GEOMETRIA FRACTAL. Benoit Mandelbrot.

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Otávio Tavares Martinho
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1 GEOMETRIA FRACTAL Autor: Diego Luiz Henriques Costa. Orientador: Prof. Dr. Márcio Lima do Nascimento. As nuvens não são esferas, as montanhas não são cones, as linhas costeiras não são círculos e a casca de uma árvore não é suave, nem os relâmpagos se propagam em linha reta Benoit Mandelbrot. INTRODUÇÃO Estamos muito familiarizados com a Geometria Euclidiana, onde estudamos as figuras mais simples e conhecidas da geometria: retas, quadrados, círculos, cones, pirâmides etc. Estamos acostumados a calcular suas medidas de comprimento, área e volume. Neste contexto a idéia de dimensão já está em nossas mentes. Muitos fenômenos e formas encontradas na natureza não podem ser explicados nos moldes da matemática convencional, sendo para isso necessário uma teoria especial que os explique e caracterize, a chamada geometria fractal. Tanto o padrão de formação de nuvens quanto o padrão de crescimento e disposição de galhos e folhas numa árvore podem ser recriados por meio de regras simples de construção geométrica, mas que ao serem executadas são capazes de gerar estruturas de complexidade admirável, os fractais. Fractais são formas geométricas com algumas características especiais que os definem e distinguem de outras formas, como autosemelhança em diferentes níveis de escala (não existente em todos os fractais). Atualmente a geometria fractal, e em especial a dimensão fractal, vem sendo utilizada em diversas áreas do conhecimento, como o estudo de sistemas caóticos (padrão de formações de nuvens, por exemplo); caracterização de objetos; análise e reconhecimento de padrões em imagens; análise de texturas e medição de comprimento de curvas. Devido às diversas aplicações da dimenção fractal vários são os métodos encontrados na literatura. Na geometria fractal estudaremos figuras geométricas, batizadas por Benoit Mandelbrot na década de 70 de fractais, que possuem estrutura bem mais complexa do que as figuras que citamos acima, pois a princípio, teremos dúvidas quanto às medidas de seus comprimentos, áreas e volumes, porque teremos figuras nas quais a dimensão é fracionária (daí o nome fractal, que vem do latin fractus que quer dizer quebrado ), isto é, existem figuras que possuem dimensão maior que 1, porém menor que 2. Outras características interessantes, como por exemplo auto-similaridade, estarão presentes. 1

2 Neste trabalho discutiremos diversos assuntos relacionados a geometria fractal e dinâmica unidimensional. Exemplos de fractais e suas dimensões Embora atualmente tenhamos verdadeiras obras de arte, feitas a partir de fractais, estruturas com características semelhantes retomam os trabalhos de matemáticos do passado, como Georg Cantor (1872), Helge Von Koch (1904), Waclaw Sierpinski (1916), David Hilbert (1891), Guiseppe Peano (1890), dentre outros. De fato, as criações desses matemáticos influenciaram o conceito de Mandelbrot de uma nova geometria, entretanto eles não pensavam que seus estudos serviriam como passos conceituais em direção de uma nova percepção ou de uma nova geometria da natureza. A maior parte das técnicas para o cálculo de dimensão fractal se baseia na dimensão de Hausdorff. No caso deste nosso trabalho, utilizaremos a técnica conhecido por dimensão por contagem de caixas (box-counting). Temos que a dimensão por contagem de caixas de um conjunto C, denotada por boxdim(c) será: ln N(ɛ) boxdim(c) = lim ɛ ln 1 ɛ onde N(ɛ) é o número de caixas com o qual o conjuntor será coberto (cobertura) e ɛ é o comprimento dessas caixas 1. O Conjunto do terço médio de Cantor ou Cantor ternário Para realizarmos a construção geométrica do Cantor ternário tomemos o intervalo unitário [0, 1], que será o nosso conjunto K 0. Dividimos esse intervalo em três partes iguais e retiramos o intervalo aberto central (terçoo médio). Dessa maneira obtemos o conjunto K 1 = [0, 1 ] [ 2, 1]. Procendendo da mesma maneira com os intervalos de K 1 obtemos o conjunto K 2 = [0, 1] [ 2, 1] [ 2, 7] [ 8, 1]. E continuamos assim indefinidamente O Cantor ternário, que denotaremos por K, é o limite da sequência desses conjuntos. Como é uma sequência decrescente temos que K é a intersecção desses conjuntos, isto é, K = n=1 Definiremos agora as funções de similaridade que nos auxiliarão na construção do Cantor ternário K. O sistema de funções iteradas sobre o intervalo [0, 1] R, com F : R R, dado por: K n 2

3 F (x) = f 1 (x) = x f 2 (x) = x + 2 Essas funções nos ajundam a perceber o caminho que os pontos da etapa K 0 percorrem até a etapa final da construção de K. Note que f 1 (x) = x aplica o intervalo [0, 1] em [0, 1] e f 2(x) = x+2 aplica [0, 1] em [ 2, 1]. Se f(x 0) [ 2, 1], podemos ter que f 2 (x 0 ) f 1 [ 2, 1] = [ 2, 1] ou f 2 (x 9 0 ) [ 8, 1]. 9 Para calcularmos o comprimento total (medida de Lebesgue) de K subtraíremos do intervalo [0, 1] os comprimentos dos intervalos que vão sendo excluídos na construção de K: 1 ( ) = 1 n=1 2 n 1 n 1/ = 1 ( ) 1 2/ = 1 1/ 1/ = 1 1 = 0 Portanto o comprimento total do Cantor Ternário é zero. Devido ao fato desse conjunto ter comprimento zero, poderíamos pensar que sobraram pouquíssimos pontos que pertençam a ele. Dessa forma podemos nos perguntar quais pontos pertencem ao conjunto do terço médio de Cantor? 1 K? Apresentaremos 4 agora uma proposição que nos ajudará a responder essas perguntas: Proposição 1. Um ponto pertence ao Cantor ternário se, e somente se, não possuir o dígito 1 em uma de suas expansções ternárias (base ). O Cantor ternário possui quatro propriedades: É compacto; Tem interior vazio; Não contém pontos isolados; É não-enumerável. O cálculo da dimensão por contagem de caixas é feito da seguinte maneira e é análogo para os outros conjuntos apresentados a seguir:

$O triângulo de Sierpinski Este fractal é aproximadamente 40 anos mais jovem que o conjunto de Cantor e foi apresentado pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski.$

4 Etapa N(ɛ) ɛ K K K K n 2 n 1 n boxdim(k) = lim ɛ ln N(ɛ) ln(1/ɛ) ln 2 n = lim n 0 ln n n ln 2 = lim n 0 n ln ln 2 = lim n 0 ln = ln 2 ln 0, 6 2. O triângulo de Sierpinski Este fractal é aproximadamente 40 anos mais jovem que o conjunto de Cantor e foi apresentado pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski. Figura 1: Construção do triângulo de Sierpinski As funções de similaridade que definem sua construção são: 4

5 F (x) = ( x f 1 (x) = 2, y ) 2 ( x f 2 (x) = , y ) 2 ( x f (x) = 2, y ) 2 Da mesma maneira que no Cantor ternário, podemos saber que pontos pertencem ao Triângulo de Sierpinski. Proposição 2. Um ponto p = (x, y) pertence ao triângulo de Sierpinski se, e somente se, não hover na expansão binária de suas coordenadas o dígito 1 em uma mesma posição. Sua dimensão por contagem de caixas é 1,58.. Tapete de Sierpinski Figura 2: Construção do tapete de Sierpinski Este é um outro fractal descoberto por Sierpinski. Sua construção é muito similar à do triângulo. O Tapete possui dimensão por contagem de caixas igual a 1, Esponja de Menger Esta é uma generalização do tapete de Sierpinski no espaço. A esponja de Menger possui dimensão igual a 2,7. 5. Tetraedro de Sierpinski Esta é uma generalização do triângulo de Sierpinski no espaço. Este conjunto possui dimensão por contagem de caixas igual a 2,7. 5

6 O conjunto de Julia De início, o trabalho de Julia não despertou interesse de Mandelbrot, somente por volta de 1977, depois de ter se dedicado as mais diversas ciências, Mandelbrot mostrou com o auxílio de um computador que o trabalho de Julia é uma fonte dos mais belos fractais conhecidos hoje. A seguir temos uma definição aceitável de Conjunto de Julia: Definição 1. Seja P : C C uma função polinomial. O conjunto de Julia de P, denotado por J(P ) é o fecho do conjunto dos pontos periódicos repulsores de P. Sabemos que um ponto periódico z 0 = P n (z 0 ) é repulsor se (P n ) (z 0 ) > 1. O conjunto de Julia da função f(z) = z 2 é o círculo unitário S 1. Figura : Os pontos no interior do círculo unitário são atraídos para a origem. Esta aplicação f(z) = z 2 é caótica, isto é, f tem dependência sensível nas condições iniciais; é topologicamente transitiva e os pontos periódicos de f são densos. As proposições abaixo apresentam algumas características dos conjuntos de Julia: Proposição. Seja P (z) uma função polinomial. Então P (z) tem um ponto fixo q,tal que: 1. P (q) > 1 2. P (q) = 1 6

7 Esta proposição é muito importante, pois ela nos diz que uma aplicação polinomial tem pontos fixos neutros ou então pontos fixos repulsores e, dessa maneira, o conjunto de Julia dessa aplicação não é vazio. Proposição 4. Seja P uma aplicação polinomial de grau n 2. Então J(P ) φ. Proposição 5. J(P ) = J(P n ) Corolário 1. J(P ) é um conjunto perfeito. Corolário 2. J(P ) é completamente invariante. Apresento agora algumas imkagens de fractais para outras aplicações: Figura 4: Conjunto de Julia para c = i 7

Figura 5: Conjunto de Julia para c = 0,274 +

8 Figura 5: Conjunto de Julia para c = 0, ,00742i Figura 6: Conjunto de Julia para c = i 8

9 Bibliografia [1] EDGARD, Gerald A. Measure, Topology, and Fractal Geometry. Columbus: SPRINGER- VERLAG, [2] DEVANEY, Robert L. Chaotic Dynamical Systems, Second Edition. Universidade de Boston. [] TRICOT, Claude. e Michel Mendes France. Curves and Fractal Dimension. Springerverlag. [4] HILBORN, R. C. Chaos and Non Linear Dynamics. Oxford University Press [5] ROBINSON, Clark. Dynamical Systems Stability, Symbolic Dynamics and Chaos. 1995, CRC PRESS. [6] LIMA, Elon Lages. Curso de análise, volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, [7] LIMA, Elon Lages. Análise Real, volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, [8] LIMA, Elon Lages. Espaços Métricos. Rio de Janeiro: IMPA,

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