CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

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1 CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

2 Aula 8 04/2014 Zeros reais de funções Parte 2

3 Voltando ao exemplo da aula anterior, vemos que o ponto médio da primeira iteração x 1 = 2,5 está mais próximo de x do que x 2 e x 3. O método da bissecção, no entanto, não faz uso desta observação. A sequência de intervalos é construída a partir apenas do sinal de f no ponto médio. Cálculo Numérico 3/39

4 EXEMPLO 6 Aula anterior Aplicação do método da bissecção para: f x ( ) = x log x 1, em 2,3 [ ] com ε = 0, 002 k a k b k f(a k ) f(b k ) x k+1 f(x k+1 ) 0 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00140 Cálculo Numérico 4/39

5 Uma alteração simples no método iterativo é capaz de aprimorar o refinamento do intervalo que contém a raiz. Considerando o exemplo anterior, como determinar a equação da reta que passa pelos pontos (a, f (a)) e (b, f (b))? Buscamos α e β, tais que: αb + β = f b ( ) αa + β = f a ( ) Cálculo Numérico 5/39

6 Manipulando matematicamente as equações anteriores, teremos que o ponto x 1 dado por y = 0, será: x 1 = a f b f b ( ) + b f ( a) ( ) + f ( a) Portanto, temos uma média aritmética ponderada entre a e b com pesos f (b) e f (a), respectivamente. Cálculo Numérico 6/39

7 Graficamente, este ponto x é a intersecção entre o eixo x e a reta r (x) que passa por (a, f (a)) e (b, f (b)). Cálculo Numérico 7/39

8 MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO Cálculo Numérico 8/39

9 MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO Método da Bissecção Calcula a média aritmética dos limites do intervalo que contém a raiz ([a, b]). Método da Falsa Posição Calcula a média ponderada dos limites do intervalo que contém a raiz ([a, b]). Cálculo Numérico 9/39

10 MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO q Análise Gráfica a 0 x 2 x 0 x 1 b 0 a 1 b 2 b 1 a 2 Cálculo Numérico 10/39

11 Algoritmo do método da falsa posição Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) e f (b) têm sinais opostos: ENTRADA: extremidades a, b; precisão ε, número máximo de iterações N 0. SAÍDA: solução aproximada Passo 1: Faça i = 1; FA = f (a) FB = f (b). ou mensagem de erro. Passo 2: Enquanto i N 0, execute os passos 3 a 6. x Passo 3: Faça x = a FB*(b a) / (FB - FA); (Calcula x i ) ou x = (a*fb b*fa) / (FB - FA) Cálculo Numérico 11/39

12 Algoritmo do método da falsa posição Passo 4: Se (x a) < ε, então: SAÍDA (x); (Procedimento concluído com sucesso). PARE. Passo 5: Faça i = i + 1. FX = f (x) Passo 6: Se FX * FB < 0, então faça a = x; FA = FX. senão faça b = x FB = FX. Passo 7: SAÍDA ( O método falhou após N 0 iterações, N 0 =, N 0 ); (O procedimento não foi bem-sucedido). PARE. Cálculo Numérico 12/39

13 MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO VANTAGENS: Estabilidade e convergência para a solução procurada; Desempenho regular e previsível; Cálculos mais simples que o método de Newton. Cálculo Numérico 13/39

14 MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO DESVANTAGENS: Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f(x) em um elevado número de iterações); Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é possível). Cálculo Numérico 14/39

15 Exercício Seja f (x) = x 3 9x + 3; I = [0, 1], ε = Aplique o Método da Falsa Posição para obter o valor aproximado de x. k a k b k f ( a k ) f ( b k ) x k+1 f ( x k+1 ) ,375-0, , , , , , , , , , , , , f ( x ) 4 = 5, < ε < 0,002 x 4 x 3 = 2, < ε Cálculo Numérico 15/39

16 MÉTODO DO PONTO FIXO Cálculo Numérico 16/39

17 MÉTODO DO PONTO FIXO (MPF) A importância deste método está mais nos conceitos que são introduzidos em seu estudo que em sua eficiência computacional. Cálculo Numérico 17/39

18 MÉTODO DO PONTO FIXO Seja f (x) uma função contínua em [a, b], intervalo que contém uma raiz da equação f (x) = 0. Este método consiste em transformar esta equação em uma equação equivalente x = g (x). Partindo, então, de uma aproximação inicial x 0, gerar uma sequência {x k } de aproximações para ξ pela relação x k+1 = g (x k ), uma vez que: f ξ ( ) = 0 g ξ ( ) = ξ Cálculo Numérico 18/39

19 MÉTODO DO PONTO FIXO Implicação de tal procedimento: Problema de determinação de um zero de f(x) Problema de determinação de um ponto fixo de g(x) Função de iteração Uma função que satisfaz as condições apresentadas é chamada função de iteração para a equação f (x) = 0. Cálculo Numérico 19/39

20 EXEMPLO Seja a equação x 2 + x 6 = 0. Funções de iteração possíveis: g 1 g 2 g 3 g 4 ( x) = 6 x 2 ( x) = ± 6 x ( x) = 6 1 x x ( ) = 6 x +1! Dada uma equação do tipo f(x) = 0, há para tal equação mais de uma função de iteração g(x), tal que: f(x) = 0 x = g(x) Cálculo Numérico 20/39

21 Exemplo Embora não seja preciso usar método numérico para se encontrar as duas raízes desta equação (ξ 1 = -3 e ξ 2 = 2), vamos trabalhar com duas funções de iteração para demonstrar numérica e graficamente a convergência ou não do processo iterativo. Cálculo Numérico 21/39

22 Exemplo Considere a raiz ξ 2 = 2. Usando a função de iteração: y y = x g 1 ( x) = 6 x 2 x 2 ξ 1 x 0 ξ 2 x 1 x {x k } ξ g(x) Cálculo Numérico 22/39

23 Considere agora: y g 2 ( x) = 6 x y = x g(x) {x k } ξ quando k x 0 x 2 ξ 2 x 1 x Cálculo Numérico 23/39

24 Análise gráfica da convergência Podemos ter várias situações: SITUAÇÃO 1: y y = x g(x) {x k } ξ quando k ξ x 2 x 1 x 0 x Cálculo Numérico 24/39

25 Análise gráfica da convergência SITUAÇÃO 2: g(x) y y = x {x k } ξ quando k x 1 x 3 ξ x 2 x 0 x Cálculo Numérico 25/39

26 Análise gráfica da convergência SITUAÇÃO 3: y g(x) y = x {x k } ξ ξ x 0 x 1 x 2 x Cálculo Numérico 26/39

27 Análise gráfica da convergência SITUAÇÃO 4: y g(x) y = x {x k } ξ x 3 x 1 ξ x 0 x 2 x Cálculo Numérico 27/39

28 O teorema a seguir nos fornece condições suficientes para que o processo seja convergente. Cálculo Numérico 28/39

29 Teorema Seja ξ uma raiz da equação f (x) = 0, isolada em um intervalo I centrado em ξ. Seja g (x) uma função de iteração para a equação f (x) = 0. Se: i) g (x) e g (x) são contínuas em I; ii) g' x ( ) <1, x I e x 0 I iii). Então a sequência {x k } gerada pelo processo iterativo x k+1 = g (x k ) converge para ξ. Cálculo Numérico 29/39

30 Critérios de Parada No algoritmo do método do ponto fixo, escolhe-se x k como raiz aproximada de ξ se: x k x k 1 = g( x ) k 1 x k 1 < ε ou f ( x ) k < ε Cálculo Numérico 30/39

31 Critérios de Parada Devemos observar que x k ξ < ε necessariamente. x k x k 1 < ε, não implica Cálculo Numérico 31/39

32 Critério de Parada Contudo, se g (x) < 0 em I (intervalo centrado em ξ), a sequência {x k } será oscilante em torno de ξ. Cálculo Numérico 32/39

33 Algoritmo do método do ponto fixo Para determinar uma aproximação para x = g (x), dada uma aproximação inicial x 0 : ENTRADA: aproximação inicial x 0 ; precisão ε, número máximo de iterações N 0. SAÍDA: solução aproximada Passo 1: Faça i = 1; ou mensagem de erro. Passo 2: Enquanto i N 0, execute os passos 3 a 6. Passo 3: Faça x = g (x 0 ); (Calcula x i ) Passo 4: Se x x 0 < ε, então: SAÍDA (x); (Procedimento concluído com sucesso) PARE. x Cálculo Numérico 33/39

34 Algoritmo do método do ponto fixo Passo 5: Faça i = i + 1. Passo 6: Faça x 0 = x (Atualizar x 0) Passo 7: SAÍDA ( O método falhou após N 0 iterações, N 0 =, N 0 ); PARE. (O procedimento não foi bem-sucedido). Cálculo Numérico 34/39

35 Convergência do MPF Seja {x k } uma sequência que converge para um número ξ e, seja, e k = x k - ξ, o erro na iteração k. Se existir um número p > 1 e uma constante C > 0, tais que: lim k e k+1 e k p = C (1) Então p é chamada de ordem de convergência da sequência {x k } e C é a constante assintótica de erro. Cálculo Numérico 35/39

36 Convergência do MPF Pode-se provar que o MPF, em geral, tem convergência apenas linear, ou seja p = 1. Uma vez obtida a ordem de convergência p de um método iterativo, ela nos dá uma informação sobre a rapidez de convergência do processo. Cálculo Numérico 36/39

37 MÉTODO DO PONTO FIXO VANTAGENS: Rapidez no processo de convergência; Desempenho regular e previsível. Cálculo Numérico 37/39

38 MÉTODO DO PONTO FIXO DESVANTAGENS: Um inconveniente é a necessidade da obtenção de uma função de iteração g (x); Difícil sua implementação. Cálculo Numérico 38/39

39 Exercício Seja f (x) = x 3 9x + 3; x 0 = 0,5; I = [0, 1], ε = Aplique o Método do Ponto Fixo para obter o valor aproximado de x k x k f ( x k ) 0 0,5-1, , , , , , , f ( x ) 3 = 3, < ε x 3 x 2 = 3, < ε Cálculo Numérico 39/39