n (t) é um polinômio de Legendre de grau n. Desde que F n+k (t) é de grau menor ou igual a n 1, então () é exata, n ω i F n+k (t i ) = i=1 n ω i t k i P n (t i ) = i= F n+k (t) dt, k = 0, 1,,..., n 1, t k P n (t) dt, k = 0, 1,,..., n 1.

38 Fórmula de n ω i t k i P n (t i ) = i=1 1 1 t k P n (t) dt, k = 0, 1,,..., n 1. Devido à ortogonalidade dos polinômios de Legendre com qualquer polinômio de grau menor, mostrado em (7), tem-se que Portanto, 1 1 t k P n (t) dt = 0, para k < n. n ω i t k i P n (t i ) = 0, k = 0, 1,,..., n 1. i=1 Essa expressão será verdadeira para qualquer valor de ω i se P n (t i ) = 0 i. Para obter uma maior exatidão na fórmula de quadratura (4) é suficiente que t i, i = 1,,..., n sejam os zeros do polinômio de Legendre de grau n.

39 Fórmula de Cálculo dos pesos Conhecidas as abscissas t i o sistema não linear se reduz a um sistema linear de ordem n, ω 1 t 1 t t 3... t n ω t 1 t t 3... t n ω 3 = t n 1 1 t n 1 t n t n 1 n Solução fornece os pesos ω i, i = 1,,..., n.. ω n 0 3..

40 Fórmula de Cálculo dos pesos Conhecidas as abscissas t i o sistema não linear se reduz a um sistema linear de ordem n, ω 1 t 1 t t 3... t n ω t 1 t t 3... t n ω 3 = t n 1 1 t n 1 t n t n 1 n Solução fornece os pesos ω i, i = 1,,..., n. Os pesos ω i podem ser obtidos, conforme Krylov ω i =. ω n (1 t i )[P n(t, i = 1,,..., n, (8) i )] onde P n(t i ) é a derivada de P n (x) na abscissa t i dada por (6)

41 Fórmula de Quadratura de I n = b a n ω i f(x i ), i=1 t i = i-ésimo zero de P n (x), ω i = x i = a + b a (t i + 1), (1 t i )[P n(t i )]. (9)

42 Interpretação gráfica da quadratura Interpretação gráfica da quadratura de Fórmulas de Newton-Cotes consistem em aproximar a função integrando f(x) por um polinômio de Gregory-Newton de grau n que passa pelos n + 1 pontos (x i, f(x i )), i = 0, 1,,..., n. Integrar esse polinômio sobre o intervalo [a, b]. As abscissas são igualmente espaçadas, sendo x 0 = a e x n = b.

43 Interpretação gráfica da quadratura Interpretação gráfica da quadratura de Fórmulas de Newton-Cotes consistem em aproximar a função integrando f(x) por um polinômio de Gregory-Newton de grau n que passa pelos n + 1 pontos (x i, f(x i )), i = 0, 1,,..., n. Integrar esse polinômio sobre o intervalo [a, b]. As abscissas são igualmente espaçadas, sendo x 0 = a e x n = b. A quadratura de funciona de modo similar: a função f(x) é aproximada por um polinômio p n 1 (x) de grau n 1, construído a partir dos n pontos (x i, f(x i )), i = 1,, 3,..., n. Integra-se esse polinômio sobre o intervalo [a, b]. As n abscissas x i são obtidas a partir dos n zeros do polinômio de Legendre P n (x) de grau n. Se f(x) for um polinômio de grau até n 1, então a integração numérica será exata.

44 Interpretação gráfica da quadratura Para dois pontos Exemplo Seja 1 cujos zeros são (x 3 + 1) dx. O polinômio de Legendre de grau é P (t) = 3 t 1, t = 0 ± { t1 = 3/3, t = 3/3.

45 Interpretação gráfica da quadratura Para dois pontos Exemplo Seja 1 cujos zeros são (x 3 + 1) dx. O polinômio de Legendre de grau é P (t) = 3 t 1, t = 0 ± { t1 = 3/3, t = 3/3. As abscissas x 1 e x e os valores da função foram calculados no Exemplo 3, x 1 =, x = 3 1, f(x 1 ) = e f(x ) =

46 Interpretação gráfica da quadratura Polinômio de grau 1 que passa pelos pontos de coordenadas (x 1, f(x 1 )) e (x, f(x )): p 1 (x) = f(x 1 ) x x x 1 x + f(x ) x x 1 x x 1, = ( x ) ( x = (x 3 + 1) (x ), p 1 (x) = 3x ),

47 Interpretação gráfica da quadratura Integrando o polinômio interpolador, b a p 1 (x) dx = 1 ( 3x dx = 4 x + 1 ) 1 x = 3 4. Resultado igual ao obtido pela fórmula I de do Exemplo 3. É exato porque a função integrando f(x) = x é um polinômio de grau 3.

48 Interpretação gráfica da quadratura Integrando o polinômio interpolador, b a p 1 (x) dx = 1 ( 3x dx = 4 x + 1 ) 1 x = 3 4. Resultado igual ao obtido pela fórmula I de do Exemplo 3. É exato porque a função integrando f(x) = x é um polinômio de grau 3. A fórmula de com pontos é equivalente a construir o polinômio p 1 (x) de grau 1, a partir dos dois zeros do polinômio de Legendre de grau e integrar p 1 (x), analiticamente.

49 Interpretação gráfica da quadratura Compensação das áreas A soma das áreas entre o polinômio p 1 (x) = (3x + 1)/ construído a partir dos zeros do polinômio de Legendre de grau e a função f(x) = x é nula. Exemplo Seja g(x) a diferença entre a função f(x) = x e o polinômio p 1 (x) = (3x + 1)/ do Exemplo 8, g(x) = f(x) p 1 (x) = x x + 1 g(x) = x 3 3 x + 1.

50 Interpretação gráfica da quadratura Valores das áreas S 1 = x1 a g(x) dx= x S = g(x) dx= x [ 1 g(x) dx= 4 x4 3 4 x + 1 ] 3+1 x [ 1 g(x) dx= 4 x4 3 4 x + 1 ] 3 1 x b 1 [ 1 S 3 = g(x) dx= g(x) dx= x x4 3 4 x + 1 ] 1 x 3 1 Soma das três áreas S 1 + S + S 3 = = = 6 3+9, 16 = 3 3 4, =

51 Interpretação gráfica da quadratura Existe uma compensação exata das áreas entre o polinômio de grau 1 obtido a partir dos zeros do polinômio de Legendre de grau e a função polinomial de grau 3. Esse fato explica, graficamente, porque a integração do Exemplo 3 foi exata. Gauss Legendre com pontos 1 S 3 0 a x S 1 x b 1 y 3 4 S f(x) = x p 1 (x) = 3/ x + 1/ 1,5 1 0,5 0 0,5 1 x

52 Interpretação gráfica da quadratura Para três pontos A quadratura de com 3 pontos é equivalente a construir o polinômio p (x) de grau, a partir dos três zeros do polinômio de Legendre de grau 3 e integrar p (x), analiticamente. Exemplo 11 4 Seja dx. O polinômio de Legendre de grau 3 é 1 x P 3 (x) = (5x 3 3x)/ = ( 5 x 3 )x.

53 Interpretação gráfica da quadratura Para três pontos A quadratura de com 3 pontos é equivalente a construir o polinômio p (x) de grau, a partir dos três zeros do polinômio de Legendre de grau 3 e integrar p (x), analiticamente. Exemplo 11 4 Seja dx. O polinômio de Legendre de grau 3 é 1 x P 3 (x) = (5x 3 3x)/ = ( 5 x 3 )x. Como ele passa pela origem o zero central t = 0 e os outros dois zeros são t = 0 ± { t1 = 15/5, 5 t 3 = 15/5.

54 Interpretação gráfica da quadratura Valores de x i x i = a + b a (t i + 1) = 5t i + 6 x 1 = 6 15, x = 6 e x 3 = Valores de f(x) = 4/x f(x 1 ) = , f(x ) = 7 e f(x 3 ) = Polinômio p (x) que passa pelos pontos (x i, f(x i ), i = 1,, 3) Integral do polinômio interpolador p (x) = 1 3 x 6x p (x) dx = ( ) x3 3x + 31x = ,

55 Interpretação gráfica da quadratura Dispositivo prático com n = 3 pontos Por (9), i t i x i f(x i ) ω i 1 15/ /(6 15) 5/9, /9 3 15/ /(6 + 15) 5/9 I 3 = b a ω i f(x i ), i=1 1 9 ( ) , I 3 = ,

56 Interpretação gráfica da quadratura A quadratura de com 3 pontos consiste em obter o polinômio p (x) de grau, a partir dos três zeros do polinômio de Legendre de grau 3. Integrar, analiticamente, o polinômio p (x) sobre o intervalo [a, b]. Gauss Legendre com n = 3 pontos 40 f(x) = 4 / x p (x) = 1/3 x 6 x y a x 1 x x 3 b x

57 Interpretação gráfica da quadratura Observação Integração por I 3 = , Se f(x) não for um polinômio de grau até 5, então I 3 não será exata, x dx = 4 log e(11) 100,71160.

58 Algoritmo para cálculo das abscissas e pesos Algoritmo Gauss Legendre AbsPes { Objetivo: Calcular abscissas e pesos para a quadratura de } parâmetro de entrada n { número de pontos (n 1) } parâmetros de saída T, W, Info { abscissas (T (1): menor zero e T (n): maior zero), } { pesos e informação sobre consistência e convergência, sendo Info = 1: n < 1, } { Info = 0: n 1 e todos os zeros convergiram e Info = k: k zeros não convergiram } se n < 1 então, Info 1; abandone; fim se Info 0; Toler ; IterMax 30; m trunca((n + 1)/) fracn 1 (1 1/n)/(8 n ); pin 3, /(n + 0,5) { os zeros são simétricos, calcula-se apenas os não negativos } para i 1 até m faça Iter 0; z fracn cos((i 0,5) pin) { valor inicial } { cálculo do i-ésimo zero do polinômio de Legendre via Newton-Raphson } repita { avaliação do polinômio de Legendre e sua derivada no ponto z } Iter Iter + 1; p1 1; Pz z para k até n faça p0 p1; p1 Pz; Pz (( k 1) z p1 (k 1) p0)/k fim para DPz n (p1 z Pz)/(1 z ); z1 z; z z1 Pz/DPz se abs(z z1) Toler ou Iter = IterMax então, interrompa; fim se fim repita { verificação da convergência do i-ésimo zero } se abs(z z1) Toler então T (i) z; T (n+1 i) z { Abscissas } W (i) /((1 z ) DPz ); W (n+1 i) W (i) { Pesos } senão T (i) 0; T (n+1 i) 0; W (i) 0; W (n+1 i) 0; Info Info + 1 fim se fim para { o zero central do polinômio de Legendre de grau ímpar é nulo } se resto(n, ) 0 então, T (m) 0; fim se fim algoritmo

59 Algoritmo para cálculo das abscissas e pesos Exemplo: cálculo das abscissas e pesos Exemplo Calcular as abscissas e os pesos de com n = 5 pelo algoritmo da Figura 43. Exibir apenas as abscissas não negativas e os respectivos pesos.

60 Algoritmo para cálculo das abscissas e pesos Exemplo: cálculo das abscissas e pesos Exemplo Calcular as abscissas e os pesos de com n = 5 pelo algoritmo da Figura 43. Exibir apenas as abscissas não negativas e os respectivos pesos. Quadratura de com 5 pontos abscissas: pesos : Info = 0

61 Algoritmo para cálculo da integral Algoritmo Gauss Legendre { Objetivo: Integrar uma função pela quadratura de } parâmetros de entrada a, b, n { limite inferior, limite superior de integração e número de pontos (n 1) } parâmetros de saída Integral, Info { valor da integral e informação sobre } { consistência e convergência, sendo Info = 1: n < 1, Info = 0: sem erro e } { Info = k: k zeros não convergiram } { cálculo das abscissas e pesos } [T, W, Info] Gauss Legendre AbsPes(n) (ver Figura 43) se Info 0 então, abandone; fim se { n < 1 ou zeros não convergiram } { cálculo da integral } Integral 0; Info 0; ba (b a)/ para i 1 até n faça x a + ba (T (i) + 1) y f(x) { avaliar a função integrando em x } Integral Integral + y W (i) fim para Integral ba Integral fim algoritmo

62 Algoritmo para cálculo da integral Complexidade do algoritmo da quadratura de Operações Complexidade adições 3n + 1 multiplicações n + 1 divisões 1

63 Algoritmo para cálculo da integral Exemplo: uso do algoritmo Exemplo Calcular π 0 sen(x) dx pelo algoritmo da Figura 45 com n = 6.

64 Algoritmo para cálculo da integral Exemplo: uso do algoritmo Exemplo Calcular π 0 sen(x) dx pelo algoritmo da Figura 45 com n = 6. Integraç~ao numérica via com 6 pontos i t(i) x(i) f(x(i)) W(i) Integral = Info = 0

65 Erro da integração de Erro da integração da fórmula de A quadratura de calcula 1 1 f(t) dt = n ω i f(t i ) + E n, i=1 E n é o erro da integração, para t [ 1, 1], Considerando (3), a derivada E n = n+1 (n!) 4 (n + 1)[(n)!] 3 f (n) (ξ), 1 < ξ < 1. f (t) = d dx f dx ( ) b a dt = f (x) f (n) (t) = (b a)n n f (n) (x). (10)

66 Erro da integração de Sendo b a f(x) dx = b a 1 1 f(t) dt, erro da integração da quadratura de, para x [a, b], E n = b a E n = b a n+1 (n!) 4 (b a) n (n + 1)[(n)!] 3 n f (n) (θ), a < θ < b, E n = (b a)n+1 (n!) 4 (n + 1)[(n)!] 3 f (n) (θ), a < θ < b. (11) Se f(x) for um polinômio de grau até n 1, então sua derivada f (n) (x) = 0 E n = 0. Integração por (9) será exata.

67 Erro da integração de Exemplo: erro real Exemplo Verificar que o erro da integração de 1 (7x 6 x 5 5x + x 10) dx = 75, usando a quadratura de com 3 pontos é igual ao erro real.

68 Erro da integração de Exemplo: erro real Exemplo Verificar que o erro da integração de 1 (7x 6 x 5 5x + x 10) dx = 75, usando a quadratura de com 3 pontos é igual ao erro real. Pelo algoritmo da Figura 43, Integraç~ao numérica via com 3 pontos i t(i) x(i) f(x(i)) W(i) Integral = Info = 0

69 Erro da integração de Sendo f(x) = 7x 6 x 5 5x + x 10, sua derivada f vi (x) = Por (11), E n = (b a)n+1 (n!) 4 (n + 1)[(n)!] 3 f (n) (θ), E 3 = 37 (3!) 4 7(6!) E 3 = , Diferença entre o valor exato da integral e o obtido pela quadratura de com 3 pontos Mesmo valor de E ,5350 = 5,46750.

70 Erro da integração de Existe um θ no intervalo (a, b) Exemplo 4 Seja x dx =. Calcular a integral pela quadratura de 0 3 com pontos e determinar o valor de θ do erro de integração (11).

71 Erro da integração de Existe um θ no intervalo (a, b) Exemplo 4 Seja x dx =. Calcular a integral pela quadratura de 0 3 com pontos e determinar o valor de θ do erro de integração (11). Mudança de intervalo: x i = a + b a (t i + 1) = (t i + 1) x i = t i + 1. Dispositivo prático: i t i x i f(x i ) ω i 1 3/3 1 3/3 1 3/3 1 3/ / /3 1

72 Erro da integração de Por (9) com n =, I = b a ω i f(x i ) I = i=1 1 3/ /3. Determinação de θ: f(x) = x f iv (x) = 15/(16( x) 7 ). Por (11), E n = (b a)n+1 (n!) 4 (n + 1)[(n)!] 3 f (n) (θ), E = ( 0) (4) 3 16( θ) 7 ) E 1 = 144( θ). 7

73 Erro da integração de Erro da integração: diferença entre o valor exato e o valor calculado pela fórmula de integração, 1 E = 144( θ) = ( [ θ) 7 = 144 ( 1 3/3 + ( 1 3/ ) 3/3, 1+ 3/3 4 3 )] 1 θ 0,73476 (0, ). Existe um θ (a, b) tal que (11) fornece o valor exato do erro da integração.

74 Erro da integração de Cota máxima do erro da integração Exemplo 13: valor de f vi (θ) é conhecido e não depende de x, pois é constante em ( 1, ). Então E 3 é igual ao erro real cometido pela quadratura. Exemplo 14: existe um valor de θ (a, b) tal que (11) fornece o erro real da integração. Se a derivada f (n) (x) for uma função de x pode ser impraticável determinar θ, sem se conhecer o valor anaĺıtico da integral.

75 Erro da integração de Cota máxima do erro da integração Exemplo 13: valor de f vi (θ) é conhecido e não depende de x, pois é constante em ( 1, ). Então E 3 é igual ao erro real cometido pela quadratura. Exemplo 14: existe um valor de θ (a, b) tal que (11) fornece o erro real da integração. Se a derivada f (n) (x) for uma função de x pode ser impraticável determinar θ, sem se conhecer o valor anaĺıtico da integral. Nesse caso, θ = x max é tomada como a abscissa no intervalo de integração [a, b], na qual a derivada de f(x) apresenta o maior valor em módulo. Cota máxima do erro da integração da quadratura de E n max = (b a)n+1 (n!) 4 (n + 1)[(n)!] 3 max a x b f (n) (x). (1)

76 Erro da integração de Cálculo da cota máxima do erro da integração Exemplo Calcular π 0 ( ) x x + sen(x) dx = 1 0 π π3 + 7,63641, usando a quadratura de com pontos e a respectiva cota máxima do erro da integração.

77 Integral = Info = 0 Erro da integração de Cálculo da cota máxima do erro da integração Exemplo Calcular π 0 ( ) x x + sen(x) dx = 1 0 π π3 + 7,63641, usando a quadratura de com pontos e a respectiva cota máxima do erro da integração. Cálculo da integral: pelo algoritmo da Figura 45, Integraç~ao numérica via com pontos i t(i) x(i) f(x(i)) W(i)

78 Erro da integração de Cálculo do max a x b f (n) (x) : Por (1), f(x) = x4 4 + x + sen(x) f iv (x) = 6 + sen(x), então max 6 + sen(x) ocorre em x max = π 0 x π. E max = (π 0)5 (!) 4 ( 6 π ) + sen = 0, (4!) 3 Erro real, em módulo, é 7, ,1470 = 0,4891 < E. Erro real da integração está dentro da cota máxima prevista por (1).

79 Erro da integração de Algoritmos Numéricos 3 a edição Seção 5.3: Quadratura de Fim