CAOS E FRACTAIS: UMA INTRODUÇÃO

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1 SUGESTÃO DE DISCIPLINA CAOS E FRACTAIS: UMA INTRODUÇÃO VIA SISTEMAS DINÂMICOS DISCRETOS PRIMEIRO PERÍODO DE 2015 PROFESSOR OFERTANTE : Marcelo Domingos Marchesin CARGA HORÁRIA : 60 Horas PRÉ-REQUISITO : Cálculo I. PÚBLICO ALVO: Alunos de Bacharelado em Matemática A Geometria dos Fractais não é apenas um capítulo da Matemática, mas também uma forma de ajudar o Homem a ver o mesmo velho Mundo diferentemente Benoît Mandelbrot

2 JUSTIFICATIVA Os Sistemas Dinâmicos formam uma área que vem apresentando um desenvolvimento significativo dentro da Matemática principalmente a partir da segunda metade do século XX com o desenvolvimento de computadores de grande porte. Assim, o estudo dos sistemas dinâmicos, apresenta aos matemáticos a oportunidade de expor seus alunos à idéias contemporâneas na pesquisa matemática. Muitas das idéias e teorema que iremos estudar foram descobertos nas últimas décadas, período em que muitos de nossos estudantes já eram nascidos. Muito do atual interesse em Sistemas Dinâmicos se desenvolve em torno do comportamento caótico que ocorre quando uma função simples é iterada. Nós daremos ênfase especial ao exemplo mais simples possível onde isso ocorre, ou seja, a iteração de polinômios quadráticos com uma variável real ou complexa. Restringindo nosso estudo à estes casos, o conteúdo do curso se torna acessível aos estudantes de graduação que ainda não tenham passado por um curso de Análise, ou mesmo um curso de Variáveis Complexas, para isto os fundamentos necessários destes assuntos serão apresentados durante o curso. Acreditamos que estudantes de 5 0 ou 6 0 período tenham maturidade suficiente para poder seguir o curso de forma satisfatória. O desenvolvimento de métodos computacionais cada vez mais sofisticados deu grande impulso ao estudo dos Sistemas Dinâmicos. Em particular tornou mais transparente a relação entre Sistemas Dinâmicos e Geometria Fractal. Dinâmica é o estudo de objetos (sistemas) em movimento, como por exemplo o comportamento de uma função sendo iterada. Já o que hoje em dia conhecemos como sendo objetos fractais, são imagens estáticas, objetos geométricos, que apresentam algum tipo de auto-semelhança (Veja alguns exemplos em anexo). Contudo, tem se tornado cada vez mais claro, nos últimos anos, que a maioria das regiões caóticas para Sistemas Dinâmicos são fractais. Portanto para podermos fazer um bom estudo do comportamento caótico temos que entender bem a estrutura geométrica dos fractais e vice-versa. Particularmente no Brasil esta área tem sentido um forte desenvolvimento principalmente devido a existência de um grupo de excelência trabalhando nesta área no Instituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA no Rio de Janeiro. Aqui, na UFMG, também contamos com um grupo de pesquisa relativamente grande nessa área, cerca de 10 professores que trabalham pesquisando em diversas sub-áreas dos Sistemas Dinâmicos e também orientando alunos de mestrado e doutorado. Infelizmente ainda não é muito comum serem oferecidas disciplinas relacionadas a este assunto na grade padrão da graduação o que justifica a relevância da oferta desta disciplina como uma matéria optativa.

3 Nos propomos a oferecer um curso em nível introdutório que seja bem leve e agradável sem deixar de ser interessante ao estudante do curso de Matemática. Uma introdução aos Sistemas Dinâmicos, na forma que propomos, nos permite fazer isso com facilidade visto que o único pré-requisito acadêmico que estamos exigindo é ter passado pela disciplina Cálculo I, e ter uma maturidade de um estudante que já se encontra em estágio adiantado de seu curso e por conseguinte entende sua responsabilidade como aluno-participante de um curso desta natureza. Todo o conteúdo matemático adicional que vier a ser necessário será introduzido durante o curso. O grande atrativo dos Sistemas Dinâmicos é justamente o fato de ele poder ser desenvolvido a partir de idéias bem simples. Como exemplo disso podemos citar o exemplo das aplicações quadráticas que estuda a família Q c (z) = z 2 + c onde c é um parâmetro complexo. Um dos nossos objetos de estudo será o conjunto dos pontos fixos de Q c, isto é, os valores de z que satisfazem Q c (z) = z, ou seja, nosso objeto de estudo é a resolução de uma equação de segundo grau em uma variável complexa. METODOLOGIA E SISTEMA DE AVALIAÇÃO A metodologia de apresentação do curso será através de aulas expositivas ministradas pelo professor, explorando, sempre que possível a participação do aluno nesse processo de criação do conhecimento. As aulas devem ser bem interativas. Interatividade esta que deve ser alimentada pela busca do estudante em saciar sua curiosidade matemática. O professor também se fará disponível em seu gabinete para atendimento de dúvidas relativas aos conteúdos expostos em sala de aula bem como quanto à resolução de exercícios. A bibliografia a ser seguida será o livro do Robert Devaney [3] que possui uma linguagem básica e acessível. Como bibliografia complementar indicamos, entre outros, o livro de Katok [7]. Além disso, a experiência anterior tem nos motivado a escrever uma apostila que praticamente cobre todo o conteúdo proposto da disciplina e que será disponibilizado na página do professor ( veja [9]). O sistema de avaliação dependerá do tamanho da turma. Preferencialmente será baseado em duas ou três provas totalizando 80 pontos e 20 pontos distribuídos entre exercícios que os alunos deverão entregar e/ou seminários a serem apresentados à classe. Na caso do tamanho da turma impossibilitar este sistema, optaremos por 3 provas totalizando 100 pontos. Contudo, ainda neste caso, exercícios e/ou seminários valendo pontos adicionais poderão ser oferecidos aos alunos que demonstrarem interesse. EMENTA

4 1. EXEMPLOS DE SISTEMAS DINÂMICOS. 2. PRELIMINARES MATEMÁTICOS 3. ÓRBITAS E ANÁLISE DE GRÁFICOS. 4. PONTOS FIXOS E PONTOS PERIÓDICOS. 5. BIFURCAÇÕES. 6. A FAMÍLIA QUADRÁTICA. 7. DINÂMICA SIMBÓLICA. 8. CAOS. 9. FRACTAIS. 10. O CONJUNTOS DE JULIA E DE MANDELBROT PROGRAMA 1. EXEMPLOS DE SISTEMAS DINÂMICOS: Um exemplo da econômia, um exemplo da ecologia, encontrando raízes e resolvendo equações, Equações diferenciais. 2. PRELIMINARES MATEMÁTICOS: Fundamentos de Análise, Noções Fundamentais de Espaços Métricos e Topologia 3. ÓRBITAS E ANÁLISE DE GRÁFICOS: Iterações, órbitas, tipos de órbitas, a função duplicadora, análise de gráficos, análise de órbitas, retrato de fase. 4. PONTOS FIXOS E PONTOS PERIÓDICOS: Um teorema de ponto fixo, atração e repulsão, cálculo de pontos fixos, pontos periódicos. 5. BIFURCAÇÕES: Dinâmica da aplicação quadrática, a bifurcação sela-nó, bifurcação que dobra o período. 6. A FAMILIA QUADRÁTICA: O caso c = 2, O caso c < 2, o conjunto de Cantor. 7. DINÂMICA SIMBÓLICA: Itinerário, o espaço das sequências, a aplicação deslocamento, conjugação.

5 8. CAOS: Três propriedades de um sistema caótico, outros sistemas caóticos, manifestação de caos. 9. FRACTAIS: O trângulo de Sierpinski, o floco de neve de Koch, dimensão topológica e dimensão fractal, sistema de funções iteradas. 10. O CONJUNTOS DE JULIA E DE MANDELBROT: A função quadrática caótica, o conjunto de Cantor revisitado, computando o conjunto de Julia; A dicotomia fundamental, O conjunto de Mandelbrot. Referências [1] COLLET P.; ECKMANN j.p.; Iterated Maps on the interval as Dynamical Systems. Cambridge University Press, Cambridge, [2] DE MELO, W.; Van Strien, S.: One Dimensional Dynamics. [3] DEVANEY, Robert L. A first course in chaotic dynamical systems: theory and experiment. Reading: p. 1v. ISBN [4] FCUL ; Página na internet construída pelos alunos de licenciatura em matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa: [5] FIGUEIREDO, Djairo G.; Análise I Livros Técnicos e Científicos Editora S. A. ISBN [6] HOLMGREN, Richard A. A first course in discrete dynamical systems. 2nd ed. New York: Springer, c p. ISBN [7] KATOK, A., Hasselblatt,B.: 2003 A First Course in Discrete with a panorama of recent developments. Cambridge University press. [8] LIMA, E.L.: 1983 Espaços Métricos. 2 a Edição, Projeto Euclides. Instituto de matemática Pura e Aplicada. [9] MARCHESIN, M.: 2009 Notas de aula em Sistemas Dinâmicos, (Em construção. disponibilizado na internet: mdm). [10] KAMPHORST, S. O. ; Página na internet da professora Sylvie: syok/