3 Aplicação do Diffusion Maps a campos de vetores planares

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1 3 Aplicação do Diffusion Maps a campos de vetores planares É usual que fenômenos relacionados à Física, Química, Biologia e Engenharia sejam modelados com o auxílio de equações diferenciais ordinárias (EDOs), ou ainda, de sistemas de EDOs. Ao mesmo tempo, é bastante comum que resultados de experimentos físicos e simulações computacionais sejam representados por meio de campos de vetores. Este capítulo mostra a relação entre sistemas autônomos de EDOs em duas variáveis e campos de vetores no plano, com especial atenção aos chamados pontos críticos ou singularidades, e sugere a aplicação do Diffusion Maps para a realização de mapeamentos de campos vetoriais planares e detecções de possíveis zonas de singularidades em coordenadas de difusão, usando como princípio o fato de que em torno de uma singularidade (x s, y s ) é pequena a similaridade entre os vetores. Deste modo, a avaliação da incoerência entre os vetores numa vizinhança de (x s, y s ) torna-se peça-chave para o atendimento do objetivo proposto. Propõe também, para campos lineares ou quase-lineares, a utilização de informações qualitativas dos sistemas de EDOs na função de difusão com o objetivo de introduzir uma nova representação dos campos de vetores pela qual são obtidos clusters de zonas de singularidades de acordo com a classificação dos pontos críticos correspondentes, além da detecção da possível existência de órbitas fechadas em campos com bifurcações. 3.1 Fundamentos teóricos Definição Um campo de vetores no plano é uma aplicação F : D R 2 R 2 definida por F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) (3-1) onde P (x, y) e Q(x, y) são funções reais diferenciáveis.

2 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 50 Definição Pontos críticos de um campo F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) são os pontos (x s, y s ) que são soluções simultâneas de P (x, y) = 0 e Q(x, y) = 0. Tais pontos também são chamados de singularidades. Definição Um sistema autônomo de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem em duas variáveis é um conjunto S : { dx dt dy = P (x, y) dt = Q(x, y) (3-2) onde P (x, y) e Q(x, y) são funções reais diferenciáveis. Definição A todo sistema de EDOs da forma (3-2) definido em um domínio D R 2 associa-se um campo de vetores da forma (3-1). Teorema (Teorema de Existência e Unicidade) Dadas as condições iniciais x(t 0 ) = x 0 e y(t 0 ) = y 0, há um intervalo t t 0 < h no qual existe e é única a solução x = f 1 (t), y = f 2 (t) do sistema S. Prova: Pode ser encontrada em Sotomayor[19]. Assim, as soluções de S dependem de valores iniciais, por exemplo, x(0) = x 0 e y(0) = y 0, e então cada par (x 0, y 0 ) determina uma única solução para S. A representação geométrica de cada solução é uma curva diferenciável C(x, y, t) chamada de trajetória. O conjunto de trajetórias de S é o retrato de fase do sistema. Definição Uma solução do sistema S é periódica se existe T > 0 tal que C(x, y, t) = C(x, y, t + T ). Soluções desta natureza são representadas por órbitas fechadas no retrato de fase de S.

3 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 51 Figura 3.1: Campo de vetores e retrato de fase correspondente. Os pontos em vermelho representam as singularidades do campo. Neste exemplo, um dos pontos críticos é circundado por órbitas fechadas. Definição Um sistema da forma (3-2) é linear se as funções P (x, y) e Q(x, y) são lineares. Definição Um sistema da forma (3-2) é quase-linear na vizinhança de uma singularidade (x s, y s ) se a matriz jacobiana J( F (x s, y s )) = não é identicamente nula. [ P (xs,ys) x Q(x s,y s) x P (x s,y s) y Q(x s,y s) y ] (3-3) 3.2 Mapeamentos de campos e detecção de zonas de singularidades Nesta seção, é sugerida a realização de mapeamentos de campos de vetores e a identificação de zonas de singularidades nas coordenadas de difusão. Fixado um eixo de referência r, pode-se notar que, num entorno de uma singularidade, os vetores apresentam, em relação a r, uma grande variação de inclinação, maior do que aqueles vetores que não estão próximos

4 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 52 da singularidade. Em outras palavras, o que se tem em geral é que, segundo um critério de inclinação, a semelhança ou similaridade entre vetores é maior em regiões do campo onde não existem singularidades, e menor nas proximidades destes pontos críticos. O que se pretende então é interpretar um campo de vetores tão-somente como uma coleção de objetos os vetores todos pertencentes a um mesmo conjunto o campo e através de alguma medida de similaridade entre estes objetos, identificar regiões no conjunto onde é grande a diferença entre tais elementos. A estas regiões poderão estar associadas singularidades. A figura 3.2 ilustra essas observações. Figura 3.2: Inclinação dos vetores quanto à proximidade das singularidades. Em vizinhanças de singularidades (discos verde e amarelo), a variação de inclinação entre os vetores é grande se comparada a regiões onde não há singularidade (disco vermelho). Considere um campo F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)), definido em D R 2. Suponha que F (x, y) seja o campo de velocidades de um conjunto de partículas num determinado instante. Duas possibilidades de dados de entrada para o método Diffusion Maps serão tratadas:

5 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 53 Caso 1: os dados são da forma p i = [x i, y i, P (x i, y i ), Q(x i, y i )], ou seja, são consideradas a posição e a velocidade de cada partícula. Caso 2: faz-se p i = [x i, y i, P (x i,y i ) (P (x i,y i )) 2 +(Q(x i,y i )) 2, Q(x i,y i ) (P (x i,y i )) 2 +(Q(x i,y i )) 2 ], ou seja, são consideradas a posição e a velocidade normalizada de cada partícula. Inúmeros testes foram realizados em campos analíticos gerados sobre um grid. Para dados de entrada da forma descrita no Caso 1, não se observou nenhuma estrutura na disposição das coordenadas de difusão que revelasse algum indício de relação com regiões de singularidades nos campos testados. Por exemplo, para o campo F 1 (x, y) = (x, y), as representações obtidas, considerando-se o emprego de valores de ε entre 0.05 e 3, mostram-se todas semelhantes às ilustradas na figura 3.3. Resultados semelhantes foram obtidos para o campo F 2 (x, y) = (x, y), como mostra a figura 3.4. Figura 3.3: No topo, o campo (x, y). Abaixo, à esquerda, suas coordenadas de difusão para ε = 3.0. À direita, o resultado obtido para ε = 0.05.

6 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 54 Figura 3.4: No topo, o campo (x, y). Abaixo, à esquerda, suas coordenadas de difusão para ε = 3.0. À direita, o resultado obtido para ε = Já para dados de entrada conforme descritos no Caso 2, surge no mapeamento o que aqui será chamado de furo nas coordenadas de difusão. Como exemplo, considere os resultados obtidos para os campos F 1 e F 2 definidos anteriormente. Isto é ilustrado na figura 3.5. É ainda mais interessante observar os resultados obtidos pela aplicação do Diffusion Maps a campos com mais de uma singularidade. As figuras 3.6 e 3.7 ilustram as coordenadas de difusão correspondentes aos campos F 3 (x, y) = (x , y) e F 4 (x, y) = ( 4y(x 2 + y 2 ) 2y, 4x(x 2 + y 2 ) 2x). Novamente, os dados de entrada foram normalizados.

7 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 55 Figura 3.5: Na primeira linha, coordenadas de difusão correspondentes a ε = 3.0 e ε = 0.05, respectivamente, obtidas para o campo (x, y), considerandose dados normalizados. Na segunda linha, resultados equivalentes obtidos para o campo (x, y).

8 PUC-Rio - Certificação Digital Nº /CA Func o es de Difusa o e Regio es de Zero de Campos de Vetores Planares 56 Figura 3.6: Campo (x2 0.25, y) e suas coordenadas de difusa o, obtidas a partir da normalizac a o dos dados descrita no Caso 2. Note que as duas singularidades isoladas do campo fazem surgir dois furos distintos no mapeamento. Figura 3.7: Campo ( 4y(x2 + y 2 ) 2y, 4x(x2 + y 2 ) 2x) e suas coordenadas de difusa o, obtidas a partir da normalizac a o dos dados descrita no Caso 2. Note que as tre s singularidades isoladas do campo fazem surgir tre s furos distintos no mapeamento.

9 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 57 Os exemplos mostrados deixam claro que as regiões dos furos nas coordenadas de difusão correspondem às regiões de singularidades nos campos correspondentes. Mas por que isso acontece? A explicação é a seguinte: a fundamentação teórica para a construção de mapeamentos via Diffusion Maps vem do conceito de distâncias de difusão, conforme explicado no capítulo 2. Alta similaridade entre elementos de um conjunto corresponde a pequena distância de difusão entre esses elementos, enquanto a baixa similaridade resulta em grande distância de difusão. Regiões de singularidade em campos são formadas por vetores que, segundo sua inclinação, diferem muito entre si, se comparados a outros do mesmo campo que estão fora das zonas de singularidades, como foi ilustrado na figura 3.2. Logo, tais vetores têm entre si grandes distâncias de difusão. A equivalência entre as distâncias de difusão e euclidiana permite construir o mapeamento Ψ(p i ), que revela distâncias euclidianas maiores entre os pontos que circundam os furos. Estes pontos representam justamente os vetores do entorno das singularidades. 3.3 Classificação e clusterização de zonas de singularidades A Teoria Qualitativa fornece meios de se descrever o retrato de fase de um sistema de EDOs, o que equivale a dizer como é o comportamento de seu campo de vetores em vizinhanças de singularidades. Assim, conhecer a expressão analítica de um campo para os casos de sistemas de EDOs linear ou quase-linear permite, quase sempre, que cada uma de suas singularidades seja classificada, de acordo com as relações entre os autovalores da sua matriz jacobiana. Logo, se o ponto (x s, y s ) é singularidade de F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)), os autovalores µ 1 e µ 2 de J( F (x s, y s )) determinam que tipo de singularidade este ponto representa. A figura 3.8 mostra esquematicamente a classificação das singularidades de campos de vetores associados a sistemas de EDOs lineares. R1 e R2 denotam a parte real de µ 1 e µ 2, respectivamente, e I1 e I2, a parte imaginária. Para campos quase-lineares, esta classificação também se aplica, exceto pelo fato de que as condições simultâneas R1 = 0, R2 = 0, I1 0 e I2 0 podem implicar a existência de um centro ou um foco, estando esta distinção fora do escopo deste trabalho.

10 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 58 Figura 3.8: Classificação de singularidades em campos lineares em função dos autovalores de sua matriz jacobiana. É possível notar que as informações contidas na figura 3.8 podem ser resumidas da seguinte maneira: 1) os critérios usados para classificar uma singularidade como sela são equivalentes a µ 1.µ 2 < 0 ; 2) os critérios usados para classificar uma singularidade como centro considerando-se a observação feita anteriormente para campos quase-lineares são equivalentes a µ 1.µ 2 > 0 e µ 1 + µ 2 = 0 ; 3) os critérios usados para classificar uma singularidade como repulsora são equivalentes a µ 1.µ 2 > 0 e µ 1 + µ 2 > 0 ; 4) os critérios usados para classificar uma singularidade como atratora são equivalentes a µ 1.µ 2 > 0 e µ 1 + µ 2 < 0. Lembrando que para qualquer matriz a soma dos autovalores é igual ao seu traço, e que o produto entre os autovalores é igual ao seu determinante, para os objetivos desta seção é suficiente considerar a classificação resumida na figura 3.9.

11 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 59 Figura 3.9: Utilização do determinante e do traço da matriz jacobiana para classificação de alguns tipos de singularidades em campos lineares ou quaselineares. Deste modo, sendo (x s, y s ) k as singularidades de um campo F (x, y) linear ou quase-linear definido em D R 2, a avaliação das funções Det(J( F (x, y))) e T r(j( F (x, y))) em D pode conduzir a segmentações de F (x, y) em regiões associadas a cada uma das (xs, y s ) k. Como exemplos, considere os campos a seguir definidos em D = [ 1, 1] 2. Exemplo 1 - F 1 (x, y) = (sen(1.5y), cos(2.5x)) A figura 3.10 ilustra o campo e o retrato de fase correspondente. F 1 (x, y) tem duas singularidades em D: ( π/5, 0), que é um ponto de sela, e (π/5, 0), que é um centro. Deste modo, deve-se esperar que Det(J( F 1 (x, y))) < 0 ao redor de ( π/5, 0) e que Det(J( F 1 (x, y))) > 0 ao redor de (π/5, 0) já que este não é um ponto de sela. Isto é mostrado na figura 3.11.

12 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 60 Figura 3.10: Campo de vetores (sen(1.5y), cos(2.5x)) e seu retrato de fase. Figura 3.11: Variação da função Det(J((sen(1.5y), cos(2.5x)))). Exemplo 2 - F 2 (x, y) = (cos(5x + π/2), sen(1.5y)) As singularidades de F 2 (x, y) em D são (0, 0) e (±π/5, 0), como mostra a figura É possível verificar que Det(J( F 2 (x, y))) < 0 ao redor de (0, 0), dado que este é um ponto de sela. Por outro lado, T r(j( F 2 (x, y))) > 0 ao redor de (±π/5, 0), pois estes pontos críticos determinam regiões repulsoras no campo. Isto é ilustrado na figura 3.13.

13 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 61 Figura 3.12: Campo de vetores (cos(5x + π/2), sen(1.5y)) e seu retrato de fase. Figura 3.13: Variação das funções Det(J((cos(5x + π/2), sen(1.5y)))) e T r(j((cos(5x + π/2), sen(1.5y)))). Exemplo 3 - F 3 (x, y) = (cos(5x + π/2), sen(1.5y + π)) F 3 (x, y) tem 3 pontos críticos em D: (±π/5, 0) e (0, 0), como mostra a figura Neste caso, verifica-se que Det(J( F 3 (x, y))) < 0 ao redor de (±π/5, 0), que são pontos de sela. Ao mesmo tempo, T r(j( F 3 (x, y))) < 0 ao redor de (0, 0), pois esta é uma singularidade atratora. Isto é ilustrado na figura O que este trabalho sugere, então, é que as informações qualitativas de J( F (x, y)) possam ser tratadas pelo método Diffusion Maps do seguinte modo: cada elemento i do campo será representado por um vetor p i de dimensão seis, que armazena a posição, a velocidade, o determinante e o traço

14 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 62 Figura 3.14: Campo de vetores (cos(5x + π/2), sen(1.5y + π)) e seu retrato de fase. Figura 3.15: Variação das funções Det(J((cos(5x + π/2), sen(1.5y + π)))) e T r(j((cos(5x + π/2), sen(1.5y + π)))). do jacobiano avaliado no ponto i. Mais explicitamente, os dados de entrada para o Diffusion Maps assumirão a forma: p i = [x i, y i, P (x i, y i ), Q(x i, y i ), Det(J( F (x i, y i ))), T r(j( F (x i, y i )))] Desta forma, pretende-se formar clusters de zonas de singularidades nas coordenadas de difusão, ou seja, agrupar em uma mesma região do espaço singularidades que sejam classificadas como sendo de mesmo tipo. Logicamente, singularidades de tipos distintos deverão ser representadas em regiões diferentes. Resultados mais evidentes atendendo ao objetivo proposto foram con-

15 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 63 seguidos via normalização dos dados de entrada, tal como mencionado na Seção 3.2. Aqui, a normalização foi estendida às componentes que trazem a informação qualitativa do campo. Em todos os exemplos mostrados a partir da figura 3.16, é utilizada a mesma correspondência entre cores e zonas de singularidades, a saber: vermelho para zonas de sela, azul para zonas de centro, amarelo para zonas atratoras e verde para zonas repulsoras. Os campos ilustrados são, respectivamente, (cos(2.5x), sen(2.5y)), (5y, sin(5x)) e (cos(3.6x), sin(3.6y)). Figura 3.16: Para o campo (cos(2.5x), sen(2.5y)), uma zona de sela sendo separada de uma região repulsora nas coordenadas de difusão. Figura 3.17: Para o campo (5y, sin(5x)), uma zona de sela sendo separada de zonas de centro, e a clusterização das zonas de centro.

16 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 64 Figura 3.18: Para o campo (cos(3.6x), sin(3.6y)), uma zona repulsora sendo separada de duas zonas atratoras e de três zonas de sela, e as clusterizações obtidas. 3.4 Campos com bifurcação e ciclos limites Definição Sejam dois campos F (x, y) e G(x, y). Se existe um homeomorfismo que leva trajetórias de F em trajetórias de G com preservação de sentido, então F (x, y) e G(x, y) são chamados de topologicamente equivalentes. Definição Um campo F (x, y) é chamado de estruturalmente estável se existe uma vizinhança V F em torno de F (x, y) tal que qualquer F V (x, y) em V F é topologicamente equivalente a F (x, y). Definição Seja uma família a um parâmetro γ de campos F γ (x, y). Diz-se que γ 0 determina uma bifurcação se F γ0 (x, y) não é estruturalmente estável. Como exemplo, considere a família F γ (x, y) associada ao sistema

17 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 65 { dx dt = x2 γ dy dt = y (3-4) Tal família recebe o nome de sela-nó. Para γ > 0, F γ (x, y) apresenta duas singularidades: ( γ, 0) e ( γ, 0), que são respectivamente um nó atrator e um ponto de sela. Assim, dados γ 1, γ 2 > 0, é fácil ver, pela análise dos autovalores de J( F γ1 (x, y)) e J( F γ2 (x, y)), que F γ1 (x, y) e F γ2 (x, y) têm comportamentos semelhantes, ou melhor dizendo, são topologicamente equivalentes. Já para γ = 0, as duas singularidades se colapsam em (0, 0) e F γ=0 (x, y) perde a equivalência topológica em relação a qualquer F γ>0 (x, y). Finalmente, para quaiquer γ 1, γ 2 < 0, verifica-se que F γ1 (x, y) e F γ2 (x, y) são equivalentes entre si, mas não a qualquer F γ 0 (x, y). É interessante observar como é a evolução dos mapeamentos da família sela-nó produzidos pelo Diffusion Maps, como é ilustrado nas figura 3.19 e Figura 3.19: Campo (x 2 γ, y), com γ = 0.76 e γ = 0.34, e suas coordenadas de difusão.

18 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 66 Figura 3.20: Campo (x 2 + γ, y) e suas coordenadas de difusão. De cima para baixo, γ assume os valores 0.0, 0.12 e 0.24, respectivamente.

19 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 67 Para as definições a seguir, considere um sistema S de acordo com a Definição 3.1.3, cujas soluções serão representadas por f(x, y, t). Considere também que (x 0, y 0 ) é uma condição inicial de S. Definição Diz-se que (x ω, y ω ) 0 é um ponto ω limite para f(x 0, y 0, t) se existe uma sequência f(x 0, y 0, t 1 ),..., f(x 0, y 0, t n ) tal que lim n f(x 0, y 0, t n ) = (x ω, y ω ) 0. O conjunto ω(x, y) de todos os pontos (x ω, y ω ) é chamado conjunto ω limite de f(x, y, t). Definição Diz-se que (x α, y α ) 0 é um ponto α limite para f(x 0, y 0, t) se existe uma sequência f(x 0, y 0, t 1 ),..., f(x 0, y 0, t n ) tal que lim n f(x 0, y 0, t n ) = (x α, y α ) 0. O conjunto α(x, y) de todos os pontos (x α, y α ) é chamado conjunto α limite de f(x, y, t). Os conceitos definidos acima são ilustrados na figura Figura 3.21: Representação dos pontos ω limite e α limite. O círculo vermelho ilustra o conjunto ω limite. O conjunto α limite é representado pelo círculo azul.

20 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 68 Definição Um ciclo limite é uma órbita fechada Γ que é um α(x, y) ou um ω(x, y) para algum ponto (x, y) / Γ. Deste modo, pode-se entender um ciclo limite como uma órbita fechada tal que outras órbitas não fechadas, descrevendo trajetórias espirais, tendem a ela quando t. Como exemplo, considere o sistema { dx dt = y + x x(x2 + y 2 ) dy dt = y x y(x2 + y 2 ) (3-5) que é quase-linear nas vizinhanças de sua única singularidade o ponto (0, 0). Fazendo x = rcosθ, y = rsenθ e considerando r > 0, é trivial obter a expressão de (3-8) em coordenadas polares: { dr dt = r(1 r2 ) dθ dt = 1 (3-6) cuja resolução conduz a r = C1 e 2t (3-7) e θ = t + C 2 (3-8) Particularmente para C 1 = 0, obtém-se r = 1, e a solução descreve o movimento de um ponto sobre o círculo de raio unitário, em sentido horário para t crescente. Considerando r = ρ como condição inicial, então, em t = 0, tem-se C 1 = 1/ρ 2 1 e, deste modo, lim t r = 1. Quando ρ < 1, as trajetórias descrevem movimentos espirais de dentro para fora, tendendo ao círculo de raio r = 1 para t. Quando ρ > 1, as trajetórias espiralam de fora para dentro, também tendendo ao círculo de raio unitário se t. O círculo unitário é o ciclo limite neste exemplo.

21 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares Bifurcação de Andronov-Hopf O sistema (3-5) analisado anteriormente é um caso particular de uma família de campos conhecida como bifurcação de Andronov-Hopf. Tal família, cuja única singularidade é o ponto (0, 0), é definida por { dx dt = βx y + σx(x2 + y 2 ) dy dt = x + βy + σy(x2 + y 2 ) (3-9) onde β R e σ = ±1. Se σ = 1, a bifurcação é chamada de supercrítica; se σ = 1, de subcrítica. Neste trabalho será analisado apenas o caso supercrítico. Assim, fica definida uma família de campos F β (x, y) cujo comportamento é o seguinte: para β < 0, o campo correspondente é um foco atrator; para β > 0, o campo correspondente tem um foco repulsor que apresenta um único ciclo limite atrator de raio β. O valor β = 0 é o ponto de bifurcação da família. Os retratos de fase da bifurcação de Andronov-Hopf são ilustrados na figura Figura 3.22: Retratos de fase da bifurcação supercrítica de Andronov- Hopf. Em vermelho, a representação do ciclo limite. Imagens adaptadas de Isto condiz com a análise da função T r(j( F β (x, y))) = 2β 4x 2 4y 2. De fato, para β < 0, T r(j( F β (x, y))) < 0 e o campo é, ele todo, uma região atratora. Já para β > 0, tem-se T r(j( F β (x, y))) > 0 para 0 < r < β/2 e T r(j( F β (x, y))) < 0 para r > β/2. Ou seja, a região limitada por 0 < r < β/2 é repulsora, enquanto que para r > β/2 o campo é atrator. Note que o ciclo limite de raio β localiza-se na zona atratora, como ilustra a figura 3.23.

22 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 70 Figura 3.23: Campo de vetores da famlia Andronov-Hopf para β = 0.8 e σ = 1. Os zeros da função traço (círculo azul) delimitam a região repulsora (em verde). Em amarelo, a região atraída para o ciclo limite (círculo vermelho). Deve-se esclarecer aqui que, embora a função traço seja de fundamental importância na determinação das regiões de atração e repulsão, não se pode pensar que ela esteja relacionada à existência de algum ciclo limite. Isto é devido ao seguinte Teorema (Critério de Bendixson) Se em uma região simplesmente conexa D R 2 o traço do jacobiano de um campo F (x, y) não é identicamente nulo e não muda de sinal, então não há órbitas fechadas inteiramente em D. Prova: Pode ser encontrada em Guckenheimer[10]. Ou seja, o Teorema garante a não existência de órbitas fechadas e consequentemente, de ciclos limites dada a não variação de sinal da função traço. Na bifurcação supercrítica de Andronov-Hopf, isto acontece

23 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 71 para β 0, como visto anteriormente. Mas o critério de Bendixson nada diz, quando T r(j( F β (x, y))) muda de sinal, a respeito da existência de órbitas fechadas ou ciclos limites, como é para o caso em que β > 0. Relacionando estas informações com uma aplicação do Diffusion Maps à bifurcação de Andronov-Hopf, foi possível chegar a resultados em que a existência ou a não existência de um ciclo limite pôde ser representada em coordenadas de difusão, isolando-se no espaço as regiões de atração e repulsão como ocorre quando β > 0. Também é interessante notar que uma amostra de vetores sobre o ciclo limite fica corretamente mapeada para a região de atração após a difusão, como ilustra a figura a seguir. Figura 3.24: Coordenadas de difusão do campo da figura 3.23.

24 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares Bifurcação com número infinito de ciclos limites O último caso abordado nesta dissertação é o da família { dx dt = βx y + (1 β)xsen(1/(x2 + y 2 ))e 1/(x2 +y 2 ) dy dt = x + βy + (1 β)ysen(1/(x2 + y 2 ))e 1/(x2 +y 2 ) (3-10) que tem uma única singularidade em (0, 0) e cujos retratos de fase podem ser representados do seguinte modo: Figura 3.25: Retratos de fase da família definida pelo sistema Imagens adaptadas de O comportamento desta família pode ser assim resumido: 1) para β < 0, (0, 0) é um foco atrator; 2) para β = 0, surge um número infinito de ciclos limites em torno de (0, 0). Esses ciclos se acumulam em torno de (0, 0) quando n e têm seus raios calculados por r n = 1/ nπ, para n = 1, 2, 3,...; 3) para β > 0, (0, 0) é um foco repulsor. Aqui é interessante analisar o caso 2. Sendo β = 0, a função traço do jacobiano do campo correspondente tem como raízes círculos concêntricos de centro (0, 0), que se acumulam na origem quando n. Isso quer dizer que T r(j) tem um comportamento oscilatório. Então, o campo fica dividido em anéis concêntricos que, alternadamente, representam regiões de repulsão para T r(j) > 0 e regiões de atração para T r(j) < 0. Essas zonas são representadas na figura 3.26.

25 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 73 Figura 3.26: Visão do primeiro quadrante do campo correspondente a 3-13, mostrando zonas de repulsão (em verde) e zonas de atração (em amarelo) distribuídas alternadamente. As linhas em azul representam os zeros da função T r(j). Tal como foi feito na bifurcação de Andronov-Hopf, o que se pretende aqui é isolar as zonas de repulsão das zonas de atração através de uma representação em coordenadas de difusão. Para um número limitado de regiões, isso foi alcançado. As figuras 3.27 a 3.30 mostram representações, em coordenadas de difusão, do campo referente ao sistema (3-10) para β = 0. Por exemplo, as figuras 3.27 e 3.28 ilustram a representação de duas zonas de repulsão e duas regiões de atração, que, como se disse anteriormente, dispõe-se de maneira alternada no campo de vetores. Assim, é de se esperar que, em coordenadas de difusão, duas regiões verdes surjam desconexas uma da outra, o mesmo devendo acontecer para duas regiões amarelas. O conjunto de pontos em azul no centro da figura corresponde ao acúmulo de vetores cuja avaliação do traço do jacobiano foi nula. Já as figuras 3.29 e 3.30 mostram a obtenção de três regiões de atração e três de repulsão, detectadas por meio de ajustes nos parâmetros no método de difusão.

26 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 74 Figura 3.27: Deteção de duas zonas de atração e duas zonas de repulsão.

27 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 75 Figura 3.28: Visão em perfil da deteção de duas zonas de atração e duas zonas de repulsão.

28 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 76 Figura 3.29: Deteção de três zonas de atração e três zonas de repulsão.

29 Funções de Difusão e Regiões de Zero de Campos de Vetores Planares 77 Figura 3.30: Visão em perfil da deteção de três zonas de atração e três zonas de repulsão.