Capítulo 19. Fórmulas de Integração Numérica

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1 Capítulo 19 Fórmulas de Integração Numérica

2 Você tem um problema Lembre-se que a velocidade de um saltador de bungee jumping em queda livre como uma função do tempo pode ser calculada como: v t gm gc. d tanh t c d m Considere que gostaríamos de saber a distância vertical z que o saltador caiu após em certo tempo t. Essa distância pode ser calculada por integração: z t t vtdt 0

3 O que é integração? b I f xdx a O significado da equação acima é o valor total ou soma de f(x)dx no Intervalo de x= a até x = b. Contextualização Para funções que estão acima do eixo x, a integral corresponde á área sob a curva.

4 Integração na Engenharia- Exemplos (a) Um inspetor precisa saber a área de um campo limitado por um riacho sinuoso e duas estradas

5 Integração na Engenharia- Exemplos (b) Um engenheiro de recursos hidráulicos precisa saber a área da seção transversal de um rio

6 Integração na Engenharia- Exemplos (c) Um engenheiro de estruturas precisa determinar a força média decorrente de um vento não uniforme soprando contra o lado de um arranha-céu.

7 Fórmulas de Newton-Cotes As fórmulas de Newton-Cotes são os esquemas mais comuns de integração numérica, e são baseadas na estratégia de substituir uma função complicada por um polinômio que seja fácil integrar. b I f x dx f x dx a b a n Onde f x a a x... a x a x n 1 n 0 1 n1 n n e n é o grau do polinômio.

8 Fórmulas de Newton-Cotes As fórmulas de Newton-Cotes são os esquemas mais comuns de integração numérica, e são baseadas na estratégia de substituir uma função complicada por um polinômio que seja fácil integrar. b I f x dx f x dx a b a n Onde f x a a x... a x a x n 1 n 0 1 n1 n n e n é o grau do polinômio.

9 Fórmulas de Newton-Cotes Aproximação de uma integral pela área sob (a) uma única reta e (b) uma única parábola.

10 Fórmulas de Newton-Cotes A integral também pode ser aproximada utilizando uma série de polinômios aplicado por partes à função em segmentos de comprimentos constantes.

11 A regra do trapézio A regra do trapézio é a primeira fórmula de integração de Newton-Cotes. Ela corresponde ao caso no qual o polinômio usado na aproximação é de primeiro grau. b f b f a I f a x a dx b a a O resultado da integração é: I b a f a 2 f b

12 A regra do trapézio Geometricamente, a regra do trapézio é equivalente a aproximar a integral pela área do trapézio sob a reta que liga os pontos f(a) e f(b).

13 Erro na regra do trapézio Quando usamos a integral sob um segmento de reta para aproximar a integral sob a curva, incorremos em um erro que pode ser grande. Uma estimativa para o erro pode ser calculado por: 1 " 3 EA f b a 12 Onde α é algum valor do intervalo Entre a e b.

14 Exemplo Use a regra do trapézio para integrar numericamente a função: f x 400x 900x 675x 200x 25x 0, De a = 0 até b = 0,8 Para comparação, o valor verdadeiro é: 0,8 0 f x dx 1,640533

15 Exemplo Use a regra do trapézio para integrar numericamente a função: f x 400x 900x 675x 200x 25x 0, De a = 0 até b = 0,8 usando a regra dos trapézios Temos Logo I I b a f f a 2 0 0, 2 f 0,8 0, 232 f b 0,2 0,232 0,8 0 0,1728 2

16 Exemplo Use a regra do trapézio para integrar numericamente a função: f x 400x 900x 675x 200x 25x 0, De a = 0 até b = 0,8 usando a regra dos trapézios O que representa um erro percentual de 1, ,1728 x 100% 89,5% 1,

17 Exemplo Use a regra do trapézio para integrar numericamente a função: f x 400x 900x 675x 200x 25x 0, De a = 0 até b = 0,8 usando a regra dos trapézios Em situações reais, não teríamos conhecimento prévio do valor verdadeiro. Portanto deveríamos usar a fórmula do erro: 1 " 3 EA f b a 12

18 Aplicação Múltipla da Regra do Trapézio Uma maneira de melhorar a acurácia da regra do trapézio é dividir o intervalo de integração de a até b em diversos seguimentos e aplicar o método a cada segmento.

19 Aplicação Múltipla da Regra do Trapézio x x 1 2 I f x dx f x dx... f x dx x x1 x 0 n1 I b a n1 f x 2 f x f x 0 i1 2n i x n n

20 Exemplo Use a regra do trapézio para integrar numericamente a função: f x 400x 900x 675x 200x 25x 0, De a = 0 até b = 0,8 usando a regra dos trapézios com dois segmentos f 0 0,2 f 0,4 2,456 f 0,8 0,232 I b a n1 f x 2 f x f x 0 i1 2n i n I 0,2 22,456 0,232 0,8 1,

21 Exemplo Use a regra do trapézio para integrar numericamente a função: f x 400x 900x 675x 200x 25x 0, De a = 0 até b = 0,8 usando a regra dos trapézios com dois segmentos I 0,2 22,456 0,232 0,8 1, E T 1, , ,9% 1,

22 Exemplo Use a regra do trapézio para integrar numericamente a função: f x 400x 900x 675x 200x 25x 0, De a = 0 até b = 0,8 n h I Et(%) 2 0,4000 1, ,9 3 0,2667 1, ,5 4 0,2000 1,4848 9,50 5 0,1600 1,5399 6,10 6 0,1333 1,5703 4,30 7 0,1143 1,5887 3,20 8 0,1000 1,6008 2,40 9 0,0889 1,6091 1, ,0800 1,6150 1,60

23 MATLAB : trap

24 Calcule a seguinte integral a) Analiticamente Exercícios b) Por uma única aplicação da regra do trapézio. c) Por aplicações múltiplas da regra do trapézio com n = 2 d) Por aplicações múltiplas da regra do trapézio com n=4. ( Calcule também o erro verdadeiro em cada item ) Resposta: a) b) com E = 34.95% c) com E = 10.18% d) com E = 2.67% 1 e x dx

25 Calcule a seguinte integral a) Analiticamente Exercícios cos x dx b) Por uma única aplicação da regra do trapézio c) Por aplicações múltiplas da regra do trapézio com n = 2. d) Por aplicações múltiplas da regra do trapézio com n = 4. ( Calcule também o erro verdadeiro em cada item ) Resposta: a) b) com E = 5.182%% c) com E = 1.254% d) com E = 0.311%

26 Calcule a seguinte integral a) Analiticamente Exercícios b) Por uma única aplicação da regra do trapézio c) Por aplicações múltiplas da regra do trapézio com n = 2. d) Por aplicações múltiplas da regra do trapézio com n = 4. ( Calcule também o erro verdadeiro em cada item ) Resposta: a) 1104 b) 5280 com E = 378.3% c) 2634 com E = 138.6% d) 1516 com E = 037.4% x x x dx

27 Regras de Simpson Além de aplicar a regra do trapézio com segmentos menores, outra forma de obter uma estimativa mais acurada para a integral é usar polinômios de grau mais alto para ligar os pontos.

28 Regras de Simpson Se existir um ponto extra no ponto médio entre f(a) e f(b), os três pontos podem ser ligados por uma parábola. A fórmula resultante de tomar a integral de um polinômio de segundo grau chama-se : A regra 1/3 de Simpson

29 Regras de Simpson Se existirem dois pontos igualmente espaçados entre f(a) e f(b), os quatro pontos podem ser ligados por um polinômio de terceiro grau. A fórmula resultante de tomar a integral de um polinômio de terceiro grau chama-se : A regra 3/8 de Simpson

30 A regra 1/3 de Simpson A regra 1/3 de Simpson corresponde ao caso em que o polinômio f n x na equação: b I f x dx f x dx a é do segundo grau. b a n O resultado da integração é: b a 4 a I f a f b f b 6 2

31 Exemplo: regra 1/3 de Simpson Use uma única aplicação da regra de 1/3 de Simpson para integrar f x 400x 900x 675x 200x 25x 0, de a= 0 até b = 0,8. Lembre-se que Temos f(0)=0,2 f(0,4)=2,456 f(0,8)=0,232 b a a b I 4 6 f a f f b 2 0,8 0 I 0, 2 42, 456 0, 2321, ,8 0 f x dx 1,640533

32 Exemplo: regra 1/3 de Simpson Use uma única aplicação da regra de 1/3 de Simpson para integrar f x 400x 900x 675x 200x 25x 0, de a= 0 até b = 0,8. 0,8 I 1, Com e temos: 0 f x dx 1, E T 1, , % 16,6% 1,

33 Aplicação múltipla da regra 1/3 de Simpson Da mesma forma que a regra do trapézio, a regra de Simpson pode ser melhorada dividindo-se o intervalo de integração em diversos segmentos de mesmo comprimento. Atenção: A aplicação múltipla da regra pode ser empregado apenas se o número de intervalos for par.

34 Aplicação múltipla da regra 1/3 de Simpson n1 n2 b a I f a f x f x f b 3n i1,3,5 j2,4,6 4 2 i j

35 Exemplo: regra 1/3 de Simpson Use a regra de 1/3 de Simpson com n = 4 para integrar f x 400x 900x 675x 200x 25x 0, de a= 0 até b = 0,8. Temos f(0)=0,2 f(0,2)=1,288 f(0,4)=2,456 f(0,6)=3,464 f(0,8)=0,232 n1 n2 b a I f a 4 f x 2 f x f b i j 3n 0, i1,3,5 j2,4,6 0, 2 4 1, 288 3, , 456 0, 232 1,

36 Exemplo: regra 1/3 de Simpson Use a regra de 1/3 de Simpson com n = 4 para integrar f x 400x 900x 675x 200x 25x 0, de a= 0 até b = 0,8. E T 1, , % 1,04% 1,

37 Calcule a seguinte integral Exercícios e a) Por uma única aplicação da regra 1/3 de Simpson. b) Por aplicações múltiplas da regra 1/3 de Simpson com n = 4 ( Calcule também o erro verdadeiro em cada item ) Resposta: a) 2, com E = 1,92% b) com E = 0,16% x dx

38 Calcule a seguinte integral Exercícios a) Por uma única aplicação da regra 1/3 de Simpson 0 8 4cos x dx b) Por aplicações múltiplas da regra 1/3 de Simpson com n = 4 ( Calcule também o erro verdadeiro em cada item ) Resposta: a) com E = 0,055% b) com E = 0,0032%

39 Calcule a seguinte integral Exercícios - 03 a) Por uma única aplicação da regra 1/3 de Simpson x x x dx b) Por aplicações múltiplas da regra 1/3 de Simpson com n = 4 ( Calcule também o erro verdadeiro em cada item ) Resposta: a) 1752 com E = 58.7% b) 1144, 5 com E = 3,6685%