Que espaço ocupa um Fractal? *

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1 Que espaço ocupa um Fractal? * Andresa Fontana e Andréia Collin ** Resumo: A geometria é muito utilizada nas mais diversas áreas. A chamada Geometria Euclidiana é própria para descrever fenômenos ordenados e artefatos da civilização. Porém, quando nos deparamos com formas irregulares, imperfeitas, como as nuvens, os ramos das árvores, os alvéolos pulmonares, entre outros, esta geometria é inadequada, sendo necessário buscar objetos da Geometria da Natureza, chamada de Geometria Fractal, dentre eles, a Dimensionalidade que dependerá da forma do objeto analisado e será esta característica o objeto de estudo para este artigo, fazendo um comparativo entre a Geometria Euclidiana e a Geometria Fractal. Palavras-chave: Mandelbrot, Geometria Fractal, Fractais, Dimensão. Alguma razão para a geometria não descrever o formato das nuvens, das montanhas, das árvores ou a sinuosidade dos rios? Nuvens não são esferas, montanhas não são troncos de cones, árvores não são hexágonos e muito menos os rios desenham espirais 2 Mandelbrot, 983. A questão da Geometria dos Fractais ainda é pouco conhecida, hoje, pela maioria das pessoas. Desde que as primeiras concepções surgiram até hoje passaram-se mais de 350 anos, sendo que foi pelas mãos de Benoit Mandelbrot 3 e graças ao surgimento dos computadores que esta geometria criou seus alicerces e se expandiu pelo mundo inteiro como uma nova forma de se observar e entender a natureza. Esta nova geometria originou-se de estudos e pesquisas baseados em fenômenos como estrutura do ruído nas comunicações telefônicas, a flutuação dos preços nas operações do mercado, no estudo empírico da geometria dos litorais 4. Os fractais são formas geométricas que podem ser geradas por fórmulas matemáticas complexas e recursivas, ou seja, que repetem continuadamente um modelo padrão, como por ex., z = x + iy: z n+ = z n + c, onde c = a + ib e n = 0,, 2,... * Artigo Acadêmico para a disciplina de Estudos Acerca do Conhecimento Matemático, no semestre 02/4 ** Graduandas do Curso de Licenciatura Plena em Matemática da Universidade de Caxias do Sul - UCS Ver referência bibliográfica [], p. 9 2 Ver referência bibliográfica [4], p Benoit Mandelbrot nasceu na Varsóvia (Polônia) em 924 e mudou-se para Paris em 936. Em 948, foi para os EUA onde, até hoje, dedica-se a vários campos do conhecimento, entre eles economia, termodinâmica, geologia, comunicação, meteorologia, computação e biologia. Sempre possuiu uma intuição geométrica muito aguçada. 4 Ver referência bibliográfica [], p. 0

2 As formas geradas são caracterizadas por auto-semelhança (parte da figura é semelhante a toda ela), complexidade infinita e dimensionalidade. Mas o que entendemos por dimensão? A toda hora usamos medidas de largura, comprimento e altura consideradas na geometria de Euclides. Estas medidas expressam o tamanho de um objeto. Então, analisemos alguns objetos:» um ponto não possui altura, largura nem comprimento; logo, não tem dimensão (adimensional);» uma reta possui somente comprimento, ou seja, tem uma só dimensão; assim, é unidimensional;» um plano possui comprimento e altura, o que caracteriza duas dimensões; então, é bidimensional;» já, uma caixa ou um cubo é tridimensional porque possui altura, largura e comprimento. Pudemos verificar que, na Geometria Euclidiana, estas três medidas é que remetem ao conceito associado à dimensão e que estes objetos não apresentam irregularidades em suas formas. Porém, a verdadeira dimensão de um objeto é diferente das citadas acima. No caso dos fractais, ao contrário do que ocorre com os objetos euclidianos ( perfeitos ), cada objeto tem sua dimensão própria. As curvas irregulares têm dimensão que varia entre um e dois, de modo que uma superfície irregular tem dimensão entre dois e três. Segundo Mandelbrot, Um conjunto é dito fractal se a Dimensão Hausdorff 5 deste conjunto for maior do que a sua dimensão topológica 6. A dimensão de um fractal indica o espaço ocupado por ele que está relacionado com o seu grau de aspereza, irregularidade (igual em diferentes escalas) ou fragmentação. Daí o fato de os fractais possuírem dimensão fracionária e não inteira (como na Geometria de Euclides), por não serem figuras perfeitas. Assim, a dimensão de qualquer fractal pode ser obtida utilizando o método que segue: Tomamos uma linha de comprimento L (unitário, ou seja, L = ). Esta linha pode ser dividida em N partes iguais (elementos), sendo que cada segmento desta reta (escala) é u = (ver fig.). N 5 Felix Hausdorff, matemático alemão que apresentou, em 98, uma definição onde a dimensão de um conjunto p poderia ser fracionária. 6 Ver referência bibliográfica [3] 2

3 Assim, N = L/u. Da mesma forma, para medir um quadrado (ou cubo) de lado L (unitário), tomamos um quadrado (ou cubo) de lado u e contamos o número N = L 2 / u 2 (ou N = L 3 /u 3 ) que precisamos para cobrir o objeto. De um modo geral, este processo leva a N = (L/u) d, ou, tomando o logaritmo de ambos os membros, d = logn. L log( ) u Figura 7 Temos: L =, N = 5 e u = 5 Temos: L =, N = 6 e u = 2 4 Temos: L =, N = 64 e u = 3 4 A figura acima mostra que podemos determinar a dimensão das figuras euclidianas da mesma forma que a determinamos para os fractais. Se pensarmos em dobrar, por exemplo, uma reta, um plano ou um cubo notamos que ocorrerá um crescimento exponencial. Para os fractais (curvas) mais simples, como a Curva de Koch (floco de neve) e a Poeira de Cantor, determinamos suas dimensões pela fórmula descrita anteriormente. Vejamos: 7 Ver referência bibliográfica [2]. 3

4 Poeira ou Conjunto de Cantor Dividimos o segmento em 3 partes iguais e não consideramos o segmento do meio. Assim, L =, N = 2 e u = /3: D = log 2 log 3 0, Curva de Koch Cada lado do triângulo é dividido, continuadamente, em três partes. Cada triângulo formado é eqüilátero. Tem-se L =, N = 4 e u = /3: D = log 4 log 3, Outros fractais, como o Triângulo de Sierpinski, a Curva de Peano e a Curva de Hilbert, possuem características semelhantes aos mencionados anteriormente. Outras informações, conforme seu interesse, poderão ser obtidas consultando a referência bibliográfica []. Porém, é importante deixar claro que estes fractais continuam a ser construídos indefinidamente. Já para os fractais (curvas) mais complexos, como os Conjuntos de Julia e o Conjunto de Mandelbrot, não é possível explicitar de uma maneira tão clara a sua escala e a semelhança entre todas as partes que os constituem. Assim, as respectivas dimensões serão determinadas através de equações diferenciais. Para conhecer mais fractais dos conjuntos mencionados acima, click nos nomes 8 abaixo: Mandelbrot Mandelbrot 3 Julia Julia 3 Fractal 2 Mandelbrot 2 Snowflake Julia 2 Fractal Fractal 3 Com o auxílio do programa Qbasic, linguagem de programação que opera com o sistema DOS, podemos gerar figuras (matricialmente) como conjunto de Mandelbrot e conjuntos de Julia. Conjunto de Mandelbrot com 30 iterações da função z z² + c Conjunto de Julia com c = i e com 20 iterações 8 Figuras extraídas do endereço [3] da referência bibliográfica. 4

5 Experimente gerar, neste programa, conjuntos de Julia com c = i; c = -; c = i; c = i (com 0 iterações); c = 0.66i. Como uma forma de interação da disciplina, todos os grupos fizeram a apresentação das idéias principais dos artigos, sendo que os mesmos foram disponibilizados no ambiente desta onde os colegas puderam acessar e avaliar melhor o seu conteúdo. Neste ambiente, como ferramenta de discussão, perguntas e respostas foram trocadas através de um fórum. Algumas das perguntas que foram realizadas e direcionadas ao nosso artigo: Por que o uso dos computadores é tão imprescindível para visualizar os fractais? Como seria um objeto fractal de dimensão 4? É possível calcular área e volume de fractais? Os fractais servem para modelar alguma curva simples e conhecida? O aspecto mais destacado pelos colegas na nossa apresentação foi o fato de poderem visualizar a construção dos fractais com um recurso computacional. Procuramos responder todos os questionamentos, com isso, aprimorando as informações por nós obtidas, despertando ainda mais o interesse sobre a Geometria dos Fractais. E assim, ao concluirmos este trabalho percebemos que, enquanto a Geometria Euclidiana se utiliza de fórmulas e equações que descrevem apenas curvas e superfícies lisas, a Geometria Fractal prefere algoritmos e as fórmulas iterativas (de recursão), tendo como ferramenta indispensável o uso de computadores, para descrever muitos elementos da natureza que possuem irregularidades. Isso para mostrar que os matemáticos e os físicos não estão limitados ao estudo de sistemas simples e lineares: têm diante de si o mundo real, bem mais complexo e fascinante 9. No entanto, o que nos surpreendeu foi que o questionamento das "formas" que nos rodeiam iniciou pela simples observação de fenômenos naturais de onde descobriu-se as figuras denominadas fractais, de extrema beleza e que têm dimensão menor ou igual a dimensão do espaço Euclidiano. E depois de tudo o que conhecemos, pesquisamos e estudamos sobre fractais e sua dimensão, ainda nos ficam perguntas como: O que mais pode ser descoberto sobre estes objetos quase que invisíveis a nossa percepção? Poderão ser úteis para a realização de algo? Antes, conhecíamos apenas a Geometria Euclidiana e sua figuras perfeitas, existente há mais de anos. Agora, tomamos conhecimento de estudos sobre novas geometrias, como por exemplo, a Fractal que apresenta figuras irregulares, formas que não podem ser estudadas na geometria tradicional e não podem ser consideradas perfeitas. 9 Ver referência bibliográfica [2] 5

6 Até o presente momento, a matemática era para nós uma ciência exata, um método lógico de aplicar fórmulas e encontrar soluções. E a partir do estudo que realizamos, começamos a perceber a matemática como linguagem, comunicação e aplicação e quanto que dela não temos conhecimento. Finalmente, concluímos que durante todo este tempo de pesquisa o nosso pensar matemático mudou e melhorou porque a melhor forma de se compreender a matemática é ler, buscar sempre aquilo que sacie o nosso interesse e a nossa curiosidade. Foi assim que a matemática evoluiu durante todos estes anos, movida pela inquietude e pela sede de mudar. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [] CARVALHO, Maria C.C.S., SILVA, Aristóteles A. e outros. Fractais: uma breve introdução. São Paulo. [2] softc /programas/manuais/fractais/manual.htm (consultado em 26/08/02) [3] (consultado em 0/0/02) [4] RICIERI, Aguinaldo Prandini. Fractais e Caos: a matemática de hoje. São Paulo: Prandiano, 990. [5] GLEICK, James.Caos: a criação de uma nova ciência. Traduzido por Waltensir Dutra, Rio de Janeiro: Campus, 990. Tradução de: Chãos: Making a new sciense. [6] 6