Fundamentos IV. Clarimar J. Coelho. Departamento de Computação. November 26, 2014

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1 Fundamentos IV Integração numérica Clarimar J. Coelho Departamento de Computação November 26, 2014 Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 1/21

2 Regra de Simpson 3/8 Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 2/21

3 Regra de Simpson 3/8 Similar a regra do trapézio e Simpson 1/3 É posíıvel ajustar um polinômio de Lagrange de terceiro grau a quatro pontos Para obter h = (b a)/3 I = b a f(x)dx b a f 3 (x)dx I 3h 8 [f(x 0 +3f(x 1 ))+3f(x 2 )+f(x 3 )] A equação chama regra de Simpson 3/8 devido a multiplicação de h por 3/8 Terceira fórmula de integração fechada de Newton-Cotes Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 3/21

4 Outra maneira de escrever a regra A regra 3/8 é expresa tambem na forma I (b a) }{{} Largura f(x 0 +3f(x 1 ))+3f(x 2 )+f(x 3 ) 8 } {{ } Altura média (1) Os dois pontos interiores tem pesos de três oitavos Significa que os pontos extremos tem mn peso de um oitavos Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 4/21

5 Erro A regra de Simpson 3/8 tem um erro Ou como h = (b a)/3 E t = 3 80 h5 f (4) (ξ) (b a)5 E t = 6480 f (4) (ξ) (2) O denominador da equação (2) é maior que o da equação (b a)5 E t = 2880 f (4) (ξ) (3) a regra 3/8 é mais exata que a regra 1/3 Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 5/21

6 A 1/3 é preferida A regra de Simpson 1/3 é preferida porque tem exatidão de terceira ordem com três pontos A regra 3/8 precisa de quatro pontos Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 6/21

7 Usos da regra 3/8 Quando o número de segmentos é impar A Figura 1 mostra como são usadas em conjunto as regras de Simpson 1/3 e 3/8 para aplicações múltiplas com números impares de intervalos Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 7/21

8 Figura 1 Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 8/21

9 Exemplo 1 (a) Use a regla de Simpson 3/8 para integrar função f(x) = x 200x x 3 900x x 5 no itervalo de a = 0 até b = 0.8 (b) Use-a regra 3/8 e a regra 1/3 de Simpson para integrar a mesma função em cinco segmentos Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 9/21

10 Solução de (a) Uma só aplicação da regra de Simpson 3/8 requer quatro pontos equidistantes f(0) = 0.2, f(0.2667) = , f(0.5333) = , f(0.8) = Usando a equação (1) 0.2+3( ) I = 0.8 = E t = = E a = (0.8)5 ( 2400) = Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 10/21

11 Solução de (b) Os dados necessários para uma aplicação com cinco segmentos (h = 0.16) são f(0) = 0.2, f(0.16) = , f(0.32) = , f(0.48) = , f(0.64) = , f(0.80) = A integral total é calculada somando os dois resultados: I = = E t = = ǫ t = 0.28% Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 11/21

12 Algoritmo Simpson 3/8 Portugol Função f(x) = x 200 x x x x 5 ; Execução Z = simpson( f1,0,0.8, 50) Resultado Z = Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 12/21

13 Integração com segmentos desiguais Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 13/21

14 Trapézio para um segmento Na prática, existem muitas situações em que os dados não igualmente espaçados O método consiste em aplicar a regra do trapézio a cada segmento e somar os resultados I = h 1 f(x 0 )+f(x 1 ) 2 f(x 1 )+f(x 2 ) f(x n 1 )+f(x n ) +h h n 2 2 (4) Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 14/21

15 Exemplo 2 A informação da Tabela x f(x) x f(x) foi gerada usando polinômio f(x) = x 200x x 3 900x x 5 Use a equação (4) para determinar a integral para estes dados A resposta correta é Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 15/21

16 Solução Usando a equação (4) aos dados da Tabela, temos I = = = Que representa um erro relativo percentual de ǫ t = 2.8% Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 16/21

17 Figura 2 Uso da regra do trapézio para determinar a integral de dados irregularmente espaciados Nos segmentos sombreados poderiamos usar a regra de Simpson para obter maior precisão Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 17/21

18 Exemplo 3 Calcular a integral para os dados da Tabela do Exemplo 2 usando as regras de Simpson naqueles segmentos onde seja apropiado Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 18/21

19 Solução, cont. No primeiro segmento usamos a regra do trapézio I = 0.12 = Como os seguintes dois segmentos que vão de x = 0.12 a 0.32 são de igual tamanho, a integral é calculada com a regra de Simpson 1/ ( ) I = = Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 19/21

20 Solução, cont. Os três segmentos seguintes também são iguais Podem ser calculados com a regra 3/8 para obtener I = Da mesma maneira, a regra 1/3 é aplicada aos dois segmentos de x = 0.44 até 0.64 para dar I = Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 20/21

21 Solução, cont. Finalmente, os dois últimos segmentos, que são de tamanhos diferentes, são calculados com a regra do trapézio para dar valores de e , respectivamente Soma-se a área destes segmentos individuais para ter como resultado uma integral total de Isto representa um error de ǫ t = 2.2%, que é melhor do que o resultado obtido com a regra do trapézo do Exemplo 2 Somando todos os resultados, temos I = = Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 21/21