Fundamentos IV. Gustavo Vinhal. September 13, Escola de Ciências Exatas e Computação

Transcrição

1 Fundamentos IV Raizes de equações Gustavo Vinhal Escola de Ciências Exatas e Computação September 13, 2016

2 Método de regula falsi

3 Método da relgula falsi ou falsa posição Encontra a raiz de uma equação f (x) = 0 num intervalo [a, b] com tolerância ϵ usando os critérios x k x k 1 ϵ f (x k ) ϵ Os parâmetros de entrada são o limite inferior a e o superior b do intervalo que contém a raiz, a tolerância e número de iterações máxima Os parâmetros de saída são a raiz de f (x) = 0 o número de iterações gastas e a condição de erro

4 Regula falsi A desvantagem do método de bissecção é que Ao dividir o intervalo de x1 a x u em metades iguais Não é levado em conta as magnitudes de f (x 1 ) e f (x u ) Por exemplo, se f (x 1 ) é mais próximo de zero que f (x u ), é provável que a raiz é mais próxima de x 1 do que de x u

5 Falsa posição para a raiz Um método alternativo que explora o insight (intuição) gráfico que junta f (x 1 ) e f (x u ) através de uma reta e faz a intersecção da reta com o eixo x representa uma melhor estimativa da raiz A substitição da curva por uma reta dá uma falsa posição da raiz e é a origem do nome falsa posição ou do latim regula falsi

6 Insight gráfico A representação gráfica do método de falsa posição Triangulos semelhantes utilizados para obter a fórmula para o método são sombreados

7 Interpolação linear Também chamado de método de interpolação linear Usando a semelhança de triangulos, a intersecção da reta com o eixo x pode ser estimada como f (x 1 ) x r x 1 = f (x u) x r x u (1)

8 Interpolação linear, cont. Que pode ser resolvida como x r = x 1 f (x 1)(x 1 x u ) f (x 1 ) f (x u ) (2) Como obter a Equação (3) a partir da Equação (1) Fazendo a multiplicação cruzada da Equação (1) temos f (x 1 )(x r x u ) = f (x u )(x r x 1 ) Rearranjando os termos: x r [f (x 1 ) f (x u )] = x u f (x 1 ) x 1 f (x u ) Dividindo por f (x 1 ) f (x u ): x r = x uf (x 1 ) x 1 f (x u ) f (x 1 ) f (x u ) (3)

9 Interpolação linear, cont. Esta é a forma do método de posição falsa Observe que isto permite o cálculo da raiz x r como uma função da parte inferior e superior a partir de x 1 e x u Ele pode ser colocado em uma forma alternativa, expandindo: x r = x u f (x 1 ) f (x 1 ) f (x u ) x 1 f (x u ) f (x 1 ) f (x u )

10 Forma alternativa Adicionando e subtraindo x u dos termos do lado direito: x r = x u + x uf (x 1 )f (x 1 ) f (x u ) Reorganizando os termos, temos x r = x u + x u x 1 f (x u ) f (x 1 ) f (x u ) x u f (x u ) f (x 1 ) f (x u ) x 1 f (x u ) f (x 1 ) f (x u ) Ou x r = x 1 f (x 1)(x 1 x u ) f (x 1 ) f (x u )

11 Fórmula do método Esta é a fórmula do método falsa-posição O valor de x r é calculado na Equação (3), em seguida, substituido em qualquer das duas estimativas iniciais, x 1 ou x u Produz o valor de uma função com o mesmo sinal de f (x r ) Desta forma, os valores de x 1 e x u sempre vão estar entre a raiz verdadeira O processo é repetido até que a raiz é estimada de forma adequada

12 Exemplo 1 Use o método de falsa posição para determinar a raiz da Equação f (c) = 9.8(68.1) (1 e (c/68.1)10 ) 40 c

13 Solução Iniciar o cálculo com palpites de x 1 = 12 e x u = 16 Primeira iteração: xu = 12, f (x u ) = x 1 = 16, f (x 1 ) = x r = (16 12) =

14 Segunda iteração Para obter o novo intervalo, calcula-se f (x 1 ) f (x r ) Se o resultado for negativo, então a raiz encontra-se no segundo sub-intervalo. Assim, torna-se x 1 o limite inferior para a próxima iteração. Portanto, x u = x 1 e x 1 = x r Caso contrário, x 1 = x r

15 Segunda iteração Calculando f (x r ) = Fazendo f (x 1 ) f (x r ) = x 1 = , f (x 1 ) = [12, ] x r = ( ) (6.0699) =

16 Uso do algoritmo regula falsi Encontre a raiz de f (x) = 2x 3 cos(x + 1) 3 = 0 no intervalo [ 1, 2], com acurácia = e número de iterações = 100.

17 Solução Parâmetros de entrada a - limite inferior b - limite superior f = 2x 3 cos(x + 1) 3 toler = IterMax = 100 Parâmetros de saída x = iter = 12 CondErro = 0

18 Método de pégaso

19 Método de pégaso Similar aos outros métodos baseados em aproximação linear No método de pégaso a sequência {x i } é obtida pela fórmula de recorrência x k+1 = x k f (x k ) f (x k ) f (x k 1 ) (x k x k 1 ), k = 1, 2, 3,...

20 Método de pégaso, cont. Os pontos [x k 1, f (x k 1 )] e [x k, f (x k )] por onde será traçada a reta para obter x k+1 são escolhidos de modo que f (x k 1 ) e f (x k ) tenham sempre sinais opostos Isso garante que ξ [x k 1, x k ] O valor de f (x k 1 ) é reduzido por um fator igual a f (x k )/f (x k + fx k+1 ) A reta pode ser traçada por um ponto não pertencente à curva de f (x)

21 Ilustração gráfica do método de pégaso A estimativa x 4 da raiz é obtida usando pontos de coordenadas [x 3, f (x 3 )] e [x 1, p], p = f (x 1 )f (x 2 )/(f (x 2 ) + f (x 3 )) que não pertence a função f (x) Está claro na figura que x 4 é uma melhor aproximação da raiz do que x 4 que seria obtido pelo método da regula falsi (linha tracejada)

22 Uso do pégaso Encontre a raiz de f (x) = 2x 3 cos(x + 1) 3 = 0 no intervalo [ 1, 2], com acurácia = e número de iterações = 100.

23 Solução Parâmetros de entrada a - limite inferior b - limite superior f = 2x 3 cos(x + 1) 3 toler = IterMax = 100 Parâmetros de saída x = iter = 12 CondErro = 0