Semana 4 Zeros das Funções

Transcrição

1 1 CÁLCULO NUMÉRICO Semana 4 Zeros das Funções Professor Luciano Nóbrega UNIDADE 1

2 Eixo das ordenadas 2 ZEROS DAS FUNÇÕES INTRODUÇÃO Nas diversas áreas científicas, frequentemente, nos deparamos com problemas envolvendo a resolução de equações do tipo f(x) = 0. Dizemos que x é um zero da função f(x) se f(x ) = 0. Como por exemplo: f(x) Estruturas F Zeros reais representados sobre o eixo das abscissas x' x" x +F V Eixo das abscissas Em cada nó : EXEMPLOS: Vamos relembrar alguns métodos -F H +F H para determinarmos os zeros das funções: F H = 0 a) f(x) = ax + b f) f(x) = ax F -F V V = bx 2 +c b) f(x) = ax 2 + bx + c g) f(x) = 3x 3 5x 2 + x 6 c) f(x) = ax 2 + bx sendo x = 2 d) f(x) = ax 2 + c h) f(x) = x 3 +2x 2 + x +2 e) f(x) = ax 3 + bx 2 + cx i) f(x) = x 4 x 3 7x 2 +x + 6, sendo x = 2 e x = 1

3 3 ZEROS DAS FUNÇÕES MÉTODOS NUMÉRICOS Vamos estabelecer algumas etapas: 1º) Passar todos os termos da equação para o 1º membro (lado esquerdo da equação), ficando assim o 2º membro (lado direito) igual a zero. 2º) Procurar um intervalo que contém o zero da função. 3º) Fazer o refinamento das raízes utilizando um método de refinamento. EXEMPLO: Seja f(x) = x 2 2 = 0, determine um intervalo que contenha a raiz. f(x) Podemos, então, anunciar o TEOREMA de BOLZANO: Sendo f(x) contínua em um intervalo [a, b], se f(a).f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = x entre a e b que é zero de f(x). a x' b x

4 4 ZEROS DAS FUNÇÕES Depois que encontramos um intervalo que contém o zero da função, nossa missão agora é contemplar a 3ª etapa, que é Fazer o refinamento das raízes utilizando um método de refinamento. MÉTODOS DE REFINAMENTO Também denominados por Métodos Iterativos, devido ao fato de serem executadas em ciclos. //A execução de um ciclo recebe o nome de iteração. MÉTODO DA BISSEÇÃO Considere o intervalo [a,b] para o qual f(a).f(b) < 0. O método da bisseção consiste em calcularmos o valor da função f(x) no ponto médio x 1 = (a +b) / 2. Caso f(x 1 ) = 0, x 1 é a raiz procurada e o processo para. Se f(a).f(x 1 ) < 0, a raiz procurada está entre a e x 1, e repete-se o processo para o intervalo [a, x 1 ]. Caso contrário, f(x 1 ).f(b) < 0, a raiz procurada está entre x 1 e b. Logo, repete-se o processo para o intervalo [x 1, b]. EXEMPLO: Seja a função f(x) = x 3 9x + 3, determine o zero da função.

5 5 ZEROS DAS FUNÇÕES EXEMPLO: Seja a função f(x) = x 3 9x + 3, determine o zero da função.

6 6 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 20 Seja a função dada abaixo, determine o zero da função, pelo método da bisseção com quatro iterações. a) f(x) = 2x 3 +3x 2 4x + 5 b) f(x) = 3x 3 5x 2 + x 6 c) f(x) = x 3 +2x 2 + x +2 d) f(x) = x 4 x 3 7x 2 +x + 6 CRITÉRIOS DE PARADA: Obviamente não podemos repetir um processo numérico infinitamente. É preciso pará-lo em um determinado instante. Para isso, devemos utilizar um certo critério, que vai depender do problema a ser resolvido e da precisão que queremos ter na solução. Em uma máquina, podemos predeterminar a quantidade de iterações. No entanto, essa quantidade, pode não ser suficiente para atingir o resultado satisfatório. Por isso, vamos estipular o seguinte critério de parada: Onde: [ a k ; b k ] é o intervalo que contém a raiz; Ɛ é o erro admissível (estipulado); E o 2 aparece por causa da bisseção. Ou, podemos usar essa outra fórmula: f(x 1 ) ɛ. Onde f(x 1 ) é a imagem do valor aproximado. Vejamos, porque:

7 7 ZEROS DAS FUNÇÕES Observe que nas figuras. y 21 Considere-se f(x) = x 3 x 1, no intervalo [1; 2] e com tolerância de 0,2. Determine o zero da função seguindo o procedimento: 1º) Aplique os testes de parada; 2º) Itere uma só vez o método da biseção; 3º) Aplique os testes de parada e continue até ɛ < 0,2 f(x 1 ) x x x 1 x'

8 8 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 22 Seja a função dada abaixo, determine o zero da função, pelo método da bisseção com com erro inferior a 10-2 a) f(x) = 2x 3 +3x 2 4x + 5 b) f(x) = 3x 3 5x 2 + x 6 c) f(x) = x 3 +2x 2 + x +2 d) f(x) = x 4 x 3 7x 2 +x Determine um valor aproximado para 5, para isso, determine o zero da função f(x) = x 2 5 com erro inferior a 10-2, completando a tabela: Usando o método da bisseção, determine o zero da função f(x)= 3,2+x.ln x com ɛ < 0,2 25 Usando o método da bisseção, determine o zero da função f(x) = 2 + 0,4.x + 5.log x com ɛ < 0,2

9 9 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 26 Determine o zero da função f(x) = x. log x 1, com erro admissível menor que 0,3 27 Determine o zero da função f(x) = x 3 5x + 5, com erro admissível menor que 0,5 28 Seja a função f(x) = x 3 x 2 x 1 e o intervalo [1, 2], determine uma aproximação para a raiz dessa função utilizando o método da bisseção com duas iterações. Lembre-se que a aproximação da raiz será a média entre os limites do intervalo obtido após a segunda iteração. 29 Considere f(x) = 2x 3 2x 1, no intervalo [ 0,5 ; 0] e com tolerância de 0,1. Determine o zero da função pelo método da bisseção, tendo o cuidado de fazer os testes de parada após cada iteração. ATENÇÃO: Antes da primeira iteração, faça o primeiro teste de parada com b = 0 e a = 0,5. Você só vai usar os dois testes depois de feita a primeira iteração. Lembre-se que a aproximação da raiz será a média entre os limites do intervalo obtido após você atender um dos critérios de parada. 30 O TEOREMA de BOLZANO enuncia que: Sendo f(x) contínua em um intervalo [a, b], se f(a).f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = x entre a e b que é zero de f(x). Verifique se a função f(x) = 3x 5 2x 4 5x 3 3x 2 + 3x 3 possui uma raiz no intervalo ( 2 ; 1). JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA POR ESCRITO.

10 Vá correndo acessar... Você só paga R$ 5,00 (Brincadeirinha... É de graça!)