Capítulo 5 COMPORTAMENTO DOS SISTEMAS NÃO LINEARES E CAÓTICOS. 1

Transcrição

1 Capítulo 5 COMPORTAMENTO DOS SISTEMAS NÃO LINEARES E CAÓTICOS FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/7/@ADC

2 y y y y v y Estados de equilíbrio de sistemas lineares ' = - + u u = y ' = - y + u ' = v v ' = - (k + d v)/m k = m = d = ' = A + B y + u y ' = C + D y + u A = B = C = - D = - u = Nó estável (poço-sink, attractor): - - Foco estável (poço-sink, atractor) Ponto sela ' = + u y ' = y + u u = ' = y y ' = - + y + u u = ' = y y ' = - + u u = Nó instável (fonte-source, repelling) Foco instável (fonte-source, repelling): Um centro FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/7/@ADC

3 Modelo de Lotka-Volterra presa ' = (a - b predador) presa predador ' = (p presa - c) predador a =.4 c =. b =. p = predador presa FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/7/@ADC

4 suporte, sem atrito, B= torsão, nula K= L, comprimento θ posição angular m, massa total Pêndulo rígido sem atrito m.g.l.senθ m.g θ ' = ω ω ' = - sin(θ) - D ω D = 4 ω θ FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/7/@ADC 4

5 = ( -) u y = = ( - ) u Eemplo com 4 singularidades ' = ( - ) - u y ' = (y - ) - u u = 5 4 y FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/7/@ADC 5

6 Estável ou instável? ' = ( - ) - u y ' = (y - ) - u u = 5 4 y Estabilidade local FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/7/@ADC 6

7 Incerteza nas condições iniciais ' = ( - ) - u y ' = (y - ) - u u =... y impossível predizer o comportamento futuro FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/7/@ADC 7

8 E.N. Lorenz em 99 : Predictability: Does the Flap of a Butterfly s WingsinBrazilsetoffa Tornado in Teas? Caos!!!!... FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/7/@ADC 8

9 Oscilador de van der Pol : modelizar a actividade oscilatória do coração humano d d c( ) + = c> dt dt Com ecitação eterna: d dt dy dt = c y + = c d dt dy dt = c y + = ( Bsen π ft ) c FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/7/@ADC 9

10 Sem ecitação eterna d dt dy dt = c y + = c.5 f n =/T=, Hertz t FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/7/@ADC

11 Com ecitação eterna ecitação f=, Hz resposta f, Hz t ecitação f=,9 Hz resposta f,9 Hz t princípio do pacemaker FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/7/@ADC

12 Bifurcações e caos A A = ( ) = k k k ( + k k), [,] A=,8 A= A=,8 A=.8 Populaçao.7.6 Populaçao Geraçao Geraçao FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/7/@ADC

13 .9 A=, A=,.9 A=,5 A=,5.8.8 Populaçao.7.6 Populaçao Período.4 Período Geraçao Geraçao.9 A=,55 A=,55.9 A=,6 A=,6.8.8 Populaçao.7.6 Populaçao Período 8 Caos!!! Geraçao Geraçao FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/7/@ADC

14 Bifurcações 4

15 5

16 O delta de Feigenbaum δ n = A A n n+ A n A n lim n δ n = 4, FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/7/@ADC 6

17 Eemplos de sistemas fisiológicos com comportamento caótico Regulação da densidade de neutrófilos no sangue Variabilidade cardivascular 7

18 Conclusão A representação de estado aplica-se de igual modo aos sistemas lineares e não lineares, variantes ou invariantes. No caso linear obtém-se uma representação matricial. As propriedades dinâmicas do sistema são dependentes dos valores próprios da matriz de estado, tal como são dependentes dos pólos da função de transferência na representação no domínio compleo Os sistemas não lineares podem ter zero, um ou vários estados de equilíbrio para a a mesma entrada. Alcançam um ou outro conforme as condições iniciais. Aproimando as funções de estado e de saída pela série de Taylor nos pontos de equilíbrio, desprezando os termos de ordem superior à primeira, obtém-se um sistema linearizado. FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/7/@ADC 8

19 Tudo o que estudámos é fundamental para modelizar processos fisiológicos: Analogias e sistemas análogos Obtenção das equações diferenciais Função de transferência Espaço de estados Curvas de fase Sistemas não lineares e comportamento caótico Implementação em Matlab/Simulink FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DSBF/7/@ADC 9