MODELOS NUMÉRICOS EM BIOMATEMÁTICA

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1 MODELOS NUMÉRICOS EM BIOMATEMÁTICA Sílvia Barbeiro CMUC, Departamento de Matemá1ca Universidade de Coimbra Ponta Delgada, 5 de Maio de 2012

2 Crescimento de populações Paramecium aurelia Organismos unicelulares do género protozoários ciliados que habitam água doce, especialmente frequentes em poças de água suja.

3 Paramecium aurelia Tabela: Crescimento da Paramecium aurelia em isolamento. Aqui a densidade é número de indivíduos por 0.5 cm 3. Os dados estão tabelados em função do tempo, medido em dias. Dia Densidade média n P n Fonte: G.F. Gause, 2003

4 O Processo de modelação Seja P n a densidade média no dia n O crescimento da população pode ser traduzido da forma valor seguinte=valor actual + variação ou seja, P n+1 = P n + P n Como vamos calcular P n?

5 Analisemos os dados... Dia Densidade média n P n Fonte: G.F. Gause, 2003

6 A expressão quadrá1ca P n = k(540 P n )P n verifica as propriedades pretendidas. Obtemos assim o modelo P n+1 = P n + k(540 P n )P n

7 Vamos agora determinar k. P n+1 P n = k(540 P n )P n O melhor ajustamento aos pontos no sen1do dos mínimos quadrados obtém se para k =

8 Comparação da simulação e dos dados observados P n+1 = P n (540 P n )P n,n=0, 1,... P 0 =2

9 Equação logística discreta Podemos eliminar o parâmetro obtemos P n+1 = r ( 1 P n K X n = P n K ) P n K X n+1 = rx n (1 X n ), considerando

10 X n+1 = rx n (1 X n ) Estados estacionários (pontos fixos, pontos crí1cos) X = rx (1 X ) Existem dois estados estacionários X =0e X = r 1 r (é positivo se r>1)

11 Comportamento qualitativo Estabilidade linear do modelo x n+1 = f(x n ) Estados estacionários f(x )=x Pretendemos estudar o comportamento da sucessão (x n ) na proximidade dos estados estacionários.

12 Comportamento qualitativo Seja Então η n = x n x,n=1, 2,... x + η n+1 = f(x + η n )=f(x )+f (x )η n O comportamento do modelo na proximidade do estado estacionário é determinado pelo comportamento da sucessão η n+1 = f (x )η n +R 2 (η n )

13 Comportamento qualitativo Obtemos η n =(f (x )) n η 0 Teorema: Se f (x ) < 1 então x é estável. Se f (x ) > 1 então x é instável.

14 Análise do modelo logístico discreto x n+1 = f(x n )=rx n (1 x n ) Se x n > 1 então x n+1 < 0. Para evitar esta situação consideramos 0 r 4. Assim, x n [0, 1] para todo n se x 0 [0, 1].

15 f (0) = r x = 0 é f ( r 1 )=2 r r x = r 1 é r f (x) =r(1 2x) estável se 0 r<1 instável se 1 <r 4 estável se 1 < r < 3 instável se 3 <r 4

16 Diagrama de bifurcação para o modelo logís1co discreto.

17 0.7 r=2, N 0 =

18 0.8 r=3,n 0 =

19 0.8 r=3.1, N 0 =

20 0.9 r=3.5, N 0 =

21 1 r=4,n 0 = Caos (no sen1do matemá1co do termo)

22 A Nature publica sobre o assunto... Simple mathema/cal models with very complicated dynamics, Robert M. May, Nature, Vol. 261, p. 459, 1976.

23 Competição Tabela: Crescimento da Paramecium aurelia e da Paramecium caudatum em compe1ção pelos mesmos recursos. A densidade é número de indivíduos por 0.5 cm 3. Os dados estão tabelados em função do tempo, medido em dias. Dia Densidade média Densidade média n P n (P. aurelia) Q n (P. caudatum) Fonte: G.F. Gause, 2003

24 ( P n+1 = P n + r 1 1 P n b ) 1 Q n P n K 1 K 1 ( Q n+1 = Q n + r 2 1 Q n b ) 2 P n Q n K 2 K 2

25 Principais referências N. F. Bribon, Essen1al Mathema1cal Biology, Springer, G. de Vries, T. Hillen, M. Lewis, J. Müller, B. Schönfisch, A Course in Mathema1cal Biology: Qualita1ve Modelling with Mathema1cal and Computa1onal Methods, SIAM, A.M. Stuart, A.R. Humphries, Dynamical Systems and Numerical Analysis, Cambridge University Press, J.D. Murray, Mathema1cal Biology I: An Introduc1on, Springer, J.D. Murray, Mathema1cal Biology II: Spa1al Models and Biomedical Applica1ons, Springer, 2003

26 Bolor numa fatia de pão Ac1vidade Consideremos dados sobre o crescimento do bolor Aspergillus niger numa fa1a de pão, ao longo de 10 dias. Vamos invesfgar um modelo para simular o seu crescimento. Que 1po de crescimento observamos? Linear? Logís1co? Outro?

27 Fonte: Microbes Count! The BioQUEST Curriculum Consor1um, 2003

28 Fonte: Microbes Count! The BioQUEST Curriculum Consor1um, 2003

29 Fonte: Microbes Count! The BioQUEST Curriculum Consor1um, 2003

30 Fonte: Microbes Count! The BioQUEST Curriculum Consor1um, 2003

31 Fonte: Microbes Count! The BioQUEST Curriculum Consor1um, 2003

32 Fonte: Microbes Count! The BioQUEST Curriculum Consor1um, 2003

33 Fonte: Microbes Count! The BioQUEST Curriculum Consor1um, 2003

34 Fonte: Microbes Count! The BioQUEST Curriculum Consor1um, 2003

35 Fonte: Microbes Count! The BioQUEST Curriculum Consor1um, 2003

36 Fonte: Microbes Count! The BioQUEST Curriculum Consor1um, 2003

37 Fonte: Microbes Count! The BioQUEST Curriculum Consor1um, 2003

38 Tabela: Crescimento de Aspergillus niger (es1ma1va da área ocupada em mm 2). Dia Área (mm 2 ) 0 86, ,8 2 83, , , , , , , , ,04 Fonte: Microbes Count! The BioQUEST Curriculum Consor1um, 2003